Was ist eigentlich . . . das Kontinuum? Und was ist sein Problem?

Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
oder: Was ist eigentlich . . . Forcing?
Und wie kann man es überwinden?
Gido Scharfenberger-Fabian
4. Juli 2008
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Outline
1
Das Kontinuumsproblem
2
Mengenlehre
3
Forcing
4
Trotzdem eine Lösung für CH?
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Trotzdem eine Lösung für CH?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Outline
1
Das Kontinuumsproblem
2
Mengenlehre
3
Forcing
4
Trotzdem eine Lösung für CH?
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Trotzdem eine Lösung für CH?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Cantors Kontinuumshypothese (1878) CH
Jede unendliche Menge reeller Zahlen ist entweder abzählbar oder
von der Mächtigkeit der Menge aller reeller Zahlen.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Cantors Kontinuumshypothese (1878) CH
Jede unendliche Menge reeller Zahlen ist entweder abzählbar oder
von der Mächtigkeit der Menge aller reeller Zahlen.
X
⊆R⇒X
endlich oder |X |
= |N|
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
oder |X |
= |R|
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Cantors Kontinuumshypothese (1878) CH
Jede unendliche Menge reeller Zahlen ist entweder abzählbar oder
von der Mächtigkeit der Menge aller reeller Zahlen.
X
⊆R⇒X
endlich oder |X |
= |N|
oder |X |
= |R|
Philosophische Frage (für später)
Muss eine Aussage wie CH überhaupt einen Wahrheitswert haben?
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Gödel (1937)
Die Kontinuumshypothese wird von ZFC nicht widerlegt.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Gödel (1937)
Die Kontinuumshypothese wird von ZFC nicht widerlegt.
Jedes ZFC-Modell V (d.i. eine Struktur, die alle ZFC-Axiome
erfüllt, ein Mengenuniversum) hat ein Submodell L, das auch ZFC
und auÿerdem CH erfüllt.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Gödel (1937)
Die Kontinuumshypothese wird von ZFC nicht widerlegt.
Jedes ZFC-Modell V (d.i. eine Struktur, die alle ZFC-Axiome
erfüllt, ein Mengenuniversum) hat ein Submodell L, das auch ZFC
und auÿerdem CH erfüllt.
(V , ∈) ZFC ⇒
ex. L
⊆ V : (L, ∈) ZFC + CH
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Cohen (1963)
Die Kontinuumshypothese kann aus ZFC nicht bewiesen werden.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Cohen (1963)
Die Kontinuumshypothese kann aus ZFC nicht bewiesen werden.
Grob gesagt: Jedes ZFC-Modell V hat eine (Forcing)-Erweiterung
V [G ], die auch ZFC-Modell ist und in der CH falsch ist.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Cohen (1963)
Die Kontinuumshypothese kann aus ZFC nicht bewiesen werden.
Grob gesagt: Jedes ZFC-Modell V hat eine (Forcing)-Erweiterung
V [G ], die auch ZFC-Modell ist und in der CH falsch ist.
V
ZFC ⇒
ex. V [G ]
⊃ V : (V [G ], ∈) ZFC + ¬CH
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Cohen (1963)
Die Kontinuumshypothese kann aus ZFC nicht bewiesen werden.
Grob gesagt: Jedes ZFC-Modell V hat eine (Forcing)-Erweiterung
V [G ], die auch ZFC-Modell ist und in der CH falsch ist.
V
ZFC ⇒
ex. V [G ]
⊃ V : (V [G ], ∈) ZFC + ¬CH
Auf die Forcing-Methode wollen wir später etwas genauer eingehen.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Outline
1
Das Kontinuumsproblem
2
Mengenlehre
3
Forcing
4
Trotzdem eine Lösung für CH?
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Trotzdem eine Lösung für CH?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Transnite Iterationen Ordinalzahlen
0
=∅
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Trotzdem eine Lösung für CH?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Transnite Iterationen Ordinalzahlen
=∅
1 = {0} = {∅}
0
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Trotzdem eine Lösung für CH?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Transnite Iterationen Ordinalzahlen
=∅
1 = {0} = {∅}
2 = {0, 1} = {∅, {∅}}
0
...
