Lsg 2 - Luchsinger Mathematics AG

Dr. Christoph Luchsinger
Übungsblatt 2 zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie
Experiment, Ereignisse, σ-Algebren
Herausgabe des Übungsblattes: Woche 09, Abgabe der Lösungen: Woche 10 (bis Freitag, 16.15 Uhr), Besprechung: Woche 11
Must
Aufgabe 7 [Ereignisraum]
Geben Sie zu jedem der 6 Fälle von Ereignisräumen aus 1.1 ein neues Beispiel aus der ”realen Welt” an,
welches man ”sinnvollerweise” mit dem jeweiligen Fall modelliert. Besprechung von Grenzfällen erwünscht!
Aufgabe 8 [Ist Potenzmenge eine σ-Algebra?]
Untersuchen Sie, ob die Potenzmenge eine σ-Algebra ist.
Standard
Aufgabe 9 [lim sup und lim inf von Mengen] [1 Punkt]
Untersuchen Sie, ob allgemein lim sup An ⊆ lim inf An oder umgekehrt oder weder noch.
Aufgabe 10 [lim sup, lim inf] [1 Punkt]
Zeigen Sie:
(lim sup An )c = lim inf Acn
n→∞
n→∞
Aufgabe 11 [Konvergenz von monotonen Folgen von Ereignissen] [2 Punkte]
Zeigen Sie für A1 , A2 , . . . Teilmengen von Ω, dass
a) Falls A1 ⊆ A2 ⊆ A3 . . ., dann konvergiert die Folge A1 , A2 , . . .. Wogegen?
b) Falls A1 ⊇ A2 ⊇ A3 . . ., dann konvergiert die Folge A1 , A2 , . . .. Wogegen?
Aufgabe 12 [von Z erzeugte σ-Algebra] [4 Punkte]
Sei Z ein Teilmengensystem von Ω. Wir nennen dann σ(Z) die von Z erzeugte σ-Algebra. Es ist dies
die kleinste σ-Algebra, die Z beinhaltet. Zeigen Sie, dass eine derartige (eindeutige) σ-Algebra existiert,
genauer: Zu jedem Teilmengensystem Z von Ω existiert eine eindeutige σ-Algebra σ(Z) derart, dass
a) Z ⊆ σ(Z)
b) ∀ σ-Algebra U mit Z ⊆ U gilt σ(Z) ⊆ U .
Aufgabe 13 [Vereinigung zweier σ-Algebren] [4 Punkte]
Von der Lösung von Aufgabe 12 wissen wir, dass Schnittmengen von σ-Algebren wieder σ-Algebren sind.
Finden Sie ein Gegenbeispiel dass zeigt, dass Vereinigungen zweier σ-Algebren nicht zwingend σ-Algebren
sein müssen. Geben Sie dazu Ω, A1 , A2 an.
Frühjahrsemester 2012
Olivier Warin
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Dr. Christoph Luchsinger
Honours
Aufgabe 14 [Urbild einer σ-Algebra] [3 Punkte]
Seien Ω1 , Ω2 Ereignisräume und A2 eine σ-Algebra auf diesem Ereignisraum Ω2 . Sei f : Ω1 → Ω2 . Zeigen
Sie:
f −1 (A2 ) := {f −1 (A)|A ∈ A2 }
ist eine σ-Algebra auf Ω1 .
Frühjahrsemester 2012
Olivier Warin
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Übungsblatt 2 zur Vorlesung “Wahrscheinlichkeitstheorie”
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Olivier Warin
3. März 2012
Aufgabe 7 [Ereignisraum]
Es folgen zu jedem der 6 Fälle von Ereignisräumen aus 1.1 ein Beispiel aus der “realen Welt”, welches
man “sinnvollerweise” mit dem jeweiligen Fall modelliert.
1) Endliche Mengen: Resultate beim Würfeln mit einem Würfel:
p p pp pp pp
{ p , p , p p , p p , p p p , p p }.
2) Abzählbare Mengen: Die Anzahl Lebewesen, die zu einem Zeitpunkt auf der Erde leben: N. (Eigentlich ist das nur ein Modell, da diese Zahl sowieso nach oben beschränkt ist.)
3) R und R+ = [0, ∞). Lebensdauer einer Glühbirne.
4) Endliche kartesische Produkte: Resultate beim Würfeln mit n (unterscheidbaren) Würfeln:
p p pp pp pp
{ p , p , p p , p p , p p p , p p }n .
