Fast komplexe Mannigfaltigkeiten und Vektorbündel

Fast komplexe Mannigfaltigkeiten
und Vektorbündel
Artanc Kayacelebi
Jan-Christopher Koch
14. Dezember 2007
Inhaltsverzeichnis
1 Vektorbündel
1
2 Fast komplexe Mannigfaltigkeiten
10
Literatur
21
1 Vektorbündel
Denition 1.1 (komplexe Mannigfaltigkeit) Eine komplexe Mannigfaltigkeit M der
Dimension n ist ein topologischer Hausdorraum mit folgenden Eigenschaften:
1. Es gibt eine Familie vonSTeilmengen (Ui )i∈I mit Ui ⊂ M oen, I abzählbare Indexmenge, so dass M = i∈I Ui .
2. ∀i ∈ I existiert ein Homöomorphismus αi : Ui → αi (Ui ) mit αi (Ui ) ⊂ Cn oen.
3. Seien
Uij := αi (Ui ∩ Uj ) ⊂ αi (Ui ) ⊂ Cn
Uji := αj (Ui ∩ Uj ) ⊂ αj (Uj ) ⊂ Cn
Dann ist αj ◦ αi−1 : Uij → Uji ein Biholomorphismus für alle i, j ∈ I mit Ui ∩ Uj 6=
∅.
Ui ∩ Uj
Uij
w
αi www
w
ww
w{ w
GG
GG αj
GG
GG
G#
/ Uji
αj ◦α−1
i
1
Denition 1.2 (Vektorbündel) Sei K = R oder C. Seien E, M zwei dierenzierbare
Mannigfaltigkeiten und sei π : E → M eine stetige surjektive Abbildung. Dann heiÿt das
Tripel (E, M, π) ein r-dimensionales K-Vektorbündel, wenn die folgenden Bedingungen
erfüllt sind:
1. Ep := π−1 (p), mit p ∈ M , ist ein K-Vektorraum der Dimension r. Ep heiÿt die
Faser über p, E wird Totalraum und M wird Basisraum genannt.
2. Für jedes p ∈ M existiert eine Umgebung U von p und ein Dieomorphismus
ϕ : π −1 (U ) → U × Kr , genannt eine lokale Trivialisierung von E , so dass folgendes
Diagramm kommutiert:
π −1 (U )
ϕ
/
U × Kr
π1
π
U
U
wobei π1 die Projektion auf den ersten Faktor bezeichnet.
3. Die Einschränkung von ϕ auf jede Faser, (ϕ)p : Ep → {p} × Kr , ist ein linearer
Isomorphismus.
Sind E, M komplexe Mannigfaltigkeiten, so dass ϕ : π−1 (U ) → U × Cr ein Biholomorphismus ist, dann heiÿt (E, M, π) holomorphes Vektorbündel.
Bemerkung 1.3 Es folgt dann: π ist dierenzierbar und eine Submersion.
Bemerkung 1.4 Für eine lokale Trivialisierung gilt stets
x = π(ϕ−1 (x, y))
Bemerkung 1.5 Seien
ϕα : π −1 (Uα ) → Uα × Kr
ϕβ : π −1 (Uβ ) → Uβ × Kr
zwei lokale Trivialisierungen mit der Eigenschaft π1 ◦ ϕα = π1 ◦ ϕβ = π auf Uα ∩ Uβ 6= ∅.
Dann ist
r
r
ϕα ◦ ϕ−1
β : (Uα ∩ Uβ ) × K → (Uα ∩ Uβ ) × K
ein Dieomorphismus der insbesondere faserweise isomorph ist. Daher ist diese Abbildung von der Form ϕα ◦ ϕ−1
β (p, V ) = (p, ταβ (p)V ). Dann heiÿt die dierenzierbare/holomorphe Abbildung ταβ : Uα ∩ Uβ → GL(r, K) Übergangsabbildung zu den lokalen
Trivialisierungen des Vektorbündels.
Mit Hilfe dieser Übergangsabbildungen kann man sogar Vektorbündel eindeutig konstruieren. Dies zeigt der folgende Satz.
2
Satz 1.6 Sei M eine dierenzierbare/komplexe
n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit eiS
ner oenen Überdeckung M = α∈A Uα , wobei A beliebige Indexmenge. Seien E eine
beliebige Menge und π : E → M eine surjektive Abbildung.
Wenn es bijektive Abbildungen
ϕα : π −1 (Uα ) → Uα × Kr mit π1 ◦ ϕα = π
gibt, so dass
r
r
ϕα ◦ ϕ−1
β : (Uα ∩ Uβ ) × K → (Uα ∩ Uβ ) × K
von der Form
(1)
ϕα ◦ ϕ−1
β (p, V ) = (p, ταβ (p)V )
für eine dierenzierbare/holomorphe Abbildung ταβ : Uα ∩Uβ → GL(r, K) auf Uα ∩Uβ 6=
∅ ist,
dann hat E eine eindeutige Struktur eines r-dimensionalen Vektorbündels über M , für
das die Abbildungen ϕα die lokalen Trivialisierungen und die ταβ die Übergangsabbildungen sind.
Beweis Für jedes p ∈ M sei Ep := π−1(p). Sei p ∈ Uα. Betrachte (ϕα)p : Ep → {p}×Kr .
Diese Abbildung ist bijektiv, da sie durch Einschränken einer Bijektion entsteht. E ist
