Infinitesimalrechnung - Tangentensteigung und Ableitungsbegriff S

Infinitesimalrechnung - Tangentensteigung und Ableitungsbegriff
S. - 1 -
Infinitesimalrechnung - auch kleinste Schritte führen zum Ziel
O
Ausgangssituation (Tangentensteigung)
Gesucht ist die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion
f(x) im Punkt A an der Stelle x1.
Lösungsweg (Tangentensteigung)
Die Gleichung einer Sekante lässt sich bestimmen, wenn zwei Punkte
bekannt sind, die auf der Sekante liegen. Als den ersten Punkt wählt
man den Punkt A, den zweiten Punkt B wählt man beliebig auf dem
Graphen von f(x).
Nähert man den Punkt B dem Punkt A, so gleicht sich die Sekante
s(x) immer mehr der Tangente t(x) an.
BN
IN
*
B N J) N
,O
)
B N Zur Bestimmung der Steigung der Sekante s(x) verwendet man ein
Steigungsdreieck.
Für die Steigung ms gilt dann:
∆y f ( x 2 ) − f ( x 1 )
=
ms =
(1)
∆x
x2 − x1
Ersetzt man den x2 durch den Ausdruck x2 = x1 + ∆x, so erhält man
ms =
f ( x1 + ∆x ) − f (x 1 ) f (x 1 + ∆x ) − f ( x1 )
=
x1 + ∆x − x1
∆x
(2)
,N
N
N
>J
Abb. 1: Graph der Funktion f(x) = x² mit der Sekante s(x) durch die Punkte A und B und
der Tangente tA(x) am Punkt A
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, muss ∆x so klein wie möglich gewählt werden. Ist ∆x = 0, geht die Sekante in die
Tangente über. Dies nennt man einen Grenzübergang. Solange dieser Übergang nicht vollzogen ist, ist ∆x ungleich 0, sonst
wäre der Nenner in (2) unzulässig. Die „Absicht“, diesen Grenzübergang zu vollziehen, kennzeichnet man in der Mathematik mit dem Symbol lim, dabei wird unter dem Symbol angegeben, welche Größe sich welchem Grenzwert nähern soll. Für
die Steigung der Tangente ergibt sich daraus die Formulierung
f ( x1 + ∆ x ) − f ( x1 )
(3)
∆x
(gelesen: „m-t ist der Limes für Delta-x gegen Null von f von x-eins plus Delta-x minus f von x1 geteilt durch Delta-x.“).
Weil der Quotient nach Glg. (2) der Quotient zweier Differenzen ist, bezeichnet man diesen als Differenzenquotient, während der Quotient nach Glg. (3) eigentlich den Quotienten zweier Differenzen wiedergibt, die beide den Wert 0 haben;
diesen Quotienten bezeichnet man deshalb als Differenzialquotient.
m t = lim
∆x →0
Beispiel für die Funktion f(x) = x²
Ist die Funktion f(x) bekannt, können die entsprechenden Funktionswerte eingesetzt werden, um den Quotienten näher zu
bestimmen. Der Graph in Abb. 1 gibt z.B. (angenähert) den Graphen der Funktion
2
(4)
f (x ) = x
wieder. Setzt man die Argumente (x1 + ∆x) und x1 von Glg (3) in diese Funktion ein, erhält man
2
2
(x 1 + ∆x ) − x1
∆ x→ 0
∆x
Anwenden der binomischen Formel für den ersten Zählerterm liefert daraus
m t = lim
2
2
2
x 1 + 2 x1 ∆x + ∆x − x1
x
0
∆ →
∆x
Zusammenfassen im Zähler ergibt
m t = lim
(5a)
(5b)
2
2x 1∆x + ∆x
(5c)
∆x →0
∆x
Der Faktor ∆x tritt in beiden Summanden des Zählers auf, folglich kann ∆x gekürzt werden, man erhält:
m t = lim
m t = lim 2 x1 + ∆x
∆ x→ 0
(6)
Hier darf nun ∆x den Wert 0 annehmen, womit der Grenzübergang vollzogen wird, und man erhält:
(7)
m t = 2x 1
Die Steigung der Tangente im Punkt A hängt also vom jeweiligen Argumentwert x ab und ist genau doppelt so groß wie das
Argument x an der gesuchten Stelle.
Th. Biedermann 11/2003
N
Infinitesimalrechnung - Tangentensteigung und Ableitungsbegriff
S. - 2 -
Bestimmen der vollständigen Tangentenfunktion
Eine Gerade ist vollständig bestimmt durch ihre Steigung mt und den Y-Achsenabschnitt bt. Die Steigung der Tangente
wurde eben bereits bestimmt.
Für den Y-Achsenabschnitt verwendet man die Tatsache, dass die Tangente durch den Punkt A verlaufen muss, d.h.: an der
Stelle x1 muss die Tangente t(x) den gleichen Funktionswert wie die Funktion f(x) aufweisen:
t ( x1 ) = f ( x1 )
Die Gleichung der Tangentengeraden lautet
(8)
t( x ) = m t x + b t
Damit ergibt sich durch Einsetzen von Glg. (9) in (8):
(9)
m t x1 + b t = f ( x1 )
Auflösen dieser Gleichung nach bt liefert
(10)
b t = f ( x1 ) − m t x1
(11)
Tangentengleichung t(x) für die Funktion f(x) = x²
Setzt man Glg. (7) für mt und (4) für f(x) in Glg. (11) ein, erhält man
2
2
2
2
b t = x 1 − 2x 1 ⋅ x 1 = x 1 − 2 x 1 = − x 1
Die Gleichung der gesuchten Tangente am Punkt A von f(x) lautet also
2
t A ( x ) = 2 x1 ⋅ x − x 1
(12)
Beispiel für eine andere Funktion für f(x)
Prinzipiell kann das umseitig vorgestellte Verfahren (Glg. 4 - 7) auch für andere Funktionen verwendet werden, allerdings
werden die entsprechenden Terme dabei aufwändiger, wie das folgende Beispiel zeigt. Es sei
2
(13)
f (x ) = 3x − 2 x + 1
Für die Steigung mt erhält man (vergl. Glg. 5) somit
2
2
(3( x + ∆x ) − 2( x + ∆x ) + 1) − (3x − 2x + 1)
(14)
∆ x→ 0
∆x
(die beiden Summanden der Differenz im Nenner wurden zur besseren Übersichtlichkeit geklammert). Durch Auflösen der
Quadrate und der Klammern erhält man
m t = lim
2
2
2
3x + 6x∆x + 3∆x − 2x − 2∆ x + 1 − 3x + 2x − 1
∆x →0
∆x
und nach Zusammenfassen
m t = lim
(15)
2
6x∆x + 3∆x − 2 ∆x
∆x →0
∆x
Hier lässt sich wieder ∆x kürzen und man erhält
m t = lim
m t = lim 6x + 3∆ x − 2
(16)
(17)
∆ x→ 0
Bei diesem Ausdruck kann nun der Grenzübergang vollzogen werden, da ∆x nicht mehr im Nenner steht, es ergibt sich
m t = 6x − 2
(18)
Verallgemeinerung für Funktionen der Form f(x) = axn
Die Vorgehensweise ist wie oben beschrieben. Man erhält
n
n
a (x + ∆ x ) − ax
(14a)
∆ x→ 0
∆x
Hier kann die binomische Formel nicht mehr angewendet werden, statt dessen bestimmt man das Produkt durch summandenweise Multiplikation:
m t = lim
 0  n 0  1  n −1 1  2  n −2 2
n 0 n
n
( x + ∆x ) =   x ∆x +  x ∆x +  x ∆ x + ... x ∆x
(15)
n
n 
n
n
die Koeffizienten bezeichnet man als Binomialkoeffizienten, sie ergeben sich aus dem sog. Pascalschen Dreieck und lassen
sich berechnen nach der Formel
m
n!
  =
 n  ( n − m)!⋅m!
(16)
Th. Biedermann 11/2003
Infinitesimalrechnung - Tangentensteigung und Ableitungsbegriff
S. - 3 -
wobei n! (gesprochen: „n-Fakultät“) das Produkt der Zahlen 1 bis n ist: n! = 1 · 2 · ... · n. 0! ist definiert als 1.
So ist z.B.
(17)
5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120
und man erhält z.B. für
 2
5!
1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5
4 ⋅ 5 20
  =
=
=
=
= 10
(18)
 5  (5 − 2 )!⋅2! (1 ⋅ 2 ⋅ 3) ⋅ (1⋅ 2) 1 ⋅ 2 2
Wendet man diese Beziehungen auf Glg. (14a) an, so erhält man den zunächst etwas unübersichtlichen Ausdruck
  0  n 0  1  n −1 1  2  n −2 2

