Versuch AMP07 Computertomographie

Modul:
Praktikum:
Prof. Dr. K. Zink
Angewandte Medizinische Physik
Computertomographie
Version: 18. 12. 2003
Versuch AMP07
Computertomographie
Inhaltsverzeichnis
1.
Einleitung
2.
Prinzip der Computertomographie
2.1. Radon Transformation
2.2. Fourier-Scheiben-Theorem
2.3. Gefilterte Rückprojektion
2.4. Filterung der Projektionen
2.5. Modifikation des Filterkerns
2.6. Iterative Rekonstruktionsalgorithmen
2.7. Hounsfield-Skala
3.
Gerätetechnik
4.
Literatur
Achtung:
Das Kapitel 3 Gerätetechnik ist nicht Teil des vorliegenden Skripts. Es entspricht dem Kapitel
2 "Technische Konzepte" des Buchs "Computertomographie" von W. A. Kalender (siehe Bibliothek)
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1.
Angewandte Medizinische Physik
Computertomographie
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Einleitung
Herkömmliche Röntgenaufnahmen stellen Projektionsaufnahmen dar, in denen sich jeder einzelne Punkt des
Röntgenbildes aus der Summe aller Schwächungskoeffizienten entlang des Weges des Röntgenstrahls im
Objekt ergibt (Abb. 1). Hintereinander liegende Objekte werden übereinander dargestellt, geringe Unterschiede des Schwächungsvermögens etwa von Weichteilgewebe innerhalb des Körpers kommen gewöhnlich
kaum zur Geltung. Der Wunsch bzw. die Vision, „in den Körper hineinschauen zu können“, also Schnittbilder
des Patienten anfertigen zu können, sind nahezu so alt wie die Röntgendiagnostik selbst. Mit der Entwicklung der Röntgen-Computertomographie hat sich diese Vision erfüllt, das CT-Bild zeigt die räumliche Verteilung der Schwächungskoeffizienten µ (x,y) innerhalb des Objektes (Abb. 2), stellt also einen Schnitt durch
das Objekt bzw. den Patienten dar. Üblicherweise liegen die Schnittebenen in transversaler Richtung des
Körpers, im Prinzip sind mit modernen CT-Geräten aber auch beliebige Orientierungen der Schnittebenen
möglich.
Das Problem, aus Projektionen eines Objektes auf das Objekts selbst zu schließen, tauchte zuerst in der Radioastronomie auf, als man ab etwa 1950 dazu überging, die Auflösung eines Teleskops statt durch immer
größere Spiegel durch eine Kopplung vieler Teleskope zu erhöhen. Dies führte mathematisch zum gleichen
Problem wie die etwa 1960 einsetzenden Versuche, aus einer Serie von herkömmlichen Röntgenbildern aus
verschiedenen Richtungen das durchstrahlte Organ zu rekonstruieren.
Abbildung 1: Herkömmliche Röntgenaufnahme. Auf dem Weg des Röntgenstrahles (Pfeil) durch das Objekt wird die
Intensität gemäß dem Schwächungsgesetz vermindert. Das daraus resultierende
Detektorsignal P entspricht der Summe
der entlang des Weges aufsummierten
lokalen Schwächungskoeffizienten µi
(gilt für monochromatische Röntgenstrahlung) (aus [1])
Abbildung 2: Röntgen-ComputertomographieAufnahme („Schnittbild“) im Bereich des Schädels.
Die oberen Bilder stammen von einem der ersten CTScanner aus dem Jahr 1974, die Auflösung des transversalen Schnittes beträgt 80x80 Pixel. Das Schnittbild entspricht im Prinzip der zweidimensionalen
Verteilung des Schwächungskoeffizienten µ = µ(x,y).
Im unteren Teil sind Aufnahmen eines modernen
Spiral-CT wiedergegeben, die Auflösung des transversalen Schnittes beträgt 1024x1024 Pixel. Die gezeigten axialen Schnitte sind jeweils aus den transversalen Schnitten berechnet (aus [1])
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Die Frage, ob und wie es möglich ist, aus einer Vielzahl von Projektionsaufnahmen eines Objektes auf das
Objekt selbst zu schließen, also bezogen auf die Röntgendiagnostik die räumliche Verteilung µ(x,y) des
Schwächungskoeffizienten zu berechnen, ist bereits im Jahre 1917 von dem Mathematiker Johann Radon
beantwortet worden. In seiner Arbeit „Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte entlang gewisser Mannigfaltigkeiten“ hat er das theoretische Konzept der CT bereits erarbeitet. Die Arbeit geriet allerdings außerhalb der Mathematik lange Zeit in Vergessenheit. Ohne Kenntnis der Arbeit von Radon
entwickelte Cormack in den Jahren 1957 bis 1963 eine Methode, zur Berechnung der Absorptionsverteilung
im menschlichen Körper aus Röntgen-Transmissionsmessungen. Die Umsetzung dieses Verfahrens und die
Entwicklung des ersten CT gelang dem englischen Ingenieur Hounsfield im Jahre 1972. Historisch interessant dabei ist, dass Hounsfield diese Entwicklung nicht bei einer etablierten Röntgen-Herstellerfirma durchgeführt hat, sondern bei der Firma EMI, die bis dahin lediglich Schallplatten und elektronische Bauelemente
hergestellt hatte. Für die Entwicklung des ersten funktionstüchtigen CT’s sowie für die grundlegenden theoretischen Arbeiten die zu seiner Entwicklung führten, erhielten Hounsfield und Cormack im Jahre 1979 den
Nobelpreis für Medizin.