eine beliebige Menge, die zunächst keinerlei Struktur aufweist, zu der es aber faserweise
eine Bijektion mit dem Kr gibt.
Man deniert nun auf Ep die Vektorraumstruktur, bezüglich derer (ϕα )p ein linearer
Isomorphismus ist.
Diese Struktur ist wohldeniert, da die Bedingung (1), für jede Menge Uβ die p auch
enthält, garantiert, dass (ϕα )p ◦ (ϕβ )−1
p (p, V ) = (p, ταβ (p)V ). Da ταβ (p) ∈ GL(r, K) ein
linearer Ismomorphismus ist, folgt, dass die von (ϕα )p und (ϕβ )p induzierten Vektorraumstrukturen auf Ep übereinstimmen.
Bis jetzt hat man gezeigt, dass auf jedem Ep eine Vektorraumstruktur deniert werden
kann. Es bleibt nun zu zeigen, dass man mit den weiteren Voraussetzungen sogar eine
dierenzierbare/komplexe Mannigfaltigkeitsstruktur auf ganz E denieren kann. Wenn
man nun die Uα verkleinert und gegebenenfals mehr von ihnen nimmt, so kann man
annehmen, dass jedes Uα in einer Koordinatenumgebung von M enthalten ist und daher
fα ⊂ Kn ist.
dieomorph/biholomorph zu einer oenen Teilmenge U
Wenn man nun einen solchen Dieo-/Biholomorphismus auf ϕα anwendet, so kann diese
Komposition, wenn die Stetigkeit gezeigt wurde, auch als Koordinatenbabbildung aufgefasst werden.
Nun eine kurze Zusammenfassung
aller bisherigen Abbildungen:
c ^ Z
}
i
n
ϕα nnnn
n
n
n
n
vnnn
(Id,τ
Uαβ" × Kr
$
∼
' =
r
g
U
αβ × K
αβ
)
ϕβ ◦ϕ−1
α
PPP
PPPϕβ
PPP
PPP
(
/ Uβα
∼
=
/
3
/
π
E ⊃ π −1 (Uαβ )
× Kr
∼
=
r
g
U
βα × K
Uαβ ⊂ M
wobei ∼
= für einen Dieo-/Biholomorphismus steht und Uαβ = Uα ∩ Uβ . S
Zunächst ist klar, dass man E auch nach dem Verkleinern abzählbar durch α∈A π −1 (Uα )
überdecken kann.
Desweiteren lässt sich die Topologie von Uα × Kr durch ϕ−1
α auf E dadurch übertragen,
indem man oene Mengen in E als Urbilder oener Mengen aus Uα × Kr deniert. Eine
Teilmenge U ⊂ E heiÿt oen genau dann wenn ϕα (U ∩ π −1 (Uα )) ⊂ Uα × Kr oen ist für
alle α. Insbesondere ist ϕα dann ein Homöomorphismus. Dadurch sind alle Koordinatenwechsel dieo-/biholomorph. Damit erfüllt E alle Eigenschaften einer dierenzierbaren/komplexen Mannigfaltigkeit. Insbesondere sind die ϕα Dieo-/Biholomorphismen,
und E wird zu einem (holomorphen) Vektorbündel über M , mit den geforderten lokalen
Trivialisierungen und Übergangsabbildungen.
Beispiel 1.7 (Das triviale Bündel) Sei M eine dierenzierbare/komplexe Mannigfaltigkeit. Dann ist
π : M × Kr → M,
ein Vektorbündel, genannt das triviale Bündel. Hierbei ist π die kanonische Projektion.
Beispiel 1.8 (Das reelle Tangentialbündel T M =
.
[
Tp M ) Sei π : T M → M
p∈M
surjektiv mit π(Tp M ) = p. Man kann einen Tangentialvektor vp im Punkt p bezüglich
einer Koordinatenumgebung α, mit α(p) = x0 , darstellen als
∂ ∂
=: v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn
+ . . . + vn
dα(vp ) = v1
∂x1
∂xn x0
Bezüglich einer weiteren Koordinatenumgebung β mit β(p) = y0 , lässt sich v darstellen
als
dβ(vp ) =
v˜1
∂ ∂
+ . . . + v˜n
=: ṽ = (v˜1 , . . . , v˜n ) ∈ Rn
∂y1
∂yn y0
Desweiteren deniert man ϕα : π−1 (Uα ) → Uα ×Rn durch vp 7→ (p, dα(vp )) = (p, v1 , . . . , vn ).
Wenn zwei Koordinatenabbildungen einen nichtleeren Schnitt im Denitionsbereich haben, so stehen die Basisvektoren des Tangentialraums in Relation durch folgende Gleichung:
d(α ◦ β
−1
)
n
X
∂xj ∂
=
∂yi ∂xj
j=1
∂
∂yi
Mit
n
X
i=1
n
X
∂
∂
−1
−1
= dα(vp ) = d(α ◦ β ) (ṽ) = d(α ◦ β )
ṽi
vi
∂xi
∂yi
i=1
!
n
n
n
X
X
X
∂xj
∂
∂xi ∂
=
ṽi
=
v˜j
∂yi ∂xj i,j=1 ∂yj ∂xi
i=1
j=1
4
!
folgt
vi =
n
X
v˜j
j=1
∂xi
∂yj
Damit gilt:

v˜1

 Pn
i=1
1
vi ∂y
∂xi


∂y1
∂x1
...
 ..  
  ..
..
 . =
= .
.
Pn
∂yn
∂yn
v˜n
...
i=1 vi ∂xi
| ∂x1 {z
∂y1
∂xn

v1

 . 
.. 
.   .. 
∂yn
∂xn
=ταβ ∈GL(n,R)
vn
}
Aus dieser Basistransformation erhält man dann für die lokalen Trivialisierungen
ϕβ ◦ ϕ−1
α (p, v) = ϕβ (v) = (p, ṽ) = (p, ταβ (p)v)
Damit ist T M nach Satz (1.6) ein Vektorbündel über M , genannt Tangentialbündel.
Der komplexe Fall ist analog hierzu.
Denition 1.9 Seien E und F Vektorbündel über M, πE : E → M und πF : F → M .
Ein Homomorphismus von Vektorbündeln ist eine dierenzierbare/holomorphe Abbildung f : E → F , die fasererhaltend und K-linear auf jeder Faser ist, d.h f kommutiert
mit den Projektionen folgendermaÿen:
f
/F
E AA
}
AA
}
A
}}
}} π
πE AAA
~}} F
M
und f |Ep : Ep → Ff (p) ist linear. Ein Vektorbündelisomorphismus ist ein Vektorbündelhomomorphismus, so dass f dieomorph/biholomorph und eingeschränkt auf jeder Faser
ein Vektorraumisomorphismus ist. Zwei Vektorbündel heiÿen äquivalent wenn es einen
Vektorbündelisomorphismus zwischen ihnen gibt.
Beispiel 1.10 In diesem Zusammenhang ergeben sich direkt viele weitere Vektorbündel,
und zwar die dualen Vektorbündel. Besonders erwähnenswert ist das Kotangentialbündel T ∗ M , dessen Faser Tp∗ M an jedem p ∈ M das R-lineare Duale zu Tp M ist.
Um einen Vektorbündelisomorphismus anzugeben, benötigt man eine Riemannsche Metrik g. Man erhält die Isomorphie faserweise, indem man einem Vektor v ∈ Tp M auf
die Linearform g(v, ·) abbildet. Diese Abbildung erweitert man nun dierenzierbar und
erhält eine Abbildung ψ : T M → T ∗ M mit ψ(vp ) := gp (vp , ·) welche das geforderte
leistet.
Bemerkung 1.11 Man kann auch auf folgende Weise Vektorbündel
S konstruieren. Seien
πE : E → M und πF : F → M gegeben. Man deniert E ⊕ F = p∈M Ep ⊕ Fp . Daraus
ergibt sich die natürliche Projektion π : E⊕F → M durch π−1 (p) = Ep ⊕Fp . Desweiteren
5
sind durch die beiden Vektorbündel natürlich auch für eine Umgebung U von p die lokalen
Trivialisierungen
ϕE : πE−1 (U ) → U × Kr
ϕF : πF−1 (U ) → U × Kl
gegeben. Mit diesen Trivialisierungen konstruiert man eine neue auf E ⊕ F mittels
ϕE⊕F : π −1 (U ) → U × Kr ⊕ Kl
ϕE⊕F (v + w) =
p, r (ϕE )p (v) + r (ϕF )p (w)
für v ∈ Ep , w ∈ Fp und r die Projektion auf den zweiten Faktor. Damit ist diese Abbildung bijektiv, K-linear auf den Fasern und für die Übergangsabbildungen erhält man die
folgende Darstellung:
E⊕F
ταβ
(p) =
E
ταβ
(p)
0
F
(p)
0
ταβ
Damit folgt aus Satz 1.6, dass E ⊕ F ein Vektorbündel über M ist.
Die obige Konstruktion kann man unter anderem auch auf das Tensorprodukt A ⊗ B ,
den Dualraum
A∗ von A , das antisymmetrische Tensorprodukt vom Grad k , bezeichnet
Vk
A, und auf das symmetrische Tensorprodukt vom Grad k , bezeichnet durch
durch
S k (A) übertragen. Für uns werden hierbei die folgenden Konstruktionen wichtig sein.
Beispiel 1.12 Die Bündel der äuÿeren Algebra k T M, k T ∗ M , deren Fasern an jedem Punkt p ∈ M das antisymmetrische Tensorprodukt der Vektorräume Tp M bzw.
Tp∗ M sind. Die Konstruktion aus Bemerkung (1.11) lässt sich auch hierauf übertragen,
und zwar ergeben sich die Bündel:
V
^
^
TM =
T ∗M =
n ^
M
k
k=0
n ^
M
k
V
TM
T ∗M
k=0
Denition 1.13 Sei π : E → M ein Vektorbündel und sei U ⊂ M eine oene Menge.
Dann ist die Einschränkung E|U von E auf U das Vektorbündel
π|π−1 (U ) : π −1 (U ) → U.
Denition 1.14 (Schnitt) Sei (E, M, π) ein dierenzierbares/holomorphes Vektorbündel. Ein dierenzierbarer/holomorpher Schnitt dieses Vektorbündels ist eine dierenzierbare/holomorphe Abbildung s : M → E , so dass π ◦ s = IdM . s bildet also einen Punkt
im Basisraum auf die Faser dieses Punktes ab.
6
S(M, E) wird im folgenden die dierenzierbaren/holomorphen Schnitte von E über M
beschreiben. Analog wird die Schreibweise S(U, E) = S(U, E|U ) verwendet, um Schnitte
von E|U über U ⊂ M auszudrücken.
Es liegt nahe, die dierenzierbaren Schnitte, die mit E(M, E) bezeichnet werden, folgendermaÿen zu interpretieren. Ausgehend von dem trivialen Bündel π : M × R → M
kann E(M, M × R) identiziert werden durch E(M ), was die dierenzierbaren Abbildungen von M nach R bezeichnen soll. Dies liegt daran, dass die Schnitte im Fall des
trivialen Bündels die Form s : M → M × R haben und man als Abbildungsvorschrift
bezüglich der ersten Komponenten die Idendität auf M wählt, wodurch man auf jeden
Fall π ◦ s = IdM erreicht. Da es sich hier um einen dierenzierbaren Schnitt handelt,
muss die Abbildung auf die zweite Komponente insbesondere dierenzierbar sein, was
die einzige Einschränkung an die Abbildung ist. D.h. man kann, wie behauptet, die differenzierbaren Schnitte von M × R über M mit den dierenzierbaren Abbildungen von
M nach R identizieren. Analog lassen sich die dierenzierbaren Schnitte E(M, M × Rn )
mit den dierenzierbaren Abbildungen von M in den Rn identizieren.
Da Vektorbündel lokal immer die Form U × Rn haben, ist es möglich, die obigen Überlegungen lokal auf jedes Vektorbündel zu übertragen, d.h. lokal kann jeder Schnitt einer
Einschränkung E(U, E|U ) identiziert werden mit E(U, U × Rn ), also als die Menge der
dierenzierbaren vektorwertigen Abbildungen von U ⊂ M nach Rn , wobei zwei verschiedene Abbildungen der selben Umgebung, genauer eines bestimmten Bereichs der
Umgebung, durch Übergangsabbildungen des Vektorbündels zueinander in Beziehung
stehen.
Bemerkung 1.15 Ein Schnitt von T M ist einV Vektorfeld. Ein Schnitt von T ∗ M ist
eine 1-Form. Analog hierzu ist ein Schnitt von k T ∗ M eine k-Form.
Denition 1.16 Ein dierenzierbarer/holomorpher Vektorbündelmorphismus zwischen
zwei dierenzierbaren/holomorphen Vektorbündeln πE : E → M und πF : F → N
