Slides aus Vorlesung 04 - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp

Lineare Algebra I
- 4.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
&
Falko Gauß
Thursday 15 September 16
2
2.1
Gruppen
Definition
Gruppen:
Interessante mathematische Objekte können gewonnen werden, in dem man Mengen mit
zusätzlichen Strukturen versieht.
Definition 2.1. Eine Gruppe ist ein Paar (G, ·) bestehend aus einer Menge G zusammen
mit einer Abbildung · : G ⇥ G ! G, (g, h) 7 ! g · h, so dass die folgenden Bedingungen
erfüllt sind:
(G1) (g · h) · i = g · (h · i) für alle g, h, i 2 G
(Assoziativität)
(G2) es gibt ein e 2 G, so dass g · e = g für alle g 2 G
(rechts-neutrales Element)
(G3) für alle g 2 G gibt es ein g 0 2 G, so dass gg 0 = e
(rechts-Inverses)
Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, falls zusätzlich gilt
(G4) g · h = h · g, für alle g, h 2 G
(Kommutativität)
(Manchmal schreibt man auch gh für g · h.)
Beispiel 2.2.
(1) die reellen Zahlen mit der Addition (R, +) sind eine abelsche Gruppe:
die Addition ist assoziativ, (x + y) + z = x + (y + z), e = 0, und x 1 = x
(2) die reellen Zahlen ohne Null mit der Multiplikation (R \ {0}, ·) bilden eine abelsche
Gruppe: auch die Multiplikation ist assoziativ (xy)z = x(yz), e = 1, x 1 = x1
(3) genauso bilden die positiven reellen Zahlen mit der Multiplikation (R>0 , ·) eine abelsche
Gruppe
Satz
(1)
(2)
(3)
(4)
2.3.
Sei g 0 rechts-invers zu g 2 G. Dann gilt auch g 0 g = e, d.h. g 0 ist auch links-invers zu g.
Das rechts-neutrale Element e 2 G ist auch links-neutral, d.h. e · g = g für alle g 2 G.
Das neutrale Element ist eindeutig, d.h. falls gh = g so ist h = e.
Das Inverse g 0 zu g 2 G ist eindeutig, wir nennen es g 0 =: g 1 .
Beweis. (1) Nach (G3) gibt es ein rechts-Inverses g 00 von g 0 . Dann gilt das folgende:
(G3)
(G2)
(G3)
(G1)
(G3)
(G2)
e = g 0 g 00 = (g 0 e)g 00 = (g 0 (gg 0 ))g 00 = (g 0 g)(g 0 g 00 ) = (g 0 g)e = g 0 g .
(2) Dazu benutzt man (1), also dass g 0 sowohl rechts- als auch links-invers zu g ist.
Thursday 15 September 16
2.1 Gruppen
2
2.1
Gruppen
Definition
Gruppen:
Interessante mathematische Objekte können gewonnen werden, in dem man Mengen mit
zusätzlichen Strukturen versieht.
Definition 2.1. Eine Gruppe ist ein Paar (G, ·) bestehend aus einer Menge G zusammen
mit einer Abbildung · : G ⇥ G ! G, (g, h) 7 ! g · h, so dass die folgenden Bedingungen
erfüllt sind:
(G1) (g · h) · i = g · (h · i) für alle g, h, i 2 G
(Assoziativität)
(G2) es gibt ein e 2 G, so dass g · e = g für alle g 2 G
(rechts-neutrales Element)
(G3) für alle g 2 G gibt es ein g 0 2 G, so dass gg 0 = e
(rechts-Inverses)
Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, falls zusätzlich gilt
(G4) g · h = h · g, für alle g, h 2 G
(Kommutativität)
(Manchmal schreibt man auch gh für g · h.)
Beispiel 2.2.
(1) die reellen Zahlen mit der Addition (R, +) sind eine abelsche Gruppe:
die Addition
(Z, ist
+)assoziativ, (x + y) + z = x + (y + z), e = 0, und x 1 = x
Beispiele:
(2) die reellen Zahlen ohne Null mit der Multiplikation (R \ {0}, ·) bilden eine abelsche
(R, +)
Gruppe: auch
die Multiplikation ist assoziativ (xy)z = x(yz), e = 1, x 1 = x1
(3) genauso bilden
positiven
reellen Zahlen mit der Multiplikation (R>0 , ·) eine abelsche
(R \ die
{0},
·)
Gruppe
Satz
(1)
(2)
(3)
(4)
Diedergruppe D
3
2.3.
Sei g 0 rechts-invers zu g 2 G. Dann gilt auch g 0 g = e, d.h. g 0 ist auch links-invers zu g.
