Permutationen ohne Wiederholung Gegeben seien n verschiedene

Dr. I. Steinke, Stochastik für Physiker und Gymnasiallehrer, 16.10.2006
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Permutationen ohne Wiederholung
Gegeben seien n verschiedene Elemente, a1, . . . , an.
Jede Anordnung
a i1 , . . . , a in
dieser Elemente, in der jedes Element genau einmal
vorkommt, wird als Permutation ohne Wiederholung
bezeichnet.
Lemma 1 Die Anzahl der verschiedenen Permutationen von n unterschiedlichen Elementen berechnet sich durch
Pn = n! = 1 · 2 · · · n.
Variation ohne Wiederholung
Jede Anordnung von k unterschiedlichen aus n verschiedenen Elementen,
ai1 , . . . , aik ,
heißt Variation ohne Wiederholung von n zu je k Elementen.
Lemma 2 Die Anzahl der Variationen ohne Wiederholung von n zu k Elmenten berechnet sich
gemäß
n!
Vnk =
= n(n − 1) · · · (n − k + 1).
(n − k)!
Dr. I. Steinke, Stochastik für Physiker und Gymnasiallehrer, 16.10.2006
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Kombination ohne Wiederholung
Gegeben seien n verschiedene Elemente, a1, . . . , an.
Jede Auswahl von verschiedenen k aus diesen n Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge der
Elemente {ai1 , . . . , aik } heißt Kombination ohne Wiederholung von n zu je k Elementen.
Lemma 3 Die Anzahl der Kombinationen ohne
Wiederholung von n zu k Elementen berechnet sich
gemäß
µ ¶
n!
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
n
k
=:
=
.
Cn =
k
k!(n − k)!
1 · 2···k
Interpretation: Anzahl der k-elementigen Teilmengen.
Permutationen mit Wiederholung
Gegeben seien n Elemente, a1, . . . , an, die sich derart in m (unterscheidbare) Gruppen aufteilen lassen,
so dass in den Gruppen je ni (i = 1, . . . , k) gleiche
Elemente auftreten und die Elemente verschiedener
Gruppen verschieden sind.
Lemma 4 Die Anzahl der verschiedenen Permutationen dieser n Elemente berechnet sich dann
gemäß
n!
(n1 ,...,nm )
Pn,w
=
.
n1! · · · nm!
Bsp: n1 = · · · = nn = 1. n1 = k, n2 = n − k.
Dr. I. Steinke, Stochastik für Physiker und Gymnasiallehrer, 16.10.2006
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Variation mit Wiederholung
Gegeben seien n verschiedene Elemente, a1, . . . , an.
Jede Anordnung von verschiedenen k aus diesen n
Elementen bei der die Reihenfolge berücksichtigt wird
und Elemente mehrfach auftreten können,
ai1 , . . . , aik ,
heißt Variation mit Wiederholung von n zu je k Elementen.
Lemma 5 Die Anzahl der Variationen mit Wiederholung von n zu k Elmenten berechnet sich
gemäß
k
Vn,w
= nk .
Kombination mit Wiederholung
Jede Anordnung von verschiedenen k aus diesen n
Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge der
Elemente, bei der aber Elemente mehrfach auftreten
können,
ai1 , . . . , aik ,
heißt Kombination mit Wiederholung von n zu je k
Elementen.
Lemma 6 Die Anzahl der Kombinationen mit
Wiederholung von n zu k Elementen berechnet sich
gemäß
µ
¶
n+k−1
k
Cn,w
=
.
k
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Aufgaben
1. Wieviele vierstellige Zahlen lassen sich aus
(a) den Ziffern 1,3,5,7
(b) den Ziffern 0,1,2,. . . ,9
zusammenstellen. Bem: Eine Zahl darf nicht mit Null anfangen.
2. Wie oft müssen n Personen bei einem Sektempfang anstoßen, wenn
jede Person mit jeder genau einmal anstößt.
3. Gegeben seien die Scrabble-Buchstabensteine a,b,c,d,e.
(a) Wieviele verschiedene Worte der Länge 5 lassen sich daraus
bilden.
(b) Wieviele verschiedene Worte der Länge 3 lassen sich bilden.
(c) Wieviele davon enthalten den Buchstaben a.
Es wurde eine zweiter Buchstabe e gefunden.
(d) Wieviele verschiedene Worte der Länge 6 lassen sich dann bilden.
(e) Wieviele verschiedene Worte der Länge 5 lassen sich bilden.
(f) Wieviele verschiedene Worte der Länge 3 lassen sich bilden.
(g) Wieviele davon enthalten den Buchstaben a.
4. Man begründe die Formel (Pascal’sches Dreieck)
µ ¶ µ
¶ µ
¶
n
n−1
n−1
=
+
k
k
k−1
rechnerisch und kombinatorisch!
5. Zwei nicht unterscheidbare Würfel, versehen mit den Zahlen 1 bis 6,
werden geworfen. Beschreiben Sie die verschiedenen Wurfergebnisse
mathematisch. Wieviele verschiedene Wurfergebnisse gibt es? Was
ändert sich, wenn ein Würfel rot und der andere blau ist. Wiederholen Sie Ihre Überlegungen für 3 nicht unterscheibare Würfel.
6. Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es einen Lottoschein 6
”
aus 49“ auszufüllen. Ermitteln Sie die Anzahl der Möglichkeiten für
Tippscheine mit 4 richtigen Zahlen.