n
  x ∆x +   x ∆x +  x ∆x + ...  x 0 ∆x n  − x n
 n

 
n
n
n

m t = lim a ⋅ 
∆ x→ 0
∆x
(der gemeinsame Faktor a wurde vor den Bruch gezogen). Nun gilt aber
∆x0 = 1
und
( )
0 
n!
n!
  =
=
=1
n
(
n
−
0
)!
⋅
0
!
n
!⋅1
 
(19)
(20)
(21a)
sowie
1 
n!
n ⋅ (n − 1)!
  =
=
=n
 n  ( n − 1)!⋅1! (n − 1)!⋅1
damit vereinfacht sich (19) zu
(21b)


 2
n
1 ⋅ x n ∆x 0 + n ⋅ x n −1 ∆x1 +  x n −2 ∆x 2 + ... x 0 ∆x n  − 1 ⋅ x n


n 
n
(22)

m t = lim a ⋅ 
∆ x→ 0
∆x
Hier kann man nun im Zähler den ersten und letzten Summanden zusammenfassen (sie heben sich auf) und den verbleibenden Rest durch ∆x dividieren, da ∆x in allen Summanden in mindestens 1. Potenz enthalten ist. Man erhält
(
)

 2  n −2
 n  0 n −1 
n −1
m t = lim a ⋅  n ⋅ x +  x ∆ x + ...  x ∆x 
(23)
∆ x→ 0
n
n


