Störungstheorie

Kapitel I
Störungstheorie
8
I.1. ZEITABHÄNGIGE STÖRUNGSRECHNUNG
I.1
Zeitabhängige Störungsrechnung
I.1.1
Schrödinger- und Heisenbergbild
Die zeitabhängige Schrödingergleichung
∂
|ψ(t)i = H |ψi
∂t
besitzt die formale Lösung
i~
(I.1)
|ψ(t)i = U (t, t0 ) |ψ(t0 )i .
(I.2)
Hierbei wurde der Zeitentwicklungsoperator U (t, t0 ) eingeführt (vgl. Übung). Für
einen zeitunabhängigen Hamilton–Operator kann U explizit angegeben und entwickelt
werden,
1
i
H (t − t0 )
= 1− H (t−t0 )− 2 H 2 (t−t0 )2 +. . . .(I.3)
U (t, t0 ) = exp −i
~
~
2~
In QM I wurde im sog. Schrödinger–Bild gearbeitet, in dem die Zustände zeitabhängig
und die ‘üblichen’ Operatoren (~
r, p
~ etc.) nicht (explizit) zeitabhängig sind.
Genausogut kann man in Heisenberg–Bild arbeiten, in dem die Zustände zeitunabhängig sind und man die Zeitabhängigkeit in die Operatoren steckt:
• Zustände: |ψiH := |ψ(t0 )i (zeitunabhängig);
• Operatoren: AH (t) = U (t, t0 )† A U (t, t0 ) (zeitabhängig).
Die Bilder werden in Tabelle I.1 gegenübergestellt.
Größe
Zustand
Operator
Schrödingerbild
|ψ(t)i = U (t, t0 ) |ψ(t0 )i
(zeitabhängig)
A(t) = A
(zeitunabhängig)
Heisenbergbild
|ψiH = |ψ(t0 )i
(zeitunabhängig)
AH (t) = U (t, t0 )† A U (t, t0 )
(zeitabhängig)
Tabelle I.1: Vergleich von Schrödinger- und Heisenberg–Bild.
Beide Bilder (oder Darstellungen) sind äquivalent, denn die Erwartungswerte sind
invariant unter einem Wechsel des Bildes,
hψ(t)|A|ψ(t)i =
†
Hhψ|U (t, t0 ) A U (t, t0 )|ψiH
=
Hhψ|AH |ψiH
,
(I.4)
und liefern somit die gleichen Vorhersagen.
Man rechnet leicht nach, dass (falls A im Schrödingerbild zeitunabhängig ist sowie
H nicht von t abhängt)
i
i
d
AH =
(H AH (t) − AH (t) H) =
[H, AH (t)] .
dt
~
~
Erhaltungsgrößen werden in beiden Bildern charakterisiert durch
[H, AH (t)] = [H, A] = 0 .
(I.5)
(I.6)
9
I.1. ZEITABHÄNGIGE STÖRUNGSRECHNUNG
I.1.2
Zeitabhängige Schrödinger–Gleichung und Störentwicklung
Ausgangspunkt ist der Hamilton–Operator
H = H 0 + V (t) .
(I.7)
Hierbei soll gelten:
(i) H 0 ist ein Hamilton–Operator, der bereits verstanden“ ist, etwa H 0 = p2 /(2m).
”
(ii) hV (t)i ist klein im Vergleich zu hH 0 i.
(iii) V (t) = 0 für alle t ≤ t0 .
Damit ergibt sich folgende Beschreibung:
(i) Für t ≤ t0 gilt
i~
∂ (0)
|ψ (t)i = H 0 |ψ (0) (t)i .
∂t
(ii) Nach Einschalten der Störung (t ≥ t0 ) hat man
i~
∂
|ψ(t)i = (H 0 + V (t)) |ψ(t)i .
∂t
Wir wählen die Anfangsbedingung
|ψ(t)i = |ψ (0) (t)i
für t ≤ t0 .
Nun definiert man das Wechselwirkungsbild durch
i H0 t
|ψ(t)iI = exp
|ψ(t)i .