Das Aufnahmeprinzip der Computertomographie ist in Abbildung 3 dargestellt. Mittels eines fein kollimierten Röntgenstrahls werden Projektionsaufnahmen einer Schicht des Objektes aufgenommen. Zur Aufnahme
einer Projektion wird die Röntgenröhre und gleichzeitig der Detektor in transversaler Richtung verschoben,
die Messwerte des Detektors werden in digitaler Form gespeichert. Nach Abschluss einer Projektion rotiert
das System Röhre – Detektor um einen Winkel α um das Objekt und es erfolgt die Aufnahme der nächsten
3
Projektion. Für eine möglichst fehlerfreie Rekonstruktion des Schnittbildes sind etwa 10 Projektionen aus
unterschiedlichen Richtungen nötig.
Abbildung 3: Aufnahmeprinzip bei der Computertomographie (Translations-Rotations-Scanner). Es werden nacheinander Projektionen einer Schicht des Objektes aus verschiedenen Richtungen aufgenommen. Die Anzahl der
Aufnahmerichtungen und damit der Projektionen liegt bei etwa 103 (aus [1])
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2.
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Mathematischer Hintergrund
Im Folgenden soll zunächst etwas ausführlicher auf die Mathematik eingegangen werden, die notwendig ist,
um aus den Projektionsaufnahmen Schnittbilder zu rekonstruieren.
2.1. Radon-Transformation
Gegeben ist eine zweidimensionale Funktion f(x,y) (siehe Abb. 4), diese soll im Prinzip der Verteilung der
Schwächungskoeffizienten µ(x,y) innerhalb einer Schicht des Patienten entsprechen. Die Integration der
Funktion f(x,y) entlang einer Geraden s = x cos Θ + y sin Θ entspricht dem Wert der Projektion entlang der
Geraden s. Für dieses Integral kann abkürzend geschrieben werden:
r
f
(
x
,
y
)
d
l
∫
= p Θ (s)
(Gl. 1)
Dabei bezeichnet der Parameter Θ den Winkel unter dem die Projektion aufgenommen worden ist, die Variable s gibt den Abstand des Projektionsstrahls vom Ursprung an (siehe Abb. 4). Die Gesamtheit aller Projekti1
onen unter allen Projektionswinkeln Θ kann man als Funktion zweier Variabler schreiben: p(Θ,s) .Diese
Funktion wird Radon-Transformierte der Funktion f(x,y) bezeichnet:
r
Radon
f
(
x
,
y
)
d
l = p(Θ, s) oder kurz f ( x, y) 
→ p(Θ, s)
∫
(Gl. 2)
s = x cos Θ + y sin Θ
Abbildung
4:
RadonTransformation. Die Integration der Funktion f(x,y)
entlang der Geraden s = x
cos Θ + y sin Θ liefert
einen Wert der Funktion
pΘ(s), die Projektion genannt wird. Die Gesamtheit
der Projektionen unter allen
Projektionswinkeln Θ heißt
Radon-Transformierte
p(Θ,s) der Funktion f(x,y)
(aus [2])
Die Frage ist nun, wie kommt man von den gemessenen Projektionen p(Θ,s) zu der unbekannten Funktion
f(x,y), bzw. mathematisch formuliert, wie lässt sich die Radon-Transformation invertieren? Zur Lösung dieses
Problems sind in den vergangenen Jahrzehnten verschiedene Lösungen entwickelt worden, eine davon ist
bereits im Jahre 1917 von Radon selbst angegeben worden:
-
Radon-Resolvente;
-
Gefilterte Rückprojektion;
-
Iterative, algebraische Verfahren
Die von Radon vorgeschlagene Lösung hat sich nicht etabliert. In praktisch allen CT’s wird die gefilterte
Rückprojektionen zur Berechnung der Schnittbilder eingesetzt. Deren Grundlagen werden in den nachfol1
Zur Schreibweise: p(Θ,s) bezeichnet die Gesamtheit aller Projektionen und ist die Radon-Transformierte der Funktion
f(x,y), sie ist eine Funktion zweier Variabler. Die Schreibweise pΘ(s) deutet an, das hiermit nur eine Projektion, diejenige
unter dem Winkel Θ = const., gemeint ist, also eine Funktion einer Variabler.
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genden Kapiteln ausführlich behandelt. Das iterative Verfahren zur Rekonstruktion von Schnittbildern ist ein
sehr rechenintensives Verfahren und wird aus noch zu besprechenden Gründen in der Nuklearmedizin bei
SPECT- und PET-Messungen eingesetzt.
2.2. Fourier-Scheiben-Theorem
Der einfachste Möglichkeit, von der Radontransformierten p(Θ,s) zur gesuchten Funktion f(x,y) zu gelangen,
ist die Fourier-Transformation, bzw. das Fourier-Scheiben-Theorem. Dies soll im Folgenden kurz veranschaulicht werden.
Hierzu wird zunächst eine Projektion zum Winkel Θ = 0° betrachtet (Abb. 5). Die Integration zur Berechnung
der Projektion p0(s) erfolgt entlang Geraden, die alle parallel zur y-Achse sind, die Projektion selbst verläuft
entlang der x-Achse, so dass für p0(s) auch geschrieben werden kann p0(x). Damit läßt sich die Projektion wie
folgt schreiben:
∞
p 0 (s) = p 0 ( x ) = ∫ f ( x , y)dy für Θ = 0
−∞
Abbildung 5: FourierScheiben-Theorem.
Die 1D-Fouriertransformierte der Projektion
p0(x) entspricht den
Werten
der
2DFouriertransformierten
entlang der Achse u
(aus [2]).