Das rechts-neutrale Element e 2 G ist auch links-neutral, d.h. e · g = g für alle g 2 G.
Das neutrale Element ist eindeutig, d.h. falls gh = g so ist h = e.
Das Inverse g 0 zu g 2 G ist eindeutig, wir nennen es g 0 =: g 1 .
Beweis. (1) Nach (G3) gibt es ein rechts-Inverses g 00 von g 0 . Dann gilt das folgende:
(G3)
(G2)
(G3)
(G1)
(G3)
(G2)
e = g 0 g 00 = (g 0 e)g 00 = (g 0 (gg 0 ))g 00 = (g 0 g)(g 0 g 00 ) = (g 0 g)e = g 0 g .
(2) Dazu benutzt man (1), also dass g 0 sowohl rechts- als auch links-invers zu g ist.
Thursday 15 September 16
2.1 Gruppen
Gruppe: auch die Multiplikation ist assoziativ (xy)z = x(yz), e = 1, x 1 = x1
(3) genauso bilden die positiven reellen Zahlen mit der Multiplikation (R>0 , ·) eine abelsche
Gruppe
Satz
(1)
(2)
(3)
(4)
2.3.
Sei g 0 rechts-invers zu g 2 G. Dann gilt auch g 0 g = e, d.h. g 0 ist auch links-invers zu g.
Das rechts-neutrale Element e 2 G ist auch links-neutral, d.h. e · g = g für alle g 2 G.
Das neutrale Element ist eindeutig, d.h. falls gh = g so ist h = e.
Das Inverse g 0 zu g 2 G ist eindeutig, wir nennen es g 0 =: g 1 .
Beweis. (1) Nach (G3) gibt es ein rechts-Inverses g 00 von g 0 . Dann gilt das folgende:
(G3)
0 00 (G2)
e = gg
0
= (g e)g
00 (G3)
0
0
= (g (gg ))g
00 (G1)
0
0 00
(G3)
0
(G2)
= (g g)(g g ) = (g g)e = g 0 g .
(2) Dazu benutzt man (1), also dass g 0 sowohl rechts- als auch links-invers zu g ist.
(G3)
(G1)
(1)
(G2)
eg = (gg 0 )g = g(g 0 g) = ge = g .
(3) Sei h 2 G mit gh = g. Dann gilt
(2)
(1)
0
(G1)
0
0
(1)
h = eh = (g g)h = g (gh) = g g = e .
(4) Sei h 2 G ein anderes rechts-inverses zu g, d.h. gh = e. Dann gilt
(2)
(1)
(G1)
h = eh = (g 0 g)h = g 0 (gh) = g 0 .
2.1 Gruppen
Thursday 15 September 16
Gruppe: auch die Multiplikation ist assoziativ (xy)z = x(yz), e = 1, x 1 = x1
(3) genauso bilden die positiven reellen Zahlen mit der Multiplikation (R>0 , ·) eine abelsche
Gruppe
Satz
(1)
(2)
(3)
(4)
2.3.
Sei g 0 rechts-invers zu g 2 G. Dann gilt auch g 0 g = e, d.h. g 0 ist auch links-invers zu g.
Das rechts-neutrale Element e 2 G ist auch links-neutral, d.h. e · g = g für alle g 2 G.
Das neutrale Element ist eindeutig, d.h. falls gh = g so ist h = e.
Das Inverse g 0 zu g 2 G ist eindeutig, wir nennen es g 0 =: g 1 .
Beweis. (1) Nach (G3) gibt es ein rechts-Inverses g 00 von g 0 . Dann gilt das folgende:
(G3)
0 00 (G2)
00 (G3)
= (g e)g
0
0
00 (G1)
= (g (gg ))g
(G3)
(G1)
0
(1)
0 00
(G3)
0
(G2)
= (g g)(g g ) = (g g)e = g 0 g .
rechts-invers
links-invers:
g ⇤ als
g 0 auch
= e links-invers
) gzu0 ⇤g gist.=
(2)(1)
Dazu
benutzt man (1),
also dass g 0 sowohl rechtse = gg
0
e
(G2)
eg = (gg 0 )g = g(g 0 g) = ge = g .
(3) Sei h 2 G mit gh = g. Dann gilt
(2)
(1)
0
(G1)
0
0
(1)
h = eh = (g g)h = g (gh) = g g = e .
(4) Sei h 2 G ein anderes rechts-inverses zu g, d.h. gh = e. Dann gilt
(2)
(1)
(G1)
h = eh = (g 0 g)h = g 0 (gh) = g 0 .
