Trigonometrische Funktionen 1. Das Bogenmass

Trigonometrie 2
Trigonometrische Funktionen
Sinus, Cosinus und Tangens erfüllen alle Kriterien von Funktionen: Wir haben zwei Mengen und eine
eindeutige Zuordnung.
•
Die Urbildmenge sind die Winkel zwischen 0° und 90°.
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Die Bildmenge sind die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 für sin(x) und cos(x), resp. Γ für tan(x).
In allen ähnlichen Dreiecken, sind die Seitenverhältnisse gleich. Damit gehört zu einem bestimmten
Winkel genau ein Sinuswert, genau ein Cosinuswert und genau ein Tangenswert.
Es gilt sogar, dass die trigonometrischen Funktionen umkehrbar sind, wenn wir die Urbildmenge nicht
vergrössern: Zu jedem Winkel gehört genau ein Sinuswert, aber auch zu jedem Sinuswert ein eindeutig
bestimmter Winkel. Diese Tatsache benutzt der Taschenrechner, der Ihnen zu einem Winkel z.B. den
Sinuswert liefert, aber auch zu einem Sinuswert den zugehörigen Winkel.
1. Das Bogenmass
Bis jetzt haben wir die Gradeinheit (°) für Winkel verwendet. Ein rechter Winkel misst so 90° und ein
Vollkreis 360°. Diese Einteilung ist allerdings eher willkürlich. Deshalb erstaunt es nicht weiter, dass noch
andere Einheiten für Winkel existieren. Das Neugrad z.B. teilt einen rechten Winkel in 100 Neugrad und
somit einen vollen Kreis in 400 Neugrad. Dieses Mass wird oft im Ingenieurbereich verwendet.
Für die Mathematik ist das Bogenmass die günstigste Winkeleinheit. Dabei misst ein rechter Winkel
S/2 = 1.5708 und ein Vollkreis entsprechend 2S. Für diese Einteilung, die im ersten Moment völlig aus der
Luft gegriffen erscheint, sprechen gute mathematische Gründe.
Wenn wir einen Winkel zeichnen, so können wir ihn immer mit einem Kreis ergänzen. Zum Winkel
gehört dann ein Bogen b, dessen Länge wir berechnen können:
Beispiel:
a = 42°, r = 2 cm, b = ?
b = ................................
b = ................................ cm = ............... cm
b’
b
Nehmen wir einen anderen Kreis, aber denselben Winkel:
a = 42°, r' = 3.2 cm, b' = ?
a
b' = ............... cm
r
r’
Bilden wir nun die beiden Quotienten b/r und b'/r':
b
= ...............
r
b
= ............... fi
r
Der Quotient ist gleich!
Dieses Ergebnis ist nicht zufällig. Kreise können wie ähnliche Dreiecke durch zentrische Streckung in
einander überführt werden. Bei den ähnlichen Dreiecken haben wir konstante Seitenverhältnisse
gefunden und sie zur Definition von Sinus, Cosinus und Tangens verwendet. Hier nun ist das Verhältnis
Bogen zu Radius konstant. Wir nutzen es als Winkelmass.
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Definition: Das zu einem Winkel gehörende Verhältnis Bogen b zu Radius r heisst Bogenmass des
Winkels .
Das Bogenmass ist ohne Einheit, ist also lediglich eine Zahl. Am Einheitskreis mit r = 1 (cm, m, …)
finden wir den Winkel im Bogenmass gerade in der Länge des Bogens b.
Grad °
0°
Bogenmass
0
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
S/2 =
2S =
1.57
6.28
2. Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis
Die Definition der trigonometrischen Funktionen kann verallgemeinert werden. Wir erweitern die
Urbildmenge auf ganz Γ . Betrachten wir z.B. die Sinusfunktion am Einheitskreis:
Wir können den Sinuswert direkt als vertikale Strecke konstruieren und ihn nach rechts übertragen. So
erhalten wir Punkt für Punkt den Graphen der Sinuskurve.
Diese Konstruktion lässt sich problemlos über x = S und auch über x = 2S hinaus fortsetzen. Bewegen
wir uns auf dem Einheitskreis im Uhrzeigersinn, so lassen sich auch Werte für x kleiner als 0 gewinnen.
Eigenschaften der Sinusfunktion:
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
Aufgaben
9.
a) Führen Sie die oben beschriebene Konstruktion für den Sinus auf Millimeterpapier durch.
b) Konstruieren Sie die Kurven des Cosinus und des Tangens auf analoge Weise.
c) Zählen Sie Eigenschaften der beiden neuen Kurven auf und vergleichen Sie alle drei Graphen
miteinander.
10. Bestimmen Sie alle möglichen Winkel a im Bogenmass!
a) sin(a) = 0.2
b) cos(a) = 0.2
c) tan(a) = 0.2.
Lösung: 10a) 0.2014±29·n, 2.9402±29·n, b) 1.3694±29·n, 4.9137±29·n, c) 0.1974±9·n. (n immer ganzzahlig)
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