2
Die Fourier-Transformierte der Projektion p0(x) lautet :
∞
P0 ( u ) = ∫ p 0 ( x ) e −2 π i u x dx
für Θ = 0
(Gl. 3)
−∞
Durch Einsetzen des Ausdrucks für p0(x) ergibt sich:
∞ ∞
∞ ∞
−∞ −∞
−∞ −∞
P0 (u ) = ∫ ∫ f ( x , y) e −2 π i u x dx dy = ∫ ∫ f ( x , y) e −2 π i ( u x + 0 y ) dx dy = F(u ,0)
(Gl. 4)
Die 1D-Fouriertransformierte einer Projektion zum Winkel Θ = 0° ergibt also die Werte der 2DFouriertransformierten von f(x,y) auf der u-Achse (Abb. 5). Damit ist ein erster Zusammenhang zwischen den
Projektionen p und der gesuchten Funktion f(x,y) hergestellt. Obige Gleichungen gelten jedoch zunächst nur
für Projektionen zum Winkel Θ = 0°.
Wie verhält es sich nun mit Projektionen unter beliebigen Winkeln Θ ? Hierzu kann man sich ein um das
ursprüngliche Koordinatensystem (x,y) um den Winkel Θ gedrehtes Koordinatensystem (x’,y’) vorstellen (Abb.
6). Die Projektion pΘ(s) entspricht in diesem neuen, gedrehten Koordinatensystem gerade der Projektion
2
zur Schreibweise: Funktionen im Ortsraum werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet: p0(s), f(x,y) etc. Die FourierTransformierten dieser Funktionen werden mit dem entsprechenden Großbuchstaben bezeichnet: P0(w), F(u,v), etc
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p0(x’). In diesem gedrehten Koordinatensystem ergibt sich damit die gleiche Rechnung wie oben, d.h.: die
Fouriertransformierte der Projektion ergibt die Werte auf der u’-Achse der Fouriertransformierten F(u,v).
Dabei ist die Drehung des Koordinatensystems (u,v) im Fourierraum identisch zur Drehung im Ortsraum (x,y),
in beiden Fällen um den Winkel Θ .
Abbildung 6: FourierScheiben-Theorem.
Die 1D-Fouriertransformierte der Projektion pΘ(x) entspricht den
Werten
der
2DFouriertrans-formierten
entlang der um den
Winkel Θ gedrehten
Linie u’ (aus [2]).
Die Aussage des Fourier-Scheiben-Theorems lautet also: Sei pΘ(s) die zu einem beliebigen Winkel Θ gehörige Projektion der Funktion f(x,y). Die 1D-Fouriertransformierte PΘ(w) der Projektion pΘ(s) beschreibt dann die
Werte der Fouriertransformierten F(u,v) entlang einer Geraden, die um den Winkel Θ gedreht ist. Damit gilt
Gleichung 4 nicht nur für Projektionswinkel Θ = 0, sondern für alle Winkel Θ:
PΘ (u ) = F(u , Θ)
(Gl. 5)
2.3. Gefilterte Rückprojektion
Damit ist der Weg klar, wie man von der Radon-Transformierten p(Θ,s), also der Gesamtheit aller Projektionen des Objektes f(x,y), zur gesuchten Funktion f(x,y) gelangen kann: Man nehme alle Projektionen pΘ(s),
transformiere sie in den Fourierraum und trage die Werte auf der zum Projektionswinkel Θ gehörenden Geraden in die Funktion F(u,v) ein. Durch inverse 2D-Fouriertransformation gelangt man schließlich zur gesuchten Funktion f(x,y), dem Schnittbild des
Patienten. Das „Eintragen der Werte von
PΘ(s) in die Funktion F(u,v)“ bedeutet dabei
die Rekonstruktion der Funktion F(u,v). Je
mehr Projektionen vorhanden sind, desto
genauer kann die Funktion F(u,v) bestimmt
werden, desto besser ist entsprechend auch
das gesuchte Schnittbild f(x,y) des Patienten.
Das geschilderte Verfahren trägt allerdings
noch ein Problem in sich: Die Daten der
fouriertransformierten Projektionen PΘ(w)
liegen in Polarkoordinaten vor, damit wird auch die Funktion F(u,v) auf einem Polarkoordinatenraster rekonstruiert. Die berechneten Funktionswerte von F(u,v) sind damit nicht gleichmäßig verteilt, sondern liegen bei
kleinen Werten von u und v dichter als bei großen Werten (Abb. 7). Da die Koordinaten u, v des Fourierraumes die Ortsfrequenzen des Bildes darstellen, werden also die niedrigen Ortsfrequenzen (große Abmessungen) im gesuchten Bild f(x,y) stärker betont als hohe Ortsfrequenzen (kleine Details).