2.1 Gruppen
Thursday 15 September 16
Gruppe: auch die Multiplikation ist assoziativ (xy)z = x(yz), e = 1, x 1 = x1
(3) genauso bilden die positiven reellen Zahlen mit der Multiplikation (R>0 , ·) eine abelsche
Gruppe
Satz
(1)
(2)
(3)
(4)
2.3.
Sei g 0 rechts-invers zu g 2 G. Dann gilt auch g 0 g = e, d.h. g 0 ist auch links-invers zu g.
Das rechts-neutrale Element e 2 G ist auch links-neutral, d.h. e · g = g für alle g 2 G.
Das neutrale Element ist eindeutig, d.h. falls gh = g so ist h = e.
Das Inverse g 0 zu g 2 G ist eindeutig, wir nennen es g 0 =: g 1 .
Beweis. (1) Nach (G3) gibt es ein rechts-Inverses g 00 von g 0 . Dann gilt das folgende:
(G3)
0 00 (G2)
00 (G3)
= (g e)g
0
0
00 (G1)
= (g (gg ))g
(G3)
(2) rechts-neutral
(G1)
0
(1)
0 00
(G3)
g⇤e=g
(3) Sei h 2 G mit gh = g. Dann gilt
(2)
(1)
0
(G1)
0
e
(G2)
eg = (gg 0 )g = g(g 0 g) = ge = g .
links-neutral:
0
(G2)
= (g g)(g g ) = (g g)e = g 0 g .
rechts-invers
links-invers:
g ⇤ als
g 0 auch
= e links-invers
) gzu0 ⇤g gist.=
(2)(1)
Dazu
benutzt man (1),
also dass g 0 sowohl rechtse = gg
0
0
)
e⇤g =g
(1)
h = eh = (g g)h = g (gh) = g g = e .
(4) Sei h 2 G ein anderes rechts-inverses zu g, d.h. gh = e. Dann gilt
(2)
(1)
(G1)
h = eh = (g 0 g)h = g 0 (gh) = g 0 .
2.1 Gruppen
Thursday 15 September 16
Gruppe: auch die Multiplikation ist assoziativ (xy)z = x(yz), e = 1, x 1 = x1
(3) genauso bilden die positiven reellen Zahlen mit der Multiplikation (R>0 , ·) eine abelsche
Gruppe
Satz
(1)
(2)
(3)
(4)
2.3.
Sei g 0 rechts-invers zu g 2 G. Dann gilt auch g 0 g = e, d.h. g 0 ist auch links-invers zu g.
Das rechts-neutrale Element e 2 G ist auch links-neutral, d.h. e · g = g für alle g 2 G.
Das neutrale Element ist eindeutig, d.h. falls gh = g so ist h = e.
Das Inverse g 0 zu g 2 G ist eindeutig, wir nennen es g 0 =: g 1 .
Beweis. (1) Nach (G3) gibt es ein rechts-Inverses g 00 von g 0 . Dann gilt das folgende:
(G3)
0 00 (G2)
00 (G3)
= (g e)g
0
0
00 (G1)
= (g (gg ))g
(G3)
(2) rechts-neutral
(G1)
0
(1)
0 00
(G3)
g⇤e=g
(3) Sei h 2 G mit gh = g. Dann gilt
(2)
(1)
0
(G1)
0
e
(G2)
eg = (gg 0 )g = g(g 0 g) = ge = g .
links-neutral:
0
(G2)
= (g g)(g g ) = (g g)e = g 0 g .
rechts-invers
links-invers:
g ⇤ als
g 0 auch
= e links-invers
) gzu0 ⇤g gist.=
(2)(1)
Dazu
benutzt man (1),
also dass g 0 sowohl rechtse = gg
0
0
)
e⇤g =g
(1)
h = eh = (g
g)h = g (gh) = g g = e .
(3) Eindeutigkeit des neutralen
Elements
(4) Sei h 2 G ein anderes rechts-inverses zu g, d.h. gh = e. Dann gilt
(2)
(1)
(G1)
h = eh = (g 0 g)h = g 0 (gh) = g 0 .
2.1 Gruppen
Thursday 15 September 16
Gruppe: auch die Multiplikation ist assoziativ (xy)z = x(yz), e = 1, x 1 = x1
(3) genauso bilden die positiven reellen Zahlen mit der Multiplikation (R>0 , ·) eine abelsche
Gruppe
Satz
(1)
(2)
(3)
(4)
2.3.
Sei g 0 rechts-invers zu g 2 G. Dann gilt auch g 0 g = e, d.h. g 0 ist auch links-invers zu g.