ist eine dierenzierbare/holomorphe Abbildung f : E → F , welche die Fasern von E
linear auf die von F abbildet. Insbesondere induziert f eine dierenzierbare/holomorphe
Abbildung f¯(πE (e)) = πF (f (e)) mit e ∈ E . Also kommutiert das folgende Diagramm:
E
πE
f
M
f¯
/F
/
πF
N
Gilt auÿerdem, dass die Abbildung der Fasern f |Ep : Ep → Ff (p) ein Isomorphismus für
alle p ist, dann heiÿt der Vektorbündelmorphismus faserweise isomorph.
Beispiel 1.17 Sei f : M → N eine dierenzierbare Abbildung, dann ist df ein dierenzierbarer Vektorbündelmorphismus auf den Tangentialbündeln.
TM
df
M
f
7
/
TN
/
N
Dieser Vektorbündelmorphismus ist faserweise isomorph genau dann wenn f ein lokaler
Dieomorphismus ist.
Satz 1.18 Sei f : M → N eine dierenzierbare/holomorphe Abbildung und (E, N, π)
ein dierenzierbares/holomorphes Vektorbündel. Dann gibt es ein dierenzierbares/holomorphes Vektorbündel (E 0 , M, π 0 ) und einen faserweise isomorphen dierenzierbaren/holomorphen Vektorbündelmorphismus g : E 0 → E , so dass das folgenden Diagramm kommutiert.
g
/
E0
π0
M
f
/
E
π
N
Insbesondere ist E 0 eindeutig bis auf Äquivalenz. E 0 heiÿt der Pullback von E bezüglich
f und wird auch mit f ∗ E bezeichnet.
Beweis
Sei E 0 = {(x, e) ∈ M × E : f (x) = π(e)}
Es werden die folgenden Projektionen deniert:
g : E0 → E
(x, e) 7→ e
π0 : E 0 → M
(x, e) 7→ x
Man kann zeigen, dass E 0 eine reguläre Untermannigfaltigkeit von M × E ist.
Ex0 = {x}×Ef (x) wird die Struktur eines K-Vektorraums, induziert durch Ef (x) , gegeben.
Dadurch wird E 0 zu einer gefaserten Familie von Vektorräumen über M . Nun wird eine
lokale Trivialisierung für die Menge E 0 aus einer vorhandenen von E erzeugt.
Sei hierzu ϕ : π −1 (U ) → U × Kr eine lokale Trivialisierung bezüglich (E, N ) mit U ⊂ N
oen. Sei V := f −1 (U ) ⊂ M . Für (x, e) ∈ (π 0 )−1 (V ) gilt dann f (x) = π(e) nach
Konstruktion von E 0 . Die zukünftige lokale Trivialisierung wird deniert als
−1
ψ : (π 0 ) (V ) → V × Kr
ψ(x, e) = (x, r(ϕ(e)))
wobei r : U × Kr → Kr die Projektion ist.
Zu zeigen ist die Bijektivität von ψ . Hierzu reicht es, eine Funktion zu nden, die gerade
die Inverse von ψ ist. Man deniert nun
Φ : V × Kr → V × E
Φ(x, z) = (x, ϕ−1 (f (x), z))
und zeigt
1. Φ(x, z) ∈ E 0 : Mit anderen Worten, man hat zu zeigen, dass
(x, ϕ−1 (f (x), z)) ∈ E 0
Damit das gilt, muss
f (x) = π(ϕ−1 (f (x), z))
sein, dies ist klar nach Bemerkung 1.4.
8
2. ψ ◦ Φ = Id:
ψ(x, ϕ−1 (f (x), z))
(x, r(ϕ(ϕ−1 (f (x), z))))
(x, r(f (x), z))
(x, z)
ψ ◦ Φ(x, z) =
=
=
=
3. Φ ◦ ψ = Id:
Φ ◦ ψ(x, e) = Φ(x, r(ϕ(e)))
= (x, ϕ−1 (f (x), r(ϕ(e)))
Man zeigt nun mit Bemerkung 1.4 dass
⇔
⇔
⇔
⇔
e
ϕ(e)
ϕ(e)
(x, z)
(x, z)
ϕ−1 (f (x), r(ϕ(e)))
(f (x), r(ϕ(e)))
(π(e), r(ϕ(e)))
(π(ϕ−1 (ϕ(e))), z)
(x, z)
=
=
=
=
=
Die geforderten Eigenschaften sind somit erfüllt.
Eindeutigkeit:
Sei π̃ : Ẽ → M ein weiteres Vektorbündel, so dass
g̃
/
Ẽ
π̃
M
f
/
F
π
N
kommutiert und g̃ ein faserweiser Isomorphismus ist. π̃ : Ẽ → M und π 0 : E 0 → M
haben die gleichen lokalen Trivialisierungen, da diese mittels f und π deniert sind.
Damit folgt aus Satz 1.6 die Eindeutigkeit.
Bemerkung 1.19 Man schreibt dieses Diagramm gewöhnlich als:
f ∗E
f∗
/E
πf
M
f
/
π
N
e M, π 0 ) und (E, N, π) dierenzierbare/holomorphe Vektorbündel.
Satz 1.20 Seien (E,
Falls es eine dierenzierbare/holomorphe Abbildung f : E 0 → E zwischen den Totalräumen gibt, die zum einen Fasern auf Fasern abbildet und zum anderen ein Vektorraumhomomorphismus auf den Fasern ist, dann kann man dieses f als Komposition eines dierenzierbaren/holomorphen Vektorbündelhomomorphismus mit dem Pullback f¯∗ E
9
ausdrücken. Hierbei ist f¯ die durch f induzierte Abbildung zwischen den Basisräumen.
Also kommutiert das folgende Diagramm.
f
eC
E
C
h
/
f¯∗ E
f¯∗
CC
CC
πf0
π 0 CC! M
f¯
/
/
E
π0
N
Beweis
Sei hierbei f¯ die Abbildung die durch f induziert wird. Dann kann man auch
den Pullback von f¯ bestimmen. Sei also f¯∗ E der Pullback von E bezüglich f¯. Deniere
h(e) := (π(e), f (e)). Aus der Konstruktion ist nun klar, dass
e ⊂ f¯∗ E
• h(E)
• h ist faserweise linear
Damit gilt:
f¯∗ ◦ h(e) = f¯∗ (π(e), f (e)) = f (e)
Daraus folgt f = f¯∗ ◦ h wobei die beiden Funktionen die geforderten Eigenschaften
haben.
2 Fast komplexe Mannigfaltigkeiten
Bevor die Theorie der fast komplexen Mannigfaltigkeiten nähergebracht wird, ist es nützlich, sich die Beschreibungsmöglichkeiten des Tangential- und des Kotangentialraums
einer komplexen Mannigfaltigkeit anzusehen.
Sei M eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension n und sei MR die zugrundeliegende reelle Mannigfaltigkeit der Dimension 2n. Man wählt eine Koordinatenumgebung
um einen Punkt p ∈ M , bezüglich derer man die entsprechenden Tangential- bzw. Kotangentialräume beschreiben kann. Dieses Koordinatensystem sei α : U → α(U ) ⊂ Cn ,
wobei U eine oene Umgebung des Punktes p ∈ M ist. z1 , . . . , zn seien die Koordinaten
in Cn . Für diese Koordinaten lassen sich folgende Abbildungen denieren:
zj : U → C
und
z¯j : U → C
Die komplexe Mannigfaltigkeit kann als reelle Mannigfaltigkeit der doppelten Dimension
aufgefasst werden, indem der Zielbereich der Koordinatensysteme mit dem R2n und
die Biholomorphismen mit Dieomorphismen identiziert werden. Dabei hat man die
Identizierung zj = xj + iyj für j = 1, . . . , n und demnach z̄j = xj − iyj . Für die
Dierentiale folgt dann:
dzj = dxj + idyj
und dz̄j = dxj − idyj
10
für j = 1, . . . , n
Tp M , Tp MR , Tp∗ M und Tp∗ MR seien nun die entsprechenden Tangential- bzw. Kotangentialräume. In lokalen Koordinaten gilt dann: Falls {dx1 , dy1 . . . , dxn , dyn } eine Basis
