x \ x in A or x - International Mathematical Union

WELL-PARTIAL-ORDERING AND VAZSONYFS CONJECTURE
JOSEPH B. KRUSKAL J R .
In a set X which is partially-ordered by ^ , I define upper A = [x \ x in
A or x ^ y in A). Now X is well-partially-ordered if every (non-void) set A has
a finite subset F such that upper A — upper F. This condition is weaker than
well-ordering, for if X is well-ordered, A must have a single element a such that
upper A = upper {a}.
A linear graph is a ft'^ß if it is connected and has no loops. A graph is of
order 3 if no vertex is in more than 3 edges. Any set of graphs has a natural
partial-ordering on it induced by homeomorphic embedding. That is, graph
G1 ^ G2 if G± is homeomorphically embeddable in G2.
A conjecture due to Vazsonyi and made popular by Erdös was that the
space of trees is well-partially-ordered. This conjecture was recently proved by
the author. There is a similar conjecture, that the space of graphs of order 3 is
well-partially-ordered. To my knowledge, this conjecture has not been proved.
Furthermore, the methods used in proving the first conjecture do not seem to
apply to this problem, even though they include what appears to be a fairly
general theory of well-partially-ordered spaces.
Box 210, R. D. 1,
PRINCETON, NEW JERSEY, UNITED STATES.
ÜBER DIE PRIMTEILER EINES POLYNOMS
PAUL
KUHN
Mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnen wir natürliche Zahlen,
kurz Zahlen genannt, mit p, q, s, t Primzahlen. Es sei
(1)
Pn(x) = a0xn + axxnT* + . . . + an,
a0 > 0
ein ganzzahliges, primitives Polynom, das das Produkt von r(l fg r ^ n)
ganzzahligen, primitiven, irreduziblen Polynomen ist. Der feste Teiler von (1)
sei r = *Ji. . .tb6°.
Wir suchen möglichst kleine Zahlen k der Eigenschaft, dass es unter den
Zahlen
(2)
Pn(l), P.(2)
Pn{x), . . .
unendlich viele Zahlen gibt, die ausser den festen Primteilern tt von (1) nicht
mehr als k Primfaktoren besitzen.
35
H. Rademacher und G. Ricci haben die Viggo Brunsche Siebmethode auf
diese Probleme angewendet. Der Verfasser hat die Siebmethode in einer etwas
anderen Weise benutzt und im Falle r = 1 für k kleinere Werte als bisher
erhalten. Für 1 < / ^ n lassen sich ebenfalls kleinere k als bisher ermitteln.
Der Beweis wird hier für r = n gegeben.
p durchlaufe alle Primzahlen, für die
_i_
(3)
j>^xv,
p^ti
ist, wo v später als Funktion von n gewählt wird.
Es sei d fé 0 (mod p), d fé 0 (mod tt) und Nn[dx, xv) die Anzahl der
Zahlen (2), die ^ Pn{x)> durch d teilbar, aber durch p und fy+1 nicht teilbar
sind. Mittels der Brunschen Methode erhält man für r = n und x -> oo
Nn(x, x* ) > Cn0,9Sxvnlog-nx
(4)
+ 0(x « v71*1 log-71-1 x)
ì
Nn(dx,xv)
nx
«M
< Cn 1,016—v n log~ n x + 0(x v v^log-*1-1 x)
d
x(2) ^ 9,99, «(3) ^ 13,67, x(4) ^ 17,50, «(5) ^ 22,02, . . .,
wobei Cn > 0 für das gegebene Pn(x) konstant ist.
Theorem. Für r = n kann k = w -\- n gewählt werden, wo w die kleinste
Zahl sei, die
0,98
(5)
(w + 1) >
n\ogn(n)
genügt. Beispiele: n = 2, k=ß; n = 3, k=l0; n = 4i, k = 15; n = 5, k = 2\) . . .
In (3) sei v = 2K(n). q durchlaufe alle Primzahlen, für die
1
xv <q^
(6)
i
( a ^ ) 2 + l,
q^ti
ist. Mit m seien die Zahlen (2) bezeichnet, für die
(7)
m ^ Pn(x), m^àO (mod p), m fé 0 (mod 2^ + 1 ), w fé 0 (mod ya)
gilt. Z7 bezeichne eine untere Schranke für die Anzahl Mn(x, x1» ) der Zahlen m.
Da Mn(x,xv)
=Nn(x,xv)-\-
0(x
«) ist, können wir nach (4)
1
(8)
!_!
(7 = Cn0,QSxvnlog~TC% + 0 (x2 log-"" 1 *) + 0 (x
•)
_i_
setzen. Sei M ^ A ; , #<>) die Anzahl aller m, die durch ein # teilbar sind und V
i_
eine obere Schranke der über alle q laufenden Summe ^Mn(qx,
a
36
xv) = Ln.
Es ist Ln^TiNn(qx,
(9)
x1»). Wir können also nach (4) setzen
V = Cn 1,016 S — ün log-" x + 0 (x log-«- 1 x).
In Ln werden alle m, die durch mindestens w -\- 1 Primzahlen ^ teilbar sind,
1
mindestens w + 1 mal mitgezählt. Die Differenz Zl = £/•—
F ist daher
w +1
eine untere Schranke für die Anzahl der m, die aus höchstens w Primzahlen q
und, ausser den tit nur noch aus Primzahlen s > (aQx)2 + 1 zusammengesetzt
sind. Die Anzahl der s ist aber für x -> oo höchstens n, weil dann in jedem
Linearfaktor von Pn(x) nur höchstens ein s enthalten sein kann. Damit für
x -> oo auch A -> oo wird, genügt es, dass
(10)
0,98
^ . (
1,016
_
w
7*
i ) > S q
ff
+
gilt, wo S ' — ~ log x(ii) ist.
LITERATUR
H. RADEMACHER. Beiträge zur Viggo Brunschen Methode in der Zahlentheorie. Hamb.
Abh. 3, 12—30 (1923).
G. RICCI. SU la congettura di Goldbach e la costante di Schnirermann. I. II. Ann. Scuola
norm. sup. Pisa (2) 6, 71—90, 91—116, (1937).
P. K U H N . Neue Abschätzungen auf Grund der Viggo Brunschen Siebmethode. Den 12.
Mat. Kongr. i Lund 1953. (erscheint 1964).
KYRKOGàRDSGATAN
39/11, U P P S A L A ,
SWEDEN.
AN AXIOMATIC DEFINITION OF THE TENSOR
CALCULUS
PAUL EDWIN KUSTAANHEIMO
The classical tensor calculus, as used in mathematical physics and differential geometry, can be reproduced by a set of 28 purely algebraic axioms. The
chief contents of these axioms is as follows:
A set of tensors is a ring in which, except addition and multiplication, a
third operation, called conjugation, is defined. The conjugation is a one-one
correspondence between the tensors having the following properties: the conjugate of sum is the sum of the conjugates of its terms; the conjugate of product is the product of the conjugates of its factors, taken in the opposite order.
The ring of tensors can be constructed by adjoining a finite number of base
37