Prof. Liedl 11.12.2012 Lösung Blatt 8 ¨Ubungen zur Vorlesung PN1

Prof. Liedl
11.12.2012
Lösung Blatt 8
Übungen zur Vorlesung PN1
Lösung zum Übungsblatt 8
Besprochen am 11.12.2012
Aufgabe 1: Moleküle als starre rotierende Körper
Durch Mikrowellen lassen sich Rotationen von Molekülen mit einem permanenten Dipolmoment anregen. Daher erlaubt die Mikrowellen-Spektroskopie die Bestimmung von
Trägheitsmomenten solcher Moleküle. Dies soll am Beispiel des HCl-Moleküls nachvollzogen werden.
a) Bestimmen sie den Schwerpunkt des Moleküls. Der Abstand des 1 H vom
32
Cl – Atom beträgt 110 pm und der Koordinatenursprung sei so gewählt, dass er im Cl
- Atom liege.
Lösung:
Schwerpunkt rs bezüglich des Chlor-Atoms als Koordinatenursprung:
P
ri mi
0pm · mCl + 110pm · mH
110pm · 1u
=
=
= 3.06pm
rs = Pi
mCl + mH
36u
i mi
P
2
b) Bestimmen sie das Trägheitsmoment I =
i mi (ri − rs ) von HCl bezüglich seines
Schwerpunktes. (ri − rs ) bezeichnet den Abstand des i-ten Atomes vom Schwerpunkt.
Lösung:
Durch Einsetzen der Werte aus a) ergibt sich:
X
2
2
2
I=
i mi (ri − rs ) = mCl · (0 − rs ) + mH · (r − rs )
= [35 · 3.062 + 1 · (110 − 3.06)2 ] · 1.66 · 10−27 kg · 10−24 m2 = 1.91 · 1047 kgm2
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Aufgabe 2: Drehimpuls als Vektor
Betrachten Sie ein dreidimensionales Koordinatensystem. Ein als Massenpunkt angenommene Radfahrer (Masse m = 60 kg) bewege sich mit der Geschwindigkeit
vx = 5 m/s (vy = 0, vz = 0) entlang der Geraden z = 0 m, y = 5 m (also im Abstand
von 5 m parallel zur x-Achse). a) Bestimmen sie den Drehimpuls relativ zum Ursprung,
wenn sich der Radfahrer am Ort x = 12 m, y = 5 m befindet.
Lösung:
Für den Drehimpuls gilt:
~ = m · ~v × ~r
L






12
0·0−0·5
5
m2
m
= 60kg ·  0  ×  5  m = 60kg ·  0 · 12 − 5 · 0 
s
s
0
5 · 5 − 0 · 12
0




0
0
2
kgm
kgm2
= 0 
= 60 ·  0 
s
s
25
1500
2
Der Betrag des Drehimpulses ist also 1500 kgm
.
s
b) An welchem Ort befindet sich der Radfahrer 10 s später und welchen Drehimpuls
besitzt er dort?
Lösung:
Ortsvektor nach 10 s:




 
12
62
5
m
~r =  5  m +  0  · 10s =  5  m
s
0
0
0
Also gilt für den Drehimpulsvektor nach diesen 10 s:






 
62
0·0−0·5
0
5
2
2
~ = 60kg ·  0  m ×  5  m = 60 ·  0 · 62 − 5 · 0  kgm =  0  kgm
L
s
s
s
0
0
5 · 5 − 0 · 62
1500
Da keine Kraft wirkt dürfen sich Impuls, Drehimpuls etc. nicht ändern. Dashalb ist der
Drehimpuls der gleiche wie in Teilaufgabe a).
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c) An diesem Ort wirke nun eine Kraft mit Fx = -100 N, Fy = 0, Fz = 0 auf den Radfahrer. Welches Drehmoment übt diese Kraft relativ zum Ursprung aus?
Lösung:
Das Drehmoment lässt sich aus Kraft und Hebel folgendermaßen berechnen:








62
−100
5·0−0·0
0
~ = ~r × F~ =  5  m ×  0  N =  −100 · 0 − 62 · 0  N m =  0  N m
M
0
0
62 · 2 + 100 · 5
500
Aufgabe 3: Zylinder auf einer schiefen Ebene
Zwei identische Zylinder liegen in der Höhe h auf einer schiefen Ebene und werden gleichzeitig losgelassen. Der eine Zylinder gleitet herab ohne zu rollen und der andere Zylinder
rollt ohne zu gleiten herab.
Das Massenträgheitsmoment eines Zylinders bezüglich seiner Symmetrieachse ist
1
J = mr2
2
mit der Masse m und dem Radius r.
Die Reibung wird in der Augabe vernachlässigt.
a) Berechnen Sie das Verhältnis der Geschwindigkeiten des gleitenden Zylinders vg und
des rollenden Zylinders vr am Ende der schiefen Ebene.
Warum sind die Zylinder nicht gleich schnell? (Begründen Sie mit dem Energieerhaltungssatz)
Lösung:
Die Gleitgeschwindigkeit vg erhält man durch die Energieerhaltung:
1
mgh = mvg2
2
p
→ vg = 2gh
Rollt der Zylinder den Berg hinab bedeutet das, er dreht sich auch noch um seine
Symetrieachse. Rollgeschwindigkeit vr und Winkelgeschwindigkeit ω hängen wie folgt
zusammen:
vr = rω
Die kinetische Energie besteht also aus Roll- und Rotationsenergie. Ausgehend von der
Energieerhaltung
1
1
mgh = mvr2 + Jω 2
2
2
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erhalten wir nach Einsetzen der Abrollbedingung
1 2 1 vr 2
mgh = mvr + J
2
2
r
Jetzt noch das Massenträgheitsmoment einsetzen:
1
mgh = mvr2 +
2
1
= mvr2 +
2
3 2
= mvr
4
1 1 2 vr 2
· mr
2 2
r
1 2
mv
4 r
Die Rollgeschwindigkeit ist also
r
4
gh
3
Das Verhältnis von Gleit- zu Rollgeschwindigkeit ist
√
vg
3
2gh
=q
= ≈ 1.22
vr
2
4
gh
3
vr =
Für Zylinder gilt also wenn man die Reibung vernachlässigt, dass die Gleitgeschwindigkeit ca. 1.22 mal so groß ist wie die Rollgeschwindigkeit. Dies liegt daran, dass Energie
für die Rotation aufgebracht werden muss, was beim Gleiten nicht der Fall ist.
b) Die kinetische Energie des rollenden Zylinders setzt sich zusammen aus Translatiosenergie und Rotationsenergie. Berechnen Sie für den rollenden Zylinder den Anteil
der Rotationsenergie an der kinetischen Energie. Tipp: vT ranslation = vRotation (Rollbedingung)
Lösung:
Es gilt I = 21 mr2 und vrot = ωr und die Rollbedingung vT ranslation = vRotation .
1
1
1
3
1 2
Ekin = Etrans + Erot = mvtrans
+ Iω 2 = mv 2 + mv 2 = mv 2
2
2
2
4
4
Es gilt also Erot /Ekin = 1/3.
Aufgabe 4: Murmelbahn
Eine Kugel (Masse m, Trägheitsmoment J bzgl. ihres Mittelpunktes, Radius R) rollt
aus der Ruhe heraus ohne zu gleiten eine schiefe Ebene hinab um danach über einen
Viertelkreis mit dem Radius r die Bahn in vertikaler Richtung zu verlassen.
a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v der Kugel beim Verlassen des Viertelkreises,
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also an der Stelle (b).
Lösung:
Es gilt wieder ω = Rv und die Energieerhaltung
1
1
mgh1 = mgh2 + mv 2 + Jω 2
2
2
Daraus wird mit der Rollbedingung
1
1 v2
mgh1 = mgh2 + mv 2 + J 2
2
2 r
J
· v2
2g(h1 − h2 ) = 1 +
2
mR
s
2g(h1 − h2 )
→v=
J
(1 + mR
2)
b) Welche Höhe h3 erreicht die Kugel nach Verlassen des Viertelkreises?
Lösung:
Am höchsten Punkt h3 ist wie gehabt die Geschwindigkeit gleich 0. Nach dem Verlassen
des Viertelkreises (Stelle b) bleibt die Rotation gleich, d.h. auch am höchsten Punkt
rotiert die Kugel noch mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit ω wie an Stelle (b).
Wegen der Energieerhaltung gilt:
1
1
1
mgh2 + mv 2 + Jω 2 = mgh3 + Jω 2
2
2
2
1
mgh3 = mgh2 + mv 2
2
2
v
h3 = h2 +
2g
c) Warum erreicht die Kugel nicht mehr die Ausgangshöhe h1 ? Begründen Sie mit Hilfe
der Rechnungen in Teilaufgabe a) und b).
Lösung:
Mit Teilaufgabe a) lässt sich über h1 folgene Aussage machen:
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1 2 1 v2
mgh1 = mgh2 + mv + J 2
2
2 R
Jv 2
v2
+
h1 = h2 +
2g mR2 2g
| {z } | {z }
=h3
Man kann also sehen, dass h3 < h1 sein muss.
>0