Dima1 (WiSe 08/09)

Dima1 (WiSe 08/09)
Horst Görtz Institut für IT-Sicherheit
Ruhr-Universität Bochum
w4p
26. Dezember 2008
Aufgabe 1:
Geben Sie für die folgenden Relationen jeweils an, ob sie a) reflexiv b) symmetrisch, c) antisymmetrisch, d) transitiv sind, und beweisen Sie dieses.
(1) R1 = {(a, b) ∈ Q2 \{0}|a = 1b }
(2) R2 = {(a, b) ∈ N2 |a ≤ b}
1a) Bedingung für Reflexivität: ∀a ∈ Q : (a, a) ∈ R1
Wähle a = 2
⇒ 2 6= 12
⇒ ∃a ∈ A, so dass (a, a) ∈
/ R1
⇒ nicht reflexiv
1b) Bedingung für Symmetrie: ∀a, b ∈ Q : (a, b) ∈ R1 ⇒ (b, a) ∈ R1
Wenn (a, b) ∈ R1
⇒ a = 1b
⇒ ab = 1
⇒ b = a1
⇒ (b, a) ∈ R1
⇒ R1 ist symmetrisch
1
1c) Bedingung für Antisymmetrie:
∀a, b ∈ Q : (a, b) ∈ R1 ∧ (b, a) ∈ R1 ⇒ a = b
Relation R1 ist nicht antisymmetrisch:
Wähle a = 2, b =
1
2
⇒ (2, 12 ) ∈ R1 ∧ ( 21 , 2) ∈ R1
Hieraus folgt aber nicht, dass a = b, denn a = 2 und b =
1
2
⇒ ∃a, b ∈ Q : (a, b) ∈ R1 ∧ (b, a) ∈ R1, so dass a 6= b
⇒ nicht antisymmetrisch
1d) Bedingung für Transitivität:
∀a, b, c ∈ Q : (a, b) ∈ R1 ∧ (b, c) ∈ R1 ⇒ (a, c) ∈ R1
Wähle a = 2, b = 12 , c = 2
(2, 12 ) ∈ R1 ∧ ( 12 , 2) ∈ R1, aber
(2, 2) ∈
/ R1
⇒ ∃a, b, c ∈ Q, so dass (a, b) ∈ R1 ∧ (b, c) ∈ R1, aber (a, c) ∈
/ R1
⇒ nicht transitiv
Wir notieren:
Ist eine Relation irreflexiv und symmetrisch ⇒ Relation ist nicht transitiv
2
2a) Bedingung für Reflexivität: ∀a ∈ N : (a, a) ∈ R2
Offenbar gilt: a ≤ a, denn
a ≤ b gdw. a = b ∨ a < b
⇒ (a, a) ∈ R2
⇒ ref lexiv
1b) Bedingung für Symmetrie: ∀a, b ∈ N : (a, b) ∈ R2 ⇒ (b, a) ∈ R2
Wähle a = 4, b = 6 ⇒ (4, 6) ∈ R2, da 4 ≤ 6, aber (6, 4) ∈
/ R2, da 6 ≤ 4
ein Widerspruch ist
⇒ nicht symmetrisch
1c) Bedingung für Antisymmetrie:
∀a, b ∈ N : (a, b) ∈ R2 ∧ (b, a) ∈ R2 ⇒ a = b
Aus (a, b) ∈ R2 ⇒ (a < b ∨ a = b)
Aus (b, a) ∈ R2 ⇒ (b < a ∨ a = b)
Wenn a kleiner als b sein soll, kann b nicht kleiner als a sein.
⇒ a = b ∀a, b ∈ N mit (a, b) ∈ R2 ∧ (b, a) ∈ R2
⇒ antisymmetrisch
1d) Bedingung für Transitivität:
∀a, b, c ∈ N : (a, b) ∈ R2 ∧ (b, c) ∈ R2 ⇒ (a, c) ∈ R2
Wenn (a, b) ∈ R2 ∧ (b, c) ∈ R2
⇒a≤b
⇒b≤c
Aus beiden Folgerungen gilt offenbar:
a≤c
⇒ (a, c) ∈ R2
⇒ transitiv
3
Aufgabe 3: Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:
n(n + 1)
(a) Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen beträgt
2
(b) Die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen beträgt n2
(a) Induktionsverankerung:
n
X
k=
n(n + 1)
2
k=
1(1 + 1)
2
k=1
gilt für n = 1, da
1
X
k=1
1=
Induktionannahme:
n
X
k=
k=1
Induktionsziel:
n+1
X
k=
k=1
2
2
n(n + 1)
2
(n + 1)(n + 2)
2
Induktionsschritt: n → n + 1
n+1
X
k=1
k=
n
X
k + (n + 1)
k=1
n(n + 1)
+ (n + 1)
2
n
= (n + 1) · ( + 1)
2
1
= (n + 1) · (n + 2)
2
(n + 1)(n + 2)
=
2
IA
=
q.e.d
4
(b) eine ungerade Zahl lässt sich als 2k − 1 darstellen
Induktionsverankerung:
n
X
(2k − 1) = n2
k=1
gilt für n = 1, da
1
X
(2k − 1) = 1
k=1
1=1
Induktionannahme:
n
X
(2k − 1) = n2
k=1
Induktionziel:
n+1
X
(2k − 1) = (n + 1)2
k=1
Induktionsschritt: n → n + 1
n+1
X
n
X
k=1
k=1
(2k − 1) =
IA
(2k − 1) + 2(n + 1) − 1 = n2 + 2(n + 1) − 1
= n2 + 2n + 2 − 1 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2
q.e.d
5
Aufgabe 4:
In der Vorlesung Diskrete Mathematik müssen 140 Studenten aus zwei Übungsgruppen (Gruppe 1 und 2) jeweils genau eine Gruppe auswählen.
a) Wieviele Möglichkeiten der Aufteilung der Studenten gibt es, wenn man auch
unterscheidet, welche Studenten welche Gruppe besuchen?
b) Die Verwaltung interessiert sich nur für die Gesamtzahlen an Studenten pro
Übungsgruppe. Wieviele mögliche Aufteilungen gibt es unter dieser Betrachtungsweise?
Lösung a) Die Studenten ziehen die Gruppen. Da eine Gruppe nach einem
Ziehen nicht verschwinden kann, handelt es sich um Ziehen mit Zurücklegen. Da man sich dafür interessiert, welcher Student welche Gruppe wählt, ist
die Reihenfolge von Bedeutung. Also handelt es sich hierbei um geordnetes
Ziehen
k := Studenten = 140
n := Gruppen = 2
Die Formel für geordnetes Ziehen mit Zurücklegen lautet: nk
Es gibt also nk = 2140 Möglichkeiten.
Lösung b) Die Gruppen ziehen nun ”Studenten“ mit Zurücklegen und ungeordnet. Wir definieren:
k := Gruppen = 140
n := Studenten = 2
Die Formel für ungeordnetes Ziehen mit Zurücklegen lautet:
2+140−1
140
=
141
140
=
141!
141 · 140!
=
= 141
140! · (141 − 140)!
140!
Es gibt also 141 Aufteilungen.
6
n+k−1
k