Folien V

Thema5
Ansätze zur Bewertung
von Zinsoptonen
Michael Blüthmann
Farid Najem
Ina Kahle
Patrik Gohse
Josip Mamic
Cristina Emil-Sattarov
1
Ansätze zur Bewertung von Zinsoptionen (ZO)
A.
B.
Einführung in die Problematik
II. Rendelmann.Bartter-Modell
1.
1. Grundidee
2. Darstellung des Modells
anhand eines Beispiels
3. Kretik
Arten von Zinsoptionen
Modelle zur Bewertung von Zinsoptionen
1.
2.
Anforderungen an ein
Klassifikation der
Bewertungsmodelle
Bewertungsmodell
(Farid Najem 20min)
(Josip Mamic 20min)
III. Hull-White-Modell 1990
1. Grundidee
2. Darstellung des Modells
anhand eines Beispiels
(Patrik Gohse 20min)
IV. Hull-White-Modell 1990
1. Grundidee
2. Darstellung des Modells
anhand eines Beispiels
3. Kritik
(Cristina Emil-Sattarov 20min)
C. Ausgewählte Modelle zur Bewertung
von Zinsoptionen
V. Heath-Jarrow.Morton
1. 1. Grundidee
2. Darstellung des Modells
anhand eines Beispiels
3. Kritik
(Michael Büthmann 20min)
I. kl. Modelle zur Bewertung v. Option
1.
2.
3.
4.
Binomial modell
Black-Scholes-Modell
Black-Modell
Eignung kl. Modelle zur Bew. von ZO
(Ina Kahle 20min)
2
A.
Einführung und Problematik
Das Modell von Diamond(1984)
Annahme:
ex post Informationsasymmetrie
Überwachung ( Monitoring ) oder spez. Vertragskonstruktion
hohe Monitoringkosten
Existenz eines Intermediäre !
Monitoring
Anreizvertrag
Unternehmer 1
Kapitalgeber 1
FinanzIntermediär
Kapitalgeber m
Unternehmer n
Diversifikation durch Investition in mehrere Projekte
Bankbetriebslehre, Thomas Hartmann-Wendels, Andreas Pfingsten, Martin Weber S.131
3
A.1.
Arten von Zinsoptionen (Def. Option, Caps, Floors, Caplet,
Auszahlung aus Caplet)
•
Zinsoptionen können auf verschiedene Produkte geschrieben
werden, die in irgendeiner Weise mit Zinszahlungen verbunden
sind.
Beispiele:
•
•
•
•
Anleihkurse
Futures und Forwards
Zinssätze
Terminzinssätze
4
Option
„Eine Option ist ein Vertrag zwischen zwei Marktteilnehmern, dabei hat, der
Käufer einer Zinsoption .. gegen Zahlung einer Optionsprämie das Recht,
nicht jedoch die Verpflichtung, festverzinsliche Wertpapiere zu einem im
voraus vereinbarten Kurs innerhalb der Optionslaufzeit (amerikanische
Option) oder zu
einem vereinbarten Fälligkeitstermin (europäische Option) zu kaufen (Call)
oder zu verkaufen (Put).“
H. E. Büschgen, Das kleine Börsenlexikon, 21., erw. Aufl., Düsseldorf 1998, S. 986 f.
5
Option (1)
•
•
•
•
Long Call = Kaufposition in ein Kaufoption
Long Put = Kaufposition in ein Verkaufoption
Short Call = Verkaufposition in ein Kaufoption
Long Put = Verkaufposition in ein Kaufoption
Optionen, Futures und andere Derivate, Hull, 4. Auflage S.12
Long Call
Long Put
Shot Call
Short Put
6
Optionen
7
Option (1)
Long Call:
C = max ( S – E,0)
Short Call:
C = -max ( S – E,0)
Long Put:
P = max ( E-S, 0)
Short Put:
P = max ( E-S, 0)
C = Wert der Kaufoption bei sofortiger Ausübung
P = Wert der Verkaufsoption bei sofortiger Ausübung
S = Marktpreis des Optionsgut
E = Ausübungspreis des Optionsgut
Peter Reißner, Zur analytischen Bewertung von Zinsoptionen
8
Zinsoptionen
Caps und Floors
Ein Cap ( engl. für Deckel, Kappe) ist die Vertragliche Zusicherung einer Zinsobergrenze
(strike rate) bezogen auf einen vereinbarten nominellen Kapitalbetrag für einen
vorher festgelegten Zeitraum. Übersteigt dabei der Referenzzinssätze zu den
Zinsanpassungstermin die Strike rate, so zahlt der Cap-Verkäufer dem Käufer die
Differenz zwischen Referenzzinssatz und Zinsobergrenze
Ein Floor ist das Gegenstück zu einem Cap, also die vertragliche Vereinbarung einer
Zinsuntergrenze, wodurch die verzinsliche Aktiva gegen mögliche Zinssenkungen
abgesichert werden können. Der Verkäufer garantiert Ausgleichszahlungen, wenn
der Referenzzinssatz die Strike rate unterschreitet.
P. Reißner, Zur analytischen Bewertung von Zinsoptionen
9
Zinsoptionen
Caps und Floors
•
Caps als Absicherung gegen steigende Zinssätze bei Verschuldung zu
variablen Zinssätzen
Caps:
Kann man als Portfolio von Zinsoptionen
verstehen.
Caplet:
Name der einzelnen Zinsoptionen des
Portfolios
Caprate: Der Zinssatz, der nicht überschritten werden
dem abgesichert wird.
•
soll, zu
Floors zur Absicherung gegen fallende Zinssätze bei Geldanlage zu
variablen Zinssätzen
Floors:
Ebenfalls Portfolio von Optionen
Floorlet: Einzelne Zinsoption aus dem Portfolio der
Optionen
Floorrate:
Zinssatz, der nicht unterschritten werden soll
10
Caps als Portfolio aus Zinsoptionen
Auszahlungen aus einem Caplet in der Periode tk+1:
CAPtk+1 = L
δk max(Rk – Rx, 0)
Nominalbetrag:
L
δk = tk+1 – tk für alle tk ( Zinsanpassungstermine) mit k =1,2,…,n
Caprate: Rx
Zinssatz Rk
Zahlenbeispiel:
L= 10 Mio., δk = 0,25, Rx = 8%, Rk = 9%
Caplet = 10.000.000 x 0,25 x max( 0,09 – 0,08, 0)
= 25.000
11
Caps als Portfolio aus Anleiheoptionen
CAPtk+1
L δk
=
Max (Rk – Rx ,0)
1 + Rk δk
Durch einige umformungen ergibt sich folgende Formel:
CAPtk+1
=
max( L -
Zinssätze fallen =>
Zinssätze steigen =>
L δk (1 – Rx )
1 + Rk δk
)
Diskontanleihepreise
steigen
Diskontanleihepreise
fallen
12
Anforderungen an Bewertungsmodelle für ZO
Zinsoptionen im Vergleich zum Aktienoptionen
•
Anleihen haben eine bekannte maximale Laufzeit und
einen bestimmten Rückzahlungskurs.
•
Bei Aktien steigt die Unsicherheit über die zukünftige
Kursentwicklung mit zunehmendem Zeithorizont.
Bei Anleihen steigt die Unsicherheit zuerst an und sinkt
nach der Hälfte der Laufzeit kontinuierlich auf Null wegen des sicheren
Rückzahlungskurses (so genanntes Pull-To-Par-Phänomen).
13
Pull-to-Par
14
Anforderungen an Bewertungsmodelle für ZO
Anforderungen aus den spezifische Eigenschaften von Anleihen
•
Annahmegemäß besteht kein Bonitätsrisiko, so dass
Zinsänderungsrisiko das entscheidende Risiko darstellt.
•
Der Anleihewert besitzt eine zeitabhängige Obergrenze, wenn
negative Zinssätze ausgeschlossen werden.
Diese Obergrenze wird während der Laufzeit nicht überschritten und
entspricht dem Rück-zahlungskurs zuzüglich den noch
ausstehenden Kuponzahlungen.
15
Anforderungen an Bewertungsmodelle für ZO
Generelle Anforderungen an ein Bewertungsmodell (1)
Entwicklung der Bewertungsmodelle
3 Anwendungsbereich
1
Modelle für kurzfristig orientiertes Handeln von OTCund börsengehandelten ZO (Black)
2
Modelle für komplexer, möglicherweise längerlaufende
Optionen
3
Management des gesamten Zinsrisikoposition eines
Intermidiärs
Nur Modelle :
1.
Berücksichtigung der aktuell verfügbaren Markt-information
2.
Konsitente Modellierung der Dynamik der Zinsstrukturkurve
16
Anforderungen an Bewertungsmodelle für ZO
Generelle Anforderungen an ein Bewertungsmodell (2)
•
Die geschätzten Anleihewerte sollten mit den am Markt
beobachteten Anleihekursen übereinstimmen.
•
Das Modell sollte negative Zinssätze vermeiden, da
ansonsten eine negative Rendite zugelassen wird. Diese
Anforderung impliziert gleichzeitig, dass die Kurse eine
bestimmte Obergrenze nicht überschreiten.
•
Das Pull-To-Par Phänomen sollte berücksichtigt werden,
das heißt, dass in dem Modell nicht von einer konstanten
Kursvolatilität ausgegangen werden darf.
17
