Skript 5 - WWZ - Universität Basel

Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum
Universität Basel
Mathematik für Ökonomen 1
Dr. Thomas Zehrt
Grundbegriffe der Differentialrechnung
Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band 1, 17. Auflage,
Sankt Gallen, Verlag Wilhelm Surbir, Seiten 51-63
2
1
1.1
Differenzen- und Differentialquotient
Definition und Beispiele
Gegeben sei eine stetige Funktion y = f (x).
Unter der durschnittlichen Änderung der Funktion f im Intervall [x, x + ∆x] vesteht man
den Quotienten
f (x + ∆x) − f (x)
∆f (x)
:=
.
∆x
∆x
Der Ausdruck
∆f (x)
∆x
wird auch als Differenzenquotient bezeichnet.
Geometrische Deutung: Der Differenzenquotient ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels
σ der Sekante P Q.
Sekante PQ
Q
∆y
P
∆x
σ
x
Abbildung 1: Sekante
x+∆ x
3
Q
f(x+∆ x )
∆y
P
f(x)
σ
∆x
σ
x
x+∆ x
∆x = (x + ∆x) − x
∆y = f (x + ∆x) − f (x)
tan(σ) =
∆y
f (x + ∆x) − f (x)
=
∆x
(x + ∆x) − x
|
{z
}
∆x
Wie sieht die Gleichung der Sekante durch die beiden Punkte
P = (x, f (x))
und
Q = (x + ∆x, f (x + ∆x))
Allgemeine Geradengleichung:
y = mx + n
Gerade geht durch P und Q:
f (x)
= mx + n
durch P
f (x + ∆x) = m(x + ∆x) + n durch Q
Gleichungen nach m und n auflösen:
m =
∆f
f (x + ∆x) − f (x)
=
∆x
∆x
n = f (x) −
∆f
x
∆x
aus?
4
Beispiele:
1. f (x) = x2
2. f (x) =
1
x
5
Hausaufgaben 1.1 Berechnen Sie die Differenzenquotienten der folgenden Funktionen:
√
x
1) y = f (x) =
1
2) y = f (x) =
1+x
6
Lässt man nun den Punkt Q gegen P wandern, d.h. ∆x → 0 streben, so geht die Sekante
in die Tangente im Punkt P über. Wir betrachten den Tangens des Neigungswinkels τ
der Tangente.
Sekante PQ
Q
Tangente
in P
∆y
P
∆x
τ
σ
x
x+∆ x
Abbildung 2: Sekante und Tangente
Der Grenzwert
f ′ (x) := tan(τ ) =
f (x + ∆x) − f (x)
∆x→0
∆x
lim
heisst der Differentialquotient oder 1. Ableitung der Funktion f an der Stelle x, falls dieser
Grenzwert existiert. Er stellt in gewisser Weise die ,,momentane Änderung,, von f an der
Stelle x dar.
Schreibweise:
y ′ = f ′ (x) =
df (x)
dy
=
= Df (x)
dx
dx
7
Beispiele:
1. f (x) = x2
2. f (x) =
1
x
8
Hausaufgaben 1.2 Berechnen Sie die Differentialquotienten der folgenden Funktionen:
√
x
1) y = f (x) =
1
2) y = f (x) =
1+x
9
Hausaufgaben 1.3 Bestimmen Sie jeweils die Gleichung der Sekante durch die gegebenen
Punkte auf dem Funktionsgraphen.
1. y = f (x) = x3 + x2 − 1
√
2. y = f (x) = x2 − x
durch (1, ?) und (2, ?)
durch (1, ?) und (4, ?)
Hausaufgaben 1.4 Bestimmen Sie jeweils die Gleichung der Tangente im gegebenen
Punkt auf dem Funktionsgraphen.
1. y = f (x) = x3 + x2 − 1
√
2. y = f (x) = x2 − x
in (1, ?)
in (1, ?)
10
Maple 1 Um eine Funktion abzuleiten sollten wir den Befehl D benutzen. Dieser liefert
wieder eine Funktion zurück. Wir erklären die Anwendung an einem einfachen Beispiel.
