Kartesische Form und Polar-Form komplexer Zahlen bj a e r Z

Kartesische Form und Polar-Form komplexer Zahlen
Z
bj
r
θ
a
z = a+b·j
z = r · (cos (ϑ) + j · sin (ϑ))
= r∠ϑ
Realteil:
a = Re (z)
Imaginärteil: b = Im (z)
Betrag:
r = |z|
Argument: ϑ = arg (z)
√
r =
a2 + b 2
cos (ϑ) = a/r
a = r · cos (ϑ)
b = r · sin (ϑ)
Natürlich ist das Argument – wie jeder Winkel – nur eindeutig bis auf Vielfache eines
Vollwinkels 2π = 360°. Oft legt man zwecks Eindeutigkeit fest, dass1
−π < ϑ ≤ +π
bzw.
−180° < ϑ ≤ +180°
sein soll und spricht dann vom sogenannten Hauptwert des Arguments.
Sind Betrag r und Argument ϑ einer komplexen Zahl gegeben (Schreibweise: „z = r∠ϑ“), ist
es leicht, Real- und Imaginärteil zu berechnen: Re (z) = r · cos (ϑ) und Im (z) = r · sin (ϑ).
Sind umgekehrt Real- und Imaginärteil
√ gegeben, also z = a + b · j, so ist die Berechnung
des Betrags r auch kein Problem: r = a2 + b2 . Bei der Berechnung des Winkels muss man
wegen des Vorzeichens ein bisschen mehr achtgeben.
1
Manchmal wird auch 0 ≤ ϑ < 2π verlangt.
Beispiele zur Umrechnung kartesisch
polar:
Das gegebene z = a + b · j ist jeweils zu zeichnen und in Polar-Form umzuwandeln.
• z1 = 1 + j
Betrag r?√
√
r = 12 + 12 = 2
Argument ϑ?
√
cos (ϑ) = √12 = 22
√ ϑ = arccos 22 = π4 = 45°
z1
j
r
θ
1
Ergebnis:
√
z1 = 1 + j = 2∠ π4
• z2 = 1 − j
Betrag r?q
12 + (−1)2 =
r=
√
2
1
Argument ϑ? (Achtung:
negativer Winkel!)
√
2
1
cos (ϑ) = √2 = 2
√ ϑ = − arccos 22 = − π4 = −45°
θ
r
j
z2
(!)
Ergebnis:
√
z2 = 1 − j = 2∠ −
π
4
• z3 = −4 + 3j
Betrag r?q
(−4)2 + 32 = 5
r=
Argument ϑ?
cos (ϑ) = −4
5
.
.
ϑ = arccos −4
= 2, 4981 = 143, 13°
5
Ergebnis:
.
z3 = −4 + 3j = 5, 0000∠2, 4981
z3
3j
θ
r
−4
• z4 = 3 − 4j
Betrag r?q
3
32 + (−4)2 = 5
r=
Argument ϑ? (Achtung: negativer Winkel!)
cos (ϑ) = 35
.
.
ϑ = − arccos 35 = −0, 9273 = −53, 13°
(!)
θ
r
−4j
Ergebnis:
z4 = 3 − 4j = 5, 0000∠ − 0, 9273
z4
Bei rein reellen oder rein imaginären Zahlen braucht man natürlich nicht erst groß zu rechnen, um Betrag und Argument herauszubekommen!
Beispiele Polar-Form rein reeller bzw. rein imaginärer Zahlen
• j = 1∠ π2
• −10j = 10∠ −π
2
• 3 = 3∠0
• −j = 1∠ −π
2
• 1 = 1∠0
• −2 = 2∠π