Abbildung 7: Punktdichte auf einem kartesischen Koordinatenraster (links) und einem Polarkoordinatenraster (rechts) (nach [3])
Die Konsequenzen aus dieser Tatsache sollen nun untersucht werden. Die inverse 2D-Fouriertranformierte
der Funktion F(u,v) lautet:
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∞ ∞
f ( x , y) = ∫ ∫ F(u , v) e 2 π i ( u x + v y ) du dv
(Gl. 6)
−∞ −∞
Der Übergang von kartesischen Koordinaten u, v zu Polarkoordinaten w, Θ ist gegeben durch:
u = w cos Θ
v = w sin Θ
Neben den Koordinaten u und v müssen auch die Differentiale du und dv, also das Flächenelement dvdu,
durch die neuen Koordinaten w und Θ ausgedrückt werden. Dies geschieht im Prinzip in völlig analoger
Weise wie bei Funktionen einer Variabler:
du dv =
∂u
∂u
∂ ( u , v)
∂Θ dw dΘ
dw dΘ = ∂w
v
v
∂
∂
∂ ( w , Θ)
∂w
∂Θ
(Gl. 7)
Die in Gleichung 7 enthaltene Determinante, die aus den Ableitungen der alten Koordinaten nach den neuen
besteht, heißt Funktional- oder Jacobi-Determinante. Damit ergibt sich für das Flächenelement dudv für die
hier benutzten Polarkoordinaten:
du dv =
cos Θ − w sin Θ
dw dΘ = ( w cos 2 Θ + w sin 2 Θ) dw dΘ = w dw dΘ
sin Θ w cos Θ
(Gl. 8)
Substituieren der Variablen sowie der Integrationsgrenzen in Gleichung 6 liefert:
∞ ∞
∞2π
−∞ −∞
0 0
f ( x, y) = ∫ ∫ F(u, v) e 2 π i ( u x + v y ) du dv = ∫ ∫ F( w , Θ) e 2 π i w ( x cos Θ + y sin Θ ) w dw dΘ =
(Gl. 9)
∞ π
= ∫ ∫ F( w , Θ) e 2 π i w ( x cos Θ + y sin Θ ) w dw dΘ
−∞ 0
Bei der letzten Umformung sind lediglich die Integrationsgrenzen geändert worden, die Fläche über die integriert wird ist jedoch identisch. Dadurch, dass jetzt jedoch über negative Werte von w integriert wird,
muss der Betrag von w eingesetzt werden.
Die in Gleichung 9 auftretende Fouriertransformierte F(w,Θ) entspricht nach Gl. 5 aber gerade der 1DFouriertransformierten PΘ(w)der gemessenen Projektion, so dass Gleichung 9 umgeschrieben werden kann:
∞ π
∞ π
−∞ 0
−∞ 0
f ( x, y) = ∫ ∫ F( w , Θ) e 2 π i w ( x cos Θ + y sin Θ ) w dw dΘ = ∫ ∫ PΘ ( w ) e 2 π i w ( x cos Θ + y sin Θ ) w dw dΘ (Gl.10)
Gleichung 10 liefert nunmehr den Zusammenhang zwischen den gemessenen Projektionen pΘ(s), bzw. deren
Fouriertransformierten PΘ(w) und der gesuchten Funktion f(x,y), also dem gesuchten Schnittbild des Patienten. Um zu einem tieferen Verständnis des Verfahrens der gefilterten Rückprojektion zu gelangen, wird Gleichung 10 im Folgenden etwas ausführlicher diskutiert. Hierzu wird diese zunächst in etwas veränderter Form
aufgeschrieben:
π ∞
π ∞


f ( x , y) = ∫  ∫ PΘ ( w ) e 2 π i w ( x cos Θ + y sin Θ ) w dw  dΘ = ∫  ∫ PΘ ( w ) e 2 π i w s w dw  dΘ
0  −∞
0  −∞


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(Gl. 11)
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Bei der letzten Umformung ist lediglich abkürzend s = x cosΘ + y sinΘ eingesetzt worden (Geradengleichung, siehe Fußnote 1). Zunächst soll das in eckigen Klammern geschriebene Integral betrachtet werden,
das mit ~
pΘ (s) bezeichnet werden soll:
∞
~
p Θ (s) = ∫ PΘ ( w ) e 2 π i w s w dw
(Gl. 12)
−∞
pΘ (s) einfach die gemessene Projektion pΘ(s), denn PΘ(w) ist die
Wäre nicht der der Faktor |w|, so wäre ~
Fouriertransformierte der gemessenen Projektion und das Integral (ohne |w|) ist die inverse Fouriertransformation. Die Multiplikation im Fourierraum mit dem Faktor |w| bedeutet eine Faltung bzw. Filterung im
Ortsraum, daher stammt der Name „gefilterte“ Rückprojektion.
Auf die Bedeutung der Faltung und deren Auswirkung auf die rekonstruierten Schnittbilder wird im nächsten
Kapitel eingegangen werden. Im Folgenden wird zunächst vereinfachend auf die Faltung verzichtet, d.h. der
Faktor |w| wird eins gesetzt. Unter dieser Annahme entspricht der Ausdruck ~
pΘ (s) einfach der gemessenen
Projektion pΘ(s). Gleichung 11 vereinfacht sich damit zu:
π
π
0
0
f ( x, y) = ∫ p Θ (s) dΘ = ∫ p Θ ( x cos Θ + y sin Θ) dΘ
(Gl. 12)
mit s = x cosΘ + y sinΘ.
Diese Gleichung beschreibt, wie das gesuchte Schnittbild f(x,y) aus den Projektionen pΘ(s) zu berechnen ist:
Um den Wert f des Schnittbildes an einem beliebigen
Punkt (x,y) zu berechnen, muss von allen Projektionen
pΘ(s) der Wert an der Stelle s = x cosΘ + y sinΘ genommen und aufaddiert werden (Abb. 8).
Abbildung 8: Rekonstruktion des Schnittbildes
f(x,y) durch Aufsummieren aller Werte der Projektionen pΘ(s) an der Stelle s = x cosΘ + y sinΘ
(Rückprojektion) (nach [3]).