~
(I.8)
Dann gilt
∂
|ψ(t)iI = − H 0 |ψ(t)iI + exp
i~
∂t
= V I (t) |ψ(t)iI
i H0 t
~
(H 0 + V (t)) |ψ(t)i
mit
V I (t) = exp
i H0 t
~
i H0 t
V (t) exp −
.
~
(I.9)
Also ist die zeitabhängige Schrödinger–Gleichung
∂
|ψ(t)i = H |ψ(t)i
∂t
äquivalent zu der Gleichung im Wechselwirkungsbild
i~
i~
∂
|ψ(t)iI = V I (t) |ψ(t)iI
∂t
(I.10)
10
I.1. ZEITABHÄNGIGE STÖRUNGSRECHNUNG
mit |ψ(t)iI und V I (t) aus (I.8) und (I.9). Gleichung (I.10) besitzt die formale Lösung
|ψ(t)iI
i
= |ψ(t0 )iI −
~
Zt
dt′ V I (t′ ) |ψ(t′ )iI .
(I.11)
t0
Durch Iteration ergibt sich eine Reihenentwicklung,
|ψ(t)iI
i
= |ψ(t0 )iI −
~
Zt
dt′ V I (t′ ) |ψ(t0 )iI −
t0
1
− 2
~
Zt
t0
dt′
Zt′
dt′′ V I (t′ ) V I (t′′ ) |ψ(t0 )iI + . . . ;
(I.12)
t0
dies ist die sog. Neumann–Reihe (vgl. Übungen).
Man kann sich die Entwicklung wie folgt graphisch veranschaulichen:
ψ(t)
+
VI
VI
•t
′
+
ψ(t0 )
•
ψ(t)
•
ψ(t0 )
I.1.3
•t
′′
• + ...
ψ(t)
t′ •
•
ψ(t0 )
VI
Übergänge 1. Ordnung im diskreten Spektrum
. . . unter dem Einfluß einer zeitabhängigen Störung.
Das System sei anfangs (t ≤ t0 ) in einem Eigenzustand |mi von H 0 mit
H 0 |mi = Em |mi
wobei |mi := |m(t = t0 )i .
Die zeitliche Entwicklung ist gegeben durch
|m(t)i = |m, ti
i H0 t
= exp −
|mi
~
i Em t
|mi .
= exp −
~
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, nach der Wirkung von V (t) das System zur Zeit
t im (stationären) Zustand
i En (t − t0 )
|n, ti = |n(t)i = exp −
|ni
~
zu finden.
11
I.1. ZEITABHÄNGIGE STÖRUNGSRECHNUNG
Wahrscheinlichkeitsamplitude. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude ist
i H0 t
hn(t)|ψ(t)i = hn| exp
|ψ(t)i = hn|ψ(t)iI .
~
Für den Anfangszustand hat man
|ψ(t0 )iI = |ψ
(0)
(t0 )iI = exp
i H 0 t0
~
|m(t0 )i = |mi ,
i H 0 t0
wobei zu berücksichtigen ist, dass |m(t0 )i = e− ~ |m(t = 0)i gilt. Setzt man dies
in die Neumann–Reihe (I.12) erster Ordnung in V I (t) ein, so erhält man
|ψ(t)iI
1
= |mi +
i~
Zt
dt′ V I (t′ ) |mi .
t0
Daraus folgt für die Übergangsamplitude
hn(t)|ψ(t)i = hn|ψ(t)iI
1
= hn|mi +
i~
Zt
dt′ hn|V I (t′ )|mi
t0
= δnm +
1
i~
Zt
dt′ hn| V I (t′ ) |mi
t0
1
= δnm +
i~
Zt
′
dt exp
t0
i (En − Em ) t′
~
hn| V (t′ ) |mi .
Hierbei wurde (I.9) verwendet und ausgenutzt, dass |mi bzw. |ni Eigenzustände zu
H 0 sind mit Eigenwerten Em bzw. En .