von Tp∗ MR über R ist, so ist dieselbe eine Basis des komplexizierten Kotangentialraums
(Tp∗ MR )C = Tp∗ MR ⊗R C über C. Auÿerdem lässt sich auch durch {dz1 , dz̄1 . . . , dzn , dz̄n }
eine Basis des komplexizierten Kotangentialraums wählen.
Für den Tangentialraum hat man folgende Möglichkeiten zur Beschreibung:
1. M kann aufgefasst werden als reelle Mannigfaltigkeit
MR der Dimension
2n über
n
o
∂
∂
∂
∂
R. Sei zj = xj + iyj , dann hat Tp MR die Basis ∂x1 , ∂y1 , . . . , ∂xn , ∂yn über R.
2. Sei (Tp MR )C = Tp MR ⊗R C der komplexizierte
Tangentialraum
von Tp MR in p.
o
n
∂
∂
∂
∂
Eine Basis von (Tp MR )C über C ist ∂x1 , ∂y1 , . . . , ∂xn , ∂yn , eine weitere Basis ist
n
∂
, ∂ , . . . , ∂z∂n , ∂∂z̄n
∂z1 ∂ z̄1
o
, wobei die Wirtinger Schreibweise
∂
1
∂
∂
=
−i
∂zj
2 ∂xj
∂yj
∂
1
∂
∂
=
+i
∂ z̄j
2 ∂xj
∂yj
verwendet wird. Die Basis
zu {dz1 , dz̄1 . . . , dzn , dz̄n }.
n
∂
, ∂ , . . . , ∂z∂n , ∂∂z̄n
∂z1 ∂ z̄1
o
ist dann zugleich die duale Basis
3. Die drittenMöglichkeitobesteht darin, den komplexen Tangentialraum Tp M , mit
der Basis ∂z∂1 , . . . , ∂z∂n , zu betrachten. Dieser Tangentialraum besteht gerade aus
n
o
n
o
. Der Teil ∂∂z̄1 , . . . , ∂∂z̄n
dem holomorphen Teil der Basis
0
wird antiholomorpher Teil genannt. Sei dieser mit Tp M bezeichnet, dann hat man
eine Zerlegung
0
∂
, ∂ , . . . , ∂z∂n , ∂∂z̄n
∂z1 ∂ z̄1
(Tp MR )C = Tp M ⊕ Tp M.
Denition 2.1 Sei V ein reeller Vektorraum und J : V → V ein R-linearer Isomorphismus, so dass J 2 = −Id. Dann heiÿt J eine komplexe Struktur auf V.
Seien nun ein reeller Vektorraum V und eine komplexe Struktur J auf V gegeben.
Dann kann man V mit der Struktur eines komplexen Vektorraums auf folgende Weise
ausstatten:
Deniere
(α + iβ)v := αv + βJ(v),
α, β ∈ R, v ∈ V
Dadurch ist die Multiplikation auf V mit Skalaren aus C deniert. V wird somit zu
einem komplexen Vektorraum. Umgekehrt kann man zunächst von einem komplexen
Vektorraum V ausgehen und V dann als reellen Vektorraum auassen, indem man die
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Multiplikation mit i durch einen R-linearen Endomorphismus realisiert. Diesen Endomorphismus bezeichnet man dann als J , wobei J dann zu der komplexen Struktur auf
dem reellen Vektorraum V wird. Insbesondere wird eine Basis {v1 , ..., vn } von V über C
zu einer Basis {v1 , ..., vn , Jv1 , ...Jvn } von V über R.
Beispiel 2.2 Sei Cn der gewöhnliche Euklidische Raum. Die Elemente sind also von
der Form (z1 , ..., zn ) ∈ Cn , wobei zj = xj + iyj j = 1, ..., n und xj , yj ∈ R der
Real- bzw. Imaginärteil sind. Cn lässt sich nun als R2n identizieren mit Komponenten (x1 , y1 , . . . , xn , yn ) ∈ R2n .
Die Multiplikation mit dem Skalar i in Cn induziert eine Abbildung J : R2n → R2n also
eine komplexe Struktur, die durch folgende Vorschrift explizit angegeben werden kann:
J(x1 , y1 , ...xn , yn ) = (−y1 , x1 , . . . , −yn , xn )
Diese Abbildung erfüllt die Bedingung J 2 = −Id. Diese komplexe Struktur wird Standard
komplexe Struktur des R2n genannt.
Bemerkung 2.3 Der Faktorraum GL(2n, R)/GL(n, C) bestimmt alle komplexen Strukturen auf R2n durch [A] → A−1 JA wobei [A] die Äquivalenzklasse von A ∈ GL(2n, R)
ist.
Beispiel 2.4 Sei M eine komplexe Mannigfaltigkeit und sei Tp M der komplexe Tangentialraum von M in p ∈ M .
Jetzt betrachtet man die der komplexen Mannigfaltigkeit zugrundeliegende dierenzierbare Mannigfaltigkeit MR , indem man die komplexen Vektorräume Cn aus den Koordinatenumgebungen jeweils mit R2n identiziert. Dabei werden die biholomorphen Koordinatentransformationen der komplexen Mannigfaltigkeit zu Dieomorphismen im reellen
Fall. Tp MR sei der Tangentialraum dieser zugrundeliegenden reellen Mannigfaltigkeit im
Punkt p.
Behauptung: Tp MR ist (kanonisch) isomorph zu dem zugrundeliegenden reellen Tangentialraum von Tp M . Insbesondere induziert der komplexe Tangentialraum Tp M eine
komplexe Struktur Jp auf dem reellen Tangentialraum Tp MR , die auÿerdem unabhängig
von der Wahl des Koordinatensystems ist.
Beweis
Man erhält das folgende Diagramm:
(Tp M )R
∼
=R Tp M ∼
=C Cn ∼
=R R2n ∼
=R
2 Tp MR
α
wobei α ein R-linearer Isomorphismus zwischen Tp M und Tp MR ist, der von den anderen
Abbildungen induziert wird. Also ist der reelle Tangentialraum der zugrundeliegenden
dierenzierbaren Mannigfaltigkeit isomorph zum reellen Tangentialraum, der von dem
komplexen Tangentialraum induziert wird und auch zum komplexen Tangentialraum
selber. D.h. der komplexe Tangentialraum induziert eine komplexe Struktur Jp auf dem
reellen Tangentialraum der zugrundeliegenden dierenzierbaren Mannigfaltigkeit MR .
12
Zu zeigen bleibt also noch, dass diese komplexe Struktur unabhängig von der Wahl
des Koordinatensystems um p ∈ M ist. Dazu betrachtet man einen Biholomorphismus
f : U → V , wobei U, V ⊂ Cn oen. Sei ζ = f (z). Separates Betrachten der Real- bzw.
Imaginärteile liefert einen zugehörigen Dieomorphismus, den man folgendermaÿen in
reellen Koordinaten ausdrücken kann:
ξ = u(x, y)
η = v(x, y)
(2)
Das heiÿt f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) wobei ξ, η, x, y ∈ Rn , ζ = ξ + iη ∈ Cn und
z = x + iy ∈ Cn mit u, v : U → V dierenzierbar.
Die Funktion f (z) lässt sich als Koordinatentransformation zur komplexen Mannigfaltigkeit M aufassen. Das Paar (u(x, y), v(x, y)) kann man dann als Koordinatentransformation der zugrundeliegenden dierenzierbaren Mannigfaltigkeit MR ansehen. Sei J
die Standard komplexe Struktur im Cn . Zu zeigen ist, dass J mit der Jacobimatrix der
reellen Koordinatentransformation kommutiert. Die reelle Jacobimatrix von (2) ist von
der Form
# "
#
"
#
"
∂u1
∂x1
∂v1
∂x1




