6 Stochastische Unabhängigkeit

Stochastische Unabhängigkeit
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Stochastische Unabhängigkeit
stochastischen Unabhängigkeit ist für die Überblick
Stochastik von zentraler Bedeutung. Obwohl der dem Begri
Der Begri der
zugrundeliegende Sachverhalt singulären Charakter hat, ist er
Voraussetzung für viele in der Stochastik formulierte Sachverhalte.
stochastische Unabhängigkeit steht im engen Zusammenhang mit dem Produktmaÿbegri.
Das Bernoullische Versuchsschema als spezieller WRaum
ist ein stochastisches Modell zur Beschreibung einer Versuchsfolge, deren Einzelversuche sich gegenseitig nicht beeinussen; tatsächlich werden die Einzelversuche durch stochastisch unabhängige, gemäÿ B(1, p) verteilte ZVen beschrieDie
ben.
An die Spitze unserer Überlegungen stellen wir die Bemerkung 6.1, die die Denition der stochastischen Unabhängigkeit vorbereitet.
6.1 Bemerkung
Seien (Ω, P(Ω), P ) ein (diskreter) WRaum, (Xi | i ∈
Nn ) eine endliche Familie von Ωi ZVen und X := (X1 , . . . , Xn ).
Aufgrund der Denition der Verteilungen (Bildmaÿe)
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PXi bzw. der Denition der gemeinsamen Verteilung
PX der ZVen Xi , i = 1, . . . , n vgl. (5.9.1) besagen
(6.1.1) bzw. (6.1.2) (oensichtlich) dasselbe; d.h. (6.1.1)
und (6.1.2) sind äquivalent:
(6.1.1)
n
Y
P ({ω ∈ Ω| Xi (ω) ∈ Ai , i ∈ Nn ) =
P ({ω ∈ Ω| Xi (ω) ∈ Ai })
i=1
(Ai ∈ P(Ωi ), i ∈ Nn
(6.1.2)
n
P X ( × Ai ) =
n
Y
i=1
(Das Zeichen
PXi (Ai )
(Ai ∈ P(Ωi ), i ∈ Nn ) .
i=1
n
Q
ai meint das Produkt der Faktoren
i=1
ai , i = 1, . . . , n).
Tatsächlich sind (6.1.1) bzw. (6.1.2) auch mit (6.1.3)
bzw. (6.1.4) äquivalent
(6.1.3)
n
Y
P ({ω ∈ Ω| Xi (ω) = ωi (i ∈ Nn )} =
P ({ω ∈ Ω| Xi (ω) = ωi })
i=1
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(ωi ∈ Ωi , i ∈ Nn )
bzw. mit
(6.1.4)
PX =
O
PXi .
Oensichtlich ist (6.1.3) eine Konsequenz aus (6.1.1)
dass (6.1.3) den Sachverhalt (6.1.1) nach sich zieht,
liegt im Umstand begründet, dass bei diskreten W
Maÿen diese bereits festgelegt sind, wenn die Maÿ
Werte auf den EinPunktMengen festgelegt sind, vgl. 3.5 .
Der Sachverhalt (6.1.3) lässt sich mindestens nicht direkt auf allgemeine WRäume übertragen.
Die bedeutungsvollste Darstellung der Sachverhalte (6.1.1)
(6.1.4) ist die von (6.1.4); hier wird eine Verbindung
zwischen der gemeinsamen Verteilung und dem
Produktmaÿ der einzelnen Verteilungen (Bildmaÿe) der ZVen Xi hergestellt.
Die Äquivalenz von (6.1.1), (6.1.2) und (6.1.4) trit
(entsprechend modiziert) auch für allgemeine WRäume
zu; der Nachweis stellt allerdings mathematische Ansprüche.
6.2 Denition
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Seien (Ω, P(Ω), P ) ein WRaum (Xi | i ∈ Nn ) eine endliche Familie von Ωi ZVen und X = (Xi , . . . , Xn ).
Die Familie (Xi | i ∈ Nn ) heiÿt stochastisch unabhängig bez. P , wenn eine der Bedingungen (6.1.1)
und (6.1.2)
(und damit) beide zutreen.
In diesem Falle spricht man von (stochastisch) unabhängigen ZVen X1 , . . . , Xn .
6.3 Folgerung
6.3.1 Aufgrund von 6.1 ist klar, dass die Familie
(Xi | i ∈ Nn ) für n = 1, also mit nur einer
ZV, unabhängig ist.
6.3.2 Die Reihenfolge der Nennung der ZVen spielt
keine Rolle: Sind z.B. X1 , X2 , X3 , X4 unabhängig, so auch X4 , X1 , X2 , X3 etc.