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Trotzdem eine Lösung für CH?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Transnite Iterationen Ordinalzahlen
=∅
1 = {0} = {∅}
2 = {0, 1} = {∅, {∅}}
0
...
n
+ 1 = n ∪ {n} = {0, . . . , n}
...
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Trotzdem eine Lösung für CH?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Transnite Iterationen Ordinalzahlen
=∅
1 = {0} = {∅}
2 = {0, 1} = {∅, {∅}}
0
ω := N
...
n
+ 1 = n ∪ {n} = {0, . . . , n}
...
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
(erster Limes)
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Transnite Iterationen Ordinalzahlen
=∅
1 = {0} = {∅}
2 = {0, 1} = {∅, {∅}}
0
ω := N (erster Limes)
ω+1 = ω∪{ω} = {0, 1, . . . , ω}
...
n
+ 1 = n ∪ {n} = {0, . . . , n}
...
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Transnite Iterationen Ordinalzahlen
=∅
1 = {0} = {∅}
2 = {0, 1} = {∅, {∅}}
ω := N (erster Limes)
ω+1 = ω∪{ω} = {0, 1, . . . , ω}
ω + 2 = (ω + 1) ∪ {ω + 1}
...
...
0
n
+ 1 = n ∪ {n} = {0, . . . , n}
...
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Transnite Iterationen Ordinalzahlen
=∅
1 = {0} = {∅}
2 = {0, 1} = {∅, {∅}}
ω := N (erster Limes)
ω+1 = ω∪{ω} = {0, 1, . . . , ω}
ω + 2 = (ω + 1) ∪ {ω + 1}
...
...
0
n
+ 1 = n ∪ {n} = {0, . . . , n}
...
α+ 1 = α∪{α} = {0, 1, . . . , α}
...
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Transnite Iterationen Ordinalzahlen
=∅
1 = {0} = {∅}
2 = {0, 1} = {∅, {∅}}
ω := N (erster Limes)
ω+1 = ω∪{ω} = {0, 1, . . . , ω}
ω + 2 = (ω + 1) ∪ {ω + 1}
...
...
0
n
+ 1 = n ∪ {n} = {0, . . . , n}
...
α+ 1 = α∪{α} = {0, 1, . . . , α}
...
Nachfolger
α=γ+1
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Transnite Iterationen Ordinalzahlen
=∅
1 = {0} = {∅}
2 = {0, 1} = {∅, {∅}}
ω := N (erster Limes)
ω+1 = ω∪{ω} = {0, 1, . . . , ω}
ω + 2 = (ω + 1) ∪ {ω + 1}
...
...
0
n
+ 1 = n ∪ {n} = {0, . . . , n}
...
α+ 1 = α∪{α} = {0, 1, . . . , α}
...
Nachfolger
Limes 0
α=γ+1
6= α 6= γ + 1
f.a.
γ < α.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Transnite Iterationen Ordinalzahlen
=∅
1 = {0} = {∅}
2 = {0, 1} = {∅, {∅}}
ω := N (erster Limes)
ω+1 = ω∪{ω} = {0, 1, . . . , ω}
ω + 2 = (ω + 1) ∪ {ω + 1}
...
...
0
n
+ 1 = n ∪ {n} = {0, . . . , n}
...
α+ 1 = α∪{α} = {0, 1, . . . , α}
...
Nachfolger
Limes 0
α=γ+1
6= α 6= γ + 1
f.a.
γ < α.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Transnite Iterationen Ordinalzahlen
=∅
1 = {0} = {∅}
2 = {0, 1} = {∅, {∅}}
ω := N (erster Limes)
ω+1 = ω∪{ω} = {0, 1, . . . , ω}
ω + 2 = (ω + 1) ∪ {ω + 1}
...
...
0
n
+ 1 = n ∪ {n} = {0, . . . , n}
...
α+ 1 = α∪{α} = {0, 1, . . . , α}
...
Nachfolger
Limes 0
On
α=γ+1
6= α 6= γ + 1
= {x | (x , ∈)
f.a.
γ < α.
ist lin.Ordnung und y
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
∈ x → y ⊂ x}
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Das mengentheoretische Universum
Trotzdem eine Lösung für CH?
