Vektoren und Matrizen

Vektoren und Matrizen
Max Camenzind
3. Juli 2015
1
Vektoren und Matrizen
• Geben Sie für den Vektor ~a = (12, 3, 4)T die Länge und den Einheitsvektor an.
• Berechnen Sie den Winkel α zwischen den Vektorn ~a = (−2, −3, 6)T und
~b = (12, 3, 4)T .
• Sind folgende Vektoren orthogonal zueinander: ~a = (−2, +7, −3)T und ~b =
(6, 3, 3)T ?
• Eine (m, n)–Matrix A ist ein rechteckiges Schema reeller Zahlen mit m Zeilen
und n Spalten:


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 


Kurzschreibweise: (aik )k=1,...,n
(1)
A =  ..
..
.. 
i=1,...,m
 .
.
. 
am1 am2 · · · amn
Die Zahlen aik heißen Elemente oder Koeffizienten der Matrix A.


a1
 a2 


Eine (m, 1)–Matrix heißt m–dimensionaler Vektor: a =  .. 
 . 
am
• Die transponierte Matrix AT einer (m, n)–Matrix A erhält man durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von A. AT ist demnach eine (n, m)-Matrix:


a11 a21 · · · am1
 a12 a22 · · · am2 


AT =  ..
(2)
..
.. 
 .
.
. 
a1n a2n · · · amn

1 2
Beispiel: A =  3 4 
5 6

=⇒
T
A =
1
1 3 5
2 4 6
• Eine (m, n)–Matrix A heißt quadratisch, falls m = n.
Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, falls A = AT .
• Eine symmetrische (n, n)–Matrix I der Form

1 0 ···
 0 1 ···

I =  .. .. . .
 . .
.
0 0 ···
0
0
..
.
1





(3)
heißt (n, n)–Einheitsmatrix (d.h., auf der Hauptdiagonalen stehen Einsen,
sonst überall Nullen).
• Damit definiert man die inverse Matrix A−1 via A−1 A = I.
• Diskutieren Sie die Rechenregeln für Matrizen: Addition, Subtraktion, inverse?
• Berechnen Sie die Matrizenprodukte AB, BA, AT A



7
5 3 2



−1
1 0 −1
, B =
A =
−8
4 2 0
und AAT für

3 −2
−5 3 
0
1
(4)
Wie würden Sie die inverse Matrix A−1 berechnen?
2
Matrizen als Gruppen
Welche definitorischen Eigenschaften erfüllt eine Matrix-Gruppe?
Beweisen Sie die Gruppeneigenschaft der 2D Rotationsmatrizen R(φ)
cos φ1 sin φ1
cos φ2 sin φ2
R(φ1 ) × R(φ2 ) =
×
=
− sin φ1 cos φ1
− sin φ2 cos φ2
cos φ1 cos φ2 − sin φ1 sin φ2
cos φ1 sin φ2 + sin φ1 cos φ2
=
− sin φ1 cos φ2 − sin φ2 cos φ1 − sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2
cos(φ1 + φ2 ) sin(φ1 + φ2 )
= R(φ1 + φ2 )
− sin(φ1 + φ2 ) cos(φ1 + φ2 )
(5)
da nach dem Additionstheorem gilt:
sin(x1 + x2 ) = sin x1 cos x2 + cos x1 sin x2
cos(x1 + x2 ) = cos x1 cos x2 − sin x1 sin x2 .
Ebenso gilt für das inverse Element
−1 cos φ1
sin φ1
cos(−φ1 )
sin(−φ1 )
=
− sin φ1 cos φ1
− sin(−φ1 ) cos(−φ1 )
Wie kann man eine Rotationsmatrix in 3 Dimensionen aufbauen?
Wie sind unitäre Gruppen SU(N) definiert?
Wie lauten die Pauli-Matrizen, wie die Gell-Mann-Matrizen?
Zeigen Sie, dass diese Matrizen eine Lie-Algebra bilden.
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(6)