Generelle Anforderungen an ein Bewertungsmodell (3)
•
In dem Modell ist die sogenannte Mean-Reversion-Eigenschaft von
Zinssätzen zu berücksichtigen.
Unter Mean-Reversion versteht man diejenige
Eigenschaft von Zinssätzen, die darin besteht, dass eine Zugkraft
den Zins in die Richtung seines langfristigen Niveaus zwingt. Durch
Einbeziehung dieser Eigenschaft in das Modell wird eine
verhältnismäßig realistische Abbildung der Zinsentwicklung erzielt.
18
19
Generelle Anforderungen an ein Bewertungsmodell (4)
•
Einfache Handhabbarkeit und eine geringe Anzahl der zu
Parameter sprechen für ein Modell.
schätzenden
Ein Modell mit einem stochastischen Prozeß des
Zinssatzes, der einem Markov-Prozeß folgt, ist einfacherund weniger
aufwendig zu handhaben als ein Modell, in dem kein Markov-Prozeß
angenommen werden kann.
Für den interessierenden zukünftigen Verlauf der Variable braucht nur der
aktuelle Wert herangezogen werden, da alle notwendigen Informationen
aus der Vergangenheit in eben diesem Wert enthalten sind.
20
Generelle Anforderungen an ein Bewertungsmodell (5)
Bei der Bewertung von Aktienoptionen ist es sinnvoll zu unterstellen, dass
die Aktienkursrendite und die alternativ erzielbare Rendite sich
grundsätzlich unabhängig voneinander entwickeln.
Bei der Bewertung von Zinsoptionen müssen
Anleiherendite und die alternativ erzielbare Rendite insoweit miteinander
verträglich sein, daß sie keinen negativen Terminzinssatz für die Zeitspanne
vom Ende der Optionsfrist bis zur Fälligkeit der Anleihe zur Folge haben.
21
Klassifikation der Bewertungsmodelle
Modelle mit partielle Informationen
Black
Faktormodelle
Kursmodelle
(Rendleman/Bartter)
Modelle mit vollständige Information
Inversionsmodelle
(Hull/White)
Modellübersicht Bühler/Uhrig/Walter/Weber 1998 S. 51
Evolutionsmodelle
(Heath/Jarrow/Morton)
22
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen
Gliederung
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
Wertgrenzen von Optionen
Binomialmodelle
Black-Scholes-Modell
Black-Modell
Eignung klassischer Modelle zur Bewertung
Zinsoptionen
Darstellung in Anlehnung an Jurgeit
von
23
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen
Annahmen
• Arbitragefreie Märkte
• Es werden Aktien, Anleihen, sowie europäische und
amerikanische Optionen gehandelt
• Alle Geschäfte in Aktien und Anleihen sind sofort zu
erfüllen
• Es werden keine Steuern, Transaktionskosten,
Informationskosten und keine Kosten finanzieller
Anspannung erhoben
• Finanztitel sind beliebig teilbar
• Es besteht freier Marktzugang für alle Teilnehmer
24
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen
Annahmen (2)
•
•
•
•
Der Staat stellt keine Restriktionen für die Preisbildung
Individuen handeln risikotolerant und nutzenmaximierend
Leerverkäufe sind uneingeschränkt zulässig
Kauf und Verkauf risikofreier Titel können in
unbeschränktem Umfang erfolgen
• Der Anlagezinssatz ist positiv und konstant
• Es wird von nur einer Währung und Geldwertstabilität
ausgegangen
• Keine Ausschüttungen an die Aktionäre
25
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen
Risikoneutrale Welt
f und g seien Preise beliebiger Titel in einer Welt mit der
Risikoprämie λ (λ ≠ 0) und φ sein deren Quotient
(φ = f/g). Es läßt sich mit dem Lemma von Ito zeigen,
dass die Volatilität von g (σg)gleich der Risikoprämie in
Bezug auf das Preisverhältnis φ ist. Wird g nun so
gewählt, dass σg gleich Null ist, so kann eine risikofreie
Welt geschaffen werden.
26
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen
Annahmen (3)
Duplikationsstrategie:
• Optionen können durch eine geeignete Kombination aus
Aktienanteilen und Teilen risikoloser Anleihen
abgebildet werden.
• Portefeuille aus (Kauf-) Optionen, Aktien und risikolosen
Anlagen mit sicherem Entwert Null kann erstellt werden.
• Gegenwärtiger Wert dieses Portefeuilles muss auch Null
betragen (Arbitragemöglichkeiten sind annahmegemäß
ausgeschlossen).
27
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen
Wertebereich einer Kaufoption
• Der Optionswert kann nicht negativ werden
• Er liegt über dem jeweiligen Aktienkurs abzüglich des
diskontierten Basispreises und übersteigt den aktuellen
Aktienkurs nicht
St ≥ Ct ≥ max (0 ; St - Kr-τ)
• nach Ablauf der Optionsfrist:
CT = max {0 ; ST - K}
28
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen
Wertebereich einer Verkaufsoption
• Der Optionswert kann nicht negativ werden
• Er liegt über dem (diskontierten) Basispreis abzüglich
des jeweiligen Aktienkurses und übersteigt den
(diskontierten) Basispreis nicht.
Kr -τ ≥ Pt ≥ max (0 ; Kr -τ - St)
• Nach Ablauf der Optionsfrist:
PT = max {0 ; K - ST}
29
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen
Binomial-Modell: Annahmen (4)
• Alle Marktteilnehmer haben homogene Erwartungen
hinsichtlich des zukünftigen Aktienkursverlaufs, der
einem multiplikativen Binomialprozess mit den
konstanten Parametern u und d folgt. Der Handel von
Finanztiteln erfolgt zu diskreten und äquidistanten
Zeitpunkten.
30
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen
Binomialbaum
•
Ct = { q Cu + ( 1 – q) Cd } / r
mit
und
q = r – d / u –d
1–q=u–r/u–d
31
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen
Herleitung Binomial-Bewertungsformel
Duplikationsstrategie:
0 = Ct – S t h – x t / r
⇔
C t = S t h – xt / r
Cu = u Stht + rxt / r
Cd = d Stht + rxt / r
32
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen
Mehrperiodiges Modell
Eigene Quelle
Ct = St B(g, n, q´) – Kr -n B(g, n, q)
mit q = (r – d)/(u – d)
und q´= qu / r
33
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen
Black-Scholes-Modell
Annahmen:
• Alle Marktteilnehmer haben homogene Erwartungen
hinsichtlich des zukünftigen Aktienkursverlaufs, der
einem Itô-Prozess mit konstanter Standardabweichung
der Aktienrendite pro Periode entspricht. Der Handel von
Finanztiteln erfolgt kontinuierlich.
• Es gelten weiterhin die Annahmen von Folie 24 - 27
34
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen
Black-Scholes-Modell: Herleitung
n⇒∝
Ct = St B (g, n, q´) – Kr - (τ / n)n B (g, n, q)
mit q = (rτ / n – d)/(u – d) und q´= qu / r τ
/n
B( g, n, q) ⇒ N (d2) und B(g, n, q´) ⇒ N (d1)
Ct = St N(d1) – Kr-τ N(d2)
di
− x2
2
1
N(di ) = ∫ (
)e
mit
2π
−∞
St
ln( −τ )
1
Kr
+ σ τ
d1 =
und
2
σ τ
für i = 1, 2
d 2 = d1 − σ τ
35
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen
Beispielrechnung
St = 90
K = 80
r = 1,06
τ=3
σ =0,2
90
ln(
)
3
1
80 ⋅1,06
+ ⋅ 0,2 ⋅ 3 = 0,0086
d1 =
2
0,2 ⋅ 3
d2 = 0,0086 – 0,2 ⋅ 3 = - 0,338
Ct = 90 x N (0,0086) + 80 x 1,06 3 x N (-0,338) = 9,679
36
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen
Ableitung nach einzelnen Faktoren
Einfluss von Aktienkursänderungen:
∂Ct
= N (d1 ) > 0
∂St
Einfluss der Standardabweichung:
∂Ct
'
= St τ N (d1 ) > 0
∂σ
37
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen
Ableitung nach einzelnen Faktoren (2)
Einfluss des Basispreises:
∂Ct
−τ
= −r ⋅ N (d 2 ) < 0
∂K
Einfluss der Restlaufzeit:
∂Ct  Stσ
=
∂τ  2 τ
 '
−τ
N
(
d
)
+
Kr
(ln r ) N (d 2 ) > 0

