Radiometrie und Photometrie: Grundlagen und Definitionen
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Radiometrie und Photometrie: Grundlagen und Definitionen Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+1 Grundlagen Radiometrie/Photometrie Bisher wurden nur punktartige Objekte abgebildet. Ort, Größe und Qualität des Bildes Physikalisch gesehen wird aber Strahlungsleistung (Photonen) vom Objekt zum Bild transportiert. Reale Lichtquellen haben Eigenschaften wie: • Größe und Form der flächen- oder volumen-artigen Lichtquelle • (evtl. ortsabhängige) Richtungsabstrahlcharakteristik • Spektrale Verteilung der Lichtleistung e,() • Gesamte abgestrahlte Lichtleistung e: Geometrische und Technische Optik e e, d Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+2 Grundlagen Radiometrie/Photometrie Das optische System (=Übertragungskanal) beeinflusst die transportierte Strahlung: • Absorption • Reflexion • Transmission • Streulicht • Dispersion Der Detektor hat eine spezifische Empfindlichkeit für die Strahlung, so dass sein Signal z.B. von der Wellenlänge abhängt: K e , V d V: spektrale Empfindlichkeit des Detektors, K: Konstante Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+3 Grundlagen Radiometrie/Photometrie Im Folgenden werden wir zwischen strahlungsphysikalischen Größen (= Radiometrie) und auf das menschliche Auge bezogene lichttechnische Größen (= Photometrie) unterscheiden. Später werden wir aber stellvertretend nur eine der beiden Größensysteme verwenden, da die radiometrischen und photometrischen Größen in den allermeisten Gesetzmäßigkeiten jeweils austauschbar sind. Man darf nur nicht Größen aus beiden Systemen miteinander vermischen. Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+4 Grundlagen Radiometrie/Photometrie Strahlungsphysikalische Größen werden mit Detektoren gemessen, die auf die gesamte Lichtleistung sensitiv sind (z.B. Bolometer, die die Erwärmung messen). Wir kennzeichnen alle strahlungsphysikalische Größen mit einem Index „e“ (für Energie). 1. Strahlungsfluss/Strahlungsleistung e (Einheit 1 Watt=1 W): gesamte jeweils betrachtete Lichtleistung (=Energie pro Zeit). 2. Strahlstärke Ie (Einheit 1 Watt/Steradiant=1 W/sr): Strahlungsfluss de, der in einen (kleinen) Raumwinkel d abgestrahlt wird. Ie d e d 3. Bestrahlungsstärke Ee (Einheit 1 Watt/Meter2=1 W/m2): Strahlungsfluss de pro bestrahltem (kleinen) Flächenelement dF. Wird bisweilen, wenn auch leicht missverständlich, als Intensität bezeichnet. d e Ee dF Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+5 Grundlagen Radiometrie/Photometrie 4. Strahldichte Le (Einheit 1 Watt/(Meter2*steradian)=1 W/(m2 sr)): Anteil de des Strahlungsflusses, der von einem (kleinen) Flächenelement dA der Lichtquelle unter dem Winkel relativ zur Flächennormalen in den (kleinen) Raumwinkel d emittiert wird. d 2 e dI e Le cos dA d cos dA Der Faktor cos ist nötig, da nur die Projektion des Flächenelementes dA senkrecht zur betrachteten Emissionsrichtung relevant ist. J dA Geometrische und Technische Optik dW cosJ dA Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+6 Grundlagen Radiometrie/Photometrie Lichttechnische Größen berücksichtigen die (subjektive) Hell-Empfindlichkeit des menschlichen Auges (Detektors) auf verschiedene Wellenlängen. Wir kennzeichnen alle lichttechnischen Größen wie die entsprechenden strahlungsphysikalischen Größen, aber ohne Index „e“. 