Das Integral kann auch etwas anders interpretiert werden: Der Wert einer Projektion pΘ(s) an einer Stelle s
wird in all diejenigen Bildpunkte (x,y) hinzuaddiert, für
den gilt: s = x cosΘ + y sinΘ, d.h. der Wert einer Projektion an der Stelle s wird über die ganze Gerade s = x
cosΘ + y sinΘ „verschmiert“, daher stammt die Bezeichnung Rückprojektion. Dies ist in Abbildung 9 für
ein einfaches Objekt dargestellt. Darin ist auch deutlich
der Einfluss der bislang vernachlässigten Faltung der
Projektionen zu erkennen. Ohne Faltung führt die Rückprojektion zu einer deutlichen Unschärfe der Objekte
innerhalb des Schnittbildes. Deutlicher noch wird dies
an dem etwas komplexeren Objekt der Abbildung 10.
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Abbildung 9: Bildrekonstruktion in der CT durch Rückprojektion. Im linken Teilbild erfolgte keine Filterung bzw.
Faltung vor der Rückprojektion. Dies führt zu einer deutlichen Unschärfe des Bildes. Im rechten Teil sind die Projektionen vor der Rückprojektion gefiltert worden, erst die Rückprojektion der gefilterten Projektionen führt zu
scharfen Schnittbildern (aus [1])
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Abbildung 10: Bildrekonstruktion durch
Rückprojektion ohne Faltung. Links ist das
Objekt, ein so genanntes Shepp-LoganPhantom dargestellt, rechts die Rekonstruktion des Schnittes durch Rückprojektion der
Projektionen ohne Faltung. Das Objekt ist
unscharf, Details sind nicht zu erkennen,
darüber hinaus sind außerhalb des eigentlichen Objektes die Funktionswerte f(x,y)
(also die Grauwerte) größer null.Bei dem
dargestellten Shepp-Logan-Phantom handelt es sich nicht um ein reales Phantom,
sondern ein Software-Phantom, d.h. es wird
im Rechner erzeugt und dient dazu, Rekon
struktionsalgorithmen auf ihre Funktion zu testen. Der große Vorteil des Shepp-Logan Phantoms ist die Tatsache,
dass die Projektionen aus allen Richtungen analytisch berechnet werden können, da das Phantom lediglich aus verschiedenen Ellipsen besteht, denen unterschiedliche Schwächungskoeffizienten zugeordnet werden können.
2.4. Filterung der Projektionen
Die Tatsache, dass bei Rückprojektion der nicht gefilterten Projektionen Details des Bildes verloren gehen,
bzw. scharfe Kanten im rekonstruierten Bild verschmiert werden, kann man sich sehr anschaulich anhand
der Abbildung 7 klarmachen. Die Funktion F(u,v) wird im Fourierraum durch die eindimensionalen Projektionen PΘ(w) aufgebaut. Würden die so erhaltenen Funktionswerte auf einem regelmäßigen Gitter eines kartesischen Koordinatensystems liegen, so ließe sich das Schnittbild f(x,y) ohne Einbußen der Bildqualität durch
eine zweidimensionale inverse Fouriertransformation von F(u,v) berechnen. Die Funktionswerte F(u,v) sind
jedoch durch die Projektionen PΘ(w) auf einem Polarraster gegeben, d.h. in der Nähe des Koordinatenursprungs des Fourierraumes liegen die Funktionswerte wesentlich dichter als bei großen Werten der Koordinaten u und v. Da die Koordinaten u, v des Fourierraumes als Ortsfrequenzen zu interpretieren sind, (kleine
Details im Ortsraum, d.h. im realen Objekt besitzen hohe Ortsfrequenzen, niedrige Ortsfrequenzen bedeuten
räumlich ausgedehnte Objekte im Ortsraum), werden durch die Polardarstellung von F(u,v) niedrige Ortsfrequenzen verstärkt, hohe Ortsfrequenzen gedämpft, mit der in Abbildung 10 dargestellten Konsequenz.
Eine Möglichkeit dieses Problem zu umgehen, wäre eine Interpolation der Wert von F(u,v) von dem Polarraster auf ein kartesiches Koordinatenraster, mit anschließender inverser Fouriertransformation. Die zweite
Möglichkeit ist die Multiplikation der Projektionen PΘ(w) gemäß Gleichung 12 mit dem Filterkern |w|.
∞
~
p Θ (s) = ∫ PΘ ( w ) e 2 π i w s w dw
(Gl. 12)
−∞
Dieser Term, der durch die Koordinatentransformation von kartesischen Koordinaten auf Polarkoordinaten
aufgetreten ist, wichtet die unterschiedlichen Funktionswerte von PΘ(w) gerade so, dass hohe Frequenzen
angehoben werden und niedrige abgeschwächt werden, also die Funktion eines Hochpassfilters besitzt (Abb.
11). Dadurch wird die nicht-gleichförmige Verteilung der Funktionswerte F(u,v) auf dem Polarraster ausgeglichen.
