11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen
Definition
1.) komplexe Folgen:
zn = xn + j . yn
2.) Konvergenz:
Eine komplexe Folge zn = xn + j . yn heißt konvergent
mit zwei reellen Folgen xn und yn
in C , wenn die reellen Folgen xn und yn beide
konvergent in R sind.
und gegen +
8
8
( keine Konvergenz gegen -
)
8
3.) komplexe Reihen:
zn
mit einer komplexen Folge zn
n=0
8
4.) komplexe Potenzreihen:
an . ( z - z0 )
f ( z) =
n
mit
an , z , z0 ε C
n=0
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Analysis 11.3
Folie 1
Bemerkung
Wie die reellen Potenzreihen haben auch komplexe Potenzreihen einen Konvergenzradius r ; dieser hat die gleiche Bedeutung und kann auch mit den gleichen Formeln
berechnet werden wie bei reellen Potenzreihen. Es gilt also:
8
Eine komplexe Potenzreihe
an . ( z - z0 )
f ( z) =
n
mit
an , z , z0 ε C
n=0
•
konvergiert in C für alle komplexen Zahlen z mit
| z - z0 | < r ,
also für alle komplexen Zahlen, deren Abstand vom Entwicklungspunkt < r ist
( diese Zahlen bilden in C jedoch kein Intervall wie in R , sondern einen Kreis;
daher der Name Konvergenzradius ) .
•
divergiert für alle komplexen Zahlen z mit
| z - z0 | > r ,
also für alle komplexen Zahlen außerhalb dieses Kreises.
•
Die Konvergenz ist unklar für alle komplexen Zahlen z mit
| z - z0 | = r ,
also für alle komplexen Zahlen auf dem Rand dieses Kreises.
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Analysis 11.3
Folie 2
8
Eine komplexe Potenzreihe
an . ( z - z0 )
f ( z) =
n
mit
an , z , z0 ε C
n=0
•
konvergiert in C für alle komplexen Zahlen z mit
| z - z0 | < r ,
also für alle komplexen Zahlen, deren Abstand vom Entwicklungspunkt < r ist
( diese Zahlen bilden in C jedoch kein Intervall wie in R , sondern einen Kreis;
daher der Name Konvergenzradius ) .
•
| z - z0 | > r ,
divergiert für alle komplexen Zahlen z mit
also für alle komplexen Zahlen außerhalb dieses Kreises.
•
Die Konvergenz ist unklar für alle komplexen Zahlen z mit
| z - z0 | = r ,
also für alle komplexen Zahlen auf dem Rand dieses Kreises.
•
Der Konvergenzradius r kann berechnet werden mit den Formeln
an
an + 1
bzw.
1
r =
8
lim
n
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n
( mit
1
=0,
| an |
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1
=
0
8
8
lim
n
8
r =
Folie 3
) .
•
8
Skizze des Konvergenzbereichs
an . ( x - x0 )
f ( x) =
Für reelle Potenzreihen
n
:
n=0
Reihe divergiert
?
Reihe konvergiert ?
x0 - r
•
r
Für komplexe Potenzreihen
8
an . ( z - z0 )
f ( z) =
n
:
x0
r
Reihe divergiert
x
x0 + r
Im ( z )
Reihe divergiert
1
Df
n=0
8
Reihe
konvergiert
vergenz untersucht.
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Re ( z )
z0
1
Bei komplexen Potenzreihen gibt
es
viele Randpunkte, in denen
die Konvergenz unklar ist.
Diese werden i.a. nicht auf Kon-
r
Konvergenz fraglich
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Analysis 11.3
Folie 4
Beispiel
8
(2+j)
f ( z) =
n
.
( z - ( 2 - j )) n
n + j
n=0
an + 1
=
lim
n
8
8
r = lim
n
an
(2+j)
n
8
lim
n
(2+j)
n + j
1
=
|
.
| 2+j |
8
lim
n
8
lim
n
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5
n+1
2
2 + 1
1
=
n + j|
.
2
n+1
n+1 + j|
|
1
=
n+1 + j
.