Betrachte nun große Zeiten, d.h. t0 → −∞ und t → ∞. Dann ergibt sich für die
Übergangswahrscheinlichkeit Pmn von |mi in einen dazu orthogonalen Zustand |ni
Pmn
2
= hn, t|m, ti =
2
Z∞
1
′
′
′
dt exp −i ωmn t hn| V (t ) |mi ,
~
−∞
wobei ~ ωmn = Em − En . Kurz gesagt gilt:
Die Übergangswahrscheinlichkeit ist proportional zum Betragsquadrat der
Fouriertransformierten des Übergangsmatrixelements.
12
(I.13)
I.1. ZEITABHÄNGIGE STÖRUNGSRECHNUNG
I.1.4
Beispiel: Potential, das bei t = 0 eingeschaltet wird
V
Betrachte eine zeitlich konstante
Störung, die bei t = 0 eingeschaltet
wird, d.h. das Störungspotential sei
(s. rechtsstehende Abbildung)
V0
t
V (t) = V 0 Θ(t) .
Dann gilt für die Übergangswahrscheinlichkeit
Pmn (t) =
1
~2
=
1
~2
=
1
~2
t
2
Z
′
−
E
)
t
i
(E
n
m
′
dt exp
hn| V 0 |mi
~
0
2
i ωnm t
e
−1
hn|
V
|mi
0
ωnm
"
#2 2
sin ωnm
2 t
hn|
V
|mi
0
ωnm
2
m
.
mit ωnm = En −E
~
Nun betrachten wir die Funktionenfolge (s. Abb. I.1)
δt (α) =
sin2 (α t)
π α2 t
δt (α)
π/t
Abbildung I.1: δt (α).
13
α
I.1. ZEITABHÄNGIGE STÖRUNGSRECHNUNG
Diese Funktion besitzt die Eigenschaften:

t

für α = 0 ,
π
• δt (α) =
 ≤ 1
für α 6= 0 .
πα2 t
Z∞
−1 für t < 0 ,
dα δt (α) =
•
1 für t > 0 .
−∞
Betrachte nun die Wirkung auf eine Testfunktion ϕ(α). Man bestätigt durch Nachrechnen, dass
lim
Z∞
t→∞
−∞
dα δt (α) ϕ(α) = ϕ(0) .
Also ist δt (α) eine Darstellung der δ–Funktion,
lim δt (α) = δ(α) .
t→∞
Für große Zeiten hat man
2
2π
Pmn (t) = t
δ(En − Em ) hn| V 0 |mi .
~
(I.14)
Daraus kann man die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, die sog. Übergangsrate, bestimmen,
2
2π
Γmn =
δ(Em − En ) hn| V 0 |mi .
(I.15)
~
Diese ‘Rate’ ist als differentielle Rate aufzufassen, denn sie divergiert formal für Em =
En . Physikalisch direkt interpretierbare Ausdrücke bekommt man, indem man Γmn
mit der Zustandsdichte (s.u.) faltet.
Übergänge in ein kontinuierliches Spektrum (Abbildung I.2). Das Spektrum der Endzustände ist charakterisiert durch die Zustandsdichte ρ,
ρ(E) =
dN
dE
oder
dN = ρ(E) dE .
14
I.1. ZEITABHÄNGIGE STÖRUNGSRECHNUNG
ρ
diskret
kontinuierlich
E
Abbildung I.2: Diskretes und kontinuierliches Spektrum.
Fermis goldene Regel (erste Version): Die Übergangswahrscheinlichkeit pro
Zeiteinheit Γ für Übergänge zwischen dem Zustand |mi und einem beliebigen Zustand
(aus dem kontinuierlichen Spektrum) unter Einfluß der Störung ergibt sich, indem man
über alle verfügbaren Endzustände summiert,
X
Γm→irgendwas =
Γm→n
=
=
Zn
dEn ρ(En ) Γmn
Z
2π
dEn δ(En − Em ) ρ(En ) | hn| V 0 |mi |2 .