6.3.3 Ist (Xi | i ∈ Nn ) unabhängig und gilt M ⊂
Nn , so ist auch (Xi | i ∈ M ) unabhängig,
d.h., eine Teilmenge von unabhängigen ZVen
ist unabhängig. Der Sachverhalt leuchtet
unmittelbar ein; zum formalen Beweis nutzt
man 5.4.2, wonach Xi−1 (Ωi ) = Ω gilt sowie
P (Ω) = 1.
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Die beiden folgenden Sachverhalte erweisen sich im
Rahmen von Anwendungen als nützlich.
6.4 Satz
Seien (Ω, P(Ω), P ) ein WRaum und Xi unabhängige
Ω0i ZVen, i = 1, . . . m, m + 1, . . . , n. Dann sind die
vektorwertigen ZVen
Y := (X1 , . . . , Xm ) und
Z := (Xm+1 , . . . , Xn )
unabhängig.
6.5 Satz
Sei (Ω, P(Ω), P ) ein WRaum. Seien Xi : Ω → Ωi
unabhängige ZVen und fi : Ωi → Ω0i Abbildungen.
Dann sind die ZVen fi ◦ Xi , i = 1, . . . , n ebenfalls
unabhängig.
Sind die reellen ZVen X1 und X2 stochastisch unabhängig, so also auch sin(X1 ) und eX2 .
6.6 Bernoullisches Versuchsschema (fakultativ)
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Seien (Ω, P(Ω), P ) ein WRaum und Xi : Ω → {0, 1}
unabhängige, gemäÿ B(1, p)verteilte ZVen; d.h., es
gilt
P ω ∈ Ω | Xi (ω) = 1
= p
und
P ω ∈ Ω | Xi (ω) = 0
= 1−p =: q
(i = 1, . . . , n) .
Sei X := (X1 , . . . , Xn ). Wegen der vorausgesetzten
stochastischen Unabhängigkeit der Xi gilt
(6.6.1)
PX =
n
O
PXi =
i=1
n
O
B(1, p) .
i=1
Damit erhält man für ein Element (ω1 , . . . , ωn ) ∈ {0, 1}n
bei dem die 1 genau k mal auftritt
(6.6.2)
n
Y
PX (ω1 , . . . , ωn )
=
PXi {ωi } = pk q n−k ,
i=1
d.h. also, dass die Wahrscheinlichkeit eines solchen Elementes durch pk q n−k gegeben ist.
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mit
i=1 B(1, p)
Ein WRaum {0, 1} , P({0, 1} ),
n ∈ N und p ∈ [0; 1] heiÿt ein Bernoullisches Versuchsschema vom Umfang n. Das Bernoullische
Versuchsschema ist ein wtheoretisches Modell
für die nmalige unabhängige Wiederholung eines Versuchs mit den beiden Ausgängen 0 und
1.
n
n
Nn
6.7 Bernoullisches Versuchsschema (Ergänzung)
(fakultativ)
Mit den Absprachen von 6.6 sei
Y :=
n
X
Xi ,
i=1
d.h., Y ist die Summe von unabhängigen gemäÿ
B(1, p) verteilter ZVen.
Dann lässt sich (mit Hilfe der bislang entwickelten
Theorie) zeigen, dass Y gemäÿ B(n, p) verteilt ist;
oder anders formuliert, das Bildmaÿ PY ist gleich B(n, p):
PY = B(n, p) .
Anstelle eines Beweises verweisen wir auf das Experiment 6.1 .
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Wie erinnerlich vgl. 4.1 ist die WFunktion w von
B(n, p) gegeben durch
n k
w(k) =
p (1 − p)n−k
k ∈ N0n .
k
Experiment 6.1 veranschaulicht das Bernoulli'sche Versuchsexperiment, 6.6 bzw. 6.7, anhand eines virtuellen
Galton Brettes.
6.8 Denition
Seien (Ω, P(Ω), P ) ein WRaum sowie A, B ⊂ Ω Ereignisse. A und B heiÿen (stochastisch) unabhängig (bez. P ), wenn gilt
(6.8.1)
P (A ∩ B) = P (A) · P (B) .
Die Unabhängigkeit der Ereignisse lässt sich sofort als
die Unabhängigkeit ihrer Indikatorfunktionen formulieren.
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6.9 Satz
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Seien (Ω, P(Ω), P ) ein WRaum sowie A, B ⊂ Ω. Dann
sind die folgenden Aussagen äquivalent.
6.9.1 Die ZVen 1A , 1B sind unabhängig.
6.9.2 Die Ereignisse A, B sind unabhängig.