1

38
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen
Black‘s Modell
• Unterschied zum Black-Scholes-Modell:
Option wird auf Forward-Preis des Underlyings
geschrieben
• Anwendungsbereich:
Optionslaufzeit ist signifikant lang gegenüber der
Bondlaufzeit
39
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen
Eignung zur Bewertung von Zinsoptionen
• Aufgabe: Bewertung von Aktienoptionen
⇒Es werden keine Annahmen über den
Zufallspfad des Zinssatzes gemacht
⇒Zinskurven ähneln den Kursverläufen von
Aktienkursen (→ sehr unrealistisch)
• Klassische Modelle sind die Grundlage der
weiterentwickelten Modelle zur Bewertung von
Zinsoptionen, sind selbst für deren Bewertung aber
ungeeignet.
40
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Einleitung
• Stochastische Prozesse
• Ein-Faktor-Modelle
• Modellbeschreibung
– Zinsbaum berechnen
– Anleihepreise bestimmen
– Optionswerte ermitteln
• Kritik
– Mean Reversion
– Implizite Zinsstrukturkurve
41
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Stochastische Prozess
• Zeitablauf
– Diskret
– Kontinuierlich
• Variablen
– Diskret
– Kontinuierlich
• Markov-Eigenschaft
– Realisation des Prozesses ist in beliebigen Zeitpunkten s und t
unabhängig
– „Kein Gedächtnis“
– Konsistent mit schwacher Informationseffizienz von
Kapitalmärkten
42
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Beispiel für Zeitkontinuierliche Stochastische Prozesse
• Wertänderung Φ(0,1)
– wobei Φ(µ,σ) normalverteilt ist
• Summe von Normalverteilungen
43
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Wiener Prozess
Eigenschaft 1:
Die Veränderung ∆z während einer kurzen Zeitperiode ∆t ist
∆z = ε
∆t
Mittelwert:
∆z = 0
Varianz:
∆z = ∆t
Standardabweichung : ∆z = ∆t
Eigenschaft 2:
Die Werte ∆z für zwei verschiedene kurzfristige Zeitintervalle sind
unabhängig.
z folgt einem Markov-Prozess
44
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Wiener Prozess – Übergang zur stetigen Verteilung
∆t → dt
Quelle: Hull, S. 317
45
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Verallgemeinerung des Wiener Prozesses
Allgemeiner Wiener Prozess:
dx = a dt + b dz
Driftrate:
Variabilität:
dx = a dt
dx = b dz
→ dx/dt = a
→ x =x 0 + a t
Driftrate von a je ZE
Rauschen ist b mal so
hoch wie bei einem
Wiener Prozess
46
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Grafische Darstellung des allgemeinen Wiener Prozesses
Quelle: Hull, S. 320
47
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Einordnung des Rendleman-Bartter-Modells
Modelle mit partielle Informationen
Faktormodelle
Kursmodelle
(Rendleman-Bartter)
Modelle mit vollständige Information
Inversionsmodelle
(Hull/White)
Quelle: Bühler/Uhrig/Walter/Weber 1998, S. 51
Evolutionsmodelle
(Heath/Jarrow/Morton)
48
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Einordnung des Rendleman-Bartter-Modells (2)
Ein-Faktor-Gleichgewichts Modelle:
dr = m(r) dt + s(r) dz → dz = ε ∆t
• Vasicek Modell (1977)
dr = a (b - r) dt + σ dz
• Rendleman/Bartter Modell (1980)
dr = µr dt + σ r dz
• Cox, Ingersoll, and Ross Modell (1985)
dr = a (b - r) dt + σ r dz
49
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Annahmen des Modells
• Wertpapiermarkt ist effizient
– Erwartungswerte für Wertpapiere mit gleichem Risiko sind
identisch
• Risikoneutralität
– Der Erwartungswert der kurzfristigen Zinsentwicklung entspricht
der erwarteten Drift
• Zinssatz verhält sich wie eine Aktie
– Driftrate ist konstant
– Zeitunabhängige und konstante Volatilität
50
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Zinsbaum berechnen
• Werte für µ und σ müssen vorgegeben werden
• Binomialbaum
• Ermittlung der Multiplikatoren u und d:
u=e
σ ∆t
d =e
−σ ∆t
1
⇒d =
u
Beispiel: u=1,2214, d=0,8187
• Man definiert i = Anzahl der Perioden t und j = Anzahl der
Perioden t, in denen r steigt und erhält so:
rij = r ⋅ u j ⋅ d i − j
51
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Zinsbaum [in %]
r32 = 6% ⋅1,2214 2 ⋅ 0,8187 3− 2
r10 = 6% ⋅1,22140 ⋅ 0,81871−0
Eigene Quelle
52
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Bestimmung der Anleihepreise
• Preis der Anleihe zum Rückzahlungszeitpunkt bekannt
• Preise werden aus Folgeperioden zurückgerechnet
Si j = e
− rij ⋅∆t
[ p ⋅ S i +1, j +1 + (1 − p ) ⋅ S i +1, j + Kupon ]
• Rolling-Back-Through-The-Tree-Methode
Eigene Quelle
53
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Bestimmung der Eintrittswahrscheinlichkeiten
• Annahme der risikoneutralen Welt
• Erwartungswert der kurzfristigen Zinsentwicklung muss
der erwarteten Drift entsprechen
Daraus folgt:
e µ ⋅∆t
e µ ⋅∆t − d
= p ⋅ u + (1 − p ) ⋅ d ⇔ p =
u−d
Beispiel:
e 0,1⋅ 1 − 0,8187
p=
= 0,7114 ⇒ (1 − p ) = 0,2886
1,2214 − 0,8187
54
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Anleihepreise [in €]
S 43 = e −0, 089509⋅1[0,7114 ⋅100 + 0,2886 ⋅100]
S 21 = e −0 , 06⋅1[0,7114 ⋅ 85,71 + 0,2886 ⋅ 90,18]
Eigene Quelle
55
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Ermittlung der Optionswerte
In der Periode der Fälligkeit kann der Wert der Option
wie folgt bestimmt werden:
Cij = max[ S ij − Ausübungsp reis ,0]
Für die übrigen Knoten muss wieder die Rolling-BackThrough-The-Tree-Methode angewandt werden:
Cij = e
− rij ⋅∆t
[ p ⋅ Ci +1, j +1 + (1 − p) ⋅ Ci +1, j ]
Cij = max[Sij − Ausübungspreis,
e
− rij ⋅∆t
( p ⋅ Ci +1, j +1 + (1 − p ) ⋅ Ci +1, j )]
56
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Optionswerte [in €]
C32 = max (85,71 – 80, 0)
C10 = e −0 , 041922 [0,7114 ⋅ 6,59 + 0,2886 ⋅10,65]
Eigene Quelle
57
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Kritik – Mean Reversion
• Zinssatz verhält sich nicht wie ein Aktienkurs
– Keine Berücksichtigung von Mean-Reversion
Quelle: Hull, S. 566
58
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Kritik - Zinsstrukturkurven
Zinsstrukturkurve beschreibt die Abhängigkeit der Rendite
festverzinslicher Wertpapiere von der Restlaufzeit der Anleihe zu einem bestimmten Stichtag.
Eigene Quelle
59
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Bestimmung Erwartungswerte des kurzfristigen Zinssatzes
p32 = 0,5061 ⋅ 0,2886 + 0,4106 ⋅ 0,7114