Das rechts-neutrale Element e 2 G ist auch links-neutral, d.h. e · g = g für alle g 2 G.
Das neutrale Element ist eindeutig, d.h. falls gh = g so ist h = e.
Das Inverse g 0 zu g 2 G ist eindeutig, wir nennen es g 0 =: g 1 .
Beweis. (1) Nach (G3) gibt es ein rechts-Inverses g 00 von g 0 . Dann gilt das folgende:
(G3)
0 00 (G2)
00 (G3)
= (g e)g
0
0
00 (G1)
= (g (gg ))g
(G3)
(2) rechts-neutral
(G1)
0
(1)
0 00
(G3)
g⇤e=g
(3) Sei h 2 G mit gh = g. Dann gilt
(2)
(1)
0
(G1)
0
e
(G2)
eg = (gg 0 )g = g(g 0 g) = ge = g .
links-neutral:
0
(G2)
= (g g)(g g ) = (g g)e = g 0 g .
rechts-invers
links-invers:
g ⇤ als
g 0 auch
= e links-invers
) gzu0 ⇤g gist.=
(2)(1)
Dazu
benutzt man (1),
also dass g 0 sowohl rechtse = gg
0
0
)
e⇤g =g
(1)
h = eh = (g
g)h = g (gh) = g g = e .
(3) Eindeutigkeit des neutralen
Elements
(4) Sei h 2 G ein anderes rechts-inverses zu g, d.h. gh = e. Dann gilt
(2)
(1)
(G1) 0
0
1 = g0 . 0
h
=
eh
=
(g
g)h
=
g
(gh)
(4) Eindeutigkeit des Inversen:
g
:= g
2.1 Gruppen
Thursday 15 September 16
ist ({±1}, ·) isomorph zu (Z/2Z, +).
(5) Die Abbildung
exp : R ! R>0
x 7 ! ex
ist ein Isomorphismus zwischen den beiden Gruppen (R, +) und (R>0 , ·).
Proposition 2.12. Seien G und H zwei Gruppen und ' : G ! H ein Gruppenhomomorphismus.
(1) Dann gilt '(eG ) = eH und '(g 1 ) = ('(g)) 1 für alle g 2 G.
(2) Sei G0 ✓ G eine Untergruppe von G, dann ist '(G0 ) eine Untergruppe von H. Insbesondere ist '(G) Untergruppe von H.
(3) Ist H 0 ✓ H eine Untergruppe von H, so ist auch ' 1 (H 0 ) eine Untergruppe von G.
Insbesondere ist der Kern ker(') := ' 1 ({eH }) ⇢ G eine Untergruppe.4
(4) Ist ' ein Gruppenisomorphismus, so gilt das auch für die Umkehrabbildung ' 1 .
Beweis. (1) Es gilt '(g) = '(eG · g) = '(eG ) · '(g). Mit Satz 2.3 folgt '(eG ) = eH .
Daraus folgt weiter eH = '(eG ) = '(g · g 1 ) = '(g) · '(g 1 ). Nach Satz 2.3 gilt daher
('(g)) 1 = '(g 1 ).
(2) Seien a, b 2 '(G0 ), d.h. a = '(g), b = '(h) für g, h 2 G0 . Dann gilt aber a · b 1 =
'(g) · ('(h)) 1 = '(g) · '(h 1 ) = '(g · h 1 ). Dies ist aber in '(G0 ), da G0 eine Untergruppe
ist, vgl. Definition 2.6.
(3) Seien a, b 2 ' 1 (H 0 ). Dann gilt '(a), '(b) 2 H 0 . Da dies eine Untergruppe ist folgt, dass
H 0 3 '(a) · ('(b)) 1 = '(a) · '(b 1 ) = '(a · b 1 ), und daher ist auch a · b 1 in ' 1 (H 0 ). Es
ist also eine Untergruppe.
(4) Die Umkehrabbildung ist bijektiv. Zu zeigen ist lediglich, dass sie ein Gruppenhomomorphismus ist. Seien a, b 2 H mit '(a0 ) = a und '(b0 ) = b. Dann gilt ' 1 (a) · ' 1 (b) = a0 · b0 =
' 1 ('(a0 · b0 )) = ' 1 ('(a0 ) · '(b0 )) = ' 1 (a · b).
Beispiel 2.13.
2.2 Gruppen
(1) Das Bild i(pZ) = pZ ⇢ Z der Inklusionsabbildung in Beispiel 2.11(1) ist eine UnterThursday 15 September 16
gruppe.