Übungsblatt 0 - LS1 - Logik in der Informatik

Übungen zur Vorlesung Logik
Thomas Schwentick,
Daniela Huvermann und Thomas
Zeume
WS 2011/2012
Übungsblatt 0
10.10.2010
Dieses Übungsblatt wird in Gruppen in der Übung bearbeitet und
vorgestellt.
Aufgabe 0.1 [Strukturelle Induktion]
In dieser Aufgabe wollen wir uns Beweise durch strukturelle Induktion für aussagenlogische Formeln
ansehen. Das Prinzip der strukturellen Induktion wird uns in diesem Semester noch einige Male
begegnen, die Bemerkung nach dieser Aufgabe gibt ein allgemeines Verfahren zur strukturellen
Induktion an.
Sei E eine Eigenschaft, die eine aussagenlogische Formel haben kann. Dass jede Formel der Aussagenlogik AL die Eigenschaft E hat, kann mit struktureller Induktion wie folgt bewiesen werden:
• Behauptung: Jede Formel der Aussagenlogik AL hat die Eigenschaft E.
• Induktionsanfang: Beweise, dass jede atomare Formel (also ⊥, ⊤ und jede aussagenlogische
Variable) die Eigenschaft E hat.
• Induktionsschritt:
– Unter der Annahme, dass ϕ die Eigenschaft E hat: Beweise, dass auch ¬ϕ die Eigenschaft
E hat.
– Unter der Annahme, dass ϕ und ψ die Eigenschaft E haben: Beweise, dass auch (ϕ ∧ ψ)
die Eigenschaft E hat.
– Unter der Annahme, dass ϕ und ψ die Eigenschaft E haben: Beweise, dass auch (ϕ ∨ ψ)
die Eigenschaft E hat.
a) Benutzen Sie das Prinzip der strukturellen Induktion um zu zeigen, dass für jede aussagenlogische Formel die Anzahl der öffnenden und schließenden Klammern übereinstimmt.
b) Eine Formel ϕ heißt monoton, wenn für alle passenden Belegungen α für ϕ gilt: Ändert man
die Belegung einer Variablen von 0 zu 1, dann ändert sich der Wert von JϕKα nicht von 1 zu
0. Wird in der Definition der Syntax von AL die Negation weggelassen, so nennt man die aus
dieser Definition resultierenden Formeln negationsfrei.
Benutzen Sie das Prinzip der strukturellen Induktion um zu zeigen, dass jede negationsfreie
Formel monoton ist.
Übungsblatt 0
Übungen zur Logik
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Bemerkung: Beweise durch strukturelle Induktion lassen sich nicht nur für die Menge AL der aussagenlogischen Formeln verwenden, sondern für jede induktiv-definierte Menge und jede induktivdefinierte Funktion. Für die induktive Definition einer Menge sind beispielsweise die folgenden
Schritte nötig:
• Zuerst werden gewisse Grundelemente der Menge definiert.
• Dann wird beschrieben, wie aus gegebenen Elementen der Menge neue Elemente gewonnen
werden.
• Implizit oder explizit gilt zusätzlich: Es gibt keine anderen Elemente als die so konstruierbaren.
So lassen sich beispielsweise die natürlichen Zahlen N induktiv definieren durch
• 0∈N
• Ist n ∈ N, dann ist auch n + 1 ∈ N
Um zu zeigen, dass jedes Element einer induktiv-definierten Menge M eine Eigenschaft E hat, kann
strukturelle Induktion verwendet werden:
• Behauptung: Jedes Element der Menge M hat die Eigenschaft E.
• Induktionsanfang: Beweise, dass jedes Grundelement die Eigenschaft E hat.
• Induktionsschritt: Beweise, dass jedes induktiv neu gewonnene Elemente die Eigenschaft
E haben
Zusatzaufgabe [Die Anzahl der Teilformeln]
Sei ϕ eine aussagenlogische Formel. Jede in einem Schritt der induktiven Konstruktion von ϕ
gewonnene aussagenlogische Formel ist eine Teilformel von ϕ. So hat die aussagenlogische Formel
¬A ∧ (B ∨ ⊥) beispielsweise die Teilformeln A, B, ⊥, ¬A, B ∨ ⊥ und ¬A ∧ (B ∨ ⊥).
a) Definieren Sie induktiv die Anzahl t(ϕ) der Teilformeln einer aussagenlogischen Formel ϕ.
b) Mit |ϕ| bezeichnen wir die Anzahl der Zeichen in einer aussagenlogischen Formel ϕ. Zeigen
Sie mit Hilfe des Prinzips strukturellen Induktion, dass die Ungleichung t(ϕ) ≤ |ϕ| für jede
aussagenlogische Formel ϕ gilt.