Relationale Strukturen, Homomorphismen zwischen Strukturen

Homomorphismen zwischen Strukturen
(Hilfe zu Übungsblatt 11)
Hinweis zu Aufgabe 11.1: Ähnliche Beispiele
Homomorphismus
h : N\{0} → N mit h(n) = log2 n ist ein Homomorphismus zwischen den Strukturen
(N \ {0}, ·, |e , 1) und (R, +, <, 0).
(Dabei sei a|e b :⇔ a ist ein echter Teiler von b, d.h. a ist ein Teiler von b und a < b.)
Beweis:
· ∀x∀y(x ∈ N ∧ y ∈ N → h(x · y) = h(x) + h(y))
wegen h(x · y) = log2 (x · y) = log2 (x) + log2 (y) = h(x) + h(y) (nach Def. h,
Logarithmengesetz, Def. h)
· x|e y → h(x) < h(y),
denn:
wenn x|e y, so x < y und damit folgt wegen strenger Monotonie der logFunktion log2 (x) < log2 (y)
· h(1) = 0,
weil h(1) = log 1 = 0 (nach Def. h und Def. der log-Funktion)
kein Homomorphismus
Für die Menge G = {U | U ⊆ 2N ∧ |U | ∈ N} aller endlichen Mengen gerader
natürlicher Zahlen ist die Funktion g : G → N mit g(∅) := 2 und g(U ) := |U | (Anzahl der Elemente der Menge U ) kein Homomorphismus zwischen den Strukturen
(G, ∪, ⊆, ∅) und (2N, ·, <, 2).
Beweis:
Mit einem Gegenbeispiel zeigen wir, dass eine der folgenden Bedingungen nicht
gilt:
· g(A ∪ B) = g(A) · g(B)
· A ⊆ B → g(A) < g(B)
· g(∅) = 2
Gegenbeispiel: sei A = {2, 4}, B = {2, 6}
Also ist A∪B = {2, 4, 6}, g(A∪B) = |A∪B| = 3, aber g(A)·g(B) = |A|·|B| = 2·2 = 4
und damit
g(A ∪ B) 6= g(A) · g(B)
Isomomorphismus
2
2
Gegeben seien die folgenden Relationen ∼3 ⊆ ({a, b}∗ ) und ∼4 ⊆ ({a, b}∗) :
Für u = u1 . . . un ∈ {a, b}∗ und v = v1 . . . vm ∈ {a, b}∗ sei u ∼3 v :⇔ u1 = v1 .
Für u = u1 . . . un ∈ {a, b}∗ und v = v1 . . . vm ∈ {a, b}∗ sei u ∼4 v :⇔ un = vm .
Dann sind die Strukturen ({a, b}∗ , ∼3 ) und ({a, b}∗ , ∼4 ) isomorph.
Beweis:
Wir geben einen Isomorphismus h an: h(u1 , u2 , · · · , un ) := un , un−1 , · · · , u1
· h ist offensichtlich eine Bijektion von {a, b}∗ auf {a, b}∗ .
· n.z.z. Isomorphiebedingung: u ∼3 v ⇔ h(u) ∼4 h(v)
Es sei u ∼3 v, d.h. u1 u2 · · · un ∼3 v1 v2 · · · vm
⇔ u1 = v1 (nach Def. ∼3 )
⇔ un un−1 · · · u1 ∼4 vn vn−1 · · · v1 (nach Def ∼4 )
⇔ h(u) ∼4 h(v) (nach Def. h)
Hinweis zu Aufgabe 11.2: Ähnliche Beispiele
a)
Die relationale Struktur G4 = ({1, · · · , 6}, R4 ) mit
R4 = {(a, b)| a, b ∈ {1, · · · 6} und a + b ist ungerade} ist ein gerichteter Graph
mit Kantenmenge R4 = T ∪ T −1 für
T = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 6), (4, 5), (5, 6)}. Er hat also 6
Knoten und 18 Kanten.
b)
Die relationale Struktur G5 = ({0, · · · , 5}, R5 ) mit R5 = {(0, 1), (0, 2), (0, 3),
(0, 4), (0, 5), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2),
(4, 3), (5, 0), (5, 1)} ist ein gerichteter Graph, ebenfalls mit 6 Knoten und 18
Kanten.
In G4 hat jeder Knoten einen Ausgangsgrad ≤ 3, jedoch in G5 existiert ein
Knoten (Knoten 0) mit Ausgangsgrad 5. Damit können G4 und G5 nicht
isomorph sein.
c)
G6 = ({1, · · · , 6}, R6 ) mit R6 = U ∪ U −1 für
U = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (4, 5)} ist ein gerichteter Graph, ebenfalls mit 6 Knoten und 18 Kanten.
Wenn man die Graphen G4 , G5 und G6 zeichnet, sieht man, dass G4 und G5
zusammenhängend sind, G6 nicht (besteht aus 2 Zusammenhangskomponenten, Knoten 6 ist isoliert).
Also können weder G4 und G6 ,
noch G5 und G6 nicht isomorph sein.
d)
Die relationale Struktur G7 = ({1, · · · , 6}, R7 ) mit R7 = V ∪ V −1 für
U = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (3, 4)} ist ein gerichteter Graph ebenfalls mit 6 Knoten und 18 Kanten.
G6 und G7 sind isomorph.
(Beweis durch Angabe eines Isomorphismus, Nachweis der Bijektivität und
der Isomorphiebedingung)
h(v) := (v − 1)mod6 ist ein Isomorphismus von der Knotenmenge V6 des
Graphen G6 auf die Knotenmenge V7 des Graphen G7 .
Beweis:
· h ist nach Definition eine Bijektion von V6 = {1, · · · , 6} auf V7 = {0, · · · , 5}
· Wir müssen noch prüfen, dass die Isomorphiebedingung
(v, w) ∈ R6 ⇔ (h(v), h(w)) ∈ R7 gilt.
Für jedes Paar (v, w) ∈ R6 mit v, w ∈ {2, · · · , 6} finden wir in R7 ein
Paar v − 1, w − 1 (und umgekehrt)., Für (1, x) ∈ R6 mit x ∈ {2, · · · , 5}
haben wir in R7 die Paare (6, x − 1) (und umgekehrt).
Damit gilt die Isomorphiebedingung.
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