.
n
n + 2
n + 1
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2
2
2
+1
2
+1
1
=
5
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Folie 5
Beispiel
8
(2+j)
f ( z) =
n
.
( z - ( 2 - j ))
1
n
z0 = 2 - j
, r =
5
n + j
n=0
Im ( z )
1
Re ( z )
1
Df
z0 = 2 - j
1
r=
5
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Analysis 11.3
Folie 6
Weitere komplexe Funktionen
Wie kann man z.B. den Funktionswert
sin ( 3 + 2j )
sinnvoll definieren ?
( dabei bedeutet „sinnvoll“, dass die üblichen Rechenregeln wie z.B. die Additions-
Bekanntlich gilt für alle x ε R
8
theoreme gültig bleiben ) .
(-1)k
sin ( x ) =
.x
2k + 1
.
( 2k + 1 ) !
k=0
(MacLaurin - Reihe zu sin ( x ) )
hat also den Konvergenzradius r =
8
Diese Reihe
Da die Formeln zur Berechnung des Konvergenzradius bei komplexen Potenzreihen
die gleichen sind wie bei reellen Potenzreihen, hat daher auch die komplexe Potenz8
f ( z) =
.z
2k + 1
den Konvergenzradius r =
8
reihe
(-1)k
.
( 2k + 1 ) !
k=0
Diese Potenzreihe konvergiert also für alle z ε C und stimmt für z ε R mit sin ( z )
überein. Daher definiert man für alle z ε C sin ( z ) durch diese Reihe.
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Analysis 11.3
Folie 7
.
Weitere komplexe Funktionen
Ebenso verfährt man mit allen reellen Funktionen, deren MacLaurin - Reihen den
8
den Konvergenzradius r =
haben.
8
Für alle z ε C gilt also z.B.
e
z
1
=
.
n!
zn
n=0
8
8
(-1)k
sin ( z ) =
.
z
2k + 1
(-1)k
cos ( z ) =
( 2k + 1 ) !
z
.
z
2k
( 2k ) !
k=0
k=0
8
8
1
sinh ( z ) =
.
.
z
2k + 1
1
cosh ( z ) =
( 2k + 1 ) !
( 2k ) !
k=0
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2k
k=0
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Folie 8
Die komplexe e - Funktion
1
=
n!
.
( jz ) n
jn
=
n=0
n!
zn
e
z
j 2k + 1
z 2k +
k=0
.
( 2k + 1 ) !
z 2k + 1
k=0
8
8
(-1)k
( 2k ) !
k=0
.
z 2k
+ j
(-1)k
.
1
=
.
n!
zn
n=0
8
8
.
( 2k ) !
=
.
n=0
j 2k
=
8
8
8
e
jz
( 2k + 1 ) !
.
z 2k + 1
Diese Formel wurde schon
beim Übergang von der
Polarform zur Euler‘ schen
Form einer komplexen Zahl
benutzt.
=
cos ( z ) + j . sin ( z )
k=0
Allgemein gilt:
e
z
=e
x + jy
x
jy
x
x
x
= e .e
= e . (cos ( y ) + j . sin ( y )) = e . cos ( y ) + j . e . sin ( y )
Darstellung der komplexen e - Funktion durch reelle Funktionen
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Analysis 11.3
Folie 9
e
x + jy
x
x
x
= e . (cos ( y ) + j . sin ( y )) = e . cos ( y ) + j . e . sin ( y )
Mit dieser Formel kann man den Wertebereich der komplexen e - Funktion bestimmen:
Im ( z )
Im ( z )
1
1
sin ( y )
y
Re ( z )
e
Re ( z )
cos ( y ) 1
1
Definitionsbereich
y
z
Wertebereich
Zum Wertebereich der komplexen e - Funktion gehören also alle komplexen Zahlen
außer 0 :
W z = C*
e
Es gelten folgende Rechenformeln:
| e z | = e Re ( z )
arg (e z) = Im ( z )
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Folie 10
Ferner gilt:
e
z + 2πj
e
= e
x + j y + 2πj
=
e
x + jy
x
= e . (cos ( y ) + j . sin ( y ))
x + j . ( y + 2π )
x
= e . (cos ( y + 2π ) + j . sin ( y + 2π ))
x
= e . (cos ( y ) + j . sin ( y ))
= e
x + jy
= e
z
Die komplexe e - Funktion ist also periodisch mit der Periode 2πj und daher nicht
injektiv.
