Erzeugung topologischer Räume

Erzeugung topologischer Räume
Proseminar Lineare Algebra (WS 2013/14)
Alisa Suthamphong
12.11.13
1
Inhaltsverzeichnis
1 Unterraumtopologie
1.1 Satz(Unterraumtopologie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Beweis(Unterraumtopologie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Eigenschaften der Unterraumtopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Beweis(Eigenschaften der Unterraumtopologie) . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Topologie und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Satz (stetig Abbildungen und abgeschlossene Teilmengen) . . . . . . . . .
1.10 Beweis (stetig Abbildungen und abgeschlossene Teilmengen) . . . . . . .
1.11 Satz (Stetigkeit einer Abbildung aus der Stetigkeit der eingeschränkten
Abbildung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Definition(Einbettung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14 Satz(Einbettung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.16 Beispiel/Gegenbeispiel(Einbettung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
4
4
5
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
8
Einleitung
Mein Proseminarbeitrag stützt sich auf die Seiten 37 bis 39 der Seminarlektüre Querenburg, Boto von (2001): Mengentheoretische Topologie. 3., neubearbeitete und erweiterte
Auflage, Berlin u.a.: Springer.
1 Unterraumtopologie
Um auf einer Teilmenge eines topologischen Raumes eine Topologie zu erklären, nimmt
man sich die folgenden Eigenschaften eines metrischen Raumes:
1) Ist U eine Teilmenge eines metrischen Raumes (X, d), so wird U durch die von X
induzierte Metrik d� := d|U ×U auf natürliche Weise zu einem topologischen Raum.
2) Die offenen Mengen von (U, d� ) sind die Schnitte der offenen Mengen von X mit U .
Anmerkung:
Für einen metrischen Raum (X, d) gilt:
a) Die Vereinigung von offenen Mengen ist offen.
b) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.
c) Der gesamte Raum X und die leere Menge sind offen.
d) Eine Menge A ⊂ (X, d) ist genau dann offen in X, wenn A Umgebung jedes seiner
Punkte ist.
→ Die Eigenschaften von a)- c) definieren eine Topologie.
Bild zu 2)
3
1.1 Satz(Unterraumtopologie)
Ist U eine Teilmenge eines topolgischen Raumes (X, O), so wird durch
OU :={O ∩ U |O ∈ O}
eine Topologie auf U erklärt. Sie heißt Unterraumtopologie, induzierte Topologie oder
Spurtopologie, und (U, OU ) heißt Unterraum von X.
Beispiel Sei R versehen mit der natürlichen Topologie und I = [0, 1] ⊆ R.
[0,1) ist eine im Unterraum offene Teilmenge von I
Denn: (-1,1)⊆ R ist offen in R und es gilt: [0,1) = (-1,1)∩I
1.2 Beweis(Unterraumtopologie)
Weise hier für die Eigenschaften einer Topologie nach.
1) Sei Oi ∈ O offen, i ∈ I und U ⊂ X Dann gilt:
∪i∈I (Oi ∩ U ) = (∪i∈I Oi ) ∩ U
2) Sei Oi ∈ O endlich und U ⊂ X. Dann gilt:
∩(Oi ∩ U ) = (∩Oi ) ∩ U
3) ∅ = ∅ ∩ U, U = X ∩ U .
4
1.3 Bemerkung
Die offenen(abgeschlossenen) Mengen von U sind die Schnitte der offenen (abgeschlossenen) Mengen von X mit U . Ist eine Teilmenge des Unterraumes U offen (abgeschlossen) in U , so ist sie im allgemeinen nicht offen (abgeschlossen) in X. Jedoch sind alle
in U offenen Teilmengen von U genau dann offen (abgeschlossen) in X, wenn U offen(abgeschlossen) in X ist.
1.4 Beispiel
Die
Menge C der komplexen Zahlen ist mit der Metrik d(z1 , z2 )
:=
�
2
2
(x2 − x1 ) + (y2 − y1 ) , zk = xk + iyk , xk , yk ∈ R, k = 1, 2 versehen. Die von d
auf C induzierte Topologie heißt natürliche Topologie. Die auf R induzierte Unterraumtopologie ist die natürliche Topologie von R. Eine nicht-leere R Teilmenge von R ist
niemals offen in C.