~
Hierbei wurde implizit angenommen, dass | hn| V 0 |mi |2 für vorgegebenes En nicht
von n abhängt. Es ergibt sich also (eine erste Version von) Fermi’s goldene Regel
Γm→{f } =
2π
ρ(Ef ) | hf | V 0 |mi |2 ,
~
(I.16)
wobei {f } den Satz an Zuständen mit Ef = Em bezeichnet und ρ(Ef ) die Zustandsdichte bei der Energie Ef angibt.
Bemerkungen:
1. Die δ–Funktion in (I.15) impliziert Energie–Erhaltung für lange Zeiten.
15
I.2. ZEITLICH PERIODISCHE STÖRUNGEN
2. In zweiter Ordnung Störungstheorie hat man (vgl. [Sak94, S. 333])
Γm→{f }
2π
ρ(Em )
=
~
2
X hf |V 0 |ki hk|V 0 |mi hf |V 0 |mi +
.
Em − Ek
k
P
Hierbei summiert man in
k über Zustände mit Ek 6= Em . Dies kann man
dann als ‘virtuelle Prozesse’ deuten, in denen in die Zwischenzustände nicht mit
Energieerhaltung konsistent sind, d.h. Energieerhaltung wird kurz verletzt.
I.2
I.2.1
Zeitlich periodische Störungen
‘Absorption’ und ‘Emission’
Man betrachtet nun eine periodische Störung der Form
V (t) = V 0 e−i ω t Θ(t) + V †0 ei ω t Θ(t) .
(I.17)
Wir konzentrieren uns auf den ersten Term, der zweite wird weiter unten kurz diskutiert. Dann ergibt sich, analog zur Diskussion in Abschnitt I.1.4, für die Übergangswahrscheinlichkeit
t
2
Z
′
i (En −Em −~ ω) t
1 ′
~
Pmn (t) = 2 dt e
hn| V 0 |mi
~ 0
und für die Übergangsrate
Γmn
2
2π
δ(En − Em − ~ ω) hn| V 0 |mi .
=
~
(I.18)
|ni
Interpretation. Das periodische
Potential kann beispielsweise für elektromagnetische Wellen, d.h. für Photonen, stehen. (I.18) besagt dann,
dass Photonen nur dann absorbiert
werden, wenn
~ω
|mi
~ ω = En − Em
ist (vgl. nebenstehende Abbildung).
Fermis goldene Regel (zweite Version): In Analogie zu der vorangegangenen
Diskussion erhalt man eine leicht modifizierte Version von Fermi’s goldener Regel
16
I.2. ZEITLICH PERIODISCHE STÖRUNGEN
Γm→{f } =
2π
ρ(Ef ) | hf | V 0 |mi |2 ,
~
(I.19)
wobei Ef = Em + ~ ω gilt.
|f i Endzustand
Interpretation: Übergang durch
Absorption eines Lichtquants (Photons). Der Übergang in Bereiche mit
hoher Zustandsdichte ist bevorzugt.
~ω
|mi Ausgangszustand
Beachte: Diese Ergebnisse, erhalten in 1. Ordnung Störungstheorie,
haben natürlich gewisse Limitierungen, und müssen mit Bedacht eingesetzt werden.
Bemerkung: Der zweite Term in (I.17) beschreibt Prozesse, in denen Ef = Em −~ ω
gilt. Dies kann als Emission eines Photons interpretiert werden.
I.2.2
Exkurs: Quantisierung des Strahlungsfeldes
Es soll das freie Strahlungsfeld quantisiert werden. Wir wiederholen an dieser Stelle einige Begriffe aus der Elektrodynamik und QM I. Das elektromagnetische Feld
~ r, t) und das skalare Feld φ(~r, t) beschrieben. In unserer
wird durch das Vektorfeld A(~
Diskussion soll φ = 0 gelten. Ferner können wir in die Lorentz–Eichung gehen,
~ ·A
~ + ∂t φ = 0 ,
∇
sodass wir insgesamt haben
~ ·A
~ = 0 und φ = 0 .
∇
(I.20)
~ und B,
~ sind abgeleitete Größen,
Das elektrische und magnetische Feld, E
~ = −1 ∂ A
~,
E
c ∂t
~ = ∇
~ ×A
~.