Zusammenfassung der Eigenschaften der komplexen e - Funktion
z
= e
x + jy
x
x
= e . cos ( y ) + j . e . sin ( y )
•
e
•
D z = C , W z = C*
e
e
•
Die komplexe e - Funktion ist 2πj - periodisch und daher nicht injektiv
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Analysis 11.3
Folie 11
Die komplexen Funktionen sin ( z ) , cos ( z ) , sinh ( z ) , cosh ( z )
8
8
(-1)k
sin ( z ) =
.
z
2k + 1
(-1)k
cos ( z ) =
( 2k + 1 ) !
8
8
.
( 2k + 1 ) !
( jz ) 2k + 1
( - 1 ) k . j 2k
j.
=
z 2k +
k=0
8
8
(-1)k . (-1)k
( 2k + 1 ) !
.
z 2k +
1
= j.
k=0
.
( 2k + 1 ) !
z 2k + 1 = j . sinh ( z )
k=0
8
8
(-1)k
cos ( jz ) =
.
( 2k + 1 ) !
1
k=0
1
2k
k=0
(-1)k
= j.
z
( 2k ) !
k=0
sin ( jz ) =
.
( 2k ) !
.
( jz ) 2k
1
=
k=0
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( 2k ) !
.
z 2k
=
cosh ( z )
k=0
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Folie 12
sin ( jz ) = j . sinh ( z ) ,
cos ( jz ) = cosh ( z )
Mit Hilfe dieser Formeln und der Additionstheoreme erhält man die folgenden
Darstellungen der komplexen Funktionen durch reelle Funktionen:
( Bemerkung: Alle Formeln aus 2.5 und 2.6 mit den hyperbolischen und den
trigonometrischen Funktionen außer den Aussagen zu den jeweiligen Definititions- und Wertebereichen gelten auch über C )
sin ( z )
=
cos ( z ) =
sinh ( z ) =
sin ( x + jy )
cos ( x + jy )
=
sin ( x ) . cos ( jy ) + cos ( x ) . sin ( jy )
=
sin ( x ) . cosh ( y ) + j . cos ( x ) . sinh ( y )
=
cos ( x ) . cos ( jy ) - sin ( x ) . sin ( jy )
=
cos ( x ) . cosh ( y ) - j . sin ( x ) . sinh ( y )
1 .
sin ( jz ) = - j . sin ( - y + jx ) = - j . (sin (- y ) . cosh ( x ) + j . cos (- y ) . sinh ( x ))
j
= cos ( y ) . sinh ( x ) + j . sin ( y ) . cosh ( x )
cosh ( z ) = cos ( jz ) =
cos ( - y + jx )
=
=
cos ( - y ) . cosh ( x ) - j . sin ( - y ) . sinh ( x )
cos ( y ) . cosh ( x ) + j . sin ( y ) . sinh ( x )
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Folie 13
Eigenschaften der komplexen Funktionen sin ( z ) , cos ( z ) , sinh ( z ) , cosh ( z )
•
Df = C , Wf = C
•
sin ( z ) und cos ( z ) sind auch als komplexe Funktionen ist 2π - periodisch,
sinh ( z ) und cosh ( z ) sind als komplexe Funktionen ebenso wie die komplexe e - Funktion 2πj - periodisch.
