1. (a) Definiere den Begriff einer konvexen Teilmenge eines reellen
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1. (a) Definiere den Begriff einer konvexen Teilmenge eines
reellen Vektorraums.
Eine Teilmenge K eines reellen Vektorraums V heisst konvex,
wenn sie mit je zwei Elementen auch deren Verbindungsstrecke
enthaelt, wenn also gilt
x, y ∈ K
⇒
(1 − t)x + ty ∈ K ∀t∈[0,1] .
(b) Zeige: Lineare Bilder und Urbilder konvexer Mengen
sind konvex.
Sei T : V → W eine lineare Abbildung zwischen reellen
Vektorraeumen.
Sei K ⊂ V konvex, zz: T (K) ⊂ W is konvex. Seien hierzu
x, y ∈ T (K). Dann existieren a, b ∈ V mit T (a) = x und
T (b) = y. Sei t ∈ [0, 1]. Da K konvex ist, gilt (1 − t)a + tb ∈ K.
Damit folgt
(1 − t)x + ty = (1 − t)T (a) + tT (b) = T ((1 − t)a + tb) ∈ T (K).
|
{z
}
∈K
Also ist T (K) konvex.
Sei nun L ⊂ W konvex. Es ist zu zeigen, dass das Urbild T −1 (L)
konvex ist. Seien x, y ∈ T −1 (L) und t ∈ [0, 1]. Es gilt
alsoT (x), T (y) ∈ L. Da L konvex ist, ist
T ((1 − t)x + ty) = (1 − t)T (x) + tT (y) ∈ L und daher
(1 − t)x + ty ∈ T −1 (L) = T −1 (L). Es folgt, dass T −1 (L) konvex
ist.
(c) Definiere: starke und schwache Konvergenz von Folgen
in Hilberträumen.
Eine Folge (vj ) in einem Hilbert-Raum H konvergiert stark
gegen v ∈ H, wenn die Folge reeller Zahlen ||vj − v|| gegen Null
konvergiert.
Eine Folge (vj ) in einem Hilbert-Raum H konvergiert schwach
gegen v ∈ H, wenn fuer jedes w ∈ H die Folge komplexer Zahlen
hvj , wi gegen hv, wi konvergiert.
(d) Gib ein Beispiel (mit Begründung) für eine schwach
konvergente Folge, die nicht stark konvergiert.
Sei H = `2 (N) und fuer n ∈ N sei en ∈ H gegeben durch
en (k) = δk,n (Kronecker-Delta). Fuer gegebenes w = (wj ) ∈ H
1
P
P∞
2
gilt dann hen , wi = ∞
j=1 en (j)wj = wn . Da
j=1 |wj | < ∞,
konvergiert die Folge hen , wi = wn gegen Null. Da dies fuer jedes
w ∈ H gilt, konvergiert (en ) schwach gegen Null.
Wir zeigen, dass die Folge (en ) nicht stark konvergiert. Wuerde
sie stark konvergieren, etwa gegen einen Vektor v, dann wuerde
sie auch stark gegen v konvergieren, also muss dann v = 0 sein.
Es reicht also, zu zeigen, dass (en ) nicht stark gegen Null geht.
Nun ist ||e||n = 1, damit geht die Folge also nicht stark gegen
Null.
(e) Was sagt der spektrale Abbildungssatz für Polynome?
Ist p ∈ C[X] ein Polynom und ist T ein stetiger Operator auf
einem Hilbert-Raum H, so ist der Operator p(T ) ebenfalls stetig
und es gilt
σ(p(T )) = p(σ(T )).
(In der Vorlesung wurde dieser Satz nur fuer normale Operatoren
formuliert, er gilt aber fuer alle stetigen Operatoren.)
2. Erinnerung: eine stetige lineare Abbildung P : H → H auf
einem Hilbert-Raum H heisst Projektion, falls P 2 = P gilt.
(a) Sei P eine Projektion auf einem Hilbert-Raum. Zeige
(ohne auf die Vorlesung zu verweisen), dass P genau
dann selbstadjungiert ist, wenn ker(P) ⊥ Bild(P).
Sei P selbstadjungiert und sei v ∈ ker(P) sowie w ∈ Bild(P ).
Dann existiert ein u ∈ H mit w = P u. Es gilt
hv, wi = hv, P ui = v, P 2 u = hP v, P ui = h0, P ui = 0.
Also ist ker(P) ⊥ Bild(P).
Sei umgekehrt P eine Projektion mit ker(P) ⊥ Bild(P). Fuer jede
Projektion gilt H = ker(P) ⊕ Bild(P) und ist fuer einen Vektor v
die entsprechende Zerlegung als v = vker + vBild gegeben, so gilt
P v = vBild . Sei nun zusaetzlich ker(P) ⊥ Bild(P). Fuer beliebige
2
Vektoren v, w ∈ H gilt dann
hP v, wi = hvBild , wker + wBild i
= hvBild , wker i + hvBild , wBild i
|
{z
}
=0
= hvker , wBild i + hvBild , wBild i
|
{z
}
=0
= hv, wBild i = hv, P wi .