B
(I.21a)
(I.21b)
Die Energie des Strahlungsfeldes ist
Z
1
~ 2 ~ 2
3
,
d r E + B 8π
(I.22)
V
wo V das zugrundeliegende Volumen bezeichnet.
17
I.2. ZEITLICH PERIODISCHE STÖRUNGEN
~ ebene Wellen
Elektromagnetische Wellen. Wir setzen nun für das Vektorfeld A
~
an. Für einen vorgegebenen Wellenvektor k hat man
~~ (~r, t) = N ~ε(~k) ei (~k·~r−ω·t) + ~ε∗ (~k) e−i (~k·~r−ω·t) ,
(I.23)
A
k
wobei ω = |~k| c gilt.
~ε(~k) bezeichnet den Polarisationsvektor, der
die Eigenschaften hat:
~ε
~k
1. |~ε(~k)| = 1;
2. ~ε(~k) · ~k = 0.
N ist eine Normierungskonstante, um die wir uns weiter unten kümmern werden.
Harmonischer Oszillator. Elektromagnetische Wellen können als Oszillationen
des elektromagnetischen Feldes aufgefaßt werden. Diese können analog zum harmonischen Oszillator quantisiert werden. Wir erinnern uns zunächst daran, dass der
harmonische Oszillator beschrieben werden kann durch den Hamilton–Operator
1
†
H = ~ω a a +
,
(I.24)
2
wobei a und a† die sog. Leiteroperatoren bezeichnen. Diese haben die folgende Interpretation:
a† erzeugt
a vernichtet
ein Quant mit Energie ~ ω .
(I.25)
Wir erinnern uns auch an die Eigenschaften
[a, a† ] = 1 ,
†
(I.26a)
†
[a, a] = [a , a ] = 0 .
(I.26b)
Diese Beschreibung des harmonischen Oszillators soll nun auf Photonen übertragen
werden. Ein einzelnes Photon soll durch (I.23) mit geeignetem N beschrieben werden.
Wir fordern, dass die Energie eines einzelnen Photons, gegeben durch (I.22), konsistent
ist mit der quantenmechanischen Erwartung,
!
2 Z
2
∂
1
1
!
A
~ + ∇
~ ×A
~
d3 r
.
(I.27)
~ω =
8π V
c2 ∂t 18
I.2. ZEITLICH PERIODISCHE STÖRUNGEN
Hierbei haben wir angenommen, dass nur ein endliches Volumen V betrachtet wird.
(I.27) führt auf (vgl. Übung)
r
2π ~ c
,
(I.28)
N =
kV
wobei k = |~k|.
In Analogie zu (I.25) machen wir für das Photonen–Feld einen Ansatz eine Superposition von ebenen Wellen (I.23). Da das Volumen V endlich ist, müssen wir nur
über diskrete k–Werte summieren, d.h.
r
X ~ 2π c † ~
r +i ω(~k) t
i ~k·~
r −i ω(~k) t
∗ ~ −i ~k·~
~
~
~
A =
. (I.29)
aλ (k) ~ελ (k)e
+ aλ (k) ~ελ (k)e
kV
~k,λ
P
Mit λ summieren wir über die beiden linear unabhängige Polarisationen. In Analogie zu (I.25) kann man die Operatoren auf der rechten Seite in (I.29) wie folgt
interpretieren:
a†λ (~k) erzeugt
aλ (~k) vernichtet
)
ein Photon mit Wellenvektor ~k und Polarisation λ .(I.30)
In Analogie zu (I.26) fordert man
[aλ (~k), a†λ′ (~k′ )] = δλλ′ δ~k~k′ ,
h
i
a†λ (~k), a†λ′ (~k′ ) = [aλ (~k), aλ′ (~k′ )] = 0 .
(I.31a)
(I.31b)
Mittels des Korrespondenzprinzips erhält man aus (I.22) den Hamilton–Operator.