•
Alle vier Funktionen können durch die komplexe e - Funktion ausgedrückt
werden:
sinh ( z ) =
sin ( z )
•
=
1 . z
( e - e - z)
2
1 . jz
( e - e - jz )
2j
cosh ( z ) =
cos ( z )
=
1 . z
( e + e - z)
2
1 . jz
( e + e - jz )
2
Alle vier Funktionen können durch reelle Funktionen ausgedrückt werden:
sin ( z )
=
sin ( x + jy )
=
sin ( x ) . cosh ( y ) + j . cos ( x ) . sinh ( y )
cos ( z )
=
cos ( x + jy )
=
cos ( x ) . cosh ( y ) -
sinh ( z )
=
sinh ( x + jy )
=
cos ( y ) . sinh ( x ) + j . sin ( y ) . cosh ( x )
cosh ( x + jy ) =
cos ( y ) . cosh ( x ) + j . sin ( y ) . sinh ( x )
cosh ( z ) =
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j . sin ( x ) . sinh ( y )
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Folie 14
Der komplexe Logarithmus Log ( z )
Der reelle Logarithmus f ( x ) = ln ( x ) hat bei x = 0 eine Polstelle und besitzt somit
8
keine Taylor - Reihe mit Konvergenzradius r =
.
Daher kann der reelle Logarithmus nicht so wie die bisherigen 5 Funktionen zu einer
komplexen Funktion mit Definitionsbereich C erweitert werden.
Stattdessen führt man den komplexen Logarithmus als Umkehrfunktion zur komplexen e - Funktion ein.
Dabei ist allerdings zu beachten, dass die komplexe e - Funktion nicht injektiv ist und
daher der komplexe Logarithmus nur eine Not - Umkehrfunktion ist.
Um ihn zu definieren, muss man also wie bei den reellen Not - Umkehrfunktionen den
Definitionsbereich der komplexen e - Funktion auf einen Teilbereich D einschränken,
auf dem sie injektiv ist, ohne dabei ihren Wertebereich einzuschränken.
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Folie 15
Der komplexe Logarithmus Log ( z )
Nach den Überlegungen zum Wertebereich der komplexen e - Funktion haben alle
waagerechten Streifen der Breite 2π , die den oberen Rand enthalten und den unteren
nicht ( oder umgekehrt ) , die für den Teilbereich D erforderlichen Eigenschaften.
Im ( z )
Im ( z )
y + 2π
y + 2π
Re ( z )
Re ( z )
y
y
für D geeignete Teilbereiche von
C=D z
e
Zur Definition des komplexen Logarithmus wählt man den Streifen, der symmetrisch
zur reellen Achse liegt und den oberen Rand enthält, den unteren aber nicht:
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Folie 16
Zur Definition des komplexen Logarithmus wählt man den Streifen, der symmetrisch
zur reellen Achse liegt und den oberen Rand enthält, den unteren aber nicht:
Im ( z )
π
Man setzt also
D
D =
zεC
Im ( z ) ε
-π ; π
-π
und definiert damit den komplexen Logarithmus durch
Log ( z ) =
Re ( z )
-1
ez
D =
zεC
Im ( z ) ε
-π ; π
Damit gilt:
D
Log
W
Log
=
C*
=
D
Da der komplexe Logarithmus im Gegensatz zum reellen Logarithmus also nur eine
Not - Umkehrfunktion ist, gibt es wieder die üblichen Fettnäpfchen:
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Analysis 11.3
Folie 17
D cosh
W arcosh
>1
cosh (arcosh ( x )) = x
gilt zwar für alle x ε Darcosh = R
arcosh (cosh ( x )) = x
gilt aber nicht für alle x ε D cosh = R ,
>0
sondern nur für x ε D = R .
arcosh (cosh ( x )) = | x |
ist eine für alle x ε R gültige Ersatzformel .
Umformen von Gleichungen:
cosh ( x ) = a
W
e
Log
Log ( z )
x =
+
.
arcosh ( a )
für a > 1 .
D z
e
= z
Log ( e z ) = z
gilt zwar für alle z ε D
Log
= C* .
gilt aber nicht für alle z ε D z = C ,
e
sondern nur für z ε D =
z ε C Im ( z ) ε - π ; π
.
Es gibt keine für alle z ε C anwendbare Ersatzformel .