Vollzieht man nun den Grenzübergang für ∆x gegen 0, so fallen alle Terme weg, die ∆x als Faktor enthalten. Es bleibt
n −1
(24)
mt = a ⋅n ⋅ x
Man bezeichnet die rechte Seite des Ausdrucks (24) als die 1. Ableitung der Funktion f(x) und bezeichnet diese als f’(x)
(gelesen: „f-Strich von x“):
n −1
f ' (x ) = a ⋅ n ⋅ x
(25)
Schreibweise mit Differenzialoperator
Der Ausdruck nach Glg (3) enthält sowohl im Zähler als auch im Nenner eine Differenz (zur Erinnerung: ∆x = x2 - x1):
f (x + ∆ x ) − f (x )
(26)
∆x →0
∆x
Vollzieht man den Grenzübergang für ∆x gegen 0, werden die beiden Differenzen in Zähler und Nenner beliebig klein, man
bezeichnet sie dann als Differenzial. Um dies anzudeuten, verwendet man statt des ∆ den Buchstaben d und schreibt
f ' (x ) = lim
d f (x ) d
=
f (x)
dx
dx
(gelesen: „f-Strich von x ist gleich d nach dx von f von x“). Den Quotienten
f ' (x ) =
(27)
d
dx
bezeichnet man als Differenzialoperator, da er die Anweisung gibt, von der Funktion f(x) die 1. Ableitung zu bilden.
Zuammenfassung
Zur Bestimmung der Steigung mt der Tangente an einen Punkt P(x1; f(x1)) des Graphen einer Funktion f(x) bestimmt man
die 1. Ableitung f’(x) der Funktion und berechnet deren Funktionswert an der Stelle x1. Somit gilt:
m t = f ' (x 1 )
Th. Biedermann 11/2003
Infinitesimalrechnung - Flächenberechnung und Integralbegriff
O
Ausgangssituation (Flächenberechnung)
Gesucht ist die Fläche zwischen der X-Achse und dem Graphen einer
Funktion in einem bestimmten Intervall (Abb. 2).
Lösungsweg (Flächenberechnung)
Man zerlegt die Fläche in kleine Flächensegmente, die eine Form so
haben, dass man ihren Flächeninhalt einfach berechnen kann und addiert diese Flächensegmente zur Gesamtfläche.
Flächeninhalt bei einer konstanten Funktion
Zunächst betrachte man den Fall, dass die zum Graphen gehörende
Funktion eine konstante Funktion darstellt, also z.B. f(x) = 3. Dann
ergibt sich das Bild nach Abb. 3:
Es handelt sich um die Bestimmung einer Rechtecksfläche. Ihre Höhe
ist überall konstant und hat hier den Wert 3. Das hellgraue Rechteck
hat die Horizontallänge x1 (gemessen vom Ursprung), sein Flächeninhalt sei A1.
Beide Rechtecke zusammen haben die gleiche Höhe und insgesamt
die Horizontallänge x2. Ihr gemeinsamer Flächeninhalt sei A2.
Die dunkel schraffierte Fläche A1,2 erhält man, wenn man vom gesamten Rechteck A2 die Fläche des hellen Rechtecks A 1 abzieht.
Für den Flächeninhalt des dunklen Rechtecks gilt somit:
A1, 2 = A 2 − A 1
Für die Einzelflächen gilt:
A1 = f (x 1 ) ⋅ x1
S. - 4 -
BN
*
B N )
B N N
N
N
Abb. 2: Graph der Funktion f(x) = x² , schraffiert
ist die Fläche zwischen der X-Achse und
dem Graphen im intervall [x 1; x2].
O
)
!
*
BN
(28a)
(28b)
A 2 = f (x 2 ) ⋅ x 2
Somit erhält man für die Gesamtfläche
(28c)
(29)
A1,2 = f ( x2 ) ⋅ x 2 − f (x1 ) ⋅ x1
Da f(x1) = f(x 2) ist und x2 auch ausgedrückt werden kann durch x2 = x1 + ∆x, erhält
man daraus
A1, 2 = f ( x1 ) ⋅ ( x2 − x1 ) = f ( x1 ) ⋅ ( x1 + ∆x − x1 ) = f ( x1 ) ⋅ ∆x
(30)
Dieser trivial erscheinende Fall gibt allerdings die grundsätzliche Vorgehensweise
wieder.
Flächeninhalt bei einer proportionalen Funktion
Nun betrachte man die Funktion f(x) = k · x, deren Graph eine Ursprungsgerade
mit der Steigung k darstellt.
Die Bezeichnung der Flächen sei wie oben - auch hier erhält man die dunkelgraue
Fläche durch Subtraktion der hellgrauen von der gesamten Dreiecksfläche. Nach