V
On
Iteration von Potenzmenge und
Vereinigung:
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Das mengentheoretische Universum
Trotzdem eine Lösung für CH?
V
On
Iteration von Potenzmenge und
Vereinigung:
V0
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
=∅
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Das mengentheoretische Universum
Trotzdem eine Lösung für CH?
V
On
Iteration von Potenzmenge und
Vereinigung:
Vα
Vα+1
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
= P(Vα )
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Das mengentheoretische Universum
Trotzdem eine Lösung für CH?
V
On
Iteration von Potenzmenge und
Vereinigung:
Vα
α+1
α
Vα+1
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
= P(Vα )
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Das mengentheoretische Universum
Trotzdem eine Lösung für CH?
V
On
Iteration von Potenzmenge und
Vereinigung:
P(Vα ) \ Vα
Vα
α+1
α
Vα+1
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
= P(Vα )
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Das mengentheoretische Universum
Trotzdem eine Lösung für CH?
V
On
Iteration von Potenzmenge und
Vereinigung:
Vα+1
α+1
α
Vα+1
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
= P(Vα )
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Das mengentheoretische Universum
Trotzdem eine Lösung für CH?
V
On
Iteration von Potenzmenge und
Vereinigung:
λ
Vα+1
α+1
α
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
λ
Limes-Ordinalzahl
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Das mengentheoretische Universum
Trotzdem eine Lösung für CH?
V
On
Iteration von Potenzmenge und
Vereinigung:
λ
.
.
.
α+1
α
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
λ
Limes-Ordinalzahl
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Das mengentheoretische Universum
Trotzdem eine Lösung für CH?
V
On
Iteration von Potenzmenge und
Vereinigung:
.
.
.
λ
Vλ
=
[
α<λ
Vλ
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Vα
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Das mengentheoretische Universum
Trotzdem eine Lösung für CH?
V
On
Iteration von Potenzmenge und
Vereinigung:
V
=
[
On
α∈
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Vα
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Das mengentheoretische Universum
Trotzdem eine Lösung für CH?
V
On
Iteration von Potenzmenge und
Vereinigung:
V
[
=
On
Vα
α∈
Vλ
=
[
Vα
α<λ
Vα+1
V0
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
= P(Vα )
=∅
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Kardinalzahlen
Bekannt: Kardinalitätsbegri
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Trotzdem eine Lösung für CH?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Kardinalzahlen
Bekannt: Kardinalitätsbegri
|X | = |Y | : ⇐⇒
ex. f
:X →Y
bijektiv
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Trotzdem eine Lösung für CH?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Kardinalzahlen
Bekannt: Kardinalitätsbegri
|X | = |Y | : ⇐⇒
ex. f
Schröder-Bernstein: X
:X →Y
,→ Y
bijektiv
und Y
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
,→ X ⇒ |X | = |Y |
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Kardinalzahlen
Bekannt: Kardinalitätsbegri
|X | = |Y | : ⇐⇒
ex. f
Schröder-Bernstein: X
:X →Y
,→ Y
bijektiv
und Y
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
,→ X ⇒ |X | = |Y |
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Kardinalzahlen
Bekannt: Kardinalitätsbegri
|X | = |Y | : ⇐⇒
ex. f
Schröder-Bernstein: X
Kardinalzahlen:
:X →Y
,→ Y
|X | = min{α ∈
bijektiv
und Y
On
|
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
,→ X ⇒ |X | = |Y |
ex. f
: X ↔ α} ∈
On.
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Kardinalzahlen
Bekannt: Kardinalitätsbegri
|X | = |Y | : ⇐⇒
ex. f
Schröder-Bernstein: X
Kardinalzahlen:
:X →Y
,→ Y
|X | = min{α ∈
ℵ0 = ω = {α ∈
On
| α
bijektiv
und Y
On
endlich
|
}
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
,→ X ⇒ |X | = |Y |
ex. f
: X ↔ α} ∈
On.
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Kardinalzahlen
Bekannt: Kardinalitätsbegri
|X | = |Y | : ⇐⇒
ex. f
Schröder-Bernstein: X
Kardinalzahlen:
:X →Y
,→ Y
|X | = min{α ∈
ℵ0 = ω = {α ∈
On
ℵ1 = ω1 = {α ∈
| α
On
bijektiv
und Y
On
endlich
|
}
| |α| ≤ ℵ0 }
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
,→ X ⇒ |X | = |Y |
ex. f
: X ↔ α} ∈
On.