Umformen von Gleichungen:
ez = w
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z = Log ( w ) + k . 2πj für alle w ε C .
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Folie 18
Rechenregeln zum komplexen Logarithmus
j . arg ( z )
Log ( z ) = Log ( | z | . e
)
= Log (| z |) + j . arg ( z ) = ln (| z |) + j . arg ( z )
ε
Bemerkung
-π ; π
Die üblichen Rechenregeln für Logarithmen gelten nur mit der Einschränkung, dass
-π ; π
der Imaginärteil des Funktionswertes stets im Intervall
Beispiel
Log ( j ) = ln (| j |) + j . arg ( j )
ε
π
= 0 + j.
=
2
j.
sein muss.
π
2
-π ; π
Log ( j 3 )
=
3 . Log ( j )
Log ( j 3 )
=
Log ( - j ) =
=
3 . j.
π
=
2
j.
ln (| - j |) + j . arg ( - j )
ε
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3π
2
=
f
0 + j. -
π
2
= -j.
π
2
-π ; π
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Analysis 11.3
Folie 19
Beispiel
j.
zn = e
(
π+ 1
n
Im ( z )
)
1
Re ( z )
z6
z4 z5
z3
8
l i m ( zn ) = - 1
n
1
z2
z1
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Analysis 11.3
Folie 20
j.
zn = e
( π + 1n )
j.
Log ( z n )
Log e
= lim
n
Log e
j. 1 - π
n
8
= lim
n
bzw.
Log ( z n )
= lim
n
ln (| z n |) + j . arg ( z n )
ε
= 0
Log
- 2π)
= - j. π
= - j. π
= Log ( - 1 )
-π ; π
= ln (| - 1 |) + j . arg ( - 1 )
1
, also =
-π
n
= j. π
8
l i m ( zn )
n
1
n
8
8
lim
n
(π +
8
= lim
n
j.
8
8
lim
n
( π + 1n )
ε
-π ; π
Der komplexe Logarithmus ist also nicht stetig an der Stelle
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, also =
π
z = -1 !
Analysis 11.3
Folie 21
j.
zn = e
Im ( z )
( π + 1n )
1
Re ( z )
z6
z4 z5
z3
8
l i m ( zn ) = - 1
n
1
z2
z1
Es gilt allgemein:
Der komplexe Logarithmus ist unstetig auf R
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<0
Analysis 11.3
.
Folie 22
Bemerkung
Auch alle weiteren reellen Funktionen aus § 2 , z.B. tan ( z ) , coth ( z ) , arsinh ( z ) etc.
können als komplexe Funktionen definiert werden
(vgl. Übung 80) .
Komplexe Gleichungen
Zum Lösen komplexer Gleichungen gibt es zwei verschiedene Methoden:
1.)
Auflösen der Gleichung nach der komplexen Variablen
( wie bei reellen Gleichungen )
2.)
Ersetzen der komplexen Variablen durch ihre kartesische bzw. Euler‘ sche Form
und Aufstellen eines reellen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei
reellen Unbekannten durch Koeffizientenvergleich
( die eine komplexe Variablen wird also ersetzt durch zwei reelle, nämlich x und
y bzw. r und
φ , und diese sind dann auch die beiden reellen Variablen im
Gleichungssystem ) .
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Folie 23
Beispiele
1.)
e 2z = 1 + j
1. Methode:
e 2z = 1 + j
2z = Log ( 1 + j ) + k . 2πj
2z = ln (| 1 + j |) + j . arg ( 1 + j ) + k . 2πj
2z = ln (
2
)+
j.
π
+ k . 2πj
4
π
z =
1 .
ln (
2
z =
1 .
1
ln ( 2 ) + j . ( + k) . π
4
8
2
)+
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j.