Eigene Quelle
60
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Bestimmung der impliziten Zinskurve
Erwartungswerte des kurzfristigen Zinssatzes:
t
0
1
2
3
4
E(r)
6,0000%
6,6311%
7,3286%
8,0995%
8,9514%
Eigene Quelle
Gegenüberstellung der Zinsstrukturkurven:
t
1
2
3
4
5
R(R-B)
6,0000%
6,3077%
6,6311%
6,9711%
7,3286%
R(Markt)
6,00%
6,50%
7,00%
7,25%
7,50%
Eigene Quelle
61
Rendleman-Bartter-Modell (1980)
Vergleich mit der gegebenen Zinsstrukturkurve
• Zinsstrukturkurve ist ein Input in diesem Modell
• Wird modellendogen bestimmt
Eigene Quelle
62
Hull-White-Modell 1990
Gliederung
• Modellannahmen
• Darstellung des Modells
– Numerische Darstellung
– Analytische Darstellung
• Kritische Würdigung
63
Hull-White-Modell 1990
Modell
• Arbitragefreies Modell, bei dem die aktuelle Zinsstruktur
ein Input ist
• Drift ist eine Funktion der Zeit, d.h. sie ändert sich in jeder
Periode
• Modellfunktion:
dr = a[b − r ]dt + σdz
• a, b und σ sind Konstanten
• r strebt gegen ein konstantes Durchschnittsniveau b mit
der konstanten Driftrate a in jedem Zeitpunkt t zurück.
64
Hull-White-Modell 1990
Beispiel
•
•
•
•
•
•
•
Reversionsgeschwindigkeit a = 0,1
Reversionsniveau b = 0,2
Varianz σ = 0,014
Kurzfristiger Zinssatz r = 6%
Periodenlänge ∆t = 1
Nennwert 100€ , Laufzeit T = 5 Jahre
Optionslaufzeit 3 Jahre, Ausübungspreis 80€
65
Hull-White-Modell 1990
Trinomialbaum
Numerische Berechnung
– Zeitdiskrete Entwicklung des kurzfristigen Zinssatzes
r wird mit einem Trinomialbaum dargestellt.
– Verästelungsmöglichkeiten in einem Trinomialbaum:
j+1
j
j+2
j
j
j+1
j-1
j
j-2
j
j
j-1
a)
k=j
Eigene Quelle
b)
k = j-1
c)
k = j+1
66
Hull-White-Modell 1990
Trinomialbaum (2)
In jedem Knoten verzweigen sich drei Pfeile nach
obigen Verästelungsmuster.
Standard ist Verzweigung a)
Bei zu niedrigem bzw. zu hohem Zins verglichen zu
seinem langfristigen Durchschnittsniveau wird das
Muster b) bzw. c) verwendet
Dieser Ansatz ermöglicht die Berücksichtigung der
Mean Reversion
67
Hull-White-Modell 1990
Zinsbaum Berechnung
• Der Zinssatz an einem Knoten wird mit folgender Formel
berechnet:
r j = r0 + j∆r
• Wobei j, je nach Verästelungsmuster, nur ganzzahlige
Werte von -2 bis +2 annehmen kann.
• Die Wahrscheinlichkeiten kennzeichnen wir als:
pu für den oberen Pfeil
pm für den mittleren Pfeil
pd für den unteren Pfeil
68
Hull-White-Modell 1990
Zinssatzveränderung
Nach Hull und White wird die optimale
Zinssatzveränderung ∆r mit folgender Formel berechnet:
∆r = σ 3∆t
In unserem Beispiel beträgt ∆r:
∆r = 0,014 3 ⋅1 = 0,0242
69
Hull-White-Modell 1990
Driftniveau
Um die zukünftigen Zinssätze rij berechnen zu können
müssen wir wissen in welcher Verästelung wir uns
befinden.
Dazu muss erst die Driftrate berechnet werden:
µi , j = [a (b − rij )∆t ]
Für unser Beispiel ergibt sich:
µ 2,1 = 0,1(0,2 − 0,0843)1 = 0,0116
70
Hull-White-Modell 1990
Verästelungsprozess
• Liegt die Driftrate µ zwischen:
(–r/2 und +r/2) liegt die Verästelung a) vor.
(+r/2 und +3r/2) liegt die Verästelung b) vor.
(3r/2 und -r/2) liegt die Verästelung c) vor.
• Für unser Beispiel ergibt sich:
(-0,012 ; +0,012) für a)
(+0,012 ; +0,036) für b)
(-0,036 ; -0,012) für c)
71
Hull-White-Modell 1990
Verästelungsprozess (2)
• Die Driftrate µ2,1 in unserem Beispiel liegt zwischen
(-0,012 < 0,0116 < 0,012 ), deshalb gilt für diesen Knoten
die Verästelung a).
• Berechnung der Zinssätze je nach Verästelungsmethode
mit
r j = r0 + j∆r
für unser Beispiel ergibt sich:
r3,2 = 0,0842 + 1*0,0242 = 0,1084
72
Hull-White-Modell 1990
Wahrscheinlichkeiten Berechnung
Um die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen
Knoten zu berechnen müssen folgende Annahmen erfüllt
sein:
pj,k-1(k-1)∆r + pj,kk∆r + pj,k+1(k+1)∆r = E(r)
pj,k-1(k-1) 2∆r2 + pj,kk2∆r2 + pj,k+1(k+1) 2∆r2 =σ2∆t + E(r)2
pj,k-1 + pj,k + pj,k+1 = 1
73
Hull-White-Modell 1990
Wahrscheinlichkeiten Berechnung (2)
• Die Wahrscheinlichkeiten können mit folgenden Formeln
berechnet werden:
pu =
σ 2∆t
2∆r 2
pm = 1 −
pd =
mit:
σ 2∆t
2∆r 2
+
η
2
2∆r 2
σ 2∆t
∆r
+
2
η
−
2
2∆r 2
η
+
2∆r
η2
∆r 2
−
η
2∆r
η = µ i , j ∆t + ( j − k ) ∆r
74
Hull-White-Modell 1990
Wahrscheinlichkeiten Berechnung (3)
Für Knoten (2,1) ergeben sich folgende Rechnungen:
η = 0,0116 *1 + (1 − 1)0,0242 = 0,0116
0,014 2 *1
0,0116 2
0,0116
pu =
+
+
= 0,519
2 * 0,0242 2 2 * 0,0242 2 2 * 0,0242
pm
0 , 014 2 * 1 0 , 0116
= 1−
−
0 , 0242 2
0 , 0242
2
2
= 0 , 438
0,014 2 *1
0,0116 2
0,0116
pd =
+
−
= 0,042
2
2
2 * 0,0242
2 * 0,0242
2 * 0,0242
75
Hull-White-Modell 1990
Wahrscheinlichkeitsbaum
Eigene Quelle
76
Hull-White-Modell 1990
Berechnung der Anleihepreise
Bei Fälligkeit ist der Wert der Anleihe gleich der
Höhe der Rückzahlung.
In unserem Bsp.: Fälligkeit T = 5, Wert 100€
Analog zum Rendleman-Bartter Modell werden mit
der Rolling-Back-Through-the-Tree-Methode
ausgehend von der obigen sichern Auszahlung die
Preise der Anleihe in den zurückliegenden Perioden
mit folgender Formel berechnet:
77
Hull-White-Modell 1990
Berechnung der Anleihepreise (2)
S i, j = e
− rij ∆t
[p
k +1
S i +1,k +1 + p k S i +1,k + p k −1 S i +1,k −1 ]
d.h. die Anleihepreise in T-1 werden durch Gewichtung
der Werte in t mit ihren jeweils zugehörigen
Wahrscheinlichkeiten in t-1mit
dem erwarteten
Zinssatz rij diskontiert.
Beispiel für S2,1:
S ( 2,1) = e −0,842 *1[0,519 * 79,768 + 0,4388 * 83,529 + 0,042 * 87,468] = 75,137
78
Hull-White-Modell 1990
Anleihenbaum
Eigene Quelle
79
Hull-White-Modell 1990
Berechnung der Optionswerte
• Berechnung der Optionspreise analog zu RendlemanBartter, mit dem Unterschied wie bei der
Anleihenberechnung, dass hier mit drei Werten
gewichtet wird.
[
Cij = max Sij − K ; e
− rij ∆t
( p j , j −1Ci +1, j -1 + p j , j Ci +1, j + p j , j +1Ci +1, j+1 )
]
• Beispiel für C(2,1):
[
]
C( 2,1) = max 75,137 − 80; e −0,0842*1 (0,519 * 0 + 0,438 * 3,529 + 0,042 * 7,468) = 1,711
80
Hull-White-Modell 1990
Optionsbaum
Eigene Quelle
81
Hull-White-Modell 1990
Analytische Berechnung
• Analytische Berechnung der Anleihenwerte:
−rij*B(t,T)
P(t,T) = A(t,T)e
1 − e − a (T − t )
B (t , T ) =
a
 ( B(t , T ) − T + t )(a 2b − σ 2 / 2) σ 2 B(t , T )2 
−
A(t, T ) = e