Die Multiplikation der Projektionen PΘ(w) im Fourierraum bedeutet eine Faltung bzw. eine Filterung im Ortsraum, d.h. die Fuktionen ~
pΘ (s) sind die ursprünglich gemessenen Projektionen pΘ(s), die allerdings zusätzlich einer Filterung unterzogen worden sind. Die mathematische Operation kann entweder gemäß Gleichung
12 im Fourierraum durchgeführt werden, andererseits ist es möglich diese Faltung direkt im Ortsraum durchzuführen:
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∞
∞
−∞
−∞
~
pΘ (s) = ∫ PΘ ( w ) e 2 π i w s w dw = ∫ p Θ (s − s' ) h (s' ) ds'
(Gl. 13)
Bei Interpretation von Gleichung 13 ist zu beachten, das dass
erste Integral die inverse Fouriertransformation bedeutet, d.h.
das Integral so zu interpretieren ist: Man nehme die gemessenen Projektionen pΘ(s), transformiere sie in den Fourierraum (Ergebnis PΘ(w)), multipliziere sie mit dem Faktor |w|
und führe die inverse Fouriertransformation aus. Ergebnis
sind die Funktionen ~
pΘ (s) , mit denen die Rückprojektion
gemäß Gleichung 10
π
π
0
0
f ( x , y) = ∫ ~
pΘ (s) dΘ = ∫ ~
pΘ ( x cos Θ + y sin Θ) dΘ
durchgeführt werden kann. Das Integral der rechten Seite
von Gleichung 13 ist dagegen wie folgt zu interpretieren:
man nehme die gemessenen Projektionen, falte sie (im Ortsraum!) mit dem Faltungskern h. Ergebnis sind wiederum die
pΘ (s) (im Ortsraum!), mit denen die RückproFunktionen ~
jektion gemäß obiger Gleichung durchgeführt werden kann.
Abbildung 11: Die Filterfunktion |w| im Fourierraum (oben) sowie ihre Darstellung im
Ortsraum (unten).
Wie sieht nun der zur Funktion |w| gehörige Faltungskern
h(s) im Ortsraum aus? Nach dem Faltungssatz gelangt man
einfach durch inverse Fouriertransformation von |w| zur
Funktion h(s):
∞
h (s) = ∫ w e 2 π i w s dw
(Gl. 14)
−∞
Der Filterkern h(s) im Ortsraum ist im unteren Teil der Abbildung 11 wiedergegeben. Die Wirkung des Filterkerns auf Projektionen im Ortsraum ist in der Abbildung 12 wiedergegeben. Es ist deutlich zu erkennen, dass
die Funktionswerte der gefilterten Projektion an den Stellen betragsmäßig besonders groß sind, an denen in
der gemessenen Projektion „Kanten“, also hohe Ortsfrequenzen auftreten. Dagegen werden Funktionswerte
in der Projektion, die über einen größeren Bereich nahezu konstant sind (dies entspricht niedrigen Ortsfrequenzen in der Projektion), durch die Faltung nahezu auf null gedrückt. Wie zu erwarten, werden also durch
die Faltung mit dem angegebenen Filter die hohen Ortsfrequenzen innerhalb der Projektion verstärkt, die
niedrigen abgeschwächt.
Prinzipiell spielt es keine Rolle, ob die Filterung im Ortsraum mit dem im unteren Teil der Abbildung 11 dargestellten Faltungskern durchgeführt wird oder ob dies durch Multiplikation mit dem Faktor |w| im Fourierraum erfolgt. Erfolgt die Filterung im Fourierraum, so bedeutet dies, dass die gemessenen Projektionen pΘ(s)
zunächst in den Fourierraum transformiert werden müssen, dort mit dem Faktor |w| multipliziert und anschließend wieder in den Ortsraum zurück transformiert werden müssen. Dieses Verfahren erscheint sehr
aufwändig, ist in der Regel jedoch um ein Vielfaches schneller, als die Auswertung der Faltungsintegrale
(Gleichung 13) im Ortsraum, da für die Fouriertransformation sehr schnelle Algorithmen existieren (FFT:
Fast-Fourier-Transform)
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Abbildung 12: Gefilterte Rückprojektion des Shepp-Logan
Phantoms. Links: Berechneter
Schnitt des Software-Phantoms.
Rechts: Aus den berechneten
Projektionen durch gefilterte
Rückprojektion erhaltene Rekonstruktion (180 Projektionen). Der
benutzte Filter entspricht dem in
Abbildung 11 gezeigten. Die
unter den Schnitten gezeigten
Profile sind Schnitte entlang der
eingezeichneten roten Linie.
Unten: Projektionen des Phantomschnittes (blau) sowie die
dazu gehörigen gefilterten Projektionen (rot), mit denen die
Rückprojektion erfolgte.
Projektionswinkel 0°
Projektionswinkel 45°
2.5. Modifikation des Filterkerns
Wie den Gleichungen 12 oder 13 zu entnehmen ist, erstreckt sich die Integration über alle Ortsfrequenzen
w < ∞. Dies ist zwar mathematisch korrekt, aber messtechnisch sinnlos, wie der Abbildung 13 zu entnehmen ist. Mit einem Detektorring, bei dem der Abstand der Einzeldetektoren den Wert ∆s beträgt, kann maximal die Ortsfrequenz wmax = 1/(2∆s) detektiert werden (Abtasttheorem, Nyquist-Frequenz). Dies bedeutet,
der Filter w kann auf Frequenzen w < wmax begrenzt werden.
Abbildung 13: Aufbau
eines CT-Scanners der 3.
Generation. Durch Einsatz eines Detektorringes
ist keine Translation des
Detektors mehr erforderlich, die gesamte Projektion wird mit einem Mal
aufgenommen.
Der
Detektorring besteht aus
einer Vielzahl von Einzeldetektoren mit dem
Abstand ∆s.
- 12 -
Der ideale, d.h. mathematisch korrekte
Filterkern der Abbildung 11 weist einen
weiteren Nachteil auf. Da der Filter insbesondere die hohen Frequenzen verstärkt,
wird das durch den Messprozess zwangsläufig vorhandene Rauschen überproportional verstärkt. Aus diesem Grund werden in den CT-Geräten modifizierte Filterkerne eingesetzt, bei denen die hohen
Frequenzen mehr oder weniger stark gedämpft werden (Abb. 14).