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Kardinalzahlen
Bekannt: Kardinalitätsbegri
|X | = |Y | : ⇐⇒
ex. f
Schröder-Bernstein: X
Kardinalzahlen:
:X →Y
,→ Y
|X | = min{α ∈
ℵ0 = ω = {α ∈
On
ℵ1 = ω1 = {α ∈
ℵβ+1 = {α ∈
| α
On
On
bijektiv
und Y
On
endlich
|
}
| |α| ≤ ℵ0 }
| |α| ≤ ℵβ }
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
,→ X ⇒ |X | = |Y |
ex. f
: X ↔ α} ∈
On.
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Kardinalzahlen
Bekannt: Kardinalitätsbegri
|X | = |Y | : ⇐⇒
ex. f
Schröder-Bernstein: X
Kardinalzahlen:
:X →Y
,→ Y
|X | = min{α ∈
ℵ0 = ω = {α ∈
On
ℵ1 = ω1 = {α ∈
ℵβ+1 = {α ∈
| α
On
On
bijektiv
und Y
On
endlich
|
}
| |α| ≤ ℵ0 }
| |α| ≤ ℵβ }
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
,→ X ⇒ |X | = |Y |
ex. f
: X ↔ α} ∈
On.
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Kardinalzahlen
Bekannt: Kardinalitätsbegri
|X | = |Y | : ⇐⇒
ex. f
Schröder-Bernstein: X
Kardinalzahlen:
On
ℵ1 = ω1 = {α ∈
ℵβ+1 = {α ∈
ℵ0
2
,→ Y
|X | = min{α ∈
ℵ0 = ω = {α ∈
CH:
:X →Y
| α
On
On
bijektiv
und Y
On
endlich
|
}
| |α| ≤ ℵ0 }
| |α| ≤ ℵβ }
= ℵ1
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
,→ X ⇒ |X | = |Y |
ex. f
: X ↔ α} ∈
On.
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Kardinalzahlen
Bekannt: Kardinalitätsbegri
|X | = |Y | : ⇐⇒
ex. f
Schröder-Bernstein: X
Kardinalzahlen:
On
ℵ1 = ω1 = {α ∈
ℵβ+1 = {α ∈
ℵ0
2
= ℵ1
,→ Y
|X | = min{α ∈
ℵ0 = ω = {α ∈
CH:
:X →Y
| α
On
On
bijektiv
und Y
On
endlich
|
ex. f
: X ↔ α} ∈
}
| |α| ≤ ℵ0 }
| |α| ≤ ℵβ }
, denn 2
ℵ0
= |P(N)| = |R|.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
,→ X ⇒ |X | = |Y |
Und was ist sein Problem?
On.
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Outline
1
Das Kontinuumsproblem
2
Mengenlehre
3
Forcing
4
Trotzdem eine Lösung für CH?
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Trotzdem eine Lösung für CH?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing-Idee
Zu V
ZFC soll ein neues Objekt G adjungiert werden, z.B.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing-Idee
Zu V
ZFC soll ein neues Objekt G adjungiert werden, z.B.
eine groÿe Menge G reeller Zahlen (|G |
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
> ℵ1 )
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing-Idee
Zu V
ZFC soll ein neues Objekt G adjungiert werden, z.B.
eine groÿe Menge G reeller Zahlen (|G |
oder eine Surjektion G
: ℵ1 → R.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
> ℵ1 )
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing-Idee
Zu V
ZFC soll ein neues Objekt G adjungiert werden, z.B.
eine groÿe Menge G reeller Zahlen (|G |
oder eine Surjektion G
: ℵ1 → R.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
> ℵ1 )
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing-Idee
Zu V
ZFC soll ein neues Objekt G adjungiert werden, z.B.
eine groÿe Menge G reeller Zahlen (|G |
oder eine Surjektion G
Neues ZFC-Modell V [G ]
: ℵ1 → R.
