Blatt 11

Prof. Dr. L. Schwachhöfer
WS 2013/14
11. Übungsblatt zur Algebraischen Topologie
Abgabe: Montag, 13.01.14, bis 16 Uhr in dem Ablagefach
bei Raum 931, 9. OG
Aufgabe 1:
Sei K ein simplizialer Komplex. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
a) |K| ist wegzusammenhängend.
b) Für alle a, b ∈ K (0) gibt es Ecken ai ∈ K (0) , i = 0, . . . n mit a0 = a, an = b und
{ai−1 , ai } ∈ K für 1 ≤ i ≤ n.
c) H0 (K) ∼
= Z.
Aufgabe 2:
Für topologische Räume X, Y und x0 ∈ X, y0 ∈ Y bezeichne X ∨ Y die Verklebung
X ∪x0 ∼y0 Y .
Zeigen Sie:
a) Sind K und L simpliziale Komplexe mit a0 ∈ K (0) und b0 ∈ L(0) , so ist
|K| ∨ |L| := |K| ∪a0 ∼b0 |L|
durch den simplizialen Komplex (K ∪ L)/a0 ∼b0 trianguliert.
b) H̃n ((K ∪ L)/a0 ∼b0 ) ∼
= H̃n (K) ⊕ H̃n (L).
c) Zeigen Sie, dass die Homologiegruppen von S 1 ∨ S 1 ∨ S 2 isomorph zu denen
des Torus T2 = S 1 × S 1 sind, dass diese Räume aber nicht-isomorphe Fundamentalgruppen haben und daher nicht homöomorph sind.
Aufgabe 3:
Sei A eine (n + 1)-elementige Menge, so dass |σA | ∼
= ∆n ⊆ Rn+1 gilt und daher als
metrischer Raum aufgefasst werden kann. Für eine Unterteilung φ : |K 0 | → |σA | sei
der Durchmesser definiert als
diam(K 0 ) := max
diam φ(|σA0 |) .
0
0
A ∈K
a) Zeigen Sie: Ist K 00 eine Unterteilung von K 0 , so ist
diam(K 00 ) ≤ diam(K 0 ).
b) Wir definieren rekursiv die k-fache baryzentrische Unterteilung eines simplizialen Komplexes K als
sdk+1 (K) := sd sdk (K) ,
und bezeichnen den zugehörigen Homöomorphismus als
φk : |sdk (K)| → |K|.
Zeigen Sie: lim diam sdk (σA ) = 0.
k→∞
c) Sei h : |σA | → |L| stetig, wobei L ein simplizialer Komplex ist. Zeigen Sie: Für
hinreichend großes k erfüllt sdk (h) := h ◦ φk : |sdk (σA )| → |L| die Sternbedingung.
d) Sei |K| ein endlicher simplizialer Komplex und h : |K| → |L| stetig. Zeigen
Sie: sdk (h) : |sdk (K)| → |L| erfüllt die Sternbedingung für hinreichend großes
k.