Einsetzen von (I.29) in (I.22) unter Berücksichtigung von (I.21) führt nach Rechnung
(vgl. Übung) auf
X
1
† ~
~
~
.
(I.32)
H photon =
~ c |k| aλ (k) aλ (k) +
2
~k,λ
Gemäß dem oben Gesagten erzeugt a†λ (~k) ein Photon, d.h.
|Photon mit ~k und λi = a†λ (~k) |−i ,
19
(I.33)
I.2. ZEITLICH PERIODISCHE STÖRUNGEN
wo |−i den Zustand ohne Photonen, d.h. das Vakuum, bezeichnen soll. Entsprechend
konstruiert man Zustände mit mehreren Photonen der selben Bauart, d.h. mit identischem ~k und λ, als
nλ (~k)
1
a†λ (~k)
|−i .
(I.34)
|nλ (~k)i = q
~
nλ (k) !
Hierbei gibt nλ (~k) die Zahl der Photonen an zum Wellenvektor ~k und mit Polarisation
λ an. nλ (~k) geht auch als kombinatorischer Faktor ein, wie in Teil IV im Detail diskutiert werden soll. Des Weiteren ist nλ (~k) Eigenwert des Besetzungszahl-Operators
nλ (~k) = a†λ (~k) aλ (~k) .
(I.35)
D.h., es gilt (vgl. Übung)
nλ (~k) |mλ (~k)i = mλ (~k) |mλ (~k)i .
(I.36)
Zustände mit Photonen mit verschiedenen ~k und λ werden als Produktzustände
konstruiert,
YY
|nλ1 (~k1 ), . . .i =
|nλi (~ki )i .
(I.37)
~ki
λi
Bemerkung: Die Auf- bzw. Absteige–Operatoren a†λ (~k) bzw. aλ (~k) wirken auf die
Produktzustände wie
q
nλ (~k) + 1 |. . . , nλ (~k) + 1, . . .i
(I.38)
a†λ (~k) |. . . , nλ (~k), . . .i =
bzw.
aλ (~k) |. . . , nλ (~k), . . .i =
Mehr dazu in Teil IV. . .
I.2.3
q
nλ (~k) |. . . , nλ (~k) − 1, . . .i
(I.39)
Beispiel: Elektromagnetische Übergänge
Betrachte nun ein Elektron im elektromagnetischen Feld. Hierbei beschreiben wir
~ als klassisches Hintergrundfeld, und gehen auf die
das elektromagnetische Feld A
Konsequenzen der Quantisierung (Photonen) erst am Ende kurz ein. Wir sind an
Prozessen der Form
|ai → |bi
interessiert, wo beispielsweise |ai bzw. |bi den Grundzustand bzw. einen angeregten Zustand eines Atoms bezeichnen können. Die relevanten Prozesse sind dann die
Absorption (Abbildung I.3(a)) bzw. die Emission (Abbildung I.3(b)) eines Photons.
Das Photon, das im Anfangs- bzw. Endzustand auftritt, wird zunächst nicht in die
Beschreibung mit aufgenommen.
20
I.2. ZEITLICH PERIODISCHE STÖRUNGEN
|bi
|ai
~ω
~ω
|ai
|bi
(a) Absorption.
(b) Emission.
Abbildung I.3: Elektromagnetische Übergänge.
Für den Hamilton–Operator gilt:
1 e ~ 2
~p − A
H =
+ e φ(~r, t) + V (~r) .
2m
c
~ klein, so ist ( e A)
~ 2 vernachlässigbar. Darüber hinaus wissen wir aus der vorIst ec A
c
~ 2 Term nur Prozesse vermittelt, in denen zwei
angegangenen Diskussion, dass der ( ec A)
Photonen beteiligt sind. Dann schreibt sich der Hamilton–Operator in vereinfachter
Form
H =
~p2
e ~
−
A · ~p + V (~r) .
2m m c
~ ·A
~ = 0 gilt:
Wegen ∇
~·p
~·p
~ ψ) = (~
~ ψ+A
~ψ = A
~ψ .
p
~ · (A
p · A)
| {z }
=0
Für die störungstheoretische Behandlung zerlegen wir H gemäß H = H 0 + H int ,
wo
~p2
+ V (~r) .