⊃ V ∪ {G }.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
> ℵ1 )
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing-Idee
Zu V
ZFC soll ein neues Objekt G adjungiert werden, z.B.
eine groÿe Menge G reeller Zahlen (|G |
oder eine Surjektion G
Neues ZFC-Modell V [G ]
> ℵ1 )
: ℵ1 → R.
⊃ V ∪ {G }.
Die Eigenschaften von V [G ] sind von V aus kontrollierbar.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing-Technik, die Halbordnung
In V wird eine Halbordnung
(P, <)
das gewünschte Objekt deniert.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
von Approximationen an
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing-Technik, die Halbordnung
In V wird eine Halbordnung
(P, <)
von Approximationen an
das gewünschte Objekt deniert.
Die Elemente p
∈P
heiÿen Forcing-Bedingungen
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing-Technik, die Halbordnung
In V wird eine Halbordnung
(P, <)
von Approximationen an
das gewünschte Objekt deniert.
Die Elemente p
p
<q
∈P
heiÿen Forcing-Bedingungen
heiÿt p erweitert q, p hat mehr Information.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing-Technik, die Halbordnung
In V wird eine Halbordnung
(P, <)
von Approximationen an
das gewünschte Objekt deniert.
Die Elemente p
p
<q
∈P
heiÿen Forcing-Bedingungen
heiÿt p erweitert q, p hat mehr Information.
p , q kompatibel, falls ex. r
≤ p, q
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing-Technik, der generische Filter
Auÿerhalb von V wird dann eine generische Teilmenge G von
P
gefunden.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing-Technik, der generische Filter
Auÿerhalb von V wird dann eine generische Teilmenge G von
P
gefunden.
G generisch :
D
∈V
⇐⇒
G schneidet jede in
+ Verträglichkeitsbedingungen.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
P
dichte Teilmenge
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing-Technik, der generische Filter
Auÿerhalb von V wird dann eine generische Teilmenge G von
P
gefunden.
G generisch :
D
∈V
⇐⇒
G schneidet jede in
P
dichte Teilmenge
+ Verträglichkeitsbedingungen.
Topologie von
P
wird von Up
= {q ∈ P | q < p },
erzeugt.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
p
∈P
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing-Technik, der generische Filter
Auÿerhalb von V wird dann eine generische Teilmenge G von
P
gefunden.
G generisch :
D
∈V
⇐⇒
G schneidet jede in
P
dichte Teilmenge
+ Verträglichkeitsbedingungen.
Topologie von
P
wird von Up
= {q ∈ P | q < p },
p
∈P
erzeugt.
Existenz von G : Nimm z.B. an, dass V abzählbar ist.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Forcing-Technik, die generische Erweiterung
∈ V für die Elemente
= {(p , ẏ ), (q , ż ), . . .}
Namen ẋ
ẋ
von V [G ]:
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Trotzdem eine Lösung für CH?
V [G ]
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Forcing-Technik, die generische Erweiterung
∈ V für die Elemente
= {(p , ẏ ), (q , ż ), . . .}
Namen ẋ
ẋ
V [G ]
von V [G ]:
Jede Auswahl von G weist jedem
Menge) zu:
Trotzdem eine Lösung für CH?
P-Namen ẋ einen
G
G
ẋ
= {ẏ | (∃ p ∈ G )(p , ẏ ) ∈ ẋ }.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Wert (eine
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Forcing-Technik, die generische Erweiterung
∈ V für die Elemente
= {(p , ẏ ), (q , ż ), . . .}
Namen ẋ
ẋ
Trotzdem eine Lösung für CH?
V [G ]
von V [G ]:
Jede Auswahl von G weist jedem
P-Namen ẋ einen
G
G
Menge) zu: ẋ
= {ẏ | (∃ p ∈ G )(p , ẏ ) ∈ ẋ }.
P
V [G ] = {ẋG : ẋ ∈ V } (ZFC-Modell).
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Wert (eine
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Forcing-Technik, die generische Erweiterung
∈ V für die Elemente
= {(p , ẏ ), (q , ż ), . . .}
Namen ẋ
ẋ
Trotzdem eine Lösung für CH?
V [G ]
von V [G ]:
Jede Auswahl von G weist jedem
P-Namen ẋ einen
G
G
Menge) zu: ẋ
= {ẏ | (∃ p ∈ G )(p , ẏ ) ∈ ẋ }.