"
 ∂u2
 ∂x1
 ∂v2
 ∂x1



..


.


 ∂un
 ∂x1
∂vn
∂x1
∂u1
∂y1
∂v1
∂y1
∂u2
∂y1
∂v2
∂y1
# "
∂u1
∂x2
∂v1
∂x2
∂u1
∂y2
∂v1
∂y2
∂u2
∂x2
∂v2
∂x2
∂u2
∂y2
∂v2
∂y2
...
#
"
...
..
.
∂un ∂y1
∂vn
∂y1
∂un
∂x2
∂vn
∂x2
∂u1
∂xn
∂v1
∂xn
∂u2
∂xn
∂v2
∂xn
...
∂un
∂un ∂y2
∂vn
∂y2
...
∂xn
∂vn
∂xn
∂u1
∂yn
∂v1
∂yn




#
∂u2 
∂yn 
∂v2 
∂yn 



..


.


∂un 

∂yn
∂vn
∂yn
Da f eine holomorphe Abbildung ist, kann jeder 2 × 2 - Block mit Hilfe der CauchyRiemann Dierentialgleichungen umgeschrieben werden zu
"
∂vα
∂yβ
α
− ∂u
∂yβ
∂uα
∂yβ
∂vα
∂yβ
#
d.h. jeder 2 × 2 - Block hat die Form
a b
−b a
J kann auch als 2n × 2n Matrix dargestellt werden, und zwar mit 2 × 2 - Blöcken der
Form
0 1
−1 0
13
entlang der Diagonalen. Die restlichen Einträge in der Matrix sind 0. Somit gilt df · J =
J · df , und daher J = df −1 · J · df , d.h. die komplexe Struktur J ist invariant bezüglich der Jacobimatrix der Abbildung f . Im Allgemeinen ist eine Matrix genau dann
eine Darstellungsmatrix einer C-linearen Abbildung, wenn sie mit J kommutiert. Insbesondere stimmt die Jacobimatrix der Abbildung f mit den Übergangsabbildungen
der Vektorbündel T M bzw. T MR , je nachdem ob man die Koordinatentransformation
im Komplexen oder Reellen betrachtet, bis auf Isomorphie überein, so dass die komplexe Struktur insbesondere invariant unter den Übergangsabbildungen ist, woraus die
Behauptung folgt.
Denition 2.5 Sei M eine 2n-dimensionale dierenzierbare Mannigfaltigkeit und sei J
ein dierenzierbarer Vektorbündelisomorphismus mit
J : T M → T M,
so dass Jp : Tp M → Tp M für alle p ∈ M eine komplexe Struktur auf Tp M ist, d.h.
J 2 = −IdT M . Dann wird J eine fast komplexe Struktur der dierenzierbaren Mannigfaltigkeit M genannt. Wenn eine fast komplexe Struktur J auf einer dierenzierbaren
Mannigfaltigkeit M existiert, so heiÿt das Tupel (M, J) fast komplexe Mannigfaltigkeit.
Satz 2.6 Eine komplexe Mannigfaltigkeit M induziert eine fast komplexe Struktur J auf
der zugrundeliegenden dierenzierbaren Mannigfaltigkeit MR .
Beweis
Im Beispiel 2 wurde bereits gezeigt, dass es für alle p ∈ M eine durch Tp M
induzierte komplexe Struktur auf Tp MR gibt, wobei MR wieder die zugrundeliegende
dierenzierbare Mannigfaltigkeit zu M bezeichnet. Zu zeigen bleibt also noch, dass die
Abbildung
Jp : Tp MR → Tp MR
dierenzierbar bzgl. p für alle p ist. Um zu zeigen, dass J eine dierenzierbare Abbildung
zwischen Vektorbündeln ist, wählt man eine Umgebung U ⊂ MR um p und eine Koordinatenabbildung α : U → α(U ) ⊂ R2n . Da die dierenzierbare Mannigfaltigkeit MR
lokal isomorph zu einer oenen Teilmenge des R2n ist, erhält man für die entsprechende Trivialisierung der Umgebung U folgende Beziehung: T MR |U ∼
= α(U ) × R2n . Seien
zj = xj + iyj die Koordinaten von α(U ) und (ξ1 , η1 , ..., ξn , ηn ) die Koordinaten im R2n .
Dann lässt sich die Abbildung J|U bzgl. dieser Trivialisierung denieren durch:
Id × J : α(U ) × R2n → α(U ) × R2n
Die Schreibweise soll bedeuten, dass zwischen den Koordinaten von α(U ) als Abbildung
die Idendität gewählt wird. Zwischen den Koordinaten des R2n wählt man als Abbildung
die Standard komplexe Struktur
J(ξ1 , η1 , ..., ξn , ηn ) := (−η1 , ξ1 , ..., −ηn , ξn )
Also ist J bzgl. der Trivialisierung eine konstante Abbildung und somit dierenzierbar. Da Dierenzierbarkeit eine lokale Eigenschaft ist, folgt die Dierenzierbarkeit der
Abbildung J zwischen den Vektorbündeln.
14
Sei V ein 2n-dimensionaler reeller Vektorraum mit einer komplexen Struktur J . Man
betrachtet jetzt die Komplexizierung VC := V ⊗R C von V und erweitert J von einem
R-linearen Homomorphismus zu einem C-linearen, indem man J(v ⊗R α) = J(v) ⊗R α
für v ∈ V und α ∈ C setzt. J behält dabei die charakteristische Eigenschaft J 2 = −Id.
Wenn man jetzt das Minimalpolynom x2 = −1 von J 2 = −Id betrachtet, stellt sich
heraus, dass i und −i die Eigenwerte sind. Insbesondere lässt sich durch das Minimalpolynom festmachen, dass der gröÿte Jordanblock, den man bei der Jordanform der
Darstellungsmatrix erhält, eine 1 × 1 Matrix ist. Dies zieht die Diagonalisierbarkeit der
Darstellungsmatrix über C nach sich. Auÿerdem haben i und −i die selbe algebraische
Vielfachheit. Die Begründung dafür liegt darin, dass man J als R-linearen Endomorphismus auasen kann, dessen charakteristisches Polynom dann Koezienten aus R hat
und deswegen mit z auch z̄ eine Lösung ist. Sei V 1,0 der Eigenraum zum Eigenwert i
und V 0,1 der Eigenraum zum Eigenwert −i. Dann hat man aufgrund der obigen Feststellungen eine Zerlegung VC = V 1,0 ⊕ V 0,1 . Die Konjugation auf VC kann deniert
werden durch v ⊗R α := v ⊗R α für v ∈ V und α ∈ C. Hieraus folgt insbesondere V 1,0 ∼
= V 0,1 . Da V eine komplexe Struktur trägt, ist es möglich, V als komplexen
Vektorraum der Dimension n aufzufassen. Dieser komplexe Vektorraum werde mit VJ
bezeichnet. Es existiert eine Basis {e1 , f1 , . . . , en , fn } von V über R, so dass J(ej ) = fj
und J(fj ) = −ej für j = 1, . . . , n. Wenn man die Vektoren aj und bj mit aj := 21 (ej −ifj )
und bj := 12 (ej + ifj ) für j = 1, . . . , n einführt, erhält man eine Basis {a1 , b1 , . . . , an , bn }
von VC und stellt fest, dass die Gleichungen J(aj ) = 21 (J(ej ) − iJ(fj )) = i · aj und
J(bj ) = 21 (J(ej ) + iJ(fj )) = −i · bj gelten. Das bedeutet, dass die aj beziehungsweise bj
den Eigenraum V 1,0 beziehungsweise V 0,1 aufspannen. Wir bezeichnen nun, analog zur