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Abbildung 14: Typische Filterkerne, die in der CT-Rückprojektion eingesetzt werden. Die größte Bedeutung hat
der so genannte Hamming-Filter. Dargestellt ist der Filter w im Fourier- oder Ortsfrequenzraum (jeweils oben)
sowie im Ortsraum. (aus [4]).
2.6. Iterative Rekonstruktionsalgorithmen
3
Um mit der gefilterten Rückprojektion CT-Bilder hoher Qualität zu erreichen, sind etwa 10 Projektionen aus
entsprechend vielen Richtungen notwendig. Dies ist bei den modernen CT-Geräten nicht problematisch,
diese sind in der Lage, innerhalb von etwa 500 ms eine 360°-Rotation der Röntgenröhre durchzuführen und
dabei die notwendigen Projektionsdaten aufzunehmen. Anders ist dies bei den nuklearmedizinischen Tomographie-Verfahren SPECT (Single Photon Emission Computed Tomography) und PET (Positronen Emissions
Tomographie). Genau wie bei der Röntgen-Computer-Tomographie werden hier Projektionen des Patienten
aus verschiedenen Winkeln aufgenommen, mit dem Unterschied, dass nicht die Transmission einer externen
Röntgenröhre gemessen wird, sondern die Gamma-Emission von radioaktiven Nukliden, die dem Patienten
appliziert worden sind und sich in bestimmten Organen, Geweben, etc. anreichern. Da die Aktivität, die dem
Patienten appliziert werden kann aus Strahlenschutzgründen begrenzt ist, liegt die Messzeit für eine Projektion bei
der SPECT in der Größenordnung von 30 - 60 sec. Damit
ist klar, dass nur eine geringe Anzahl von Projektionen
aufgenommen werden kann (Größenordnung 20 - 40), was
zur Folge hat, dass die aus diesen Datensätzen mittels
gefilterter Rückprojektion rekonstruierten Transversalschnitte des Patienten nur eine begrenzte Qualität haben.
Aus diesem Grunde hat sich speziell für die SPECT das im
Folgenden beschriebene iterative Rekonstruktionsverfahren durchgesetzt.
Bei diesem Verfahren wird das Problem der Rekonstruktion
der Funktionswerte f(x,y) aus den Werten der Projektionen
p(s) algebraisch gelöst. Hierzu ist es sinnvoll, die Funktionswerte f(x,y) des gesuchten Bildes etwas anders durchzunummerieren, die Pixel des Bildes werden einfach fortlaufend nummeriert, wie in Abbildung 15 dargestellt. Für
die Messwerte pm einer Projektion gilt dann:
- 13 -
Abbildung 15: Zeilenweise Durchnummerierung
der Grauwerte des Schnittbildes f(x,y). Ein Wert
der Projektion p ergibt sich aus der Summation
der Werte von f entlang eines "Nadelstrahls" (aus
[2]).
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p1 = w 11 f1+ w 12 f 2 + ... + w 1N f N
p 2 = w 21 f1+ w 22 f 2 + ... + w 2 N f N
...
...
p m = w m1 f1+ w m 2 f 2 + ... + w mN f N
(Gl. 15)
Der Index m im linearen Gleichungssystem 15 bedeutet dabei die Anzahl
der Projektionswerte je Projektionsrichtung, also die Auflösung der gemessenen Projektionen, N die Gesamtzahl aller Pixel des Bildes f, im
Beispiel der Abbildung 15 beträgt N =
100. Die Gewichtungsfaktoren wij
beschreiben den Flächenanteil, mit
dem jeder Bildpunkt fj zur Projektion
beiträgt. Die meisten dieser Faktoren
sind 0, wie man sich schnell an Hand
der Abbildung 15 klar machen kann.
Für jede Projektionsrichtung ergibt
sich ein analoges Gleichungssystem,
wobei die Wichtungsfaktoren wij für
jede Projektionsrichtung natürlich
unterschiedlich sind. Fast man all
diese Gleichungssysteme zusammen,
so ergibt das Gleichungssystem 16:
p1 = w 11 f1+ w 12 f 2 + ... + w 1N f N
p 2 = w 21 f1+ w 22 f 2 + ... + w 2 N f N
...
...
p M = w M1 f1+ w M 2 f 2 + ... + w MN f N
(Gl. 16)
Der Index M zählt alle Punkte aus
allen Projektionen, insgesamt ergeben
sich also M = m x k Gleichungen,
Abbildung 16: Iterative Methode zur Berechnung des unbekannten wobei m die Zahl der Messwerte
Bildes aus den gemessenen Projektionen. Das "unbekannte" Bild sowie innerhalb einer Projektion ist und k
die "gemessenen" Projektionen sind links oben dargestellt. Zur Verein- die Zahl der Projektionsrichtungen.
fachung sind die Wichtungsfaktoren wij gleich 1 gesetzt worden, wenn Mit den für SPECT-Aufnahmen typidas jeweilige Pixel zur Projektion beiträgt, alle anderen wij sind null (aus
schen Werten m = 128, N = 128 x
[2]).