Anmerkung: Eine nicht leere Teilmenge U von R ist niemals offen in C, da man zu
keinem x ∈ U ein r > 0 finden kann mit B(x, r) ⊂ U , wobei B(x, r) = {z ∈ C | d(z, x) <
r}. Im Ball um x ∈ R befinden sich Elemente von C.
1.5 Eigenschaften der Unterraumtopologie
Sei X ein topologischer Raum, U ⊂ X und j : U �→ X Inklusionsabbildung. Die
Unterraumtopologie OU auf U hat folgende Eigenschaften:
a) Für jeden topologischen Raum Y und jede Abbildung g : Y → U gilt :
g ist genau dann stetig, wenn j ◦ g stetig ist
b) OU ist die gröbste Topologie auf U , bei der die Inklusionsabbildung j : U �→ X
stetig ist.
1.6 Beweis(Eigenschaften der Unterraumtopologie)
zu a) Die Abbildung j ◦ g ist genau dann stetig, wenn für jede offene Menge O von X
das Urbild in Y offen ist.
1. Annahme : j ◦ g stetig
⇒ Für jedes O ⊂ X offen ist (j ◦ g)−1 (O) offen.
⇒ Für jedes V ⊂ U ⊂ X offen gibt es ein offenes O ⊂ X, sodass V = O ∩ U
⇒ g −1 (V ) = g −1 (O ∩ U ) = g −1 (j −1 (O)) = (j ◦ g)−1 (O) offen in X da j ◦ g
stetig.
2. Annahme : g ist stetig
Behauptung: j ist stetig ⇒j ◦ g stetig.
Für jedes O ⊂ X offen ist j −1 (O) = O ∩ U offen (nach Definiton der Unterraumtopologie).
5
zu b) Verwende a), setze Y = U , versehe sie mit irgendeiner Topologie und nehme für
g die identische Abbildung
Anmerkung:
j : U �→ X stetig ⇔ für jedes O ⊂ X offen, ist j −1 (O) = O ∩ U offen
⇒ Jede Topologie auf U , für die j : U �→ X stetig ist, muss alle Mengen der Form
O ∩ U , O ⊂ X offen enthalten.
1.7 Topologie und Stetigkeit
Seien X und Y topologische Räume, A ⊂ X trage die Unterraumtopologie und die
Abbildung f : X → Y sei stetig im Punkt x ∈ A.
Dann ist auch f |A : A → Y stetig in x.
Denn: f ist stetig in x ∈ A.
⇒ ∀ U Umgebung von f (x) ∃ V Umgebung von x mit f (V ) ⊆ U
⇒ V ∩ A ist Umgebung von x und f (V ∩ A) ⊆ U
Ist f |A stetig , so braucht jedoch f : X → Y in keinem Punkt von A stetig zu, wie
das folgende Beispiel zeigt.
1.8 Beispiel
Sei X = Y := R und A := Q
Die Abbildung
f (x) =
�
1, f ür x ∈ Q
0, f ür x ∈ R \ Q
in keinem Punkt stetig. Hingegen istf | Q in jedem Punkt von Q stetig und f | R \ Q in
jedem Punkt von R \ Q stetig.
Denn:
Sei x ∈ Q und V := ( 12 , ∞) eine Umgebung von f (x) = 1. Sei U Umgebung von x, so
ist f (U ) ⊂ ( 12 , ∞) nur dann wenn f (u) = 1 ∀u ∈ U also wenn U ⊂ Q
Daraus folgt nach der Definition einer Umgebung gibt es ε > 0, (x − ε, x + ε) ⊂ U ⊂ Q
Widerspruch!
Ferner:
Sei x ∈ R \ Q und V := (−∞, 12 ) eine Umgebung von f (x) = 0. Sei U Umgebung von
x, so ist f (U ) ⊂ (−∞, 12 ) nur dann wenn f (u) = 0 ∀u ∈ U also wenn U ⊂ R \ Q
Daraus folgt nach der Definition einer Umgebung gibt es ε > 0, (x−ε, x+ε) ⊂ U ⊂ R\Q
Widerspruch!