5) Unendliche kartesische Produkte: Unendlicher Würfelwurf:
p p pp pp p
{ p , p , p p , p p , p p p , p p }∞ .
6) Funktionen: Aktienkurse.
Aufgabe 8 [Ist Potenzmenge eine σ-Algebra?]
Behauptung: Die Potenzmenge einer Menge Ω ist eine σ-Algebra über dieser Menge Ω.
Beweis: Die Potenzmenge enthält alle Teilmengen von Ω. Die drei Bedingungen von Definition 1.1 sind
damit alle offenbar erfüllt.
Aufgabe 9 [lim sup und lim inf von Mengen]
Es sei (An )n∈N eine Folge von Mengen.
Behauptung: Es gilt lim sup An ⊇ lim inf An .
S∞ T
Beweis: Sei x ∈ lim inf An = k=1 n>k An . Dies bedeutet, dass es eine natürliche Zahl k0 geben muss,
so dass x ∈ An für alle n > k0 .
S
Insbesondere
S folgt, dass für alle natürlichen Zahlen k gelten muss x ∈ n>k An , da zum Beispiel
Amax{k0 ,k} ⊂ n>k An .
T∞ S
Wir schliessen x ∈ k=1 n>k An = lim sup An . Dies beweist die Behauptung.
Bemerkung: Die umgekehrte Aussage, also lim sup An ⊆ lim inf An , ist im Allgemeinen falsch. Dies
haben wir bereits in Aufgabe 23 der Vorlesung WTS eingesehen.
Aufgabe 10 [lim sup, lim inf ]
Behauptung: Es gilt (lim supn→∞ An )c = lim inf n→∞ Acn .
Beweis: Mit Hilfe von den Gesetzen von De Morgan schliessen wir
T
S
S∞ S
S∞ T
c
c
c
c
(lim sup An )c = ( ∞
n>k An ) =
n>k An = lim inf An .
k=1
k=1 ( n>k An ) =
k=1
n→∞
n→∞
Frühjahrsemester 2012
Olivier Warin
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Aufgabe 11 [Konvergenz von monotonen Folgen von Ereignissen]
Es sei Ω eine Menge und (An )n∈N eine Folge von Teilmengen von Ω.
a) Behauptung: Falls A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ . . ., dann konvergiert die Folge (An )n∈N gegen die Menge A,
wobei
S
A= ∞
n=1 An .
S
Beweis: Da A1 ⊆ A2 ⊆ . . ., folgt sofort dass A = n>k An für alle natürlichen Zahlen k. Wir
schliessen
T
S
T∞
lim sup An = ∞
n>k An =
k=1
k=1 A = A.
n→∞
Wiederum
aufgrund der Monotonie der Folge (An )n∈N folgt, dass für alle natürlichen Zahlen k gilt
T
n>k An = Ak . Daraus folgt:
lim inf An =
n→∞
S∞ T
k=1
n>k An
=
S∞
k=1 Ak
= A.
Wir haben also gezeigt, dass gilt
lim sup An = lim inf An = A.
n→∞
n→∞
Nach der Definition auf Seite 4 oben im Skript, haben wir damit die Behauptung gezeigt.
b) Behauptung: Falls A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ . . ., dann konververgiert die Folge (An )n∈N gegen die Menge
A, wobei
T
A= ∞
n=1 An .
Beweis: Da die Folge (An )n∈N absteigend ist, ist die Folge (Acn )n∈N natürlich aufsteigend. Nach
Teilaufgabe a) wissen wir damit, dass gilt
S
T∞
c
c
c
lim inf Acn = lim sup Acn = ∞
n=1 An = ( n=1 An ) = A ,
n→∞
n→∞
wobei wir hier ein Gesetz von de Morgan verwendet haben.
Mit Hilfe von Aufgabe 10 schliessen wir daraus
(lim sup An )c = lim inf Acn = Ac
n→∞
n→∞
und damit lim supn→∞ An = A.
Analog wie in Aufgabe 10 lässt sich mit Hilfe von den Gesetzen von De Morgan auch noch zeigen
(lim inf An )c = lim sup Acn = Ac ,
n→∞
n→∞
woraus noch lim inf n→∞ An = A folgt.
Damit ist die Behauptung gezeigt.
Aufgabe 12 [von Z erzeugte σ-Algebra]
Es sei Z ein Teilmengensystem einer nicht-leeren Menge Ω.