1. Lichtfluss/Lichtstrom (Einheit 1 Lumen=1 lm): Analogon zur Lichtleistung, wobei aber die Hell-Empfindlichkeit des Auges berücksichtigt wird. 2. Lichtstärke I (Einheit 1 Candela=1 cd=1 Lumen/Steradiant=1 lm/sr): Lichtstrom d, der in einen (kleinen) Raumwinkel d abgestrahlt wird. d I d 3. Beleuchtungsstärke E (Einheit 1 Lux=1 lx=1 Lumen/Meter2=1 lm/m2): Lichtstrom d pro bestrahltem (kleinen) Flächenelement dF. d E dF Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+7 Grundlagen Radiometrie/Photometrie 4. Leuchtdichte L (Einheit 1 Lumen/(Meter2*Steradiant)=1 lm/(m2 sr)=1 cd/m2): Anteil d des Lichtstroms, der von einem (kleinen) Flächenelement dA der Lichtquelle unter dem Winkel relativ zur Flächennormalen in den (kleinen) Raumwinkel d emittiert wird. d2 dI L cos dA d cos dA Der Faktor cos ist wieder nötig, da nur die Projektion des Flächenelementes dA senkrecht zur betrachteten Emissionsrichtung relevant ist. J dA Geometrische und Technische Optik dW cosJ dA Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+8 Grundlagen Radiometrie/Photometrie Anmerkung zur Einheit des Raumwinkels Steradiant: Im SI-Einheitensystem gibt es die Einheit Steradiant (sr), aber deren Dimension ist 1. In diesem Fall haben aber Strahlungsfluss und Strahlstärke (bzw. Lichtstrom und Lichtstärke) die gleiche Dimension. Um beide Größen, die physikalisch verschieden sind, trotzdem unterscheiden zu können, wurden ihre Einheiten unterschiedlich gewählt. Gleiches gilt bei Bestrahlungsstärke und Strahldichte (bzw. Beleuchtungsstärke und Leuchtdichte). Zur besseren Kennzeichnung sollte man also immer die Einheit Steradiant angeben. Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+9 Grundlagen Radiometrie/Photometrie Zusammenhang zwischen strahlungsphysikalischen und lichttechnischen Größen: Der Lichtstrom ist der mit der Hell-Empfindlichkeitsfunktion V() des menschlichen Auges gewichtete spektrale Strahlungsfluss e,(), der außerdem noch mit dem photometrischen Strahlungsäquivalent K multipliziert wird. 780 nm K V d e, 380 nm mit e , e Photometrisches Strahlungsäquivalent K=683 lm/W bei Tagsehen: Eine Strahlungsleistung von 1 Watt, die genau bei der Wellenlänge =555 nm ausgesandt wird, erzeugt einen Lichtstrom von 683 Lumen. Beim Nachtsehen hat K einen anderen Wert (1699 lm/W) und auch die HellEmpfindlichkeitsfunktion einen anderen Verlauf. Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+10 Grundlagen Radiometrie/Photometrie Hell-Empfindlichkeitsfunktion V(): dimensionslose Funktion mit Maximalwert 1 bei Wellenlänge =555 nm bei Tagsehen (bei Nachtsehen liegt das Maximum bei =505 nm). Beschreibt die Empfindlichkeit des menschlichen Auges auf Licht verschiedener Wellenlängen. Hat V zum Beispiel bei einer Wellenlänge den Wert 0.2, so benötigt man bei dieser Wellenlänge die 5-fache Strahlungsleistung, um den gleichen Helligkeitseindruck wie bei 555 nm Wellenlänge zu erzeugen. Orange: Tagsehen, / 380 430 510 555 610 633 720 780 nm V 10-5 0.01 0.5 1 0.5 Violett: Nachtsehen 0.26 0.01 10-5 Quelle: Wikipedia Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+11 Grundlagen Radiometrie/Photometrie Beispiele für lichttechnische Größen bekannter Lichtquellen: 1. 100 W-Glühlampe: erzeugt ca. =1500 lm Lichtstrom, Lichtstärke ist ca. I=1500 lm/(4 sr)≈120 cd 2. HeNe-Laser mit e=1 mW Strahlungsleistung. Hat nur Lichtstrom von =K V e=683 lm/W * 0.26 * 0.001 W=0.18 lm. Aber: bei Raumwinkel von =10-6 sr≈(1 mrad)2, wie es ein kollimierter Laserstrahl aufgrund der Beugung bei ca. 1 mm Strahlquerschnitt hat, ist die Lichtstärke ca. I=/=0.18 lm/10-6 sr=180 000 cd. Deshalb ist ein Laser so gefährlich für das Auge! Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+12 Grundlagen Radiometrie/Photometrie 3. Planckscher Strahler/Schwarzkörper-Strahler: Strahlungsmaximum und Strahlungsleistung hängen von Temperatur T ab: 2hc 2 1 Spektrale spezifische Ausstrahlung: M , T 5 hc (in Halbraum abgestrahlte Leistung pro exp 1 Flächenelement und Wellenlängenintervall) kT 2897.8 µm K max Wiensches Verschiebungsgesetz: T d e Stefan-Boltzmann-Gesetz: Mh T 4 mit 5.67 10 8 W m -2 K -4 dA Lichtstrom eines thermischen Strahlers nimmt extrem stark mit T zu. Quelle: Wikipedia Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+13 Grundlagen Radiometrie/Photometrie Beispiele für Effizienz der Lichterzeugung, d.h. Lichtstrom pro aufgewendeter 780 nm Leistung (z.B. elektrischer Leistung): K e , V d 380 nm e e, d 0 Schwarzer Strahler bei T=6000 