> restart:
> f := x -> 4*x + 2;
> plot( f(x), x=-3..3 );
> D(f);
> D(f)(x);
> D(f)(3);
> plot( D(f)(x), x=-3..3 );
> plot( { f(x), D(f)(x) } , x=-3..3 );
Probieren Sie das aus!
11
1.2
Bemerkungen zu Stetigkeit und Differenzierbarkeit
1. Die Stetigkeit ist eine notwendige Bedingung für die Differenzierbarkeit.
Anschaulich betrachtet ist es leicht einzusehen, dass man an eine Kurve in einem
Punkt, in dem die Funktion nicht stetig ist, keine Tangente anlegen kann. Versuchen
Sie zur Probe einen vernünftigen Weg zu finden, eine Tangente an eine Sprungstelle,
Polstelle bzw. Oszillationsstelle anzulegen.
2. Die Stetigkeit ist aber keine hinreichende Bedingung für die Differenzierbarkeit.
Illustration:
x0
x0
unstetig,
nicht differenzierbar
inx0
stetig,
nicht differenzierbar
inx0
Abbildung 3: Stetigkeit und Differenzierbarkeit
x0
stetig,
differenzierbar
inx0
12
2
Differentiationsregeln
Satz 2.1
1. y = k konstant
y′ = 0
2. y = a · f (x) mit a ∈ R
y ′ = a · f ′ (x)
Konstantenregel
3. y = f (x) ± g(x)
y ′ = f ′ (x) ± g ′ (x)
Summenregel
4. y = xa mit a ∈ R
y ′ = a · xa−1
Potenzregel
5. y = f (x) · g(x)
y ′ = f ′ (x) · g(x) + f (x) · g ′(x)
Produktregel
6. y =
f (x)
f ′ (x) · g(x) − f (x) · g ′ (x)
mit g(x) 6= 0 y ′ =
g(x)
g 2 (x)
7. y = f (g(x))
y ′ = f ′ (g(x)) · g ′ (x)
Quotientenregel
Kettenregel
Beispiele:
• (Potenzregel)
y = 5 · x5 ⇒ y ′ = 5 · 5 · x5−1 = 25 · x4
• (Summenregel und Potenzregel)
y = x5 + x4 ⇒ y ′ = 5 · x4 + 4 · x3
• (Produkt-, Potenz- und Summenregel)
y = x2 · (x3 + 7x − 1) ⇒ y ′ = 2x · (x3 + 7x − 1) + x2 · (3x2 + 7)
• (Quotienten-, Potenz- und Summenregel)
y=
3x2 (x2 − 7) − x3 (2x)
x4 − 21x2
x3
′
⇒
y
=
=
x2 − 7
(x2 − 7)2
(x2 − 7)2
• (Ketten-, Potenz- und Summenregel)
g(x) = x2 − 7x3 f (u) = u21 F (x) = f (g(x)) = (x2 − 7x3 )21
⇒ F ′ (x) = f ′ (g(x)) · g ′ (x) = 21(x2 − 7x3 )20 (2x − 21x2 )
13
Beweis:
Um die Strategie dieser Beweise zu verstehen, wollen wir die Potenzregel für
Exponenten aus den natürlichen (und den ganzen Zahlen) und die allgemeine
Produktregel beweisen. Der Beweis benutzt dabei den binomischen Lehrsatz,
der eine Verallgemeinerung der binomischen Formeln darstellt: Für alle reellen
Zahlen a und b und alle natürlichen Zahlen n gilt
(a + b)
n
n X
n
ak bn−k
=
k
k=0
• Sei also f (x) = xn mit n ∈ N. Dann gilt zunächst für den Differenzenquotienten
∆f (x)
f (x + ∆x) − f (x)
=
∆x
∆x
=
=
(x + ∆x)n − xn
∆x
n
P
n
k
k=0
n
k
x (∆x)n−k − xn
∆x
xn + n1 xn−1 ∆x +
n−2
x (∆x)2 + . . . + nn (∆x)n − xn
=
∆x
n
n
n
n−1
n−2
2
x
∆x
+
x
(∆x)
+
.
.
.