2
a
a
4


82
Hull-White-Modell 1990
Berechnung
• Rechnung für Knoten (2,1):
1 − e − 0 ,1 ( 5 − 2 )
B ( 2 ,5 ) =
= 2 , 5918
0 ,1
 (2,5918− 5 + 2)(0,12 * 0,2 − 0,0142 / 2) 0,0142 * 2,59182 
A(2,5) = e
−
 = 0,9223
2
0,1
4 * 0,1


P ( 2,5) = 100 * 0,9223 * e
−0 , 0842 *2 , 5918
= 74 ,14
83
Hull-White-Modell 1990
Anleihenbaum-analytische Berechnung
Eigene Quelle
84
Hull-White-Modell 1990
Optionsbaum
•
Optionswerte werden analog zur numerischen Berechnung ermittelt:
Eigene Quelle
85
Hull-White-Modell 1990
Analytische Berechnung mit bekannter Zinsstrukturkurve
P(3,5) = 100 * 0,9635 * e −0, 07*1,8127 = 84,868
C (3) = max( 0;84,868 − 80 ) = 4,868
C (0) = 4,868 * e −0,07*3 = 3,946
86
Hull-White-Modell 1990
Implizite Zinsstrukturkurve
• Die implizite Zinsstrukturkurve wird ermittelt indem wir
die Wahrscheinlichkeiten an den einzelnen Knoten
bestimmen und anschließend das geometrische Mittel
der Erwartungswerte des kurzfristigen Zinssatzes
ermitteln.
87
Hull-White-Modell 1990
Berechnung der implizite Zinsstrukturkurve
•
Beispiel für die Wahrscheinlichkeit am Knoten (2,1):
Knoten( 2,1) = (0,4579 * 0,4388) + (0,4966 * 0,4880) + (0,0455 * 0,0574) = 0,4458
•
Beispiel für den Erwartungswert des Zinssatzes für Periode 2:
E ( r 2) = (0,26 * 0,1085 ) + (0,4458 * 0,08425 ) + (0,2769 * 0,06) + (0,01729 * 0,03575 ) = 0,083
•
Berechnung der impliziten Zinsstrukturkurve:
Rt =
n
(E (rt ) + 1)* (Rt −1 + 1)
n −1
R1 = (0,083 + 1) * (0,07 + 1)
2
2 −1
= 0,0765
88
Hull-White-Modell 1990
Berechnung der implizite Zinsstrukturkurve (2)
Eigene Quelle
89
Hull-White-Modell 1990
Kritik
• Durch Einführung eines zweiten zeitabhängig
formulierten Parameters ist die gleichzeitige Anpassung
des Modells an die aktuelle Zinsstruktur und an eine
vorgegebene Volatilitätsstruktur möglich
• Berücksichtigt Mean Reversion, da Drift nicht konstant
• Berücksichtigt Pull-to-Par
• Negative Zinsen möglich
90
Hull-White-Modell 1990
Kritik (2)
• Einbeziehung der am Markt beobachteten Werte als
Startwerte und damit endogene Ermittlung der impliziten
Zinsstrukturkurve. Trotzdem stimmt die implizite nicht mit
der beobachtbaren Zinsstrukturkurve über den ganzen
Zeitverlauf überein.
91
Hull-White-Modell 1993
Gliederung
•
•
•
•
Modell
Analytische Berechnung
Numerische Berechnung
Kritik
92
Hull-White-Modell 1993
Modell
Hull-White (1990)
dr = a(b-r)dt +σ dz
Hull-White (1993)
dr = (θ (t) - ar)dt + σ dz
93
Hull-White-Modell 1993
Modell
Hull-White (1990)
dr = a(b-r)dt +σ dz
Hull-White (1993)
dr = (θ (t) - ar)dt + σ dz
dr = a(θ (t)/a - r)dt + σ dz
94
Hull-White-Modell 1993
Modell
Hull-White (1990)
dr = a(b-r)dt +σ dz
Hull-White (1993)
dr = (θ (t) - ar)dt + σ dz
dr = a(θ (t)/a - r)dt + σ dz
95
Hull-White-Modell 1993
Modell
Hull-White (1990)
dr = a(b-r)dt +σ dz
konstantes Durchschnittsniveau
Hull-White (1993)
dr = (θ (t) - ar)dt + σ dz
dr = a(θ (t)/a - r)dt + σ dz
zeitabhängiges Durchschnittsniveau
96
Hull-White-Modell 1993
Modell
Weitere Variablen:
1.
R(t) = der Zinssatz im t für die Periode ∆ t
dR = (θ (t) - aR)dt + σ dz
2.
R*(t)
dR* = -aR*dt + σ dz
97
Hull-White-Modell 1993
Analytische Berechnung
P(t,T) = A(t,T)exp(-r(t)B(t,T))
B (t , T ) = (1 − exp (− a (T − t ) )) / a
ln A(t , T ) = ln
∂ ln P(0, t )
1
P(0, T )
2
− B (t , T )
− 3 σ 2 (exp( − aT ) − exp( −at ) ) (exp( 2at ) − 1)
P(0, t )
∂t
4a
=> 100P(3,5) = 100*0,9749*exp(-0,07*1,8127) =
85,8745€
=> C(3) = 85,8745 - 80 = 5,8745€
=> C(0) = 5,8745*exp(-0,07*3) = 4,7618€
98
Hull-White-Modell 1993
Numerische Berechnung
2 Schritte:
1.
Zinsbaum für R*
2.
Zinsbaum für R
99
Hull-White-Modell 1993
Trinomialbaum
1.
1
2
3
4
t
5
100
Hull-White-Modell 1993
Trinomialbaum
1.
R*
2∆ R
∆R
0
-∆ R
-2∆
R
1
2
3
4
t
5
101
Hull-White-Modell 1993
Trinomialbaum
R*
2∆ R
1.
∆R = σ 3∆t
∆R
0
-∆ R
-2∆
R
1
2
3
4
t
5
102
Hull-White-Modell 1993
Trinomialbaum
R*
2∆ R
1.
∆R = σ 3∆t
∆R = 0,014 * 3
∆R
0
-∆ R
-2∆
R
1
2
3
4
t
5
103
Hull-White-Modell 1993
Trinomialbaum
R*
2∆ R
1.
∆R = σ 3∆t
∆R = 0,014 * 3
∆R
∆R = 2,42%
0
-∆ R
-2∆
R
1
2
3
4
t
5
104
Hull-White-Modell 1993
Trinomialbaum
R*
1.
(2,2)
2∆ R
∆R
0
-∆ R
-2∆
R
1
2
3
4
t
5
105
Hull-White-Modell 1993
Trinomialbaum
R*
1.
(2,2)
2∆ R
∆R
0
(3,-1)
-∆ R
-2∆
R
1
2
3
4
t
5
106
Hull-White-Modell 1993
Trinomialbaum
R*
1.
(2,2)
2∆ R
(1,1)
∆R
0
(1,0)
(2,1)
(2,0)
(3,2)
(3,1)
(3,0)
(4,2)
(5,2)
(4,1)
(5,1)
(4,0)
(5,0)
(0,0)
(1,-1)
-∆ R
-2∆
R
(2,-1)
(2,-2)
1
2
(3,-1)
(3,-2)
3
(4,-1)
(4,-2)
4
(5,-1)
(5,-2)
t
5
107
Hull-White-Modell 1993
Verzweigung
R*
1.
(2,2)
2∆ R
(1,1)
∆R
0
(1,0)
(2,1)
(2,0)
(3,2)
(3,1)
(3,0)
(4,2)
(5,2)
(4,1)
(5,1)
(4,0)
(5,0)
(0,0)
(1,-1)
-∆ R
-2∆
R
(2,-1)
(2,-2)
1
2
(3,-1)
(3,-2)
3
(4,-1)
(4,-2)
4
(5,-1)
(5,-2)
t
5
108
Hull-White-Modell 1993
Verzweigung
R*
1.
(2,2)
2∆ R
(1,1)
∆R
0
(1,0)
(2,1)
(2,0)
(3,2)
(3,1)
(3,0)
(4,2)
(5,2)
(4,1)
(5,1)
(4,0)
(5,0)
(0,0)
(1,-1)
-∆ R
-2∆
R
(2,-1)
(2,-2)
1
2
(3,-1)
(3,-2)
3
(4,-1)
(4,-2)
4
(5,-1)
(5,-2)
t
5
109
Hull-White-Modell 1993
Verzweigung
1.
R*
(2,2)
2∆ R
(1,1)
∆R
0
(2,1)
(3,2)
(3,1)
(4,2)
(4,1)
(5,2)
jmax ist der
kleinste
(5,1)
ganze Zahl größer
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(0,0)
(1,-1)
-∆ R
-2∆
R
(2,-1)
(2,-2)
1
2
(3,-1)
(3,-2)
3
(4,-1)
(4,-2)
4
(5,0)
als 0,184/(a∆t)
(5,-1)
(5,-2)
t
5
110
Hull-White-Modell 1993
Verzweigung
R*
1.
(2,2)
2∆ R
(1,1)
∆R
0
(1,0)
(2,1)
(2,0)
(3,2)
(3,1)
(3,0)
(4,2)
(5,2)
(4,1)
jmax =(5,1)2
(4,0)
(5,0)
(0,0)
(1,-1)
-∆ R
-2∆
R
(2,-1)
(2,-2)
1
2
(3,-1)
(3,-2)
3
(4,-1)
(4,-2)
4
(5,-1)
(5,-2)
t
5
111
Hull-White-Modell 1993
Verzweigung
R*
1.
(2,2)
2∆ R
(1,1)
∆R
0
(1,0)
(2,1)
(2,0)
(3,2)
(3,1)
(3,0)
(4,2)
(5,2)
(4,1)
jmax =(5,1)2
(4,0)
(5,0)
(0,0)
(1,-1)
-∆ R
(2,-1)
(3,-1)
(4,-1)
(5,-1)
jmin = -2
-2∆
R
(2,-2)
1
2
(3,-2)
3
(4,-2)
4
(5,-2)
t
5
112
Hull-White-Modell 1993
Verzweigung
1.
(2,2)
(1,1)
(1,0)
(2,1)
(2,0)
(3,2)
(3,1)
(3,0)
(4,2)
(5,2)
(4,1)
(5,1)
(4,0)
(5,0)
(0,0)
(1,-1)
(2,-1)
(2,-2)
(3,-1)
(3,-2)
(4,-1)
(4,-2)
(5,-1)
(5,-2)
113
Hull-White-Modell 1993
Wahrscheinlichkeiten Berechnung
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
1.
(1,1)
(1,0)
(2,1)
(2,0)
(0,0)
(1,-1)
(2,-1)
(2,-2)
dR* = -adR*dt
+ σ dz
(3,1)
(4,1)
(4,0)
(3,0)
(5,1)
(5,0)
 E [∆R *] = −aR * ∆t