K: =100 lm/W Glühlampe: =10-20 lm/W (bis zu 20 lm/W bei Halogenlampe) Leuchtstofflampe/Energiesparlampe: =40-55 lm/W LED: bis zu =90 lm/W Typische Beleuchtungsstärken: Straßenbeleuchtung bei Nacht: 15 lx Empfohlene Schreibtischbeleuchtung: 300 lx Kinoleinwand: 100 lx Bei Präzisionsarbeiten: 1000 lx Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+14 Abbildung kleiner Lichtquellen Im Folgenden wird nicht mehr zwischen radiometrischen und photometrischen Größen unterschieden, da die Gesetzmäßigkeiten in beiden Fällen gelten (soweit nicht anders angegeben). Der einfacheren Notation wegen wird der Index „e“ weggelassen und die Bezeichnungen der photometrischen Größen werden genommen. Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+15 Abbildung kleiner Lichtquellen Verhalten der Bestrahlungsstärke für kleine (fast punktförmige) Lichtquelle: quadratisches Abstandsgesetz Raumwinkel d: Verhältnis zwischen Flächeninhalt dF eines kleinen Kugelsegments und dem Quadrat des Radius a der Kugel dF d a2 dF Die Beleuchtungsstärke auf der Kugeloberfläche ist dann: d d I E dF a d 2 a2 Dies ist das bekannte quadratische Abstandsgesetz für die Abnahme der Beleuchtungsstärke. Bei einer ausgedehnten Lichtquelle mit Durchmesser D gilt es nur für a>>D. Geometrische und Technische Optik dW a D Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+16 Abbildung kleiner Lichtquellen Verhalten der Lichtstärke bei Abbildung: Objekt der Höhe x wird mit Aperturwinkel u auf Bild der Höhe x‘ mit bildseitigem Aperturwinkel u‘ abgebildet. Objekt- und Bildweite seien betragsmäßig a bzw. a‘. Ausgeleuchteter Bereich dF in Eintrittspupille des optischen Systems habe Radius r. Helmholtz-Lagrange-Invariante bei Abbildung (für kleine Winkel): x' nu nux n' u ' x' x n' u ' für n n ' Objektseitig: u u' a x dF a 2 d dF r 2 au d u 2 2 u a’ r u’ x’ Analog gilt bildseitig: 2 u d 2 d' u '2 d' u '2 d I 2I Energieerhaltung: Id d I ' d' I ' d' Geometrische und Technische Optik Also : I ' 2 I Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+17 Abbildung kleiner Lichtquellen Anwendung: Der Projektor (Dia-Projektor, Beamer) Die Leuchtfläche der Lichtquelle (z.B. Halogenlampe oder Quecksilber-Hochdrucklampe) wird mit einem Kondensor vergrößert in die Eintrittspupille des ProjektionsObjektivs abgebildet (Köhlerscher Strahlengang). Das Projektions-Objektiv bildet das Dia oder LCD-Display vergrößert auf die Leinwand/Projektionsfläche ab. Lichtstärke I vor bzw. I‘ hinter Kondensor: 2 I ' Kondensor I Beleuchtungsstärke auf Leinwand: E‘ mit bzw. E ohne Kondensor: 2 I I ' Kondensor 2 E' 2 Kondensor E 2 a a Condenser lens Image of slide Projector lens Beispiel: E‘=100 lx, a=5 m, I=250 cd a2 E ' 10 I Kondensor 3.2 2 Kondensor Geometrische und Technische Optik Light source Slide Image of light source a Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+18 Abbildung kleiner Lichtquellen Kondensor eines Projektors: Die eigentliche Glühwendel (oder andere leuchtende Fläche) wird mit einem Kugelspiegel neben sich selbst abgebildet und das Licht wird mit einer asphärischen Linse kollimiert bzw. mit einer weiteren Linse wird die Glühwendel auf die Eintrittspupille des Projektions-Objektivs abgebildet. Quelle: Wikipedia Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+19 Übergang zu ausgedehnten Lichtquellen Es wird Rotationssymmetrie des optischen Systems und der Lichtquelle um eine Achse angenommen. Photometrische Größen können nur vom Polarwinkel zwischen der Achse und der Beobachtungsrichtung abhängen. Z.B. Lichtstärke I=I(). Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+20 Ausgedehnte Lichtquellen m=0 Strahlertypen nach Straubel: Jeder Punkt der ausgedehnten Lichtquelle strahlt mit Lichtstärke I der folgenden Abhängigkeit vom Polarwinkel (I0: Lichtstärke längs Flächennormale=Achse): I I cos m J Abstrahlung sei für jeden Punkt der Lichtquelle mit Fläche A gleich Leuchtdichte: L I / A cos I 0 cos m 1 / A m=1 0 J m=0: Kugelstrahler, d.h. Lichtstärke in allen Richtungen gleich. Aber Leuchtdichte wächst mit 1/cos bei zunehmendem Winkel . m=3 m=1: Lambert-Strahler Leuchtdichte konstant I0 I I I 0 cos L A cos A J m=3: Keulenstrahler mit Vorzugsrichtung der Abstrahlung nach vorne. Leuchtdichte nimmt mit cos2 ab. Institut für Optik, Geometrische und Technische Optik Information und Photonik N. Lindlein 293+21 Ausgedehnte Lichtquellen Lambert-Strahler: Der Lambert-Strahler hat die Besonderheit, dass er aus allen Richtungen betrachtet gleich hell erscheint. Man kann deshalb eine Kugel oder eine Scheibe, die wie ein Lambert-Strahler abstrahlen, nicht unterscheiden. Grund: Die Leuchtdichte ist verantwortlich für den visuellen Helligkeitseindruck einer Fläche, da wir beim schrägen Betrachten eine Fläche A scheinbar als eine Fläche der Größe A cos sehen. Beim Lambert-Strahler nimmt zwar die Lichtstärke, also der in einen kleinen Raumwinkel abgestrahlte Lichtstrom, mit cos ab. Dafür aber sehen wir eben die Fläche A, von der wir Licht empfangen, beim schrägen Betrachten als eine Fläche der Größe A cos, so dass der in unser Auge fallende Lichtstrom pro abstrahlendes Flächenelement senkrecht zur Beobachtungsrichtung gleich bleibt. Die Sonne erscheint uns als eine weitgehend homogen helle Kreisfläche, obwohl sie eine Kugel ist. Allerdings weist die Sonne eine leichte Randverdunkelung auf, so dass sie nur näherungsweise ein Lambert-Strahler ist. Diffus streuende Flächen, z.B. eine weiße Wand, sind auch mit guter Näherung Lambert-Strahler. Institut für Optik, Geometrische und Technische Optik Information und Photonik N. Lindlein 293+22 Ausgedehnte Lichtquellen In den Halbraum abgestrahlter Lichtstrom bei verschiedenen Strahler-Typen nach Straubel: Integration der Lichtstärke über den Halbraum mit Raumwinkel 2 2 /2 /2 Halbraum d I sin d 2 I 0 cos m sin d 0 I0 Halbraum 0 0 x: cos 0 2 I 0 x m dx 1 2 I 0 m 1 m 1 2 Bei gleichem in den Halbraum abgestrahlten Lichtstrom Halbraum haben die verschiedenen Strahler-Typen also unterschiedlich große Lichtstärke I0 längs der Symmetrie-Achse (=0): Kugelstrahler 2I0/Halbraum=1 Lambert-Strahler 2I0/Halbraum=2 Keulenstrahler 2I0/Halbraum=4 Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+23 Ausgedehnte Lichtquellen Beleuchtungsstärke auf ebenem Schirm bei Freiraumausbreitung: Eine (kleine) leuchtende Fläche stehe parallel zum Schirm im Abstand a0, wobei a0 sehr viel größer als die laterale Ausdehnung der Lichtquelle ist. Screen Raumwinkel d, unter dem ein Flächenelement dF des Detektors von der Lichtquelle aus erscheint: dF cos dF cos 3 d 2 a a02 Der in den Raumwinkel d abgestrahlte Light Lichtstrom d und die Beleuchtungsstärke E source unter dem Winkel sind dann: dF cos3 I 0 dF m3 cos d I d I 0 cos 2 2 a0 a0 a0 J a m d I 0 I E 2 cos m 3 E0 cos m 3 mit E0 : 02 dF a0 a0 Geometrische und Technische Optik E0: Beleuchtungsstärke des Schirms auf der Achse Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik J dF 293+24 Ausgedehnte Lichtquellen Für einen Lambert-Strahler (m=1) ist die Beleuchtungsstärke auf dem Schirm also: E E0 cos 4 Unter 23.4o (halber diagonaler Bildwinkel einer Kleinbildkamera mit normalem Objektiv) ist die Beleuchtungsstärke z.B. nur noch 71% so groß wie auf der Achse. In der Photographie ist dieser Effekt der Randverdunkelung einer Szene bei Beleuchtung mit einem einfachen Blitzlicht gut bekannt. Immerhin ist das von einem Objekt zurück gestreute Licht im Idealfall nur von der Beleuchtungsstärke abhängig. Moderne Blitzlichter zur Ausleuchtung einer Szene, die mit einem Weitwinkelobjektiv (halber Bildwinkel kann größer als 50o sein) photographiert wird, versuchen mit Freiformflächen bzw. speziellen Fresnel-Linsen (=lokale Prismen) eine speziell präparierte Lichtstärke zu erzielen, so dass die Randverdunkelung minimal wird. Ideal wäre natürlich eine Lichtstärke der Form: I()=I0/cos3, d.h. m=-3 E()=E0 Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+25 Ausgedehnte Lichtquellen Abbildung einer Fläche mit Lambert-Abstrahlung: Die Abbildung sei ohne sphärische Aberration und die strahlende Fläche sei relativ klein gegenüber Gegenstands- und Bildweite. Dünner ringförmiger Raumwinkel d im Objektraum (bzw. d‘ im Bildraum) unter dem Winkel (bzw. ‘) zur Achse wird betrachtet: d 2 sin d d' 2 sin ' d ' dJ’ J’ dJ x J Ohne Absorption und Streuung ist der in diesem Ring transportierte Lichtstrom d im Objekt- und Bildraum gleich und für die Lichtstärke I im Objekt- bzw. I‘ im Bildraum gilt: I d d I ' d' 2 I sin d 2 I ' 'sin ' d ' Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+26 x’ Ausgedehnte Lichtquellen Damit ein Lambert-Strahler wieder auf einen Lambert-Strahler abgebildet wird, muss gelten: I I 0 cos I ' ' I '0 cos ' I 0 cos sin d I '0 cos ' sin ' d ' I 0 d sin 2 I '0 d sin 2 ' Für die Lichtstärke auf der Achse, d.h. paraxiale Näherung ist gültig, gilt: I '0 2 I 0 Integration d sin 2 2 d sin 2 ' sin 2 2 sin 2 ' x sin x' sin ' x '/ x Dies ist aber gerade die Sinus-Bedingung (für Brechzahlen n=n‘). Ein Lambert-Strahler wird also wieder auf einen Lambert-Strahler abgebildet, wenn das optische Abbildungssystem die Sinus-Bedingung erfüllt. Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+27 Ausgedehnte Lichtquellen Verhalten der Beleuchtungsstärke E‘ bei Abbildung (mit kleinem Aperturwinkel): Ein kleiner Raumwinkel um die optische Achse wird betrachtet. Ohne Absorption und Streuung gilt also Energieerhaltung für den Lichtstrom d im Objekt- bzw. d‘ im Bildraum: d Id d ' I ' d' mit d 2 d' Aufgrund der Abbildung gilt für die Flächeninhalte der strahlenden bzw. beleuchteten Fläche: A' x'2 2 x 2 2 A d ' d Id Id' E' 2 2 A' A A A x dJ dJ’ x’ Für kleine Aperturwinkel (cos≈1) gilt aber für die Leuchtdichte L der strahlenden Fläche: L I / A Also folgt für die Beleuchtungsstärke im Bild: E ' Ld' Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+28 Ausgedehnte Lichtquellen Interpretation des Ergebnisses: Die Beleuchtungsstärke E‘ im Bild hängt nur von der Leuchtdichte L des Objekts und dem Raumwinkel d‘ ab, unter dem die Austrittspupille der Linse vom Bild aus erscheint. Beispiel 1: Brennglas (Achtung: Hier nehmen wir die radiometrischen Größen, benutzen aber weiterhin die Symbole ohne Index „e“) Ohne Brennglas ist die Bestrahlungsstärke E‘ohne der Sonne auf der Erde bei wolkenlosem Himmel: E 'ohne Ld' L u '2 mit 2u ' 0.0093 2u‘ ist die Winkelgröße der Sonne (≈0.5o). Mit Brennglas der Brennweite f‘, Aperturdurchmesser DEP und Aperturfläche FEP ist die Bestrahlungsstärke E‘mit (Sonne ist im Unendlichen, d.h. Bild in Brennebene): 2 DEP L FEP E 'mit L 2 L mit der Blendenzahl f # f ' / DEP 2 f' 4 f# 2f' Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+29 Ausgedehnte Lichtquellen Das Verhältnis der Bestrahlungsstärken mit und ohne Brennglas ist also: 2 E 'mit DEP 1 E 'ohne 2 f ' u ' 2u ' f #2 2 u ' 0.01 2 100 DEP 100 f' f# 2 Bei einer Blendenzahl von f#=1 würde sich die Bestrahlungsstärke mit Brennglas also um einen Faktor 10000 erhöhen! Allerdings gilt für eine so hohe numerische Apertur unsere Theorie nur noch näherungsweise, da wir ja kleine Winkel vorausgesetzt hatten. Alternative Ableitung für die obere Formel (ohne Formalismus): Die gesamte Strahlungsleistung, die auf das Brennglas fällt, wird in das Bild der Sonne konzentriert. Die Erhöhung der Bestrahlungsstärke ist also gleich dem Verhältnis zwischen der Aperturfläche (DEP/2)2 des Brennglases und der Bildfläche (f‘u‘)2 (Bild der Sonne ist in der Brennebene, so dass der Radius des Bildes f‘u‘ ist). Dies ergibt die gleiche Formel wie oben. Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+30 Ausgedehnte Lichtquellen Beispiel 2: Vergleich der Fotografie einer Landschaft und des Mondes Mond und Erde sind beide Sekundärstrahler, die die Sonnenstrahlung streuen bzw. reflektieren, und praktisch gleichen Abstand von der Sonne haben. Die Leuchtdichte/Strahldichte des Mondes und die Leuchtdichte/Strahldichte einer „sonnigen“ Landschaft auf der Erde sind fast gleich. Auf dem Detektor einer Kamera erzeugen beide eine ähnliche Bestrahlungsstärke, so dass zur Fotografie des Mondes gleiche Parameter wie bei einer sonnigen Landschaft erforderlich sind. Anmerkung: Winkelgröße des Mondes ca. 2u‘=0.01 Bild des Mondes auf dem Detektor einer Kleinbildkamera mit f‘=50 mm winzig (0.5 mm Durchmesser verglichen mit 35 mm Seitenlänge im klassischen Kleinbildformat). Um Mond in voller Größe auf dem Detektor zu haben, ist ein Teleobjektiv mit extrem langer Brennweite erforderlich Zur Fotografie des Mondes gleiche Parameter wie bei der Fotografie einer sonnigen Landschaft mit diesem Teleobjektiv erforderlich. Obere Erklärung macht aber klar, dass bei einer normalen Fotografie entweder die nächtliche Landschaft richtig belichtet wird oder der Mond, aber kaum beides. Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+31 Ausgedehnte Lichtquellen Beispiel 3: Berechnung der Strahlungsleistung der Sonne pro Flächenelement Bestrahlungsstärke der Sonne oberhalb der Erdatmosphäre: Ee=1.367 kW/m2. Raumwinkel d‘=u‘2, unter dem wir die Sonne sehen (Winkeldurchmesser 2u‘=0.0093). Strahldichte LS der Sonne unter Annahme eines Lambert-Strahlers: Ee Ee MW Ee LS d' LS 20.12 2 2 d ' u ' m sr In den Halbraum emittierte Strahlungsleistung der Sonne pro Flächenelement: 2 d h d 2 h d d Mh dA d A d 0 /2 x: sin 1 MW 0 LS cos sin d 2LS 0 xdx LS 63.22 m 2 Alternative Berechnung: Gesamte von der Sonne emittierte Strahlungsleistung S ist Produkt aus Ee und der Fläche einer Kugel mit Erdbahnradius rE=149.6.109 m: S 4 rE2 Ee 3.845 10 26 W Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+32 Ausgedehnte Lichtquellen Die pro Flächenelement von der Sonne emittierte Strahlungsleistung Mh folgt aus S und der Oberfläche der Sonne (Sonnenradius rS=6.957.108 m): S MW Mh 63.21 2 2 4 rS m Dieser Wert stimmt mit dem Vorherigen (von Rundungsfehlern abgesehen) überein. Natürlich ist dies kein Zufall, denn aus den beiden letzten Gleichungen folgt für Mh (Winkelradius der Sonne u‘=rS/rE): 2 rE Ee Mh Ee Ee 4 r Mh Ee Ee 2 LS 2 u' 4 r u ' d' rS 2 E 2 S Vergleich mit Planck‘schem Strahlungsgesetz: Stefan-Boltzmann-Gesetz Aus Mh folgt effektive Temperatur T der Sonne unter der Annahme eines Schwarzen Strahlers. Wiensches Verschiebungsgesetz Wellenlänge max des Strahlungsmaximums: M h T 4 T M h / 1/ 4 Geometrische und Technische Optik 5778 K max 2897.8 µm K 501.5 nm T Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+33 Ausgedehnte Lichtquellen Unterschied zwischen der Abbildung einer ausgedehnten Lichtquelle und einer Punktlichtquelle: Ausgedehnte Lichtquelle geometrisch optisches Bild der Lichtquelle Punktlichtquelle Airy disc In der Brennebene eines Spiegels/Linse mit Durchmesser D und Brennweite f‘ (>D) ist die Fläche FAiry der Airy disc (Fläche der zentralen Scheibe bis 1. Minimum): n 1 f' D rAiry 0.61 0.61 0.61 1.22 ' 2f' sin ' ' NA D 2 f ' 2 f ' 2 FAiry : rAiry 1.22 4.68 D D 2 F’ j’ D f Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+34 Ausgedehnte Lichtquellen Die über die Fläche der Airy disc gemittelte Bestrahlungsstärke E* , die ein Stern (Punktlichtquelle) in der Brennebene eines Teleskopspiegels erzeugt, ist: E Apertur FAiry E0 D / 2 2 f ' 1.222 D 2 E0 4 D 2.44 f '2 E0: Bestrahlungsstärke des Sterns in der Eintrittspupille des Spiegels Die Bestrahlungsstärke EB in der Brennebene des Spiegels aufgrund von Hintergrundstrahlung (z.B. Streulicht) der Strahldichte LB ist: D EB LB d' LB ' LB 2 f ' 2 2 Das Verhältnis der Bestrahlungsstärken von Stern und Hintergrundstrahlung ist: Der Kontrast zwischen der Strahlung des E0 D 2 E 2 D Sterns und der diffusen Hintergrundstrahlung 2 EB 1.22 LB wächst also proportional zur Spiegelfläche! Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+35 Ausgedehnte Lichtquellen Visuelle Beobachtung scheibchenförmiger Objekte mit einem Kepler-Teleskop: Durchmesser Objektiv/Eintrittspupille 2p, Brennweiten f‘1 und f‘2 von Objektiv bzw. Okular, halber Winkeldurchmesser we des Objekts, halber Winkeldurchmesser wt des Bildes, Winkelvergrößerung =wt/we=-f‘1/f‘2 Die Austrittspupille liegt etwa im Abstand f‘2 hinter dem Okular und hat den Durchmesser 2p‘: f '1 f '2 g 1 1 1 1 b p g wt we f '2 1 f '2 f '2 f' f '2 2p 2 p' 2 p 2 p 2 f '1 f '1 p’ f1 Geometrische und Technische Optik f2 Bestrahlungsstärke des Objekts: E0 Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+36 Ausgedehnte Lichtquellen Bloßes Auge ohne Teleskop: Brennweite f‘e und Pupillenradius des Auges, Radius re und Fläche Ae des Bildes auf der Netzhaut, einfallende Strahlungsleistung e, Bestrahlungsstärke Ee auf Netzhaut re f 'e we Ae re2 f 'e we 2 e E0 2 e Ee E0 Ae f 'e we 2 Mit Teleskop: Radius rt und Fläche At des Bildes auf der Netzhaut rt f 'e wt f 'e we At rt 2 2 f 'e we 2 Ae 2 Auf das Teleskop einfallende Strahlungsleistung t: At 2 Ae t E0p 2 Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+37 Ausgedehnte Lichtquellen Im Fall der Bestrahlungsstärke Et auf der Netzhaut mit Teleskop müssen zwei Fälle unterschieden werden: 1. p‘≤, d.h. die gesamte vom Objekt auf das Teleskop einfallende Strahlung fällt auch auf die Netzhaut: Et t Ae p2 p '2 2 2 2 1 Ee At e 2. p‘>, d.h. die Augenpupille begrenzt die Strahlungsleistung effektiver Objektivradius peff, von dem Licht auf die Augenpupille fällt, ist: peff=|| : 2 peff Et t ,eff Ae 2 2 2 2 2 2 1 Ee At e Die Bestrahlungsstärke eines ausgedehnten Objektes auf der Netzhaut kann also mit einem Teleskop nicht erhöht werden! Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+38 Ausgedehnte Lichtquellen Aber trotzdem darf man nie durch ein Teleskop oder einen Feldstecher die Sonne ohne Schutzfilter betrachten! Erklärung: Auch wenn die Bestrahlungsstärke, d.h. die Leistung pro Netzhautflächenelement, nicht erhöht wird, wird das Bild der Sonne um die Winkelvergrößerung vergrößert. Auch mit bloßem Auge wird das Auge geschädigt, wenn man länger als ein paar Sekunden in die Sonne starrt! Aber das Bild der Sonne ist mit bloßem Auge auf der Netzhaut „nur“ etwa 2re=f‘ewe=17 mm * 0.0093=0.16 mm groß. Durch schnelle Augenbewegungen verschiebt sich also das Sonnenbild recht schnell und der Energieeintrag kann noch einigermaßen abgeleitet werden. Mit Teleskop ist das Bild der Sonne um die Winkelvergrößerung vergrößert bzw. die Fläche des Sonnenbildes sogar um 2. Der Energieeintrag ist deshalb auch um den Faktor 2 vergrößert und ein riesiger Bereich der Netzhaut wird bestrahlt. Die Energie kann nicht mehr abgeleitet werden und schädigt sofort das Auge. Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+39 Verallgemeinerung der Strahlungsformeln Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+40 Verallgemeinerte Strahlungsformeln Allgemeine Formel für den Strahlungstransport zwischen Strahler und Detektor: kleines Flächenelement der Größe dA der Lichtquelle kleines Flächenelement der Größe dF des Detektors Strahldichte L Abstand zwischen beiden Flächenelementen r Winkel zwischen Flächennormalen und Verbindungslinie r bzw. d Strahlungsfluss d zwischen beiden Flächen: cos d dF cos r dA cos d dF d L cos r dA d mit d d L 2 r2 r Gesamter Strahlungsfluss zwischen der Lichtquelle und dem Detektor folgt durch Integration über beide Flächen (r, d, L und r hängen dann i.a. von dA und dF ab): cos r cos d L dA dF 2 r AF Geometrische und Technische Optik dA er r ed Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik dF 293+41 Verallgemeinerte Strahlungsformeln Anwendung auf Ulbricht-Kugel (=diffus streuende Kugel=Lambert-Strahler): Strahlungsfluss ab zwischen zwei kleinen Flächenelementen Fa und Fb: ab L Fa cos r Fb cos d a2 Aus Symmetriegründen ist r=d:= und für den Abstand a gilt: a=2Rcos mit Kugelradius R Fa Fb Fa Fb cos ab L L 2 4R 2 2 R cos Fa ab Eab L 2 Eab: Bestrahlungsstärke auf Fläche Fb Fb 4R 2 Fa er a R cose ed Fb R Der Strahlungsfluss zwischen zwei Flächenelementen ist also unabhängig von der Position der Flächen konstant wegen L konstant (Lambert-Strahler). Integrale Messung unabhängig von der Richtungscharakteristik der Lichtquelle Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+42 Verallgemeinerte Strahlungsformeln Beleuchtungsstärke bei der Abbildung eines Schirms: Flächenelement der Größe A wird durch Linse auf Flächenelement der Größe A‘ abgebildet, wobei die Eintrittspupille und Hauptebene der Linse zusammen fallen sollen. Hauptstrahl hat Winkel w mit optischer Achse und die Eintrittspupille habe die Fläche F, die auch als klein angenommen wird. Dann gilt für die Winkel zwischen Hauptstrahl und Flächennormale der Flächenelemente: A r d w Entfernung zwischen Flächenelement A und Zentrum der Eintrittspupille: w s / cos w Lichtfluss zwischen Flächenelement A und Eintrittspupille: AF w L A cos w F cos w 2 AF w 0 cos4 w Geometrische und Technische Optik F r s s’ A’ AF L 2 cos4 w s Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+43 Verallgemeinerte Strahlungsformeln Linse sei verzeichnungsfrei Flächenelemente in Objekt- und Bildraum hängen über Abbildungsmaßstab zusammen, wobei unabhängig von w ist: A' 2 A Wenn kein Licht absorbiert wird, muss der Lichtfluss zur Eintrittspupille auch im Bild A‘ ankommen. Die Beleuchtungsstärke E‘ im Flächenelement A‘ ist dann: E ' w AF w F F 2 2 L cos4 w E '0 cos4 w mit E '0 2 2 L A' s s Die Beleuchtungsstärke E‘0 auf der Achse kann auch folgendermaßen interpretiert werden: F s ' s E '0 L s' 2 L' Hierbei ist ‘ der Raumwinkel, unter dem die Eintrittspupille=Austrittspupille der Linse vom Bild aus gesehen wird, wenn sich Objekt und Bild auf der optischen Achse befinden. Dieses Ergebnis hatten wir auch schon vorher abgeleitet. Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+44 Invarianz der Leuchtdichte bei Abbildung Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+45 Invarianz der Leuchtdichte bei Abbildung Invarianz der Leuchtdichte bei der Abbildung: Wir betrachten nur kleine Flächenelemente in Objekt, Bild n und Eintrittspupille. Helmholtz-Lagrange-Invariante sagt aus: nxu n' x ' u' Geometrische Verhältnisse liefern: x n’ h x’ u’ s’ u s F u s' us h u' s' u' s x ' nu ns' n' 2 2 s' s A' x ' / 2 x / 2 2 A x n' u' n' s n Wegen Energieerhaltung (Absorption sei nicht vorhanden) gilt für die Leuchtdichte: Effektive Leuchtdichte L/n2 ist also bei 2 2 2 2 L' L Abbildung invariant, falls keine Absorption ' s' s n' n' L' L A' F AFn 2 n2 n'2 n 2 auftritt. Insbesondere kann sie bei der Abbildung nicht vergrößert werden! Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+46 Invarianz der Leuchtdichte bei Abbildung Zusammenfassung der Verhältnisse bei der Abbildung einer ausgedehnten Lichtquelle: • Lichtfluss und effektive Leuchtdichte Leff sind invariant • Beleuchtungsstärke E verändert sich mit 1/2 (Abbildungsmaßstab ) ' 1 E' 2 2E A' A • Lichtstärke I verändert sich mit 2n‘2/n2 2 ' ' s'2 2 s 2n '2 2 n' I 2 I' 2 ' F Fn n Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+47 Leuchtdichte einer Streuplatte Geometrische und Technische Optik Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+48 Leuchtdichte einer Streuplatte Leuchtdichte einer idealen Streuplatte: Eine ideale Streuplatte/Mattscheibe ist ein Lambert-Strahler, der die gesamte gerichtet einfallende Strahlung ungerichtet in den Halbraum abstrahlt. Wir hatten abgeleitet, dass der in den Halbraum abgestrahlte Lichtfluss eines Lambert-Strahlers (m=1) folgenden Wert hat: Halbraum 2 I 0 I0 m 1 J’ Der auf die Fläche dF einfallende Lichtfluss bei der Beleuchtungsstärke E ist: E dF Aus der Energieerhaltung folgt dann für einen Lambert-Strahler: L I cos dF I 0 cos I 0 I 0 L dF cos dF dF Halbraum I 0 L dF E dF L Geometrische und Technische Optik dF E Institut für Optik, Information und N. Lindlein Photonik 293+49