+
(∆x)n
1
2
n
=
∆x
n
n n−2
n n−1
1
(∆x)n−1
x (∆x) + . . . +
x
+
=
n
2
1
0
n
2
Bis auf den ersten Summanden enthalten alle den Faktor ∆x, und bilden
wir nun den Grenzwert ∆x → 0 verschwinden alle diese Terme. Wir
erhalten somit
f (x + ∆x) − f (x)
∆x→0
∆x
n
n n−2
n n−1
n−1
1
(∆x)
x (∆x) + . . . +
= lim
x
+
∆x→0
n
2
1
f ′ (x) =
lim
= nxn−1 .
14
• Unter der Voraussetzung, dass wir von der Richtigkeit der Quotientenregel
überzeugt wären, können wir nun die Potenzregel für negative ganzzahlige
Exponenten beweisen. Sei also f (x) = x−n = x1n mit n ∈ N. Dann gilt
0 · xn − 1 · n · xn−1
f (x) =
(xn )2
−n · xn−1
=
x2n
′
= −n · x−n−1
• (Produktregel)
15
Aufgabe 2.1 Differenzieren Sie die folgenden Funktionen:
1. f (x) = x(x2 + 1)
2. g(w) = w −5
3. h(y) = y(y − 1)(y + 1)
4. G(t) =
5. φ(ψ) =
6. F (s) =
2t + 1
t2 + 3
2ψ
+2
ψ2
s
s2 + s − 2
16
3
3.1
Ableitung spezieller Funktionen
Ableitungen der trigonometrischen Funktionen
Aufgabe 3.1 Überlegen Sie sich, wie die Ableitung der Sinusfunktion aussehen müsste
und skizzieren Sie die Sinusfunktion und ihre Ableitung.
y
x
y
x
17
Satz 3.1 (Ableitungen der trigonometrischen Funktionen)
y = sin(x)
y ′ = cos(x)
y = cos(x)
y ′ = − sin(x)
y = tan(x) y ′ =
1
cos2 (x)
Beweis:
Nehmen wir an, dass wir die Ableitung der Sinusfunktion schon kennen würden,
also (sin(x))′ = cos(x). Tatsächlich kann das direkt durch Berechnung des
Grenzwertes bewiesen werden, aber man benötigt kompliziertere trigonometrische
Identitäten. Dann können wir recht leicht die Ableitungen der beiden anderen
trigonometrischen Funktionen berechen.
• Sei also f (x) = cos(x) = sin x + π2 . Dann gilt mit der Kettenregel
π ′
sin x +
2
π
= cos x +
2
(cos(x))′ =
= sin (x + π)
= − sin (x) .
• Sei nun f (x) = tan(x) =
(tan(x))
′
sin(x)
.
cos(x)
Nach der Quotientenregel gilt dann
=
=
(sin(x))′ cos(x) − (cos(x))′ sin(x)
cos2 (x)
sin(x)
cos(x)
′
cos2 (x) + sin2 (x)
=
cos2 (x)
=
1
.
cos2 (x)
2
18
3.2
Ableitung der Logarithmus- und Exponentialfunktionen
Satz 3.2 (Ableitungen der Logarithmus- und der Exponentialfunktionen)
1
x
y = ln(x)
y′ =
y = ex
y ′ = ex
y = ax
y ′ = ln(a) · ax
y = loga (x)
y′ =
1
1
·
ln(a) x
Beweis:
• Sei also y = ln(x). Dann gilt
y′ =
ln(x + ∆x) − ln(x)
∆x→0
∆x
lim
1
Nun setzen wir ∆x = und natürlich gilt ∆x → 0 falls n → ∞. Dann
n
folgt mit Hilfe der Logarithmengesetze:
ln x + n1 − ln(x)
′
y = lim
1
n→∞
n
1
= lim n ln x +
− ln(x)
n→∞
n
n x + n1
= lim ln
n→∞
x
1 n x
= lim ln 1 +
n→∞
n
1 n x
= ln lim
1+
n→∞
n
1
= ln e x
=
1
.
x
19
• Sei nun y = ex und es gilt x = ln(ex ). Leiten wir diese Identität mit Hilfe
der Kettenregel ab, so gilt
1 = [ln(ex )]′ = ln′ (ex ) [ex ]′ =
1 x′
[e ] .
ex
• Sei nun y = ax = eln(a)x . Dann gilt
y ′ = ln(a) · eln(a)x = ln(a) · ax .