2m
e ~
= −
A · ~p .
mc
H0 =
H int
(I.40)
(I.41)
Spezialisierung: Wir wollen uns auf Absorptionsprozesse konzentrieren, d.h. nur
den e−i ω t Teil des Photon–Feldes betrachten. Nun kann man Gleichung (I.19) ( Fer”
mis goldene Regel“) für den Übergang vom Zustand |ai in den Zustand |bi benutzen.
Man erhält für die differentielle Übergangsrate
2
N e i ~k·~r
2π
~
Γa→b =
δ(Eb − Ea − ~ ω) b e
~ε · (−i ~ ∇) a .
~
mc
Entsprechend ergibt sich die Rate für den Übergang ins kontinuierliche Spektrum
2
i ~k·~r
e
p
~
4π 2
a .
(I.42)
ρ(Eb = Ea + ~ ω) b e
~ε ·
Γa→{b} =
ωV
m Hierbei wurde (I.28) verwendet.
21
I.2. ZEITLICH PERIODISCHE STÖRUNGEN
Elektromagnetische Dipolübergänge. Um den Ausdruck (I.42) zu interpretieren, führen wir eine (weitere) Näherung, die sog. Dipolnäherung, durch: Die Dimension
R des Systems (Atom) ist viel kleiner als die Wellenlänge des einfallenden Photons,
~k · ~r ≪ 1
⇒
~
ei k·~r ≃ 1 .
Dies kann folgendermaßen gerechtfertigt werden. Die typische Bindungsenergie im
Atom ist
Z e2 !
≃ ~ω .
RAtom
Damit folgt
2
2
~k · ~r ≃ |~k| RAtom = ω RAtom = ω Z e = Z e = Z .
c
c ~ω
~c
137
D.h., solange Z nicht zu groß ist, ist die Näherung gut. Nun gilt ebenfalls
~
i~∇
i
= ~
v = ~
r˙ =
[H 0 , ~
r] .
m
~
Wählt man das Bezugssystem so, dass der Polarisationsvektor ~ε nur eine z–Komponente
hat, also
 
0
~ε =  0  = ~ez ,
1
−
so gilt
* b ~ε ·
~
∇
−i ~
m
! +
=
a
i
hb | [H 0 , z] | ai
~
i
hb | H 0 z − z H 0 | ai
~
i
=
(Eb − Ea ) hb | z | ai .
~
Dies ist natürlich richtig in beliebigen Bezugssystemen, also gilt
p~ i
r | ai = i ω ~ε · α
(Eb − Ea ) ~ε · hb | ~
=
~ ba ,
b ~ε · a
| {z }
m
}
|~ {z
=
=i ω
=~
αba
wobei
α
~ ba =
Z
d3 r ψb∗ (~r) ψa (~r) ~r
‘Dipol–Matrix–Element’ genannt wird. Damit ergibt sich für die Übergangswahrscheinlichkeit
N e 2 2 2π
el. Dipol
Γa→b
=
ω
ρ(Ea + ~ ω) |~ε · α
~ ba |2 ,
c
~
oder
22
I.2. ZEITLICH PERIODISCHE STÖRUNGEN
Dipol
Γel.
=
a→b
4π 2 e2
ω ρ(Eb ) |~ε · α
~ ba |2 ,
V
(I.43)
wobei ρ(Eb ) die Zustandsdichte beim Endzustand b ist.
Bemerkung: In praktischen Anwendungen muß die Zustandsdichte der Photonen
miteinbezogen werden, d.h. bei der Betrachtung von Übergängen der Form
|ai → |bi + |Photoni
geht Zustandsdichte der Photonen in den obigen Ausdruck. Konkret muss über die
Wellenvektoren summiert, oder für große Volumina V integriert, werden. Dies führt
auf das Integral
Z
Z
Z
ω2
3
2
~
d k =
dk dΩ |k| =
dk dΩ 2 .
c
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