2
(3,-1)
])2 = σ 2 ∆t
*] = E ∆R *(4,-1)
− (E [∆R *(5,-1)
Var[∆R
p + p + p =1
u
m
 o
[
(3,-2)
]
(4,-2)
(5,-2)
114
Hull-White-Modell 1993
Wahrscheinlichkeiten Berechnung
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
1.
(1,1)
(1,0)
(2,1)
(2,0)
(0,0)
(1,-1)
(2,-1)
(2,-2)
dR* = -adR*dt
+ σ dz
(3,1)
(4,1)
(4,0)
(3,0)
(5,1)
(5,0)
 E [∆R *] = −aR * ∆t

2
(3,-1)
])2 = σ 2 ∆t
*] = E ∆R *(4,-1)
− (E [∆R *(5,-1)
Var[∆R
p + p + p =1
u
m
 o
[
(3,-2)
]
(4,-2)
(5,-2)
E[∆R*] = po∆R + pm*0 + pu(-∆R)
= po∆R - pu∆R
115
Hull-White-Modell 1993
Wahrscheinlichkeiten Berechnung
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
1.
(1,1)
(1,0)
(2,1)
(2,0)
(0,0)
(1,-1)
(2,-1)
(2,-2)
∆R∆t
 po ∆R(3,1)− pu ∆R = − aj(4,1)
(5,1)

2
2
2
2
 po ∆R + pu ∆R − (aj∆R∆t ) = σ ∆t
 p + p + p = 1 (4,0)
(5,0)
u
m
 o (3,0)
(3,-1)
(4,-1)

1 a 2 j 2 ∆t 2 − aj∆t
 po = 6 +
2

2

⇔  pm = − a 2 j 2 ∆t 2
(4,-2)
 (3,-2) 3

1 a 2 j 2 ∆t 2 + aj∆t
 pu = 6 +
2

(5,-1)
(5,-2)
116
Hull-White-Modell 1993
Wahrscheinlichkeiten Berechnung
1.