• Sei nun y = loga (x) =
ln(x)
.
ln(a)
y′ =
Dann gilt
1
1
1
· [ln(x)]′ =
· .
ln(a)
ln(a) x
2
20
Aufgabe 3.2 Berechnen Sie die Ableitungen der Funktionen:
√
√
10
3
2 + 4 4 x3
x
−
6
x3
r
q
√
x 3x 2x
y =
y =
2
y = 2(ln(x))
cos(x)
y =
1 − sin(x)
y = 2x3 ex − 3x + e5 π 2
y = x ln(x) − log10 (5x3 )
!
r
1−x
y = ln
1+x
y = x1/ ln(x) ; x > 0
y = x1/x ; x > 0
21
Aufgabe 3.3 Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
1. Die 1. Ableitung einer geraden Funktion ist eine ungerade Funktion.
2. Die 1. Ableitung einer ungeraden Funktion ist eine gerade Funktion.
3. Die 1. Ableitung einer periodischen Funktion ist eine periodische Funktion.
22
Hausaufgaben 3.1 Bestimmen Sie unter Verwendung der (Ableitungs)regeln die Ableitungen
der folgenden Funktionen:
1. y = 7 · (4 − x)8
√
3
2. y = x2 − 5x
3. y = sin(2x2 )
p
4. y = 1 − cos(3x)
5. y =
sin(x)
1 + ex
6. y = x · ln(4x)
√
7. y = e
x
8. f1 (x) =
3x + 1
für x 6= 4
x−4
√
9. f2 (x) = xe x
1
10. f3 (x) = ln
1 + x2
11. f4 (x) = 73x
12. f5 (x) = xx
23
4
Die Regeln von de l’Hospital
Wir wollen diese Kapitel mit einer nützlichen Anwendung der Differentialrechnung beschliessen.
Es ist häufig nötig, Grenzwerte von Quotienten zu bestimmen, wobei sowohl der Zähler
als auch der Nenner bei Annäherung an den Punkt unseres Interesses, gegen 0 streben.
Ein Beispiel ist der Grenzwert
ex − 1
0
=
x→0
x
, 0‘
lim
Satz 4.1 (1. Regel von de l’Hospital) Seien f, g : (a, b) → R differenzierbar und es
gelte g ′(x) 6= 0 für alle x ∈ (a, b). Weiterhin sei c ∈ (a, b) mit f (c) = g(c) = 0.
Dann gilt
lim
x→c
f ′ (c)
f (x)
= ′
.
g(x)
g (c)
Aufgabe 4.1 Bestimmen Sie mit Hilfe der Regel von de l’Hospital die folgenden Grenzwerte.
1. lim
ex − 1
=
x
2. lim
x2 − 1
=
x−1
3. lim
x2 − 4
=
2x − 4
4. lim
xλ − y λ
=
λ
x→0
x→1
x→2
λ→0
24
Satz 4.2 (2. Regel von de l’Hospital) Seien f, g : (a, ∞) → R differenzierbar und es
gelte
• g ′(x) 6= 0 für alle x ∈ (a, ∞),
• lim g(x) = ∞ und
x→∞
f ′ (x)
existiere.
x→∞ g ′ (x)
• der Grenzwert lim
Dann gilt
lim
x→∞
f (x)
f ′ (x)
= lim ′
.
g(x) x→∞ g (x)
Aufgabe 4.2 Bestimmen Sie mit Hilfe der Regel von de l’Hospital die folgenden Grenzwerte.
1. lim
ex
=
x
2. lim
ln(x)
=
x
x→∞
x→∞
3. lim
x
=
+ 1)
x→∞ ln(x2
Inhaltsverzeichnis
1 Differenzen- und Differentialquotient
2
1.1
Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Bemerkungen zu Stetigkeit und Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Differentiationsregeln
12
3 Ableitung spezieller Funktionen
16
3.1
Ableitungen der trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2
Ableitung der Logarithmus- und Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . 18
4 Die Regeln von de l’Hospital
23