Damit ist P selbstadjungiert.
(b) Sei P eine Projektion auf einem Hilbert-Raum. Zeige,
dass P genau dann kompakt ist, wenn die Dimension des
Bildes endlich ist.
Sei P kompakt und sei B der abgeschlossene Einheitsball in
Bild(P ). Da Bild(P ) = ker(1 − P) ist, ist Bild(P ) abgeschlossen
und damit selbst ein Hilbert-Raum. Da P |Bild(P ) = IdBild(P ) ist
und da P kompakt ist, ist B = P (B) relativ kompakt und da B
abgeschlossen ist, ist B kompakt und damit ist Bild(P )
endlich-dimensional.
Sei umgekehrt das Bild endlich-dimensional. Sei B ⊂ H
beschraenkt, dann ist, da P stetig ist, das Bild P (B) beschraenkt
und daher als Teilmenge eines endlich-dimensionalen normierten
Raumes, relativ kompakt. Also ist P kompakt.
3. Bestimme mit Begründung, ob folgende Operatoren stetig,
selbstadjungiert, kompakt sind.
(a) T : L2 (R) → L2 (R),
f 7→ 11[0,1] f ,
Dieser Operator ist stetig, denn es gilt
Z
Z
2
2
||T f || =
11[0,1] (x)|f (x)| dx ≤
|f (x)|2 dx = ||f ||2 .
R
R
Wegen 112[0,1] = 11[0,1] ist T 2 = T , also ist T eine Projektion. Da
ker(T) = L2 (R r [0, 1]) ⊥ L2 ([0, 1]) = Bild(T), ist T nach
Aufgabe 2(a) selbstadjungiert. Da ausserdem das Bild
unendlich-dimensional ist, ist T nach Aufgabe 2(b) nicht
kompakt.
R1
(b) T : L2 ([0, 1]) → L2 ([0, 1]),
T f (x) = 0 (x − y)2 f (y) dy.
3
T ist ein Integraloperator mit dem beschraenkten Kern
k(x, y) = (x − y)2 . Da der Massraum [0, 1] endlich ist, ist k damit
ein L2 -Kern, also ist T stetig und kompakt. Ausserdem gilt
k(y, x) = (y − x)2 = (x − y)2 = k(x, y)
und da dies der Kern von T ∗ ist, ist T selbstadjungiert.
4. (a) Was sagt der Satz von Hahn-Banach fuer normierte
Raeume?
Ist E ⊂ V ein linearer Unterraum eines normierten Raums V
und ist β : E → C ein stetiges Funktional, dann existiert ein
stetiges Funktional α : V → C, das β fortsetzt. Ferner kann
||α||op = ||β||op verlangt werden.
(b) Der Raum Cb (R) aller beschraenkten stetigen Funktionen
f : R → C wird versehen mit der Supremumsnorm:
||f ||R = sup |f (x)|.
x∈R
Zeige, dass es ein stetiges lineares Funktional
α : Cb (R) → C gibt, so dass
α(f ) = lim f (x)
x→∞
gilt, falls dieser Limes existiert.
Sei U ⊂ Cb (R) die Teilmenge aller Funktionen fuer die der Limes
existiert. Sind f, g ∈ U , so gilt fuer jedes λ ∈ C, dass der Limes
limx→∞ λf (x) + g(x) existiert und gleich
λ limx→∞ f (x) + limx→∞ g(x) ist. Daher ist λf (x) + g(x) ∈ U
und also ist U ein linearer Unterraum von Cb (R). Die Abbildung
β : U → C; β(f ) = limx→∞ f (x) ist aus demselben Grund linear.
Fuer f ∈ U ist
|β(f )| = lim |f (x)| ≤ sup |f (x)| = ||f || .
x→∞
x∈R
Also ist β stetig, kann also zu einem stetigen linearen Funktional
α : Cb (R) → C fortgesetzt werden.
5. Zeige das die Inklusion Cc (R) ,→ L2 (R) eine stetige
Abbildung ist, wobei Cc (R) mit der induktiven
Limes-Topologie versehen wird.
4
Da L2 (R) ein metrischer Raum ist, reicht es zu zeigen, dass fuer ein
gegebenes Kompaktum K ⊂ R und eine Folge gj ∈ Cc (R) mit
supp(gj ) ⊂ K, die gleichmaessig gegen ein g ∈ Cc (R) konvergiert, gilt
||gj − g||2 → 0.
Nun ist aber
||gj − g||22 =
Z
|gj (x) − g(x)|2 dx =
Z
|gj (x) − g(x)|2 dx → 0,
K
R
wegen gleichmaessiger Konvergenz des Integranden.
5