der bekannten Regel für Dreiecke gilt hier jedoch
1
A1 = ⋅ f ( x1 ) ⋅ x 1
2
N
N
N
Abb. 3: Bestimmung der dunkelgrauen Fläche bei einer
konstanten Funktion
O
*
BN
)
(31a)
1
A2 = ⋅ f ( x 2 ) ⋅ x 2
2
und somit für die Gesamtfläche
(31b)
N
N
Abb. 4: Bestimmung der dunkelgrauen Fläche bei einer
proportionalen Funktion
N
1⋅
1
f ( x 2 ) ⋅ x 2 − ⋅ f ( x1 ) ⋅ x 1
(32)
2
2
Anders als im letzten Beispiel sind hier die Funktionswerte f(x1) und f(x 2) nicht mehr gleich und können somit auch nicht
ausgeklammert werden. Lediglich die Differenz der X-Werte kann hier zur Anwendung gebracht werden und man erhält
A1, 2 =
1 ⋅(
f ( x1 + ∆x ) ⋅ ( x1 + ∆x ) − f (x 1 ) ⋅ x 1 )
2
Einsetzen der bekannten Funktion f(x) = k · x ergibt somit
A1, 2 =
(
(33)
)
(
1 ⋅( ⋅
1
1
2
2
2
2
k (x 1 + ∆x ) ⋅ ( x1 + ∆x ) − k ⋅ x 1 ⋅ x 1 ) = ⋅ k ⋅ x 1 + 2 k ⋅ x 1∆x + k ⋅ ∆x − k ⋅ x 1 = ⋅ 2 k ⋅ x 1∆x + k ⋅ ∆x
2
2
2
Die Fläche nimmt also mit ∆x quadratisch zu.
A1, 2 =
)
Th. Biedermann 11/2003
Infinitesimalrechnung - Flächenberechnung und Integralbegriff
S. - 5 -
Interessant ist hier noch der Sonderfall, dass x1 = 0 ist, also die gesamte Fläche vom Ursprung aus berechnet wird. Denn
dann vereinfacht sich die Gleichung zu
1 ⋅ ⋅∆ 2
k x
2
wobei ∆x = x2 ist, also erhält man
A1, 2 =
(34a)
1⋅ ⋅ 2
k x2
(34b)
2
Auch hier stellt man fest, dass die Fläche quadratisch mit dem Argument x zunimmt. Stellt man den Flächeninhalt als
Funktion von x dar, erhält man
A1, 2 =
1⋅ ⋅ 2
k x
(35)
2
also eine quadratische Funktion, deren Graph folglich eine Parabel ist. Wendet man die Ableitungsregel nach Glg. (25) auf
diese Funktion an, so erhält man
F( x ) =
d
1
F( x ) = F' ( x ) = ⋅ k ⋅ 2 ⋅ x 2 −1 = k ⋅ x
(36)
dx
2
Die 1. Ableitung der Flächenfunktion ergibt also die Funktion f(x), deren Graph die Fläche nach oben beschränkt. Dieser
Umstand ist für die Verallgemeinerung auf beliebige Funktionen, deren Graph die Fläche begrenzt, wichtig.
Flächeninhalt bei beliebigen Funktionen
Eine Möglichkeit der Flächenbestimmung besteht in der Zerlegung der gesuchten
Fläche in Teilflächen, deren Flächeninhalt durch ein Rechteck angenähert wird. Die
Summe aller rechteckinhalte ergibt dann einen Näherungswert für den gesuchten
Flächeninhalt. Wie man leicht der Abb. 5 entnehmen kann, wird diese Annäherung
umso genauer, je größer die Anzahl der Rechtecke gewählt wird.
Zur näheren Untersuchung denke man sich die Strecke vom Ursprung bis x1 in eine
Anzahl n gleichlanger Intervalle der Länge ∆x geteilt. Dann gilt für den Flächeninhalt des Rechtecks an der Stelle xi
Ai = f (x i ) ⋅ ∆x
A ges = f (x 1 ) ⋅ ∆ x + f (x 2 ) ⋅ ∆x + f ( x 3 ) ⋅ ∆x + ... + f (x n ) ⋅ ∆x
(38)
Für eine solche Art der Summe kennt die Mathematik die abkürzende Schreibweise
n
i =1
BN
(37)
und für die gesamte Fläche
A ges = ∑ f (x i ) ⋅ ∆ x
O
(39)
N
Abb. 5: Bestimmung der grauen
Fläche bei einer beliebigen Funktion
N
(gelesen: „A-gesamt ist die Summe über i gleich 1 bis n von f von x-i mal Delta-x“).
Wie schon erwähnt erhält man auch hier eine umso bessere Näherung, je größer die Anzahl der Rechtecke ist, was gleichbedeutend ist mit der Aussage, dass ∆x beliebig klein gewählt werden müsste. Den tatsächlichen Flächeninhalt erhielte man
also durch den Grenzwert
n
A ges = lim ∑ f (x i ) ⋅ ∆x
n→∞ i =1
(40a)
bzw.
n
A ges = lim ∑ f (x i ) ⋅ ∆x
∆x →0 i =1
(40b)
Auch hier gibt es eine Operatorschreibweise, die angibt, dass der Grenzübergang vollzogen wurde:
A ges = ∫ f (x ) ⋅ dx
(41)
(gelesen: „Integral von f von x [nach] dx“), wobei das geschwungene stilisierte S an das griechische Σ (Buchstabe S) des
Summenzeichens erinneren soll. Wie oben bereits festgestellt, muss die Flächenfunktion als Ableitung die Funktion des
Graphen ergeben, es muss also die Funktion:
F( x ) = ∫ f ( x ) ⋅ dx
so bestimmt werden, dass gilt:
(42)
d
F( x ) = f ( x )
(43)
dx
Dies ist genau der umgekehrte Weg wie bei der Ableitung einer Funktion, deswegen wird hier häufig der Begriff Aufleitung
verwendet.
Th. Biedermann 11/2003
Infinitesimalrechnung - Flächenberechnung und Integralbegriff
S. - 6 -
Regeln zum Ab- und Aufleiten
Gleichung (25) enthält die Ableitungsregel für einen Ausdruck der Form
n
n −1
f (x ) = k ⋅ x ⇒ f ' (x ) = k ⋅ n ⋅ x
(Ableitungsregel für Potenzen)
in Worten ausgedrückt:
man erhält die Ableitungsfunktion, indem man den konstanten Faktor k beibehält, den Exponenten der Variablen
als weiteren Faktor vor die Variable stellt und den Exponenten der Variablen um 1 erniedrigt.
Zur Aufleitung kehrt man diese Regel um und führt die Anweisungen in umgekehrter Reihenfolge aus:
man erhält die Aufleitungsfunktion, indem man den Exponenten der Variablen um 1 erhöht, den Term durch den
neuen Exponenten dividiert und den konstanten Faktor beibehält
in mathematischer Symbolik also
1 n +1
n
(Aufleitungsregel für Potenzen)
f (x ) = k ⋅ x ⇒ F( x ) == k ⋅
x
n +1
Die Integralfunktion F(x) der proportionalen Funktion f(x) = k · x ergibt sich somit zu
(Genaugenommen fehlt hier noch ein konstanter Summand, der beim Differenzieren
wieder wegfallen würde - dies ist aber hier
für die Flächenberechnung nicht relevant)
1 1+1 = ⋅ 1 2
1
f (x ) = k ⋅ x ⇒ F(x ) == k ⋅
x
k x
+
1 1
2
damit erhält man also den gleichen Ausdruck wie auf Seite 5, Glg. (35) für den Flächeninhalt.
Sowohl beim Ab- als auch beim Aufleiten gilt die Summenregel:
(f (x ) + g( x ) )' = f ' (x ) + g' ( x )
∫ (f ( x ) + g (x ) )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g( x )dx
(Summenregel beim Ableiten)
(Summenregel beim Integrieren)
Bestimmung des Flächeninhaltes zwischen zwei X-Werten
Um eine Teilfläche A ges (dunkelgraue Fläche in Abb. 6) in einem Intervall [x1; x2]
zu bestimmen, geht man nun wie bereits auf Seite 4 beschrieben vor: Man berechnet
zunächst die Fläche A2 (linierte Fläche) bis zur oberen Intervallgrenze x2 und zieht
anschließend davon den Flächeninhalt A1 (hellgraue Fläche) bis zur unteren Intervallgrenze x1 wieder ab:
Ages = A 2 − A1
In der Integralschreibweise stellt sich dieses dar als
O
)
)
(44)
BN
) CAI
x2
A ges = ∫ f (x )dx
(45)
x1
wobei unten am Integralzeichen die Untergrenze und oben die Obergrenze angegeben wird. Nach Bestimmen der Integralfunktion F(x) erhält man daraus den Flächeninhalt zu
A ges = [F(x )]x = F(x 2 ) − F( x 2 )
x2
1
(46)
N
N
Abb. 6: Bestimmung der Teilfläche bei einer beliebigen Funktion
N
(der erste Term hinter dem Gleichheitszeichen wird gelesen als „F von x in den Grenzen von x-1 bis x-2“).
Beispiel für f(x) = x2 + 2x -1
Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen der Kurve und der X-Achse im Intervall [2; 3], d.h.: x1 = 2 und x2 = 3.
Für die gesuchte Fläche gilt dann
3
2
A ges = ∫ ( x + 2 x − 1)dx
2
(47)
Anwenden der Aufleitungsregeln ergibt für F(x) den Term
1 3
1
1
x + 2 ⋅ x 2 − 1⋅ x = x3 + x2 − x
3
2
3
Der Flächeninhalt ist dann
F( x ) =
(48)
3
14 31
1
1
 1 3 2
 1 3

