10 Verschlüsselung von Formeln durch natürliche Zahlen Sei σ(L

10
Verschlüsselung von Formeln durch natürliche
Zahlen
Sei σ(L) = (S, +, ·, 0, <). Wir ordnen nach folgendem Schema
den benutzten Symbolen Zahlen, d.h. ihre Symbolnummer zu.
SN(vi) = 2i
SN(S) = 3
SN(+) = 5
SN(·) = 7
SN(0) = 9
SN(<) = 11
SN(=) = 13
SN(¬) = 15
SN(→) = 17
SN(∀) = 19
Wir nutzen für die folgenden sehr formalen Dinge die klammernfreie Schreibweise der Formeln und Terme. Auf die Eindeutigkeit
dieser Darstellung wurde hingewiesen. Wir schreiben z.B. +t1t2
statt t1 + t2, → ϕ1ϕ2 statt (ϕ1 → ϕ2).
Jedem Term t und jeder Formel ϕ kann nun eindeutig eine Zahl
p q
t bzw. pϕq zugeordnet werden, die den induktiven Formelaufbau verschlüsselt. Für jede Zahl kann man effektiv feststellen,
ob sie einen Term oder eine Formel verschlüsselt. Dieser Term
bzw. diese Formel kann dann auch effektiv gewonnen werden.
1
Definition der Gödelzahl p tq für den Term t:
p q
0 = hSN(0)i
p q
vi = hSN(vi)i
Als Folgennummern der Länge 1 von allen anderen pTermenq und
den p Formelnq unterscheidbar.
Wenn f n-stelliges Funktionssymbol und t1, . . . , tn Terme
p
f t1 . . . tqn = hSN(f ),p tq1, . . . ,p tqni.
Wir haben nur die Fälle n = 1, 2 für die gewählte Signatur.
Definition der Gödelzahl p ϕq für die Formeln ϕ:
p
= t1tq2
p
< t1tq2
p
¬ϕq
p
→ ϕψ q
p
∀ v i ϕq
=
=
=
=
=
hSN(=),p tq1,ptq2i,
hSN(<),p tq1,ptq2i,
hSN(¬),pϕq i
hSN(→),p ϕq ,pψ q i
hSN(∀),pviq ,p ϕqi.
Definition ThmΣ = {p ϕq : Σ ⊢ ϕ, ϕ Formel}.
Σ ist entscheidbar, wenn ThmΣ rekursiv ist. Sonst heißt Σ unentscheidbar.
Σ ist genau dann entscheidbar, wenn die Theorie Abl(Σ) entscheidbar ist.
2
Wir zeigen jetzt, daß viele Mengen von Zahlen, die wichtige Mengen und Funktionen der Syntax verschlüsseln, rekursiv sind. Wir
arbeiten mit der fixierten Sprache L.
a) Vble(a) ↔ a = h(a)0i ∧ ∃ yy≤a((a)0 = 2y). Dann Vble(a)
gdw a =p viq Vble ist rekursiv.
b) Term(a) ↔ 0 = 0, wenn a = hSN(0)i
↔ Term((a)1), wenn a = hSN(S), (a)1i
↔ Term((a)1) ∧ Term((a)2),
wenn a = hSN(+), (a)1, (a)2i∨a = hSN(·), (a)1, (a)2i
↔ Vble(a), sonst.
Term (a) trifft genau dann zu, wenn a =p tq für einen Term t.
Die Definition ist induktiv mit Fallunterscheidungen. Also
ist Term (a) rekursiv.
c) AFor(a) ↔ a = h(a)0, (a)1, (a)2i ∧ ((a)0 = SN(=) ∨ (a)0 =
SN(<))
∧Term((a)1) ∧ Term((a)2)
Gehen von klammernfreien Darstellungen = t1t2 und < t1t2
aus. AFor(a) ist rekursiv.
d) For(a) ↔ For((a)1), wenn a = hSN(¬), (a)1i
↔ For((a)1)∧For((a)2), wenn a = hSN(→), (a)1, (a)2i
↔ Vble((a)1)∧For((a)2), wenn a = hSN(∀), (a)1, (a)2i
↔ AFor(a), sonst.
Es gilt For(a) genau dann, wenn a =p ϕq für eine Formel ϕ.
For(a) ist wieder rekursiv.
3
e) Wir definieren Sub(a, b, c), so daß diese Funktion für a = pϕq
(bzw. a = ptq), b = pxq und c = puq die Gödelzahl der
Formel (bzw. des Terms) annimmt, die (den) man erhält,
wenn jedes freie Vorkommen von x durch u ersetzt wird.
Auf Variablenkollisionen wird erst einmal keine Rücksicht
genommen. Analoges gelte für Terme.
Sub(a, b, c) = c, wenn Vble(a) ∧ a = b
= h(a)0, Sub((a)1, b, c)i, wenn a = h(a)0, (a)1i
= h(a)0, Sub((a)1), b, c), Sub((a)2), b, c)i,
wenn a = h(a)0, (a)1, (a)2i ∧ (a)0 6= SN(∀)
= h(a)0, (a)1, Sub((a)2, b, c)i,
wenn a = hSN(∀), (a)1, (a)2i ∧ (a)1 6= b
= a, sonst.
Sub(a, b, c) ist wieder rekursiv. Es hängt von der vorgegebenen Signatur ab, wie auch die beiden folgenden Definitionen.
f) Falls a = pϕq oder ptq und b = pxq , so soll Fr(a, b) sagen, daß
x frei in ϕ bzw. t vorkommt.
Fr(a, b) ↔ a = b, wenn Vble(a)
↔ Fr((a)1, b), wenn a = h(a)0, (a)1i
↔ Fr((a)1, b)∨Fr((a)2, b), wenn a = h(a)0, (a)1, (a)2i∧
(a)0 6= SN(∀)
↔ Fr((a)2, b) ∧ (a)1 6= b sonst.
Fr ist wieder rekursiv.
4
g) Subtl(pϕq ,pxq ,puq ) soll sagen, daß ϕu/x vorgenommen werden
darf, d.h. daß es keine Variablenkollisionen gibt. Weiterhin
gilt immer Subtl(ptq ,pxq ,puq ) für Terme t und u.
Subtl(a, b, c) ↔ Subtl((a)1, b, c), wenn a = h(a)0, (a)1i
↔ Subtl((a)1, b, c) ∧ Subtl((a)2, b, c),
wenn a = h(a)0, (a)1, (a)2i∧(a)0 6= SN(∀)
↔ Subtl((a)2, b, c)∧(¬Fr((a)2, b)∨¬Fr(c, (a)1),
wenn a = hSN(∀), (a)1, (a)2i ∧ (a)1 6= b
↔ 0 = 0 sonst.
Subtl ist wieder rekursiv.
Gegeben sei eine Menge Σ von L-Aussagen. Sei N LAxΣ =
{pϕq : ϕ ∈ Σ}. Ziel ist es ein Prädikat PrΣ(a, b) zu definieren,
so daß:
i) PrΣ (a, b) gilt genau dann, wenn a =p ϕq für eine Formel ϕ
und b = hpϕq0, . . . ,pϕqn−1 i für einen Σ-Beweis ϕ0, . . . , ϕn−1
für ϕ.
ii) Wenn N LAxΣ rekursiv ist, dann ist auch P rΣ rekursiv.
h) Definieren AAx(a), so daß AAx(a) gdw a =p χq, wobei
χ aussagenlogisches Axiom. In klammernfreier Darstellung
sind dies:
→ ϕ → ψϕ
→→ ϕ → ψθ →→ ϕψ → ϕθ
→→ ¬ψ¬ϕ →→ ¬ψϕψ
AAx(a) ↔ ∃ xx<a∃ yy<a(For(x) ∧ For(y)
∧a = hSN(→), x, hSN(→), y, xii)
∨......
∨......
AAx ist rekursiv.
5
i) QAx(a) für Quantorenaxiome. Diese sind:
∀ x(ϕ → ψ) → (ϕ → ∀ xψ), falls x nicht frei in ϕ,
d.h. klammernfrei → ∀ x → ϕψ → ϕ∀ xψ.
∀ xϕ → ϕt/x falls Subtl(pϕq,p xq,p tq ) d.h. klammernfrei →
∀ xϕϕt/x.
QAx(a) ↔ ∃ xx<a∃ yy<a∃ vv<a [For(x) ∧ For(y) ∧ Vble(v) ∧
a = hSN(→), (a)1, (a)2i∧


