Kap. J Wärmeübertragung durch Strahlung

-1-
J. Wärmeübertragung durch Strahlung
Wärmestrahlung
1.
2.
3.
4.
Phänomenologie
Optische Koeffizienten, Gesetze von Lambert u. Kirchhoff
Physik der Strahlung (Dualismus)
Thermodynamik der Strahlung
Boltzmann T4 –Gesetz, Planck-Formel
Beispiele: Strahlungsaustausch parallele Wände
Solarstrahlung Erdmitteltemperatur
1. Phänomenologie
Strahlung = Energiestrom, Wärmeempfindung Wärmestrom
Beispiele: Glühendes Eisen
Infrarot-Wärmestrahler, Wärmebox !
Glühlampen, Sonne, Erde,...
1. Strahlung ist nicht an Materie gebunden !
2. Strahlung breitet sich im Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit
(ca. 300 000km/s) aus.
Alle Körper
(∑ )
a)
empfangen Strahlung ( φ , [W]) aus Umgebung
b)
senden Strahlung in Umgebung aus ( φ*,[W ] ) Flächendichte
der einfallenden Strahlung oder Strahlungsfluss.
-2-
φ*
ϕ*
df
φ
.
ϕ
∑
φ = ∫ ( ϕ ⋅ df ),
σ
(
φ∗ = ∫ ϕ ⋅ df
0
0
[φ] = φ  = W,
*
[ϕ] = ϕ  =
*
*
)
W
m2
Strahlungsgleichgewicht:
φ = φ*
(J1)
Lambert-Gesetz für „Punktstrahler“ (Sonne-Erde)
φ*
ϕ
r
Energiesatz:
φ*
ϕ(r)
 ϕ(r ) 
Strahlungsverhältnis(r1 , r2 )  1 
 ϕ(r2 ) 
=
4πr 2 ϕ = const.
(J2)
=
φ*
4πr 2
(J2a)
=
 r2 
 
 r1 
2
Beispiel: Solarstrahlung, Rom, Sommer, keine Wolke,
ϕ0
= 1kW / m 2 !
(J3)
-3-
Strahlungskoeffizienten / Optische Koeffizienten
φe
Φ
∑
φr
φa
φt
φ Einfallende Strahlung
φr Reflektierte Strahlung
φa Absorbierte Strahlung
φt Transmittierte Strahlung
ρ=
φr
: Reflexionskoeffizient
φ
α=
φa
: Absorptionskoeffizient
φ
τ=
φt
: Transmissionskoeffizient
φ
ε=
φe
: Emissionskoeffizient
φ
φe Emittierte Strahlung
Energiesatz:
Φ
= φ a + φr + φt
1
=α + ρ +τ
______________
0
≤ α , ρ ,τ ≤ I
/
1
φ
(J4)
(J4a)
-4-
(J4) Spezialfälle
( J 4) α
+
ρ
+
τ
=
1
Körper:
1
0
0
schwarz*)
0
1
0
weiß
0
0
1
Vakuum, Gas
__________________________________
Festkörper :
τ → 0,
α + ρ =1
α +τ =1
Gase, Flüssigkeiten : ρ → 0,
*)
Re alisierung : Blende
Lochkamera
( J 4b)
( J 4c)
Kirchhoff-Gesetz
Emissionsvermögen eines Körpers:
ε
Definition
=
φe
φes
(J5)
Strahlungsgleichgewicht (Energiesatz)
Schwarzer
Körper :
φe
φes
=
=
φa
φas = φ
__________
ε
=
ε
=
φa
=α
φ
α
__________
Gute Absorber sind gute Ermitter etc.
(J6)
-5-
2. Physik der Strahlung
Strahlung aller Art besitzt eine dualistische Natur.
1)
Elektromagnetische Welle
H. Hertz, J.C. Maxwell
Wärmestrahlung: 0,1 µm < λ < 10³ = 1mm
λ:
Wellenlänge
ν:
Frequenz
c:
Lichtgeschwindigkeit
E, D
E × H
S
BH
c
=λν
ν
=
c
λ
(J7)
→ Festkörperschwingungen
→ gute Absorption der Wärmestrahlung
= (0,3 ⋅ 1015 − 3 ⋅ 1012 )s −1
(Resonanz)
Optische Koeffizienten: Summenwerte über Einzelbeiträge der
Moden, d.h. Wellen vorgegebener Wellenlänge (λ)
∞
ω = ∫ ωλ (λ ', T )d λ '
0
ω = α , ρ ,τ
(J8)
-6-
2. Photonen-Gas
Strahlung ist quantisiert , d.h. besitzt Korpuskelcharaker! *)
L. de Broglie, A. Einstein (Photoeffekt)
Strahlungsteilchen Energie
EPH
= hν
Impuls
pPH
=
Masse
mPH
Ruhmasse m0
Photon, bewegt sich mit c !
( J 9)
hν E
=
λ c c
E
h P
= 2 =
=
c
cλ c
= 0!
h
=
Planck Wirkungsquantum: h
( J 10)
( J 11)
= 6,62 ⋅ 10−34 Js
Wärmestrahlung:
λ = 1 µm:
c
ν
=
E
= h ⋅ν = 19,9 ⋅ 10−19 J
h
=
= 2, 2 ⋅ 10 −33 g
cλ
mPH
λ
= 3 ⋅ 1015 s −1
∗) Materie besitzt Wellencharakter “Materiewellen“
(L. de Broglie)
-7-
3. Thermodynamik der Strahlung
Spezialfall: Strahlung im Hohlraum schwarzer Körper
“Schwarze Hohlraumstrahlung“
1
nPH
3
T
P
T…Temperatur der
Wände des Hohlraums
A
A = l²…Kolbenfläche
l
Berechnung des Strahlungsdruckes, vgl. Kin. Gastheorie
p=
F 1 1
1
1 hc
= 2 ⋅ nPH ⋅ FPH = nPH 2 ⋅
;F:
2
l
l 3
3
l λl
Kraft durch Stöße
der Photonen auf Wand
Newton-Grundgleichung:
d
FPH = (mv) = 2 PPH ⋅
dt
Impulsänderung
c
2l
Anzahl Stösse pro Zeiteinheit
p
p
1
hν
= nPH 3
3 l
↓
1
u ...Strahlungsdruck auf Energiedichte Photonengas (J12)
=
3
-8-
Gedankenexperiment (L. Boltzmann)
2. HS u = u (T) … unabhängig von Gestalt des Hohlraums (vgl.
Ideales Gas)
(J13)
Hohlraum-Strahlung ≃ Thermodynamisches System:
Gibbs-Gleichung
dS =
1
P
dU + dV
T
T
(J14)
Neue Variable: U1V → n =
U
,
V
V
dU = d (uV ) = udV + Vdu
4 u
V
( J 14, J 15) : dS (u ,V ) =
du +
dV
3 T (u )
T (u )
(J15)
(J16)
Maxwell-Beziehung (Zustandsgröße Entropie)
 ∂2 S 
 ∂u∂V 