2
A ges =  x 3 + x 2 − x  =  3 + 3 − 3  −  2 + 2 − 2  = 15 −
=
= 10
3
3
3
3
3
3

2 
 

Handelt es sich bei den Koordinatenachsen um einheitenbehaftete Größen, ist die Maßeinheit dieses „Flächeninhaltes“ das
Produkt dieser Einheiten.
Th. Biedermann 11/2003
Infinitesimalrechnung - Ergänzungen
S. - 7 -
Weitere Ableitungsregeln
Potenzen mit nicht natürlichen Exponenten
Die Ableitungsregel für Polynome mit ganzzahligen positiven Exponenten
n 1
n
Ableitung

→ n ⋅ x −
x
lässt sich auch erweitern auf negative Exponenten:
z
Ableitung

→
x
so ist z.B. die Ableitung von f(x) = x-1
z ⋅x
z −1
n∈N
(49)
z∈Z
(50)
1
Ableitung

→ f ' (x ) = −1 ⋅ x −1−1 = − x −2 = − 12
x
x
Die Erweiterung der Ableitungsregel von N auf Z legt nahe, dies auch für Exponenten der Form
1
f (x ) = x − =
m
f (x ) = x n
anzuwenden. Durch Anwenden der Regel für Potenzen erhält man daraus
x
m
n
m n −1 = m
x
x
n
n
Ableitung

→
1
x
2
So erhält man z.B. für
x =x
1
2
m
Ableitung

→
1− 2
2
m− n
n
(51)
1
=
1 −2 1 1
1
x = ⋅ 1 =
2
2 2 2 x
x
(52)
Produkte von Funktionen
Für das Produkt zweier Funktionen gilt
(f (x ) ⋅ g( x ))' = f ' ( x ) ⋅ g (x ) + f ( x ) ⋅ g' (x )
( u ⋅ v )' = vu '+ uv '
(Produktregel)
(53)
hier auch in der häufig verwendeten verkürzten Schreibweise mit u = f(x) und v = g(x) angegeben.
So gilt zum Beispiel für die Funktionen f(x) = x² und g(x) = x³
(x
2
⋅ x3
)
Da gilt:
Ableitung

→
3
2
2
4
4
4
2x ⋅ x + x ⋅ 3x = 2x + 3x = 5x
(54a)
(54b)
kann man dieses Ergebnis auch durch die Ableitung des ausgeführten Produktes überprüfen, es ergibt sich als Ableitung
ebenfalls
2
3
5
x ⋅x = x
x
5
Ableitung

→
5x
(55)
4
Quotienten von Funktionen
Für den Quotienten zweier Funktionen gilt die etwas kompliziertere Regel
|
 f ( x )  f ' ( x ) ⋅ g( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x )

 =
(Quotientenregel)
2
(g (x ))
 g( x ) 
auch hier in der verkürzten Schreibweise angegeben.
|
 u  vu'− uv '
  =
2
 v
v
(56)
So gilt für als Beispiel für die beiden obigen Funktionen f(x) = x² und g(x) = x³
3
4
 x2 
⋅ − 2⋅ 2
− 4 − 4
 3 
Ableitung

→ x 2x 3 x2 3x = 2x 6 3x = x6 = − 12
x 
(x )
x
x
x
da man hier den Quotienten auch vorab bilden kann, erhält man zur Probe
2
x = 1 = −1
x
3
x
x
Ableitung

→
− 1 ⋅ x −1−1 = − x −2 = − 12
x
(57a)
(57b)
Funktionen von Funktionen
Als Verkettung von Funktionen bezeichnet man die Tatsache, dass das Argument der ersten Funktion selbst wieder eine
Funktion ist:
f ( g ( x )) = f ( z )
z = g (x )
mit
(58)
Man bezeichnet dabei f(z) als äußere Funktion und g(x) als innere Funktion, f(g(x)) als Verkettung von f und g.
Th. Biedermann 11/2003
Infinitesimalrechnung - Ergänzungen
S. - 8 -
Für die Ableitung einer solchen Funktion gilt
f (g( x ))' = g ' (x ) ⋅ f ' (g( x ))
u( v )' = u '⋅v '
(Kettenregel)
dabei bezeichnet man g’(x) als innere Ableitung und f’(z) = f’(g(x)) als äußere Ableitung.
(59)
Die Vorgehensweise soll am folgenden Beispiel verdeutlicht werden. Es sei
(
)
2
(60)
f (z ) = z
die äußere Funktion und
(61)
3
f (x ) = x − 2 x
Hier ist
2
3
g( x ) = x − 2 x = z
die innere Funktion.
Zunächste wird die innere Ableitung von g(x) gebildet:
(62)
3
Ableitung

→ 3x − 2
x − 2x
Als nächstes bildet man die äußere Ableitung von f(z)
(63)
2
Ableitung

→ 2z
z
Damit ergibt sich als Ableitung von f(g(x))
(64)
2
(x
also
3
− 2x
)
2
Ableitung

→
(
) (
2
3
f ( g ( x ))' = 3x − 2 ⋅ 2 x − 2 x
(3x
2
)
(
) (
2
3
− 2 ⋅ 2z = 3x − 2 ⋅ 2 x − 2 x
)
(65)
)
(66)
Auch hier kann man die Probe machen, indem man den Term von f(x) nach der binomischen Formel auflöst und unter
Anwendung der Summenregel (siehe S. 6) ableitet:
3
2
f (g( x ))' = 36 x − 36x
6
4
2
Ableitung