1.9 Satz (stetig Abbildungen und abgeschlossene Teilmengen)
f : X → Y ist stetig, genau dann, wenn für jedes B ⊂ Y abgeschlossen und f −1 (B) ⊂ X
abgeschlossen ist .
6
1.10 Beweis (stetig Abbildungen und abgeschlossene Teilmengen)
” ⇒ ” f −1 (Y \ B) = X \ f −1 (B)
Sei B abgeschlossen dann ist Y \ B offen daraus folgt f −1 (Y \ B) offen, da f
stetig. Aber f −1 (Y \ B) = X \ f −1 (B). Also ist f −1 (B) abgeschlossen
” ⇐ ” Sei A ⊂ Y offen. Dann ist Y \ A = B abgeschlossen. Da nach Voraussetzung jede
abgeschlossene Teilmenge B von Y auch das Urbild f −1 (B) abgeschlossen in X ist
folgt daraus, dass X \ f −1 (A) = f −1 (X \ A) abgeschlossen. Also ist f −1 (A) offen.
Aus den bereits genannten Bedingungen lässt sich die Stetigkeit einer Abbildung aus der
Stetigkeit einer eingeschränkten Abbildung folgern:
1.11 Satz (Stetigkeit einer Abbildung aus der Stetigkeit der
eingeschränkten Abbildung)
Die Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen X und Y ist �
stetig, wenn
für ein endliches System A1 , ...., An abgeschlossener Teilmengen von X mit ni=1 Ai = X
die Einschränkungen f | Ai , 1 ≤ i ≤ n, stetig sind.
1.12 Beweis
Für eine abgeschlossene Teilmenge B von Y gilt:
f −1 (B) = f −1 (B) ∩ X
n
� �
�
= f −1 (B) ∩
Ai
i=1
=
n
�
i=1
=
�
(f −1 (B) ∩ Ai )
(f | Ai )−1 (B)
7
−1
Da f | A�
i stetig und Ai abgeschlossen ist, ist (f | Ai ) (B) abgeschlossen in X.
n
Also ist i=1 (f | Ai )−1 (B) = f −1 (B) abgeschlossen in X.
1.13 Definition(Einbettung)
Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen heißt Einbettung von X in
Y wenn f eine Homöomorphismus von X auf den Unterraum f (X) ist.
1.14 Satz(Einbettung)
Die Abbildung f : X → Y ist genau dann eine Einbettung wenn folgende Kriterien
erfüllt sind:
i) f ist injektiv
ii) f ist stetig
iii) für jedes offene U ⊂ X ist die Bildmenge f (U ) offen in f (X), dh. f : X → f (X) ist
eine offene Abbildung.
1.15 Beweis
” ⇒ ” Sei f : X → Y eine Einbettung. Dann ist f Homöomorphismus von X auf f (X)
(dh. f ist bijektiv, (somit auch injektiv) stetig und f −1 stetig).
Sei U ⊂ X offen. Da f −1 : f (X) → X stetig ist, gilt für U , dass f (U ) ∈ Of (X)
wobei Of (X) , die von Y auf f (X) induzierte Topologie ist. Daher ist f (U ) offen in
f (X)
” ⇐ ” Sei f injektiv und stetig und f (U ) ist offen in f (X) für jedes in X offene U .
f ist injektiv daraus folgt f : X → f (X) ist bijektiv daher gibt es f −1 : f (X) → X.
Zu zeigen bleibt also noch, dass f −1 stetig ist.
Für U ⊂ X offen ist (f −1 )−1 (U ) = f (U ) ⊂ f (X) offen. Somit ist gezeigt, dass f −1
stetig ist, denn das Urbild einer offenen Menge U von X ist wiederum offen.
1.16 Beispiel/Gegenbeispiel(Einbettung)
a) f : R → R2 , definiert durch f (x) := (x, 0), ist eine Einbettung.
Anmerkung: Injektiv, denn für alle a, b ∈ R mit a �= b gilt (a, 0) �= (b, 0).
b) Die Abbildung f : [0, 2π[→ S 1 ⊂ R2 , x �→ (cos x, sin x) ist injektiv und
stetig, jedoch keine Einbettung, denn die Bilder der in [0, 2π[ offenen Mengen
[0, t[=] − t, t[ ∩[0, 2π[ , 0 < t < 2π sind nicht offen in S 1
8
9