 ∂2 S 
=

 ∂V ∂u 
∂ 4 u  ∂  V 
=
∂u  3 T (u )  ∂V  T (u ) 
→
u
= aT 4 ,
a = const.
(J17)
Stefan-Boltzmann-Gleichung für Energiedichte der Strahlung eines
schwarzen Körpers.
Flächendichte der Strahlung eines schwarzen
Körpers:
ϕS = c ⋅ u (T ) = c ⋅ aT 4
ϕS = σ T 4 ,
σ = 5,8 ⋅ 10−8
W
m2 K 4
( J 18)
-9-
(J18) Ingenieur-Version:
ϕs
 T 
=σ 

 100 K 
σ
= 5,8W / m 2
4
( J 18a )
„Graue Körper“ (ε = α = const.)
ϕ = εϕ s = εσ T 4
 T 
ϕ = εσ 

 100 K 
( J 19)
4
( J 19a )
Flächendichte der Strahlung eines „grauen Körpers“ der Temperatur T
(Stefan – Boltzmann - Gesetz).
- 10 -
Beispiel 1
Welche Temperatur (TE) muss die Erde an ihrer Oberfläche als Infrarotstrahler (ε = 0,9) haben, um die Solarstrahlung bei senkrechter
Einstrahlung von ca. 1 kW / m² wieder an den Weltraum abgeben zu
können.
Hinweis: Erde ≃ Hähnchen am Grillspieß,
Strahlungsbilanz für 1 Umdrehung (24h).
φE
R = 6700 km
Φ
TE
R
OE
Solarstrahlung:
Erdstrahlung:
φa
= π R 2ϕ
= aΦ
φE
=
OEϕ E
=
 T 
4π R ⋅ εσ  E 
 100 K 
Φ
( J 19)
4
2
Strahlungsgleichgewicht (Mittel über 1 Erdumdrehung)
φa
= φΕ
( J 20)
1
(α = ε )
T
 1000  4
→ E =
= 2,563 →
100 K  4 ⋅ 5,8 
Glashauseffekt der Atmosphäre:
TE
=
256,3K
TE
=
−16°C
TE 0
≅
15°C
- 11 -
Beispiel 2
Strahlungsaustausch
zwischen
verschiedener Temperatur
begrenzten
Hohlräumen
Vakuum
A
1
eben
2
Gas
ϕe 2
T1
T2
ϕ1
τ1 = 0
ε1 = α1
ϕr 2
ϕe1
ρ1
ϕ2
τ2 = 0
ε2 = α2
ρ2
ϕ r1
Strahlungskoeffizienten:
1:
2:
τ 1 = 0,
τ 2 = 0,
ρ1 = 1 − ε 1 , α1 = ε 1
ρ2 = 1 − ε 2 , α 2 = ε 2
ϕi ...Strahlungsdichte, die Halbraum i=1,2 empfängt.
ges: ϕ12 = ϕ2 − ϕ1 ...Flächendichte der Strahlung,
die von 1 nach 2 geht.
Kein Strahlungsgleichgewicht!
2 → 1:ϕ1
=
1 → 2 :ϕ 2
=
ϕe 2 + ϕ r 2 = ?
ϕe1 + ϕ r1 = ?
(J21)
(J22)
- 12 -
Stefan – Boltzmann – Gesetz
ϕei = εισ Ti 4 , i = 1,2
ϕri = ρiϕi = (1 − ε i )ϕi
Emittierte Strahlung :
Reflektierte Strahlung :
(J21-24)
ϕ1 = ϕe 2 + (1 − ε 2 )ϕ 2
ϕ 2 = ϕe1 + (1 − ε 1 )ϕ1
(J23)
(J24)
(J25)
Lineare Gleichungen für ϕ1 , ϕ 2
Umformung, um Differenz ϕ12 = ϕ 2 − ϕ1 zu berechnen!
ϕ 2 − ϕ1 = ε 2ϕ 2 − ϕe2 ε 1 
+
ϕ1 − ϕ 2 = ε1ϕ1 − ϕe1 (..ε 2 ) 
(ϕ 2 − ϕ1 )(ε 1 + ε 2 − ε 1ε 2 ) = ε 2ϕe1 − ε 1ϕe 2
ϕ12
(J23)
ε 1ε 2σ (T14 − T2 4 )
ϕ12 =
ε 1 + ε 2 − ε 1ε 2
(J26)
Wandabstand beliebig ! ...Vakuum
Übertragener Energiestrom:
φ12 = Aϕ12
(J27)