→
f (g( x )) = x − 4x + 4x
Ausmultiplizieren von Glg. (66) ergibt
5
3
3
5
(67)
3
(68)
f ( g ( x ))' = 6 x − 4 x − 12 x + 8 x = 6 x − 16 x + 8 x
stimmt also mit dem Ergebnis von Glg. (67) überein.
Als zweites Beispiel soll eine Funktion dienen, die eine Potenz in einer Wurzel enthält:
2
2
f (x ) = x − a
mit
a∈R
(69)
und
2
2
g (x ) = x − a
(70)
Hier ist
f (z ) = z
mit den Ableitungen
f ' ( z) =
1
g' (x ) = 2 x
und
2 z
Damit erhält man für die Ableitung von f(x)
f ' (x ) = 2 x ⋅
1
2
2 x −a
x
=
2
2
2
x −a
(71)
(z = g(x) = x² - a²)
(72)
Zusammenstellung der am häufigsten benötigten Ableitungen
Funktion
Ableitung
Funktion
Ableitung
c (Konstante)
0
sin x
cos x
x
1
cos x
- sin x
x
1
x
n
x
a
x
n −1
n⋅ x
− 12
x
1
2 x
x
a ⋅ ln a
x
e
1
n
x
n
x
ln x
e
x
− nn+1
x
1
n
n⋅ x
1
x
n −1
Th. Biedermann 11/2003
Infinitesimalrechnung - Anwendungsbeispiele
S. - 9 -
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Betrachtet wird der senkrechte Wurf aus einer Starthöhe s0 im Schwerefeld der Erde mit der Anfangsgeschwindigkeit v0.
Die Bewegungsgleichung dafür lautet
I
1
2
s( t ) = − g ⋅ t + v 0 ⋅ t + s 0
(73)
2
darin ist s der Ort in Abhängigkeit von der Zeit t und g die Fallbeschleunigung.
Zunächst steigt der Wurfkörper an, dabei nimmt seine Geschwindigkeit wegen der entgegengesetzt gerichteten Erdbeschleunigung ab, bis sie den Wert 0 erreicht und der
Körper seine maximale Steighöhe erreicht hat. Anschließend beginnt er mit steigender
Geschwindigkeit zu fallen, bis er die Höhe 0 erreicht und auf dem Boden aufkommt.
Der Graph der Höhe s in Abhängigkeit von der Zeit t ist eine nach unten geöffnete
asymmetrische Parabel (s. Abb. 7).
Für die Geschwindigkeit gilt üblicherweise
J
∆s
v=
(74)
Abb. 7: Flughöhe s eines gewor∆t
fenen Körpers in Abhändazu muss das Zeitintervall ∆t bestimmt werden, das für das Durchlaufen einer begigkeit von der Zeit t
stimmten Strecke ∆t benötigt wird. Da aber die Zeit pro Wegeinheit sich laufend ändert, erhält man eine genaue Aussage über die Geschwindigkeit nur, wenn man das
L
Zeitintervall beliebig klein wählt, also
∆s
(75)
∆t
Nach den Ausführungen auf S. 1ff ist der Grenzwert dieses Termes aber die 1. Ableitung des Weges s(t) nach der Zeit, also gilt:
v = lim
∆ t →0
d
s( t )
(76)
dt
Die Momentangeschwindigkeit ergibt sich also aus der 1. Ableitung der Funktionn des
Weges nach der Zeit unter Anwendung der Summenregel zu
J
v (t ) =
(77)
v (t ) = − g ⋅ t + v 0
Dies ist eine Gerade mit dem Y-Achsenabschnitt v0 und der Steigung -g (siehe auch
Abb. 8).
Analog definiert sich die Beschleunigung eines Körpers als die Änderung der Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit, es gilt
∆v
a=
(78)
∆t
Auch hier erhält man durch genaue Aussagen erst bei beliebig kleinen Intervallen ∆t
∆v
∆t
und der Grenzübergang liefert
a = lim
∆t →0
Abb. 8: Geschwindigkeit eines geworfenen Körpers in Abhängigkeit von der Zeit t
=
(79)
d
v(t )
(80)
dt
J
Anwenden der Differeneziationsregeln liefert daraus
a ( t ) = −g
(81)
Abb. 9: Beschleunigung eines geworfenen Körpers in Abdas heißt, die Beschleunigung ist konstant und gleich minus g (Ausgangsvoraussetzung).
hängigkeit von der Zeit t
Betrachte man Glg. (80) und ((77), so stellt man fest, dass die Beschleunigung die
Ableitung von der Ableitung des Ortes s(t) ist, man sagt auch: a(t) ist die zweite Ableitung des Ortes (nach der Zeit). In
Operatorschreibweise ergibt sich
a ( t) =
d
dd

v ( t ) =  s( t ) 
dt
dt  dt

Die beiden gleichartigen Operatoren lassen sich zusammenfassen zu
a ( t) =
(82)
2
d
(83)
2 s( t )
dt
(gesprochen: „a von t ist gleich d-Quadrat nach dt-Quadrat von s von t“). Dieser Operator gibt also an, dass die 2. Ableitung
von s(t) zu bilden ist. Entsprechendes gilt für höhere Ableitungen (was in der Physik allerdings eher selten ist).
a ( t) =
Th. Biedermann 11/2003
Infinitesimalrechnung - Anwendungsbeispiele
S. - 10 -
Energie eines geladenen Kondensators
Ein Kondensator ist eine Bauelement, das eine bestimmte Ladung speichern kann, deren Größe von der Kapazität C des
Kondensators und der an ihn angelegten Spannugung U abhängt. Für die Kapazität gilt die Definition
Q
(84)
U
Die in einem Kondensator gespeicherte Energie ergibt sich aus der Spannungsdefinition
C=
U=
W
Q
(85)
zu
(86)
W = U ⋅Q
Ändert sich die Spannung an einem Kondensator, so ändert sich auch die Ladungsmenge Q auf dem Kondensator. Da die
Gleichung (86) nur gilt, wenn U und Q konstant sind, muss man die Energie schrittweise bestimmen, denn die Ladung steigt
proportional mit der Spannung. Es gilt also:
n
W = lim ∑ Q i ⋅ ∆ U
n →∞ i =1
(87)
Aus Glg. (84) folgt für die Ladung auf dem Kondensator
Q = C⋅ U
Analog zu den Glg. (40) und (41) gilt hier also entsprechend
U max
W = ∫ (C ⋅ U )dU
(88)
(89)
0
wobei die Spannung U bei 0 beginnt und bis Umax ansteigt. Die unabhängige Variable ist in diesem Fall U, somit ergibt sich
durch Anwendung der Integrationsregel (Aufleitungsregel für Potenzen, S. 6)
U max
1