P
V [G ] = {ẋG : ẋ ∈ V } (ZFC-Modell).
Beispiele:
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Wert (eine
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Forcing-Technik, die generische Erweiterung
∈ V für die Elemente
= {(p , ẏ ), (q , ż ), . . .}
Namen ẋ
ẋ
Trotzdem eine Lösung für CH?
V [G ]
von V [G ]:
Jede Auswahl von G weist jedem
P-Namen ẋ einen
G
G
Menge) zu: ẋ
= {ẏ | (∃ p ∈ G )(p , ẏ ) ∈ ẋ }.
P
V [G ] = {ẋG : ẋ ∈ V } (ZFC-Modell).
Beispiele:
x̌ := {(p, y ) | p ∈ P, y ∈ x }, kanonischer Name für
x ∈ V ⊆ V [G ].
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Wert (eine
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Forcing-Technik, die generische Erweiterung
∈ V für die Elemente
= {(p , ẏ ), (q , ż ), . . .}
Namen ẋ
ẋ
Trotzdem eine Lösung für CH?
V [G ]
von V [G ]:
Jede Auswahl von G weist jedem
P-Namen ẋ einen
G
G
Menge) zu: ẋ
= {ẏ | (∃ p ∈ G )(p , ẏ ) ∈ ẋ }.
P
V [G ] = {ẋG : ẋ ∈ V } (ZFC-Modell).
Beispiele:
Wert (eine
x̌ := {(p, y ) | p ∈ P, y ∈ x }, kanonischer Name für
x ∈ V ⊆ V [G ].
Ġ := {(p, p̌) | p ∈ P}, kanonischer Name für G ∈ V [G ].
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing für ¬CH
Wir wollen eine injektive Abbildung f
: ℵ2 → R
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
adjungieren.
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing für ¬CH
Wir wollen eine injektive Abbildung f
: ℵ2 → R
adjungieren.
Approximation durch endliche partielle Funktionen:
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing für ¬CH
Wir wollen eine injektive Abbildung f
: ℵ2 → R
adjungieren.
Approximation durch endliche partielle Funktionen:
P := {p : dom(p ) → {0, 1} | dom(p ) ⊂ ℵ2 × ω,
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
dom(p ) endlich}
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing für ¬CH
Wir wollen eine injektive Abbildung f
: ℵ2 → R
adjungieren.
Approximation durch endliche partielle Funktionen:
P := {p : dom(p ) → {0, 1} | dom(p ) ⊂ ℵ2 × ω,
p
<q
: ⇐⇒
p
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
⊃ q.
dom(p ) endlich}
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing für ¬CH
Wir wollen eine injektive Abbildung f
: ℵ2 → R
adjungieren.
Approximation durch endliche partielle Funktionen:
P := {p : dom(p ) → {0, 1} | dom(p ) ⊂ ℵ2 × ω,
p
Ist G
⊂P
<q
generisch, so ist f
: ⇐⇒
= ∪G
p
⊃ q.
eine Injektion f
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
dom(p ) endlich}
Und was ist sein Problem?
: ℵ2 → [0, 1].
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing für ¬CH
Wir wollen eine injektive Abbildung f
: ℵ2 → R
adjungieren.
Approximation durch endliche partielle Funktionen:
P := {p : dom(p ) → {0, 1} | dom(p ) ⊂ ℵ2 × ω,
p
Ist G
⊂P
<q
generisch, so ist f
Problematisch:
ℵ2
: ⇐⇒
= ∪G
p
dom(p ) endlich}
⊃ q.
eine Injektion f
: ℵ2 → [0, 1].
könnte kollabieren, also in V [G ] nicht mehr die
dritte unendliche Kardinalzahl sein.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing für ¬CH
Wir wollen eine injektive Abbildung f
: ℵ2 → R
adjungieren.
Approximation durch endliche partielle Funktionen:
P := {p : dom(p ) → {0, 1} | dom(p ) ⊂ ℵ2 × ω,
p
Ist G
⊂P
<q
generisch, so ist f
Problematisch:
ℵ2
: ⇐⇒
= ∪G
p
dom(p ) endlich}
⊃ q.
eine Injektion f
: ℵ2 → [0, 1].
könnte kollabieren, also in V [G ] nicht mehr die
dritte unendliche Kardinalzahl sein.
