Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen
DSP-2-Komplexe Zahlen
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Real- und Imaginärteil
z ( x, y ) = x + jy = Re{z} + j Im{z}
DSP-2-Komplexe Zahlen
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Zeiger ≠ Vektor
• Vektor: gerichtete Größe
Kraft, Beschleunigung, Impuls
• Zeiger: Darstellung einer komplexen
Zahl
• Rechenregeln nur teilweise gleich (z.B.
Addition) nicht bei der Multiplikation
(z.B. äußeres und inneres Produkt)
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Betrag und Winkel (Phase)
z = r ∠ϕ
r
ϕ
compass(z)
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Winkel: Rechnung
Vorstellung
• Rechnen im Bogenmaß
• Vorstellung im Gradmaß
360° = 2π
Darstellung: α [rad]=45 [°] ⋅
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π
180
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Kartesische
polare Darstellung
x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = r cos ϕ + j ( r sin ϕ )
r= x +y
2
2
y Imaginärteil
y
ϕ = arctan
tan ϕ = =
x
x
Realteil
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☺ kartesisch
☺ polar
• Addition
• Subtraktion
• konjugiert
•
•
•
•
•
Multiplikation
Division
Potenz
Wurzel
konjugiert
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Achtung Phase (1)
Grad-/Bogenmaß: sin(α ° ⋅ π /180)
Realteil 0: ϕ = arctan
Imaginärteil
Realteil
⇒ Division duch Null!
arctan nur für − 90° ≤ ϕ ≤ 90° definiert
ϕ = arctan 11 = 0.7854 [ rad ] = 45°
ϕ = arctan( −−11 ) = 0.7854 [ rad ] = 45° = −135°
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Achtung Phase (2)
Phase von 0 ≤ ϕ ≤ 2π definiert
physikalisch aber oft: ϕ + n ⋅ 2π = ϕ
unwrap(phase)
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Achtung Phase (3)
−π und π stellt dieselbe Phase dar.
Durch Rundungsfehler kann es zu
Phasensprüngen − π → π kommen.
Wenn die Amplitude Null (oder sehr klein) ist,
hat die Phase keine Bedeutung!
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Der Betrag ist positiv!
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Matlab (1)
MATLAB kennt komplexe Zahlen:
3 + 4i oder 3 + 4j
Achtung bei der Verwendung von i oder j als Variable:
i=3; i = 4+3*i
13
aber 4+3i
4.00 + 3.00i
Wiederherstellen von i als imaginäre Einheit:
i = sqrt(-1)
Schreibweise 4 + 3*1i verwenden.
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Matlab (2)
real(z)
imag(z)
abs(z)
angle(z)
conj(z)
Realteil von z
Imaginärteil von z
Betrag von z
Winkel von z
Konjugierte von z
real(3-4i)
imag(3-4i)
abs(3-4i)
angle(3-4i)
conj(3-4i)
3
-4
5
-0.9273
3+4i
angle(z) von -180° bis 180° definiert.
Achtung bei transpose z' :
z.'
ist das nichtkonjugierte transpose
z'
ist das konjugierte transpose
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Euler (1)
z = r ∠ϕ
e
jϕ
= cos ϕ + j sin ϕ
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Euler (2)
x 2 x3 x 4 x5
e = 1+ x + + + + +"
2! 3! 4! 5!
ϕ2
ϕ3 ϕ4
ϕ5
ϕ2 ϕ4
ϕ3 ϕ5
= 1 + jϕ −
−j +
+j
+" = 1−
+
− "+ j (ϕ − +
− ")
2!
3! 4!
5!
2! 4! 3!
5! x
e jϕ
cos ϕ
cos ϕ = 1 −
ϕ2
2!
+
ϕ4
4!
−"
sin ϕ = ϕ −
ϕ3
3!
+
ϕ5
5!
+ j sin ϕ
−"
Beweis algebraisch!
Algebra
Geometrie
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Euler (3)
e
jϕ
= cos ϕ + j sin ϕ
e − jϕ = cos ϕ − j sin ϕ
e jϕ + e − jϕ = 2 cos ϕ
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jϕ
− jϕ
e +e
cos ϕ =
2
jϕ
− jϕ
e −e
sin ϕ =
2j
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Matlab (3)
MATLAB gibt immer in kartesischer Darstellung
aus, eingeben kann man aber auch in Euler‘scher
Form.
3*exp(i*45*pi/180)
2.1213 + 2.1213i
3.6056*exp(2.1588i)*10.8167*exp(-0.9828i)
compass(exp((i*30*pi/180)*(0:11)))
15.00 +36.00i
90
1
120
60
0.8
0.6
150
30
0.4
0.2
180
abs(3*exp(i*45*pi/180)) 3
(180/pi)*angle (3*exp(i*45*pi/180))
45.00
0
330
210
300
240
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270
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Rechnen mit komplexen Zahlen (1)
Addition
Subtraktion
z1 + z2 = ( x1 + jy1 ) + ( x2 + jy2 )
z1 − z2 = ( x1 + jy1 ) − ( x2 + jy2 )
= ( x1 − x2 ) + j ( y1 − y2 )
= ( x1 + x2 ) + j ( y1 + y2 )
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Rechnen mit komplexen Zahlen (2)
Multiplikation
Division
z1 × z2 = r1e jϕ 1 × r2 e jϕ 2
= r1r2 e
z1 ÷ z2 =
j ( ϕ 1 +ϕ 2 )
=
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r1e
r2 e
jϕ 1
jϕ 2
r1 j (ϕ 1−ϕ 2 )
e
r2
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Rechnen mit komplexen Zahlen (3)
90
5
120
60
4
3
150
30
2
1
180
0
330
210
300
240
270
Konjugiert komplex bzw. transpose
z = ( r1e
∗
1
′
z1∗ = z1 = ( x1 + jy1 )∗
)
jϕ 1 ∗
= r1e − jϕ 1
= ( x1 − jy1 )
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Rechnen mit komplexen Zahlen (4)
Potenz
z = ( re
N
jϕ
)
N
=r e
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N
jN ϕ
21
Rechnen mit komplexen Zahlen (4)
Wurzel
j 2π n
N
1=e
n = 0,1, 2,..., N − 1
N
z = re
N
jϕ
= re
N
j ( ϕN + 2Nπ n )
n = 0,1, 2,..., N − 1
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