W = C ⋅  U2 
2
0
= 1 C ⋅ U 2max
2
(90)
Hubarbeit bei abnehmender Gravitationsfeldstärke
Bei geringen Hubhöhen kann man die Erdbeschleunigung als konstant ansehen (a = g = const). Bei größeren Strecken
nimmt die Gravitationsfeldstärke jedoch quadratisch mit dem Abstand ab, es gilt:
M
(91)
2
r
wobei g die Gravitationskonstante, M die Masse des Zentralkörpers und r der Abstand vom Mittelpunkt der Masse M ist
Um eine Masse m im Gravitationsfeld der Stärke g um die Höhe h anzuheben, gilt im Laborsystem für die Hubarbeit W
W = m ⋅g ⋅h
(92)
wobei allerdings g als konstant angesehen werden muss. Ist dies wie hier nicht der Fall, so muss wieder die Summe aller
Teilenergien gebildet werden, indem man die Energie von der Anfangshöhe h0 bis zur Höhe h0+∆h, von dort bis zur Höhe
h0+2∆h usw. addiert und G(h) für jedes Intervall neu berechnet. Man erhält wieder
G( h ) = γ ⋅
n
W = lim ∑ m ⋅ G ( h ) ⋅ ∆ h
(93)
n→ ∞ i = 1
und als Grenzwert
h1
W = ∫ (m ⋅ G( h ))dh
(94)
h0
Einsetzen der Glg. (91) in (94) ergibt das Integral
h1
h
M
1
=
⋅
γ
⋅
⋅
)
dh
m
M
∫ 2 dh
(95)
2
h
h h
h
mit der unabhängigen Variablen h, wobei die Konstanten vor das Integralzeichen gezogen werden können. Als Lösung
ergibt sich daraus nach den entsprechenden Regeln
1
0
0
W = ∫ (m ⋅ γ ⋅
h1
 1
 1
1
W = m ⋅ γ ⋅ M ⋅ −  = − m ⋅ γ ⋅ M ⋅  −
 h h
 h1 h 0



 = m ⋅ γ ⋅ M ⋅  1 − 1 
(96)

 h0 h1 
Das negative Vorzeichen gibt an, dass die Energie mit zunehmender Höhe abnimmt, was im Umkehrschluss heißt, dass ein
fallender Körper an Energie zunimmt, was ja auch der üblichen Beobachtung entspricht. Man beachte, dass h 0 in diesem
Fall den Wert 0 nicht annehmen darf, da dann der Ausdruck nicht mehr definiert ist. Für kleine ∆h geht (96) in (92) über,
wie man durch Ersetzen von h1 durch h0 + ∆h leicht nachweisen kann (Hauptnenner bilden!).
0
Th. Biedermann 11/2003
Infinitesimalrechnung - Anwendungsbeispiele
S. - 11 -
Inhaltsverzeichnis
Ausgangssituation (Tangentensteigung)
1
Lösungsweg (Tangentensteigung)
1
Beispiel für die Funktion f(x) = x²
1
Bestimmen der vollständigen Tangentenfunktion
2
Tangentengleichung t(x) für die Funktion f(x) = x²
2
Beispiel für eine andere Funktion für f(x)
2
Verallgemeinerung für Funktionen der Form f(x) = axn
2
Schreibweise mit Differenzialoperator
3
Zuammenfassung
3
Ausgangssituation (Flächenberechnung)
4
Lösungsweg (Flächenberechnung)
4
Flächeninhalt bei einer konstanten Funktion
4
Flächeninhalt bei einer proportionalen Funktion
4
Flächeninhalt bei beliebigen Funktionen
5
Regeln zum Ab- und Aufleiten
6
(Ableitungsregel für Potenzen)
6
(Aufleitungsregel für Potenzen)
6
(Summenregel beim Ableiten)
6
(Summenregel beim Integrieren)
6
Bestimmung des Flächeninhaltes zwischen zwei X-Werten
6
Beispiel für f(x) = x2 + 2x -1
6
Weitere Ableitungsregeln
7
(Produktregel)
7
(Quotientenregel)
7
(Kettenregel)
8
Zusammenstellung der am häufigsten benötigten Ableitungen
8
Beispielanwendungen aus der Physik
9
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
9
Energie eines geladenen Kondensators
10
Hubarbeit bei abnehmender Gravitationsfeldstärke
10
Th. Biedermann 11/2003