Lösung: kombinatorische Analyse von
P!
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Forcing für CH
Generisches Objekt: Bijektion f
: ℵ1 ↔ R
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Trotzdem eine Lösung für CH?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing für CH
Generisches Objekt: Bijektion f
: ℵ1 ↔ R
Approximation durch abzählbare partielle Bijektionen
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing für CH
Generisches Objekt: Bijektion f
: ℵ1 ↔ R
Approximation durch abzählbare partielle Bijektionen
Q = {p : dom(p ) → R | dom(p ) ⊂ ℵ1 , | dom(p )| = ℵ0 ,
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
p bijektiv}
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing für CH
Generisches Objekt: Bijektion f
: ℵ1 ↔ R
Approximation durch abzählbare partielle Bijektionen
Q = {p : dom(p ) → R | dom(p ) ⊂ ℵ1 , | dom(p )| = ℵ0 ,
und wieder: p
<q
: ⇐⇒
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
p
⊃ q.
p bijektiv}
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing für CH
Generisches Objekt: Bijektion f
: ℵ1 ↔ R
Approximation durch abzählbare partielle Bijektionen
Q = {p : dom(p ) → R | dom(p ) ⊂ ℵ1 , | dom(p )| = ℵ0 ,
und wieder: p
Und wieder ist f
:=
S
G
<q
: ℵ1 → R
: ⇐⇒
⊃ q.
die gesuchte Abbildung.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
p
p bijektiv}
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
Forcing für CH
Generisches Objekt: Bijektion f
: ℵ1 ↔ R
Approximation durch abzählbare partielle Bijektionen
Q = {p : dom(p ) → R | dom(p ) ⊂ ℵ1 , | dom(p )| = ℵ0 ,
und wieder: p
Und wieder ist f
:=
S
G
<q
: ℵ1 → R
: ⇐⇒
p
⊃ q.
die gesuchte Abbildung.
Problem: Gibt es in V [G ] neue reelle Zahlen?
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
p bijektiv}
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Mengenlehre
Forcing
Outline
1
Das Kontinuumsproblem
2
Mengenlehre
3
Forcing
4
Trotzdem eine Lösung für CH?
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Trotzdem eine Lösung für CH?
Das Kontinuumsproblem
Wo in
Hκ
V
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
wird CH entschieden?
:= {
Mengen von erblicher Mächtigkeit
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
< κ}
Das Kontinuumsproblem
Wo in
Hκ
V
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
wird CH entschieden?
:= {
Mengen von erblicher Mächtigkeit
CH ⇔
P(N) ∈ Hℵ2
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
< κ}
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Wo in
Hκ
V
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
wird CH entschieden?
:= {
Mengen von erblicher Mächtigkeit
CH ⇔
CH ⇔ Hℵ
2
P(N) ∈ Hℵ2
(∃ X )(∀ x ⊆ N)x ∈ X
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
< κ}
Und was ist sein Problem?
Das Kontinuumsproblem
Wo in
Hκ
V
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
wird CH entschieden?
:= {
Mengen von erblicher Mächtigkeit
CH ⇔
CH ⇔ Hℵ
Das Axiom
(∗)
2
< κ}
P(N) ∈ Hℵ2
(∃ X )(∀ x ⊆ N)x ∈ X
macht die Eigenschaften von Hℵ2 in
gegen Forcing
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Ω-Logik
immun
Das Kontinuumsproblem
Wo in
Hκ
V
Mengenlehre
Forcing
Trotzdem eine Lösung für CH?
wird CH entschieden?
:= {
Mengen von erblicher Mächtigkeit
CH ⇔
CH ⇔ Hℵ
Das Axiom
(∗)
2
P(N) ∈ Hℵ2
(∃ X )(∀ x ⊆ N)x ∈ X
macht die Eigenschaften von Hℵ2 in
gegen Forcing
und impliziert
< κ}
¬CH.
Gido Scharfenberger-Fabian
Was ist eigentlich . . . das Kontinuum?
Und was ist sein Problem?
Ω-Logik
immun