((¬Fr(x, v) ∧ (a)1 = hSN(∀), v, hSN(→), x, yii 
1. Axiom


∧(a)2 = hSN(→), x, hSN(∀), v, yii)


∨∃ tt<a(Term(t) ∧ Subtl(x, v, t) ∧ Sub(x, v, t) = y
2. Axiom


∧(a)1 = hSN(∀), v, xi ∧ (a)2 = y))]
QAx ist rekursiv und trifft genau auf die Verschlüsselungen
der Quantorenaxiome zu.
j) Ähnlich definiert man nun ein rekursives Prädikat IAx, so
daß IAx genau auf die pϕq , wobei ϕ Identitätsaxiom, zutrifft.
Für die Ableitungsregeln definieren wir die beiden folgenden
rekursiven Prädikate:
k) M P (a, b, c) ↔ b = hSN(→), c, ai
und
l) G(a, b) ↔ ∃ vv<a(Vble(v) ∧ a = hSN(∀), v, bi)
m) Sei
AxΣ (a) ↔ AAx(a) ∨ QAx(a) ∨ IAx(a) ∨ N LAxΣ (a).
Es gilt AxΣ (a) genau dann, wenn a = pϕq, wobei ϕ ΣAxiom. AxΣ ist genau dann rekursiv, wenn N LAxΣ rekursiv ist.
6
n) Prf Σ(a) ↔ Seq(a) ∧ lh(a) 6= 0 ∧ ∀ ii<lh(a) (AxΣ((a)i)
∨∃ jj<i∃ kk<i(M P ((a)i, (a)j , (a)k ) ∨ G((a)i, (a)j )))
Prf Σ verschlüsselt Σ-Beweise und ist rekursiv, wenn N LAxΣ
rekursiv ist.
o) PrΣ(a, b) ↔ Prf Σ (b) ∧ a = (b)lh(b) − 1 sagt dann, daß b ein
Σ-Beweis für a ist. Wenn N LAxΣ rekursiv ist, so ist auch
PrΣ(a, b) rekursiv.
Nun gilt ThmΣ(a) gdw. ∃ xPrΣ (a, x).
Theorem 10.1 Wenn Σ rekursiv ist (d.h. N LAxΣ ), dann
ist PrΣ rekursiv und ThmΣ ist rekursiv aufzählbar.
7