Einführung dieses Kapitels, V 1,0 als holomorphen und V 0,1 als antiholomorphen Teil der
1,0 ∼
Zerlegung von V . Es folgt insbesondere,
VJ .
V dass
V V1,0 V=C0,1
Jetzt werden die äuÿeren Algebren VC , V , V dieser komplexen Vektorräume
betrachtet, wobei
^
V =
n ^
M
p
V
p=0
und n die Dimension des Vektorraums über dem jeweiligen Körper angibt. Da V 1,0 und
V 0,1 Eigenräume und damit Untervektorräume von VC sind, können natürliche Einbettungen
V
V
/
v;
v
v
vv
vv
v
v
V 1,0
V
VC
V 0,1
deniert werden.
^p,q
E
^p
^q
1,0
0,1
V := u ∧ w u ∈
V ,w ∈
V
D
C
deniert somit einen Untervektorraum von VC .
V
Es sei n = dimC V . Man bekommt eine Zerlegung von VC in die direkte Summe:
V
15
^
VC =
n
M
M ^p,q
V
r=0 p+q=r
Bevor diese algebraischen Konstruktionen auf das Tangentialbündel einer Mannigfaltigkeit ausgedehnt werden, soll zunächst folgendes Konzept behandelt werden.
Sei M eine 2n-dimensionale dierenzierbare Mannigfaltigkeit und sei (T M )C = T M ⊗R
C die Komplexizierung des Tangetialbündels von M . Entsprechend sei (T ∗ M )C die
Komplexizierung
des Kotangentialbündels. MitVHilfe des Bündels der äuÿeren Algebra
V ∗
(T M )C deniert man durch E r (M )C = E(M, r (T ∗ M )C ) die komplexwertigen Dierentialformen vom Grad r auf M. Diese sind gerade die (dierenzierbaren) Schnitte des
Bündels der äuÿeren Algebra über M . Im folgenden wird der Index C, der kenntlich
machen soll, dass es sich um komplexwertige Dierentialformen handelt, weggelassen.
Lemma 1 In lokalen Koordinaten gilt:
ϕ ∈ E r (M ) ⇔ ϕ kann in einer Koordinatenumgebung dargestellt werden als
ϕ(x) =
X
ϕi1 ,...,ir (x)dxi1 ∧ · · · ∧ dxir =:
i1 <···<ir
X
ϕI (x)dxI
|I|=r
wobei ϕI (x) eine komplexwertige dierenzierbare Funktion in der Umgebung ist. Hierbei
ist (x1 , . . . , xn ) ein Koordinatensystem von M .
2
Die äuÿere Ableitung einer Dierentialform wird auf komplexwertige Dierentialformen durch C-lineare Fortsetzung erweitert. Dabei bleibt die Eigenschaft d2 = 0 erhalten.
Jetzt werden die algebraischen Konstruktionen auf das Tangentialbündel ausgedehnt.
Sei (M, J) eine fast komplexe Mannigfaltigkeit. (M hat Dimension 2n über R und J ist
eine fast komplexe Struktur auf T M ).
J : T M → T M lässt sich zu einem C-linearen Vektorbündelisomorphismus auf (T M )C
erweitern. Faserweise ergeben sich nun die Eigenwerte i und −i. T M 1,0 bezeichne das
Vektorbündel der Eigenräume zum Eigenwert i und T M 0,1 das Vektorbündel der Eigenräume zum Eigenwert −i. Durch faserweise Konjugation lässt sich eine Konjugation
Q : (T M )C → (T M )C auf dem komplexizierten Tangentialbündel denieren und man
erhält einen C-linearen Isomorphismus Q : T M 1,0 → T M 0,1 , da man wie vorher die
Beziehung T M 1,0 ∼
= T M 0,1 hat. Wenn man das reelle Vektorbündel T M als komplexes Vektorbündel (T M )J auasst, was möglich ist, da T M eine fast komplexe Struktur
trägt, bekommt man wie vorher die Beziehung T M 1,0 ∼
=C (T M )J . Seien T ∗ M 1,0 und
∗
0,1
1,0
0,1
T M die dualen Vektorbündel zu T M und T M . Analoge Konstruktionen kann
man auch auf den dualen Vektorbündeln vollziehen.
Man
jetzt V
wiederum die Vektorbündel der äuÿeren Algebren, und zwar
V ∗ betrachtet
V
T M 1,0 , T ∗ M 0,1 , (T ∗ M )C und erhält wie bei Vektorräumen über die Beziehung
16
(T ∗ M )C = T ∗ M 1,0 ⊕ T ∗ M 0,1 , die natürlichen Einbettungen:
Sei nun
^p,q
V
T ∗ M 1,0
V
T ∗ M 0,1
/
V
pp7
ppp
p
p
p
ppp
(T ∗ M )C
E
^p
^q
∗
1,0
∗
0,1
T M = u ∧ w u ∈
T M ,w ∈
T M
.
∗
D
Dieses Bündel verdient hohe Aufmerksamkeit, da die Schnitte in diesem Bündel gerade
die komplexwertigen
der Klasse (p, q) auf M liefern, welche durch
Vp,q Dierentialformen
p,q
∗
E (M ) = E(M,
T M ) bezeichnet werden. Insbesondere hat man eine Zerlegung
E r (M ) =
M
E p,q (M )
p+q=r
Nur durch die Dierentialformen vom Grad r alleine kann man keine Aussagen über die
Eigenschaften der komplexen Struktur treen, wohl aber durch Zerlegung in die direkte
Summe von Unterräumen der Klasse (p, q).
Im folgenden soll eine Methode entwickelt werden, die es gestattet, Dierentialformen
der Klasse (p, q) lokal darzustellen. Dazu benötigt man zunächst folgende Denition.
Denition 2.7 Sei π : E → M ein dierenzierbares/holomorphes Vektorbündel vom
Grad r und sei U ⊂ M oen. Ein Rahmen von M über U ist eine Menge von r dierenzierbaren/holomorphen Schnitten {s1 , . . . , sr } , sj ∈ S(U, E|U ), so dass {s1 (p), . . . , sr (p)}
eine Basis für E|p ist für alle p ∈ U .
Lemma 2 Sei (E, M, π) ein dierenzierbares/holomorphes Vektorbündel. Dann existiert lokal ein Rahmen von E , also ein Rahmen von E|U für jeden Punkt p und eine
Umgebung U von p.
Beweis
Die Aussage im Satz folgt direkt aus der Eigenschaft, dass Schnitte lokal als
die Menge der dierenzierbaren/holomorphen vektorwertigen Abbildungen von U ⊂ M
in Kr aufgefasst werden können. Die Existenz eines globalen Rahmens ist insbesondere
äquivalent dazu, dass das Bündel trivial ist.
Sei nun (M, J) eine fast komplexe Mannigfaltigkeit und sei {w1 , . . . , wn } ein lokaler
Rahmen von T ∗ M 1,0 , der auf einer oenen Menge U ⊂ M deniert ist. Aus T ∗ M 1,0 =
T ∗ M 0,1 folgt nun, dass {w̄1 , . . . , w¯n } ein lokaler Rahmen von T ∗ M 0,1 für die selbe oene
Menge
Rahmen hat man auch einen lokale Rahmen
Vp,qU ∗ist. Mit diesen beidenI lokalen
J
für
T M gegeben durch {w ∧ w̄ }, wobei |I| = p, |J| = q und I, J ⊂ {1, . . . , n}
Indexmengen sind. Die Schreibweise ist dabei analog zu der in Lemma 1.