1 a 2 j 2 ∆t 2 − aj∆t
=
p
 o 6+
2

2

2 2
2
 pm = − a j ∆t
3


1 a 2 j 2 ∆t 2 + aj∆t
=
p
 u 6+
2


1 a 2 j 2 ∆t 2 + aj∆t
=
p
 o 6+
2

1

2 2
2
 pm = − − a j ∆t − 2aj∆t
3


7 a 2 j 2 ∆t 2 + 3aj∆t
=
p
 u 6+
2


7 a 2 j 2 ∆t 2 − 3aj∆t
=
p
 o 6+
2

1

2 2
2
 pm = − − a j ∆t + 2aj∆t
3


1 a 2 j 2 ∆t 2 − aj∆t
=
p
 u 6+
2

117
Hull-White-Modell 1993
Wahrscheinlichkeiten Berechnung
1.
(2,2)
(1,1)
(1,0)
(2,1)
(2,0)
(3,2)
(3,1)
(3,0)
(4,2)
(5,2)
poa0,8867
pma0,0266
pua0,0867
(4,1)
(5,1)
poa0,1217
pma0,6566
pua0,2217
(4,0)
(5,0)
(0,0)
(1,-1)
(2,-1)
(2,-2)
(3,-1)
(3,-2)
(4,-1)
(4,-2)
(5,-1)
(5,-2)
poa0,1667
pma0,6666
pua0,1667
poa0,2217
pma0,6566
pua0,1217
poa0,0867
pma0,0266
pua0,8867
118
Hull-White-Modell 1993
Trinomialbaum
Zinsbaum für R* => Zinsbaum für R
(2,2)
(1,1)
(1,0)
(2,1)
(2,0)
2.
(3,2)
(3,1)
(3,0)
(4,2)
(5,2)
poa0,8867
pma0,0266
pua0,0867
(4,1)
(5,1)
poa0,1217
pma0,6566
pua0,2217
(4,0)
(5,0)
(0,0)
(1,-1)
(2,-1)
(2,-2)
(3,-1)
(3,-2)
(4,-1)
(4,-2)
(5,-1)
(5,-2)
poa0,1667
pma0,6666
pua0,1667
poa0,2217
pma0,6566
pua0,1217
poa0,0867
pma0,0266
pua0,8867
119
Hull-White-Modell 1993
Trinomialbaum
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
2.
2.
R(1)=6,5%
(1,1)
R(0)=6%
(1,0)
(0,0)
poa0,1667
pma0,6666
pua0,1667
(1,-1)
(2,1)
(2,0)
Wir bestimmen
R(1,1), (4,1)
R(1,0) und R(1,-1)
(3,1)
(5,1)
(3,0)
(4,0)
(5,0)
Q(i,j) = der Wert im t=0 einer Nullkuponanleihe
mit dem Nennwert
1€, die im Knoten (i,j) fällig ist.
(3,-1)
(2,-1)
(2,-2)
(4,-1)
(5,-1)
Q(1,1) = 0,1667*exp(-0,06) = 0,157€
Q(1,0) = 0,666*exp(-0,06) = 0,6278€
(5,-2)
(4,-2)
Q(1,-1)(3,-2)
= 0,1667*exp(-0,06)
= 0,157€
120
Hull-White-Modell 1993
Trinomialbaum
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
poa0,8867
pma0,0266
pua0,0867
(5,1)
poa0,1217
pma0,6566
pua0,2217
α (i) = die Differenz zw. R und R*im t=i
R(1)=6,5%
(1,1)
R(0,0)=6%
(1,0)
(2,1)
(2,0)
(0,0)
poa0,1667
pma0,6666
pua0,1667
(1,-1)
(2,-1)
(4,1)
=> R(1,j)(3,1)= α (1) + R*(1,j)
(3,0)
R(1,1)
(4,0)
(3,-1)
Q(2,j) = Q(1,1)exp(-α
(1)-R*(1,1))
+
(4,-1)
Q(1,0)exp(-α (1)-R*(1,0))
(2,-2)
+ Q(1,-1)exp(-α
(1)-R*(1,-1))
(3,-2)
(4,-2)
(5,0)
(5,-1)
2.
poa0,1667
pma0,6666
pua0,1667
poa0,2217
pma0,6566
pua0,1217
R(1,0)
(5,-2)
poa0,0867
pma0,0266
pua0,8867
R(1,-1)
121
Hull-White-Modell 1993
Trinomialbaum
(2,2)
R(0,0)=6%
(3,2)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
=
(1,0)
(4,2)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
poa0,8867
pma0,0266
pua0,0867
(5,1)
poa0,1217
pma0,6566
pua0,2217
(5,0)
(0,0)
poa0,1667
pma0,6666
pua0,1667
(1,-1)
(2,-1)
(3,-1)
Q(2,j) = Q(1,1)exp(-α
(1)-R*(1,1))
+
(4,-1)
(5,-1)
Q(1,0)exp(-α (1)-R*(1,0))
(2,-2)
+ Q(1,-1)exp(-α
(1)-R*(1,-1))
(3,-2)
(4,-2)
2.
(5,2)
Q(2,j) = exp(-2R(1))
R(1)=6,5%
(1,1)
Wert am Markt
(5,-2)
poa0,1667
pma0,6666
pua0,1667
poa0,2217
pma0,6566
pua0,1217
poa0,0867
pma0,0266
pua0,8867
Wert im Zinsbaum
122
Hull-White-Modell 1993
Trinomialbaum
(2,2)
R(0,0)=6%
(3,2)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
=
(1,0)
(4,2)
(2,0)
(3,0)
poa0,8867
pma0,0266
pua0,0867
(5,1)
poa0,1217
pma0,6566
pua0,2217
=> α (1) = 0,0701
(4,0)
(5,0)
(0,0)
poa0,1667
pma0,6666
pua0,1667
(1,-1)
(2,-1)
(3,-1)
Q(2,j) = Q(1,1)exp(-α
(1)-R*(1,1))
+
(4,-1)
(5,-1)
Q(1,0)exp(-α (1)-R*(1,0))
(2,-2)
+ Q(1,-1)exp(-α
(1)-R*(1,-1))
(3,-2)
(4,-2)
2.
(5,2)
Q(2,j) = exp(-2R(1))
R(1)=6,5%
(1,1)
Wert am Markt
(5,-2)
poa0,1667
pma0,6666
pua0,1667
poa0,2217
pma0,6566
pua0,1217
poa0,0867
pma0,0266
pua0,8867
Wert im Zinsbaum
123
Hull-White-Modell 1993
Trinomialbaum
(2,2)
(3,2)
(5,2)
poa0,8867
pma0,0266
pua0,0867
(4,1)
(5,1)
poa0,1217
pma0,6566
pua0,2217
R(1)=6,5%
(1,1)
R(0,0)=6%
(2,1)
(3,1)
=> α (1) = 0,0701 =>
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0)
(0,0)
poa0,1667
pma0,6666
pua0,1667
2.
(4,2)
(1,-1)
R(1,1) = 0,0701 + 0,0242 = 0,0943
(2,-1)
(3,-1)
(4,-1)
(5,-1)
R(1,0) = 0,0701 + 0 = 0,0701
R(1,-1) = 0,0701 - 0,0242 = 0,0458
(2,-2)
(3,-2)
(4,-2)
(5,-2)
poa0,1667
pma0,6666
pua0,1667
poa0,2217
pma0,6566
pua0,1217
poa0,0867
pma0,0266
pua0,8867
124
Hull-White-Modell 1993
Trinomialbaum
(0,0)
0,06
68,729
3,97927
(2,2)
0,12885
68,509
0,37283
(3,2)
0,12922
77,188
0
(4,2)
0,13466
87,402
(5,2)
(1,1)
0,09435
67,062
1,75599
(2,1)
0,1046
73,162
1,41531
(3,1)
0,10497
80,827
0,827
(4,1)
0,11041
89,547
(5,1)
(1,0)
0,0701
72,894
4,11003
(2,0)
0,08035
78,131
4,3082
(3,0)
0,08072
84,639
4,639
(4,0)
0,08616
91,745
(5,0)
(1,-1)
0,04585
79,234
7,15591
(2,-1)
0,05611
83,438
7,80271
(3,-1)
0,05647
88,629
8,629
(4,-1)
0,06191
93,997
(5,-1)
(2,-2)
0,03186
89,104
11,6127
(3,-2)
0,03222
92,808
12,808
(4,-2)
0,03766
96,304
(5,-2)
100
100
100
100
100
2.
0,88667
0,02667
0,08667
0,12167
0,65667
0,22167
0,16667
0,66667
0,16667
0,22167
0,65667
0,12167
0,08667
0,02667
0,88667
125
Hull-White-Modell 1993
Trinomialbaum
(2,2)
0,12885
68,509
0,37283
(3,2)
0,12922
77,188
0
(4,2)
0,13466
87,402
(5,2)
(1,1)
0,09435
67,062
1,75599
(2,1)
0,1046
73,162
1,41531
(3,1)
0,10497
80,827
0,827
(4,1)
0,11041
89,547
(5,1)
(1,0)
0,0701
72,894
4,11003
(2,0)
0,08035
78,131
4,3082
(3,0)
0,08072
84,639
4,639
(4,0)
0,08616
91,745
(5,0)
(1,-1)
0,04585
79,234
7,15591
(2,-1)
0,05611
83,438
7,80271
(3,-1)
0,05647
88,629
8,629
(4,-1)
0,06191
93,997
(5,-1)
(2,-2)
0,03186
89,104
11,6127
(3,-2)
0,03222
92,808
12,808
(4,-2)
0,03766
96,304
(5,-2)
(i,j)
R(i,j)
S(i,j)
C(i,j)
(0,0)
0,06
68,729
3,97927
100
100
100
100
100
0,88667
0,02667
0,08667
2.
0,12167
0,65667
0,22167
0,16667
0,66667
0,16667
0,22167
0,65667
0,12167
0,08667
0,02667
0,88667
126
Hull-White-Modell 1993
Kritik
+ die implizite Zinsstrukturkurve stimmt mit der Zinsstrukturkurve am
Markt per Definition überein
+ Mean Reversion
+ konsistentes Verfahren zur Bildung von Trinomialbäumen
dr = (θ (t) - af(r))dt + σ dz
f(r) = r
oder
f(r) = ln(r)
+ analytisch handhabbar
- analytisch nicht handhabbar
- negative Zinssätze möglich
+ nur positive Zinssätze
- Schätzung der Volatilität und der Driftrate
127
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell
Gliederung
• HJM
– Grundidee
– Spezifikation
– Bewertung
• Zusammenfassung
– Bewertung der Modelle
– Bühler Studie
– Bedeutung für den Jahresabschluss
128
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell
Einordnung
Modelle mit partieller Information
Faktormodelle
Rendleman/Bartter
Kursmodelle
Modelle mit vollständiger Information
Inversionsmodelle
Hull/White
Evolutionsmodelle
Heath/Jarrow/Morton
Modellübersicht
129
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell
Inversions- vs. Evolutionsmodell
• Inversionsmodelle: Modellierung der/des bestimmenden
Faktoren/s durch Differentialgleichung; durch Lösen
unter Nebenbedingungen einer ähnlichen
Differentialgleichung erhält man z.B. aktuelle
Zinsstrukturkurve oder Werte von Zinsinstrumenten
• Evolutionsmodelle: Modellierung der aktuellen
Zinsstrukturkurve; Ableitung der Werte der
Zinsinstrumente aus dieser
130
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell
Grundidee
• Modellierung der Zinsstrukturkurve durch
Modellierung der stetigen Terminzinssätze