8
+ k . πj
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Analysis 11.3
Folie 24
Beispiele
1.)
e 2z = 1 + j
e
2. Methode:
x + jy
x
x
= e . cos ( y ) + j . e . sin ( y )
e 2x + j . 2 y = 1 + j
e 2z = 1 + j
z = x + jy
e
2x
. cos ( 2y )
+j.e
2x
. sin ( 2y )
=
1+j
Koeffizientenvergleich:
2x
e . cos ( 2y ) = 1
2x
e . sin ( 2y ) = 1
Realteil:
Imaginärteil:
e
2x
=
1
cos ( 2y )
Setzt man die Realteilgleichung in die Imaginärteilgleichung ein, so erhält man
y =
π + k. π
Analysis 11.3
Folie 25
2y = arctan ( 1 ) + k . π
tan ( 2y ) = 1
8
2
Setzt man dies in die Realteilgleichung ein, so erhält man
e
2x
=
1
cos (
π
+ k . π)
4
Institut für Automatisierungstechnik
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2y = arctan ( 1 ) + k . π
tan ( 2y ) = 1
y =
π + k. π
8
2
Setzt man dies in die Realteilgleichung ein, so erhält man
e
2x
>0
=
1
cos (
π
4
+ k . π)
*
Da die linke Seite der Gleichung positiv ist, muss auch die rechte Seite positiv sein.
Dies trifft genau dann zu, wenn k gerade ist ( also k = 2n mit n ε Z ) .
In diesem Fall gilt
y =
π
8
+ n.π
und
cos (
π
4
+ k . π) =
1 .
2
2 .
x =
1 .
ln (
2
Daraus ergibt sich:
2x
*
e
Ergebnis:
z = x + jy
=
2x = ln (
2
=
2
)
2
1 .
1
ln ( 2 ) + j . ( + n) . π
4
8
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Analysis 11.3
Folie 26
)
Beispiele
2.)
z2 + 2 . z* = - 1 + 8j
1. Methode:
Die 1. Methode ist hier nicht anwendbar, da z und z* nicht zusammengefasst
werden können.
2. Methode:
z2 + 2 . z* = - 1 + 8j
x2 + 2xy . j - y2 + 2x - 2y . j
= - 1 + 8j
x2 - y2 + 2x + j . ( 2xy - 2y )
= - 1 + 8j
z = x + jy
Koeffizientenvergleich:
Realteil:
Imaginärteil:
x2 - y2 + 2x = - 1
2xy - 2y = 8
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y . ( 2x - 2 ) = 8
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Analysis 11.3
y =
4
x-1
Folie 27
Koeffizientenvergleich:
x2 - y2 + 2x = - 1
Realteil:
Imaginärteil:
y . ( 2x - 2 ) = 8
2xy - 2y = 8
y =
4
x-1
Setzt man dies in die Realteilgleichung ein, so erhält man
2
x2 -
4
( x2 + 2x ) . ( x - 1 ) 2 - 16 = - 1 . ( x - 1 ) 2
+ 2x = - 1
x-1
x4 - 2x2 - 15 = 0
x =
y =
4
x-1
Ergebnis:
=
+
z =
4 .
4
=
1+
Institut für Automatisierungstechnik
+
5
5 - 1
= 1
1 - 5
5 - 1
5 + j.
+
5
z = -
Prof. Dr. Ch. Bold
+
5 + j.
Analysis 11.3
5
1-
Folie 28
5
Beispiele
3.)
z4 . z* = 4 + 4j
2. Methode:
z4 . z* = 4 + 4j
z = r. e
jφ
(r . e j φ)4 . (r . e
j. (- φ)
(r4 . e j 4 φ) . (r . e j
.
r5 . e
j.3φ
j.
)
42 + 42
=
. (- φ)
)
32
.
e
e
j.
=
j.
=
.
32
.
e
π
4
π
4
π
4
Koeffizientenvergleich:
Betrag:
r5 =
Argument:
3φ =
32
π
4
r =
+ k . 2π
Institut für Automatisierungstechnik
!
φ =
Prof. Dr. Ch. Bold
2
π
12
+ k.
2π
3
Analysis 11.3
Folie 29
Koeffizientenvergleich:
Betrag:
r5 =
Argument:
3φ =
32
π
4
r =
+ k . 2π
!
φ =
2
π
12
+ k.
