Lösungen Musterprüfung (Teil 1)

Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Institut für Geistes- und Naturwissenschaft
Lösungen Musterprüfung Algebra (Komplexe Zahlen und
Anwendungen)
Büro: 4.613
Semester: 2
Dozent: Roger Burkhardt
Klasse: Studiengang ST
Modul: Algebra
Datum: FS2010
Ohne el. Hilfsmittel
1. Aufgabe
Forme die folgenden komplexen Zahlen in die anderen Darstellungsformen um:
(a)
(2 Punkte)
z1 = 5 cos
3π
4
+ i sin
3π
4
Lösung:
3π
3π
3π
+ i sin
= 5ei 4
z1 = 5 cos
4
4
3π
3π
5√
5 √
= 5 cos
+ 5i sin
=−
2+ i 2
4
4
2
2
(b)
(2 Punkte)
3π
z2 = 3ei 2
Lösung:
i 3π
2
z2 = 3e
3π
3π
= 3 cos
+ i sin
= −3i
2
2
(c)
(2 Punkte)
√
z3 = − 3a + ia
a ∈ R+
Lösung:
r
√ 2
|z3 | =
− 3a + (a)2 = 2a
a
5
√
arg (z3 ) = π + arctan
= π
6
− 3a
5π
5π
5π
z3 = 2a cos
+ i sin
= 2aei 6
6
6
2. Aufgabe
Berechne:
Algebra
Lösungen Musterprüfung Algebra
FS 2010
(a)
(2 Punkte)
√ 8
z = 2i − 12
Lösung:
8
8
√ 8 √
5π
8
= 2 2cis
z = 2i − 12 = 2 − 3 + i
6
!
√
√ 2π
1
20π
3
16
16
8 8
= 2 cis
=2
− +i
= 215 −1 + i 3
= 2 2 cis
3
3
2
2
(b)
(2 Punkte)
z = ln (−1 + i tan (2α))
Lösung:
q
q
i2α
2
2
z = ln (−1 + i tan (2α)) = ln
1 + tan (2α)e
= ln
1 + tan (2α) +i2α
1
= ln
2
1
2
cos (2α)
1
+ i2α = − ln cos2 (2α) + i2α = − ln (cos (2α)) + i2α
2
(c)
(2 Punkte)
eiπ
z=
√
e−
i
3+i
Lösung:
z=
eiπ
i
√
e− 3+i
= e
=e
i
√
(iπ)−(− 3+i)
√
−(π−1)+i 3
= e
(1−π)
=e
i
√
3+i(π−1)
= ei
√
3+i2 (π−1)
√ cis
3
(d)
(2 Punkte)
z = (−1 + i)(1+i)
Lösung:
z = (−1 + i)
(1+i)
√
=e
√
ln((−1+i)(1+i) )
3π
3π
= eln( 2)+i ln( 2)+i 4 − 4
√
2ei
3π
4
√
3π
= e(1+i)(ln( 2)+i 4 )
√
√
3π
ln( 2)− 3π
4
=e
cis ln
2 +
4
(1+i) ln
=e
3. Aufgabe
Bestimme die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen:
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Algebra
Lösungen Musterprüfung Algebra
(a)
FS 2010
(2 Punkte)
√
3
1
z = −
i
2
2
6
Lösung:
√
π
1
3
i = 1cis − + 2kπ
z6 = −
2
2
3
√
π
kπ
6
zk = 1cis − +
18
3
π
z0 = cis −
18
5π
z1 = cis
18
11π
z2 = cis
18
17π
z3 = cis
18
23π
z4 = cis
18
29π
z5 = cis
18
(b)
(2 Punkte)
1
z4 = i − √
3
Lösung:
1
2
2π
+ 2kπ
z = i − √ = √ cis
3
3
3
s
π kπ
2
4
zk = √ cis
+
6
2
3
r
π 8 4
z0 =
cis
3
6
r
2π
8 4
z1 =
cis
3
3
r
7π
8 4
z2 =
cis
3
6
r
5π
8 4
z3 =
cis
3
3
4
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Algebra
Lösungen Musterprüfung Algebra
FS 2010
4. Aufgabe
Bestimme die Summe aller Lösungen der Gleichungen: z n = −1
(4 Punkte)
Lösung:
Die gegebene Gleichung besitzt n Lösungen zk oder das Polynom p(z) = z n + 1 hat
die n Nullstellen zk . Die Summe der Lösungen bzw. der Nullstellen formal:
(2k + 1) π
n
z = −1 = cis (π + 2kπ) = cis ((2k + 1) π) ⇒ zk = cis
n
X
zk =
n−1
X
k=0
cis
(2k + 1) π
n
=
n−1
X
cos
k=0
(2k + 1) π
n
+ i sin cos
(2k + 1) π
n
Das Berechnen dieser Summe ist für ein gerades n sehr einfach:
• n gerade: Wenn der Exponent n gerade ist, liegen nur konjugiert komplexe Lösungen / Nullstellen vor. Bei der Summation entfallen also sicher alle
Imaginärteile. Zudem liegen die Lösungen / Nullstellen symmetrisch zur imaginären Achse so dass sich beim Summieren auch die Realteile gegenseitig
aufheben!
• n ungerade: Hier liegt eine Nullstelle auf der negativen reellen Achse (z n−1 =
2
−1). Die restlichen (gerade Anzahl) von Nullstellen sind konjugiert komplex
und in der Summe heben sich die Imaginärteile gegenseitig auf. Die Summe der
Realteile zu betimmen ist nun nicht ganz so einfach, wir wählen einen anderen
Weg!
Da das Polynom p(z) = z n + 1 im Komplexen n Nullstellen besitzt, lässt sich das
Polynom auch als Produkt schreiben:
p(z) = z n + 1 =
n−1
Y
z − zk
k=0
Gemäss dem Satz von Vieta gilt nun:
n−1
Y
−zk = a0 = 1
k=0
...
n−1
X
−zk = an−1 = 0
k=0
Diese letzte Formel entspricht gerade der negativen Summe der Lösungen / Nullstellen und diese Summe ist für alle n > 1 gleich Null.
Mit MATLAB
5. Aufgabe
An einer Parallelschaltung aus einem Kondensator C = 1µF und der Serieschaltung aus R = 100Ω und L = 10mH liegt eine Wechselspannungsquelle (u(t) =
10V sin(100 1s t)) an.
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Algebra
Lösungen Musterprüfung Algebra
FS 2010
(a) Bestimme die Gesamtimpedanz der Schaltung.
(2 Punkte)
(b) Bestimme die Zweigströme.
(2 Punkte)
(c) Bestimme die Spannungen über allen Bauteilen im Zeit- und im Bildbereich
und stelle diese grafisch dar.
(2 Punkte)
6. Aufgabe
(a) Bestimme die Gleichung der Geraden (z (t) = a (1 + it)) durch die Punkte
z1 = 4i und z2 = 4 + i.
(2 Punkte)
(b) Stelle die gefundene Gerade mit MATLAB graphisch dar.
(2 Punkte)
(c) Bestimme Gleichung, Mittelpunkt und Radius des Kreises, welcher durch Inversion der Geraden entsteht.
(2
Punkte)
7. Aufgabe
(a) Gegeben sei der Kreis mit Mittelpunkt zM = 2 + 5i und Radius R = 3.
Beschreibe den Kreis in der Form:
(2 Punkte)
z (t) = a
1
+b
1 + it
(b) Bestimme Gleichung, Mittelpunkt und Radius des invertierten Kreises.
Punkte)
(c) Stelle die beiden Ortskurven mit MATLAB grafisch dar.
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(2
(2 Punkte)