Da die Schnitte gerade die komplexwertigen Dierentialformen der Klasse (p, q) sind,
hat man für jeden Schnitt in U lokal eine Darstellung
17
s=
X
aIJ wI ∧ w̄J ,
mit aIJ ∈ E 0 (U ).
|I|=p
|J|=q
Für die äuÿere Ableitung hat man lokal die Darstellung
ds =
X
daIJ ∧ wI ∧ w̄J + aIJ d(wI ∧ w̄J )
(3)
|I|=p
|J|=q
wobei der zweite Term nicht notwendigerweise 0 ist, da wj (x) nicht notwendigerweise
eine konstante Funktion in lokalen Koordinaten bzgl. des Basisraums sein muss. Es soll
untersucht werden, wann dieser Term 0 wird. Im folgenden werden genau diese lokalen
Rahmen bestimmt. Im Allgemeinen ist der Ausdruck 0, wenn man geschlossene 1-Formen
(Pfasche Formen) als lokalen Rahmen wählen kann.
Bemerkung 2.8 Dies gilt auf jeden Fall für komplexe Mannigfaltigkeiten, da man bei
komplexen Mannigfaltigkeiten, wie zu Beginn dieses Kapitels beschrieben, lokal die Basis
{dz1 , . . . , dzn } zur Verfügung hat und d (dzj ) = 0 und d (dz¯j ) = 0 für j = 1, . . . , n gilt.
Betrachtet man die einer komplexen Mannigfaltigkeit zugrundeliegende dierenzierbare
Mannigfaltigkeit, so ist es möglich, für deren komplexiziertes Kotangentialbündel lokal
den Rahmen wj = dzj und w̄j = dz¯j zu verwenden, so dass der zweite Term in (3)
wegfällt.
Da man eine fast komplexe Struktur zur Verfügung hat, lässt sich die Zerlegung von
E r (M ) in die direkte Summe aus E p,q (M ) heranziehen. Seien πp,q die natürlichen Projektionen:
πp,q : E r (M ) → E p,q (M ),
mit p + q = r
Allgemein hat man für die äuÿere Ableitung:
d : E p,q (M ) → E p+q+1 (M ) =
M
t+s=p+q+1
Durch die Einschränkung von d auf E p,q (M ) deniert man
∂ : E p,q (M ) → E p+1,q
∂¯ : E p,q (M ) → E p,q+1
durch
∂ := πp+1,q ◦ d
∂¯ := πp,q+1 ◦ d.
18
E t,s (M ).
Damit sind ∂ und ∂¯ auf
∗
E (M ) =
dimM
M
E r (M )
r=0
deniert.
Das Ziel im folgenden wird es sein, zu bestimmen, wann eine fast komplexe Struktur auf
einer dierenzierbaren Mannigfaltigkeit von einer komplexen Mannigfaltigkeit induziert
wird. Dazu benötigt man zunächst folgenden Satz.
Satz 2.9 Es gilt:
¯
Q∂α = ∂(Qα),
für α ∈ E ∗ (M )
Beweis
Wegen komplexer Linearität genügt es, die Behauptung für α ∈ E r (M ), wobei
p + q = r, zu zeigen. Nach Konstruktion von E p,q (M ) gilt E p,q (M ) = E q,p (M ), daher
folgen für α sofort die Gleichungen
und
Qπp,q α = πq,p Qα
Q(dα) = dQα
Zusammenfügen dieser beiden Gleichungen und die komplexe Linearität implizieren gerade die Behauptung im Satz. Insbesondere hat man also informell gesprochen die Be¯ .
ziehung Q∂ = ∂Q
Bemerkung 2.10 Man kann also die Regeln für die komplexe Konjugation auch hierhin
übertragen. Es gilt:
∂α = ∂¯ᾱ,
α ∈ E ∗.
Somit ist die Schreibweise gerechtfertigt.
Es gilt d2 = 0, aber es muss weder ∂ 2 = 0 noch ∂¯2 = 0 gelten. Es besteht jedoch folgende
Beziehung zwischen ∂ 2 und ∂¯2
Satz 2.11 Es gilt:
Beweis
∂ 2 = 0 ⇐⇒ ∂¯2 = 0
”⇒”
Anwendung von ∂¯ auf beiden Seiten in der Gleichung von Satz 2.9 liefert:
¯
¯
∂Q∂α
= ∂¯∂(Qα)
Durch Umformungen der linken Seite dieser Gleichung erhält man:
¯
∂Q∂α
= Q∂∂α = 0, da ∂ 2 = 0 gilt.
Das bedeutet aber gerade, dass die rechte Seite und somit ∂¯2 = 0 sein muss.
”⇐”
Man wendet wie oben wieder ∂¯ auf beiden Seiten der Gleichung an und kann jetzt
direkt aufgrund der Voraussetzung ∂¯2 = 0 sagen, dass die rechte Seite 0 ist. Die selbe
Umformung auf der linken Seite liefert, dass auch ∂ 2 = 0 sein muss.
19
Allgemein hat man
M
d : E p,q (M ) → E p+q+1 (M ) =
E t,s (M ).
t+s=p+q+1
Die Zerlegung in die direkte Summe lässt sich aber auch anders schreiben, wodurch man
d=
X
E t,s (M ) =
t+s=p+q+1
X
πt,s ◦ d = ∂ + ∂¯ + · · ·
t+s=p+q+1
erhält.
Denition 2.12 Eine fast komplexe Struktur J heiÿt integrierbar, falls gilt:
¯
d = ∂ + ∂.
Auf einer integrierbaren fast komplexen Mannigfalt erhält man:
¯ + ∂¯2 .
0 = d2 = ∂ 2 + ∂ ∂¯ + ∂∂
Man weiÿ, dass die jeweiligen Operatoren auf verschiedene Summanden der direkten
Summe von E p+q+2 (M ), wohin d2 abbildet, projezieren. Es ist nämlich:
∂ 2 (E p,q ) ⊂ E p+2,q
¯ (E p,q ) ⊂ E p+1,q+1
∂ ∂¯ + ∂∂
∂¯2 (E p,q ) ⊂ E p,q+2
Daher muss auf einer integrierbaren fast komplexen Mannigfaltigkeit gelten:
¯ = ∂¯2 = 0.
∂ 2 = ∂ ∂¯ + ∂∂
¯ , da E 1 = E 1,0 ⊕E 0,1 . Insbesondere
Bemerkung 2.13 Für f ∈ E 0 gilt immer df = ∂f +∂f
p+1,q
p,q+1
ist der erste Summand in (3) immer in E
⊕E
enthalten.
Aus Bemerkung 2.13 und Bemerkung 2.8 folgt jetzt unmittelbar der folgende Satz:
Satz 2.14 Die von einer komplexen Mannigfaltigkeit M induzierte fast komplexe Struktur auf der zugrundeliegenden reellen Mannigfaltigkeit MR ist integrierbar.
Wir zitieren hier noch den folgenden Satz, der die Umkehrung des vorigen ist:
Satz 2.15 (Newlander-Nierenberg) Sei (M, J) eine integrierbare fast komplexe Mannigfaltigkeit. Dann gibt es eine komplexe Struktur auf M, die J induziert, das heisst M
ist eine komplexe Mannigfaltigkeit und J ist die induzierte fast komplexe Struktur.
20
Literatur
[W] Wells: Dierential Analysis on complex Manifolds, Kapitel 1, Prentice Hall (1973)
[GH] Griths & Harris: Principles of algebraic geometry, Kapitel 2, John Wiley & Sons
(1978)
[L] John M.Lee: Riemannian Manifolds: An introduction to curvature, Kapitel 2, Springer (1997)
[H] W. Homann: Scriptum zur Vorlesung Komplexe Mannigfaltigkeiten, Kapitel 9,10
http://www.math.uni-bielefeld.de/ homann/complex/
[KR] Frank Klinker & Frank Reidegeld: Diverse Sprechstunden und Literaturhinweise,
Raum 931, Universität Dortmund (2007)
21