2π
3
Ergebnis:
Die Lösungen der gegebenen Gleichung sind also die drei komplexen Zahlen
j.
z0 =
2
.e
j.
z1 =
2
.e
j.
z2 =
2
.e
π
12
=
2
.
cos
π
12
+ j . sin
π
12
= 1,366 + j . 0,366
π
9
12
= -1+j
π
17
12
= - 0,366 - j . 1,366
Institut für Automatisierungstechnik
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 11.3
Folie 30
Beispiele
4.)
sin ( z ) = 2
1. Methode:
Diese Gleichung könnte man durch Unformung mit dem arcsin direkt lösen.
Da wir die komplexe Funktion arcsin ( z ) aber nicht kennen, können wir diese
Umformung nicht durchführen.
Dennoch können wir diese Gleichung auf die 1. Methode lösen, da wir die komplexe Funktion sin ( z ) durch die komplexe e - Funktion ersetzen können und
zu letzterer auch die ( Not- ) Umkehrfunktion Log ( z ) kennen.
sin ( z ) = 2
1 . jz
( e - e - jz ) = 2
2j
(e jz) 2
e jz - e - jz = 4j
2
- 4j . e jz - 1 = 0
w - 4j . w - 1 = 0
w = e jz
Institut für Automatisierungstechnik
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 11.3
Folie 31
sin ( z ) = 2
1 . jz
( e - e - jz ) = 2
2j
(e jz) 2
e jz - e - jz = 4j
2
- 4j . e jz - 1 = 0
w - 4j . w - 1 = 0
w = e jz
w = 2j
+
jz = Log (2j +
-4 + 1
3 . j) + k . 2πj
w = e jz
jz = ln (| 2j +
3 . j |) + j . arg (2j +
3 . j) + k .
2πj
z = - j . ln (| 2j +
z = - j . ln ( 2 +
z =
π
2
Institut für Automatisierungstechnik
3 . j |) + arg (2j +
3
)+
π
2
3 . j) + k . 2π
+ k . 2π
+ k . 2π - j . ln ( 2 +
Prof. Dr. Ch. Bold
3
)
Analysis 11.3
Folie 32
Beispiele
4.)
sin ( z ) = 2
2. Methode:
sin ( x ) . cosh ( y ) + j . cos ( x ) . sinh ( y ) = 2
sin ( z ) = 2
z = x + jy
Koeffizientenvergleich:
Realteil:
sin ( x ) . cosh ( y ) = 2
Imaginärteil:
cos ( x ) . sinh ( y ) = 0
cos ( x ) = 0
x =
Einsetzen von x =
π
2
2
+ k.π
bzw.
+ k.π :
sin (
π
2
2
y = 0
y = 0 in die Realteilgleichung ergibt
sin ( x ) . cosh ( 0 ) = 2
für y = 0 :
für x =
π
π + k.π
sinh ( y ) = 0
sin ( x ) = 2
keine Lösung wegen x ε R
+ k . π) . cosh ( y ) = 2
Institut für Automatisierungstechnik
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 11.3
Folie 33
sin ( x ) . cosh ( 0 ) = 2
für y = 0 :
für x =
π
2
+ k.π :
sin (
π
2
sin ( x ) = 2
keine Lösung wegen x ε R
+ k . π) . cosh ( y ) = 2
*
>0
Da cosh ( y ) und die rechte Seite der Gleichung positiv ist, muss auch sin (
π
2
positiv sein.
Dies trifft genau dann zu, wenn k gerade ist ( also k = 2n mit n ε Z ) .
In diesem Fall gilt
*
x =
π
2
+ n . 2π
cosh ( y ) = 2
Ergebnis:
z = x + jy =
und
y =
π
2
+ n . 2π
Institut für Automatisierungstechnik
+
+
sin (
π
2
+ k . π) = 1.
arcosh ( 2 ) =
j . ln ( 2 +
Prof. Dr. Ch. Bold
3
+
ln ( 2 +
22 - 1
)
)
Analysis 11.3
Folie 34
+ k . π)