Behauptung: Es gibt eine eindeutige σ-Algebra σ(Z) über Ω, so dass gilt:
a) Z ⊆ σ(Z)
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Olivier Warin
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b) Für jede σ-Algebra U über Ω mit Z ⊆ U gilt σ(Z) ⊆ U .
Beweis: Sei I die Menge aller σ-Algebren U mit Z ⊆ U . Die Potenzmenge P(Ω) liegt klar in I. Somit
ist I sicher nicht leer. Wir können also sinnvoll definieren:
T
V = U ∈I U.
Da für alle U ∈ I gilt Z ⊆ U folgt sofort auch Z ⊆ V . Ausserdem ist V eine σ-Algebra, denn
• Die Menge Ω liegt in allen U aus I, also auch in V .
• Falls A in V liegt, so liegt A in allen U aus I. Da jedes U aus I eine σ-Algebra ist, liegt dann auch
Ac in jedem von diesen U ’s. Dies bedeutet, dass dann Ac in V liegt.
• Sei (An )n∈N eine Folge von Elementen aus V . Jedes Glied von dieser Folge liegt automatisch in
jedem U aus I. Folglich gilt
S∞
n=1 An ∈ U,
für alle U ∈ I. Demnach haben wir auch
S∞
n=1 An
∈ V.
Damit erfüllt V die gefordeten Bedingungen, denn für jede andere σ-Algebra U mit Z ⊆ U gilt per
Definition U ∈ I und damit V ⊆ U .
Es bleibt noch die Eindeutigkeit zu zeigen. Dazu seien V und W σ-Algebren mit den Eigenschaften
a) und b). Da nach a) Z ⊆ W folgt nach b) V ⊆ W . Analog folgt aus Symmetriegründen W ⊆ V und
damit V = W . Damit wäre auch die Eindeutigkeit gezeigt und wir können σ(Z) = V setzen.
Aufgabe 13 [Vereinigung zweier σ-Algebren]
p p
Wir definieren Ω = { p , p , p p }. Desweiteren definieren wir die folgenden zwei σ-Algebren von Ω
p p
A1 = {∅, Ω, { p }, { p , p p }}
p
p
A2 = {∅, Ω, { p }, { p , p p }}.
Nun ist
p
p p
p
A1 ∪ A2 = {∅, Ω, { p }, { p }, { p , p p }, { p , p p }}
p
p
keine σ-Algebra, da z.B. { p , p } = { p } ∪ { p } nicht in A1 ∪ A2 liegt.
Aufgabe 14 [Urbild einer σ-Algebra]
Seien Ω1 , Ω2 Ereignisräume und A2 eine σ-Algebra auf Ω2 . Sei weiter f : Ω1 → Ω2 eine Abbildung.
Behauptung: Das Teilmengensystem
f −1 (A2 ) := {f −1 (A) | A ∈ A2 }
von Ω1 ist eine σ-Algebra auf Ω1 .
Beweis:
• Es gilt Ω1 = f −1 (Ω2 ) und Ω2 liegt in A2 , da A2 eine σ-Algebra ist. Also gilt Ω1 ∈ f −1 (A2 ).
• Sei A ∈ f −1 (A2 ). Also gibt es ein B ∈ A2 mit f −1 (B) = A. Da A2 eine σ-Algebra ist, folgt B c ∈ A2 .
Für jedes Element ω ∈ Ac gilt f (ω) ∈ B c , da sonst f (ω) ∈ B und damit ω ∈ f −1 (B) = A gelten
würde. Dies bedeutet Ac ⊆ f −1 (B c ).
Umgekehrt für ein Element ω ∈ f −1 (B c ) gilt f (ω) ∈ B c und damit ω 6∈ f −1 (B) = A, also ω ∈ Ac .
Dies zeigt Ac ⊇ f −1 (B c ).
Wir schliessen Ac = f −1 (B c ) und damit Ac ∈ f −1 (A2 ).
• Es sei (An )n∈N eine Folge von Elementen aus f −1 (A2 ). Es gibt für alle
S∞natürlichen Zahlen n ein
Bn ∈ A2 mit An = f −1 (Bn ). Da nun A2 eine σ-Algebra ist, folgt dass n=1 Bn ∈ A2 . Weiter gilt
S
S ∞ −1
S
f −1 ( ∞
(Bn ) = ∞
n=1 Bn ) =
n=1 f
n=1 An .
S∞
Also liegt n=1 An in f −1 (A2 ).
Nach Definition 1.1 ist also f −1 (A2 ) eine σ-Algebra von Ω1 .
Frühjahrsemester 2012
Olivier Warin
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