128 und k = 50 ergibt sich also ein
Gleichungssystem mit 6400 Gleichungen und 128 x 128 x 6400 Koeffizienten wij . Da die Koeffizienten w bekannt sind, wäre im Prinzip eine
Lösung des Gleichungssystems mit diskreten Methoden möglich, wegen der Größe des Systems allerdings
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schwierig. Aus diesem Grund werden iterative Methoden eingesetzt, die wie folgt arbeiten. Aus der ersten
gemessenen Projektion wird ein erster "Schätzwert" für das Bild f konstruiert, indem die Werte der Projektion gleichmäßig auf die Pixel verteilt werden, die zu der Projektion beitragen (vergl. Abb. 16). im zweiten
Iterationsschritt wird eine Projektion aus diesem Bild berechnet und mit der unter diesem Winkel gemessenen Projektion verglichen. Das vorhandene Bild wird mit der Differenz aus berechneter und gemessener Projektion korrigiert, ergibt damit ein verbessertes Bild f. In den folgenden Iterationsschritten wird dieses Procedere mit den weiteren gemessenen Projektionen fortgeführt. Sind alle Projektionen in dieser Art verarbeitet, so kann das Verfahren wieder mit der ersten Projektion weiter geführt werden, bis die Differenz zwischen den aus dem rekonstruierten Bild berechneten Projektionen und den gemessenen Projektionen eine
vorgegebene Schranke unterschreitet.
Die mathematische Formulierung dieses Iterationsverfahrens ist in Gleichung 17 wieder gegeben, Abbildung
16 zeigt ein einfaches Beispiel der Rekonstruktion eines Bildes der Größe 3x3. In diesem Beispiel ist vereinfachend angenommen worden, dass die Wichtungsfaktoren wij eins sind für den Fall, dass das Pixel überhaupt zur Projektion beiträgt, null ansonsten. In diesem Beispiel erhält man bereits nach 4 Iterationsschritten ein Bild, das recht gut mit dem Originalbild übereinstimmt. Bei nuklearmedizinischen Bildern mit einer
Auflösung von 64x64 bzw. 128x128 sind mehrere hundert Iterationsschritte notwendig, was entsprechend
lange Rechenzeiten zur Folge hat.
r
r
r ( l) r ( l−1) (f ( l−1) * w
r
k ) − pk
−
*w k
f =f
r
r
(w k * w k )
mit :
r
f ( l) : gesuchter Lösungsvektor nach der l − ten Itereation
r
w k : Vektor der Wichtungsfaktoren zum Wert der Pr ojektion p k
(Gl. 17)
p k : Messwert k einer Pr ojektion
2.7.
Hounsfield-Skala
Das Ergebnis der rekonstruierten CT-Bilder entspricht der Verteilung des Schwächungskoeffizienten µ(x,y)
im Patienten. Nachteilig an der physikalischen Größe µ für die Bilddarstellung ist
die Tatsache, dass der Schwächungskoeffizient stark von dem Energiespektrum der
eingesetzten Röntgenstrahlung abhängt.
Damit wäre ein Vergleich von CT-Bildern,
die an unterschiedlichen CT-Scannern
aufgenommen worden sind, nur begrenzt
möglich. Aus diesem Grund wird der
Schwächungskoeffizient in eine neue, relative Einheit umgerechnet, die CT-Zahl oder
Hounsfield-Unit (HU, Abb. 17):
CT-Zahl = (µ - µWasser) / µWasser X 1000 HU
Abbildung 17: Hounsfiels-Skala: Die CT-Werte oder Hounsfield-Units geben den linearen Schwächungskoeffizienten µ des
Gewebes relativ zum Schwächungskoeffizienten von Wasser an
(aus [1]).
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Per Definition hat Wasser und damit auch
wasseräquivalentes Gewebe den Wert 0
HU, Luft, dessen Schwächungskoeffizient µ
näherungsweise 0 ist, den Wert -1000 HU.
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Nach oben sind die CT-Zahlen im Prinzip nicht begrenzt. Die Hounsfieldskala ist damit unabhängig von der
Energie der Röntgenstrahlung und die CT-Aufnahmen verschiedener Scanner sind direkt miteinander vergleichbar.
Bei medizinischen CT-Scannern beschränkt man sich auf einen Wertebereich der CT-Zahlen von 4096 (minimaler Wert: -1024, maximaler
Abbildung
18: Wert 3071), die in Form von
Fensterung bei der
Grauwerten auf dem AusgabeDarstellung
von
CT-Aufnahmen. Je medium dargestellt werden. Ein
nach diagnostischer solch großer Grauwertumfang ist
Fragestellung wird jedoch weder darstellbar, noch
ein
bestimmter von einem Beobachter erfassbar.
Bereich der Houns- Üblicherweise ist ein Mensch in
field-Skala ausge- der Lage, 60 - 80 unterschiedliwählt (C/W = center
und width: gewähl- che Grauwerte zu differenzieren.
ter Mittelpunkt und Deshalb wird je nach diagnostiWertebereich
der scher Fragestellung der interesHounsfieldskala)
sierende Hounsfieldbereich auf
und mittels der zur die zur Verfügung stehende
Verfügung stehen- Grauwertskala abgebildet (Fensden Grauwertstufen
terung, siehe Abb. 18).
des Ausgabemediums (Monitor oder
Film)
dargestellt
(aus [1]).
3.
Gerätetechnik
siehe hierzu das Buch "Computertomographie von W. A. Kalender, Kapitel 2.
4.
Literatur
[1]
W. A. Kalender: Computertomographie; Publicis MCD Verlag, München (2000)
[2]
O. Dössel: Bildgebende Verfahren in der Medizin; Springer Verlag Berlin, Heidelberg, New York
(2000)
[3]
H. Morneburg: Bildgebende Systeme für die medizinische Diagnostik; Publicis MCD Verlag, München, 3. Auflage (1995)
[4]
Th. Lehmann, W. Oberschelp, E. Pelikan, R. Repges; Bildverarbeitung für die Medizin; Springer
Verlag Berlin, Heidelberg, New York (1997)
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