(p)-verteilten Wartezeit

Prof. Dr. Norbert Gaffke
Sommersemester 2013
Übungen zur Vorlesung “Stochastische Prozesse”
Blatt 3
(Besprechung am 03.06.)
Aufgabe 9 [vergl. Aufgabe 8]
Sei ein Erneuerungsprozess mit geometrisch-(p)-verteilten Wartezeiten gegeben, wobei
p ∈ ( 0 , 1 ) . Zeigen Sie:
n
P
(i) Tn =
τi ist negativ-binomial-(n, p)-verteilt, d.h.
i=1
n
k−1
P(Tn = k) = n−1
p (1 − p)k−n ∀ k = n, n + 1, n + 2, . . .
P
Hinweis: P(Tn = k) =
und
P(τ1 = k1 , . . . , τn = kn ) ,
(k1 ,...,kn )∈Nn : k1 +...+kn =k
|{(k1 , . . . , kn ) ∈ Nn : k1 + . . . + kn
(ii) m(t) = p · btc ∀ t ∈ ( 0 , ∞) .
Hinweis:
= k }| =
m(t) =
k−1
n−1
∞
P
.
P(Tn ≤ t) .
n=1
Aufgabe 10
Seien (Xi )i∈N eine Folge von u.i.v. {0, 1}-wertigen Zufallsvariablen mit
P(Xi = 1) = p und P(Xi = 0) = 1 − p , wobei p ∈ ( 0 , 1 ) .
btc
P
Betrachte den stochastischen Prozess Nt :=
Xi , t ∈ [ 0 , ∞) .
i=1
Zeigen Sie: (Nt )t∈[ 0 , ∞) ist – nach Entfernen einer gewissen P-Nullmenge – ein Erneuerungszählprozess mit geometrisch-(p)-verteilten Wartezeiten.
Aufgabe 11
Die Ankünfte der Kunden in einer Autowaschanlage wird modelliert durch einen homogenen Poisson-Prozess (Nt )t∈[0,∞) der Intensität λ = 4.5 [pro Std].
(a) Wie viele Ankünfte sind in einem Zeitintervall der Länge h [Std] zu erwarten ?
Was ergibt die Asymptotik des Blackwell’schen Erneuerungstheorems für ein Zeitintervall ( t , t + h ] mit t → ∞ ?
(b) Berechnen Sie approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Ankünfte
innerhalb eines gegebenen Zeitintervalles der Länge 1000 [Std] zwischen 4400 und
4600 liegt.
(c) Es stehen drei Waschprogramme zur Auswahl, zum Preis von 5 Euro, 8 Euro
und 12 Euro. Erfahrungsgemäß entscheiden sich 50% der Kunden für das 5-EuroProgramm, 40% für das 8-Euro-Programm und 10% für das 12-Euro-Programm.
Wir modellieren dies durch eine Folge von u.i.v. Zufallsvariablen (Xn )n∈N mit
P(Xn = 5) = 0.5 ,
P(Xn = 8) = 0.4 ,
P(Xn = 12) = 0.1 .
Außerdem nehmen wir an, dass der Ankunftsprozess (Nt )t∈[0,∞) und die Folge
(Xn )n∈N voneinander stochastisch unabhängig sind. Interessant ist der “UmsatzProzess”
Nt (ω)
X
Ut (ω) :=
Xi (ω) , ω ∈ Ω , t ∈ [ 0 , ∞) .
i=1
Berechnen Sie E(Ut ) und Var(Ut ) für beliebiges t ≥ 0.
Hinweis: Ut =
∞
P
n=1
Sn 1 {Nt =n} , wobei Sn :=
1
n
P
i=1
Xi ,
sowie Ut2 =
∞
P
n=1
Sn2 11{Nt =n} .
Aufgabe 12
Wir betrachten die Erneuerungsgleichung
Z
G(t) = g(t) +
G(t − x) dP (x) ,
t ∈ [ 0 , ∞) ,
(0 ,t]
wobei g : [ 0 , ∞) −→ R eine gegebene beschränkte (messbare) Funktion und P die
Wartezeitverteilung eines gegebenen Erneuerungsprozesses ist, und G : [ 0 , ∞) −→ R
wird als lokal beschränkt (und messbar) vorausgesetzt. Zeigen Sie:
(a) Wenn der Erneuerungsprozess ein homogener Poisson-Prozess mit Intensität λ ist,
dann ist die Lösung der Erneuerungsgleichung
Z t
G(t) = g(t) + λ
g(x) dx , t ∈ [ 0 , ∞) .
0
(b) Wenn der Erneuerungsprozess geometrisch-(p)-verteilte Wartezeiten besitzt (wobei
0 < p < 1), dann ist die Lösung der Erneuerungsgleichung gegeben durch
G(a + k) = g(a + k) + p
k−1
X
g(a + j)
∀ a ∈ [0, 1) , ∀ k ∈ N.
j=0
Verifizieren Sie für die Fälle (a) und (b) direkt das Resultat des Erweiterten Erneuerungstheorems.
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