df (t , T ) = α (t , T ,⋅) dt + ∑ σ i (t , T , f ) dz i
(1)
i
• Modellierung von Nullkuponanleihen
dP (t , T ) = r (t ) P (t , T ) dt + v (t , T , P (t , T )) dz
(2)
• Äquivalenz beider Ansätze
∂ξ
∂ξ ∂P
∂ξ
∂ξ ∂P
df(t,T) =ξ[( )P + ( )T ]dt +[( )P + ( )T ]dz (3)
∂T
∂P ∂T
∂T
∂P ∂T
mit
ξ (t , T , P ) =
v(t , T , P)
P (t , T )
131
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell
Folgerungen aus den Formeln
T
• Aus
df (t , T ) = [∑σ i (t , T , f ) ∫ σ i (t , s, f )ds] + ∑σ i (t , T , f )dzi
i
i
t
folgt, dass es sich um eine Klasse von Modellen handelt.
• Die Wahl der Volatilitätsfunktion bestimmt das konkrete
Modell.
• Bsp. Ein-Faktor
σ (t , T , f ) = σ
Absolut (Ho/Lee)
σ (t , T , f ) = σ f
Wurzel
σ (t , T , f ) = σf
Proportional
132
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell
Konsequenz der Nicht-Markov-Eigenschaft
• Aus
r (t ) = f (t , t )
folgt durch Umformungen, dass
r (t )
nicht unabhängig von seiner Vergangenheit ist, sprich
nicht die Markov-Eigenschaft besitzt.
• Folge: Nicht-rekombinierende Bäume bei der
Implementation, Grenze der Rechenleistung von
Computern (heutzutage) schnell erreicht
133
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell
„bushy tree“
Nicht-rekombinierender Binomialbaum
134
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell
Lösungsmöglichkeit
• Abstellen auf Monte-Carlo-Simulation
• Vorgehen:
– Schätzen des Zinsprozesses
– Generierung von Pfadstichproben mit Hilfe des Zinsprozesses
– Ableitung der Derivatpreise aus den Pfaden
135
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell
Folgerungen aus den Formeln
T
• Aus
df (t , T ) = [∑σ i (t , T , f ) ∫ σ i (t , s, f )ds] + ∑σ i (t , T , f )dzi
i
i
t
folgt, dass es sich um eine Klasse von Modellen handelt.
• Die Wahl der Volatilitätsfunktion bestimmt das konkrete
Modell.
• Bsp. Ein-Faktor
σ (t , T , f ) = σ
Absolut (Ho/Lee)
σ (t , T , f ) = σ f
Wurzel
σ (t , T , f ) = σf
Proportional
136
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell
Analytische Lösung bei der Ho/Lee-Spezifikation
• Durch Lösen der Differentialgleichung unter
Nebenbedingungen folgt für eine Kaufoption:
CT = LP(0, s) N (h) − KP(0, T ) N (h − σ P )
h=
1
σP
ln
LP(0, s) σ P
+
P(0, T ) K
2
σ P = σ (s − T ) T
• Diese Formel entspricht im Wesentlichen der BlackFormel.
137
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell
Beurteilung der Spezifikation
Vorteil:
• Analytische Lösung möglich
• Einfache Anwendung
Nachteil:
• Keine Mean-Reverting-Eigenschaft
• Volatilität der Prozesse konstant; im Wesentlichen entspricht
dies Black
138
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell
Beurteilung des HJM-Ansatzes
• Vorteile:
– Wahlmöglichkeit der Spezifizierung
– Leichte Erweiterbarkeit auf Mehrfaktoransätze
– Konsistent mit der am Markt beobachtbaren
Zinsstrukturkurve
• Nachteile:
– Probleme bei der Bestimmung des Zinsprozesses
– Nicht-rekombinierende Baumdiagramme („bushy
trees“) und damit verbundene Rechenprobleme
– Anwendungsprobleme der Monte-Carlo-Methode bei
amerikanischen Optionen und sog. „exotischen“
Optionen
139
Zusammenfassung
Modellübersicht
Modell
Voraussetzungen
Modellierter
Faktor*
Black
Effizienter Markt,
Gleichgewichtsmodell
Kurzfristiger
Zinssatz
dr = µrdt + σrdz
Rendelman/B
artter
Effizienter Markt,
Gleichgewichtsmodell
Kurzfristiger
Zinssatz
dr = µrdt + σrdz
Hull/White I
Effizienter Markt,
Arbitragelosigkeit-Modell
Kurzfristiger
Zinssatz
Hull/White II
Effizienter Markt,
Arbitragelosigkeit-Modell
Kurzfristiger
Zinssatz, Spread
zum langfristigen
Zinssatz
Effizienter Markt,
Arbitragelosigkeit-Modell
Terminzinssätze
Heath/Jarrow/
Morton
Gleichung
dr = a[b − r ]dt + σdz
dr = (θ (t) - ar)dt + σ dz
df (t,T ) = α(t,T ,⋅)dt + ∑ σ i (t,T , f )dzi
i
* Die Faktoren werden risikopräferenzfrei modelliert
140
Zusammenfassung
Rechenergebnisse
Modell
analytisch
numerisch
Black
9,86
--------------------
Rendleman/Bartter
--------------------
3,86
Hull/White I
3,94
2,04
Hull/White II
4,76
3,98
HJM (Ho/Lee)
Entspricht Black
--------------------
Anmerkung: Numerische Methoden werden gewöhnlich nur dann benutzt,
wenn analytische nicht zur Verfügung stehen.
141
Zusammenfassung
Vorteile vs. Nachteile
Modell
Vorteile
Nachteile
Black
Analytische Lösung, Einfache
Handhabbarkeit
Konstante Volatilität, Keine Mean-RevertingEigenschaft, Zinsstrukturkurve ist endogen
Rendleman/Bartter
Umsetzung der Binomialbäume
Einfache Handhabbarkeit
Konstante Volatilität, Zinsverlauf gleicht Verlauf
einer Aktie, Keine Mean-Reverting-Eigenschaft,
Zinsstrukturkurve ist endogen
Hull/White I
Mean-Reverting-Eigenschaft
Negative Zinssätze, Zinsstrukturkurve ist
endogen
Hull/White II
Bessere Übereinstimmung mit
Marktzinssätzen als Hull/White I
Negative Zinssätze, Zinsstrukturkurve ist
endogen
Heath/Jarrow/Morton
(Ho/Lee)
Konsistenz zur Marktsituation,
Erweiterbarkeit auf mehrere Faktoren
„bushy trees“, Komplexe Bestimmung des
Zinsprozesses
142
Zusammenfassung
Vergleich der impliziten Zinsstrukturen
Implizite Zinsstrukturkurven
Anmerkung: HJM-Modelle stimmen per Konstruktion mit
der realen Zinsstrukturkurve überein.
143
Zusammenfassung
Generelle Probleme
• Inversionsmodelle modellieren die Zinsstrukturkurve
endogen, Nachkalibrieren nötig
• Qualität der Evolutionsmodelle hängt von Wahl der
Volatilitätsfunktion ab, Spezifikation oft schwierig
• Gleichgewichts- oder Nicht-Arbitrageannahme für Markt
gerechtfertigt?
• Welcher Zinssatz soll modelliert werden?
144
Zusammenfassung
Empirische Untersuchung
Nach: U. Bühler/M. Uhrig/U. Walter/T. Weber, „Erfahrungen
bei dem Einsatz von Modellen zur Bewertung von Zinsoptionen
– eine empirische Studie“, in: Credit Risk und Value-at-Risk
Alternativen. 1998, S. 155-198.
• Es gibt 3 Hauptprobleme:
– Bestimmung der aktuellen Zinsstrukturkurve
– Modellierung des Übergangsverhaltens
– Bewertung der Option mit numerischen Methoden
• Bei all diesen entstehen Probleme durch
Schätzungen u.Ä.
145
Zusammenfassung
Ergebnis der Bühler-Studie
• Untersuchung von 7 HJM-Spezifikationen und 3
Inversionsmethoden
• Ranking:
ModellKlasse
Modell
Schätzung
Anpassung
Bewertung
Emp.
Qualität
Evolutionsm
odelle
1-Faktor-HJM
4
1
4
3
2-Faktor-HJM
5
1
5
5
Inversionsm
odelle
Short-Rate
2
5
1
4
Long-Rate und Spread
1
3
3
1
Short-Rate und Volatility
3
4
2
2
Ranking der Modelle
146
Zusammenfassung
Einbettung in den Gesamtkontext
• IAS 32/39 fordert Bewertung von Finanztitel zum
Marktpreis oder beizulegendem Zeitwert
• Anerkannte Verfahren sind u.a.
Optionsbewertungsmethoden
• Sicherung des Vermögens/ Zinsrisikomanagement mit
Hilfe von Optionen
147
Zusammenfassung
Bedeutung für den JAB
• Der durch IAS geforderte Zeitwert fällt unterschiedlich
aus.
• Durch Wahl des Modells kann Über- bzw.
Unterbewertung bewusst genutzt werden.
• Bessere Informationsversorgung von (zukünftigen)
Anlegern bleibt fraglich.
• Ebenfalls offen bleibt, ob die Absicherungsinstrumente
bei einer Maximalbelastung nicht auch versagen.
148