Optik I

Prof. Dr. Axel Goerlitz, WS 2010/11, HHU Duesseldorf
Vorlesung: Optik I, inoffizielle Mitschrift
by: Christian Franzen, Matr. 1956616
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Geometrische Optik (Strahlenoptik)
1.1 Zwei Arten von Bildern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Abbildung durch Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Abbildung mit ebenen Spiegeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Abbildung mit Hohl- und Wölbspiegeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Vergleich: Parabolspiegel und spährischer Spiegel . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Das Snellius’sche Brechungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Brechungsindizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Brechung an planparalleler Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Brechung am Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Minimalablenkung am Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.6 Propagation von Lichtstrahlen in einem Medium mit variierendem Brechungsindex
1.3.7 Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.8 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.9 Messung der Dispersion mit Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.10 Winkeländerung als Funktion der Brechungsindexsänderung (um Minimalablenkung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.11 Minimalauflösbarer Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.12 Einschub - Totalablenkung am Prisma mit Kleinwinkelnäherung . . . . . . . .
1.4 Abbildung mit Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Brechung an gekrümmten Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Abbildung mit Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Bildkonstruktion mittels Hauptstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Besselverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Linsenfehler / Aberration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Optische Instrumente
2.1 Das Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Die Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Fernrohr / Teleskop . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Kepler’sches /Astronomisches Teleskop .
2.3.2 Galilei oder Holländisches Fernrohr . . .
2.3.3 Spiegelteleskope . . . . . . . . . . . . .
2.4 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Schwingungen und Wellen
3.1 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Harmonische Schwingungen . . . .
3.2 Kraftgesetz der harmonischen Schwingung
3.3 Energie einer harmonischen Schwingung .
3.4 Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Gleichförmige Kreisbewegung . . . . . . .
3.6 Gedämpfte harmonische Schwingung . . .
3.7 Erzwungene Schwingungen und Resonanz
3.8 Harmonischer Oszillator [Einheiten] . . .
3.9 Überlagerung von Schwingungen . . . . .
3.9.1 Orthogonale Schwingungen . . . .
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Vorlesung: Optik I, inoffizielle Mitschrift
by: Christian Franzen, Matr. 1956616
Inhaltsverzeichnis
3.9.2 Schwebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Gekoppelte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Wellen
4.1 Mathematische Beschreibung . .
4.2 Geschwindigkeit einer Welle . . .
4.3 Geschwindigkeit einer Seilwelle .
4.4 Wellengleichung . . . . . . . . . .
4.5 Energie und Leistung einer Welle
4.6 Superposition von Wellen . . . .
4.6.1 Interferenz . . . . . . . .
4.6.2 Stehende Wellen . . . . .
4.7 Wellen in 1,2 und 3 Dimensionen
4.8 Doppler-Effekt . . . . . . . . . .
4.9 Das Huygens’sche Prinzip . . . .
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5 Elektromagnetische Welle
5.1 Wellengleichung für elektromagnetische Wellen . . . . . .
5.2 Energietransport und Poynting-Vektor . . . . . . . . . . .
5.3 Erzeugung elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . . . .
5.4 Überblick über das elektromagnetische Spektrum . . . . .
5.5 Licht als Teilchen - der Fotoeffekt . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Strahlungsdruck / Strahlungsdruckkraft . . . . . . . . . .
5.7 Interferenz elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . . . .
5.7.1 Der Young’sche Doppelspalt . . . . . . . . . . . . .
5.7.2 Interferenz an dünnen Schichten . . . . . . . . . .
5.7.3 Newton’sche Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.4 Versuch: Reflexion und Transmission von Weißlicht
5.7.5 Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.1 Beugung am Einfachspalt . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2 Beugung an Kreisförmiger Öffnung . . . . . . . . .
5.8.3 Beugung am Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . .
5.8.4 Beugungsgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1 Lineare und zirkulare Polarisation . . . . . . . . .
5.9.2 Erzeugung von polarisiertem Licht . . . . . . . . .
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an Seifenblasenhaut
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Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
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Funktion der elektromagnetischen Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reflexion: Einfallswinkel = Ausfallswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reflexion und Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konvexe und konkave Spiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bildkonstruktion mit Hilfe von Hauptstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Brechungswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phärischer und Parabolspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Brechung an planparalleler Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Brechung am Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propagation in Medium mit variierendem Brechungsindex . . . . . . . . . . . . . .
Übergang von optisch dickem zu optisch dünnem Medium . . . . . . . . . . . . . .
optische Faser (Glasfaser) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Minimalauflösbarer Winkel am Prisma - Versuch mit Blende und Quecksilberlampe
Totalablenkung am Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Linsenbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sammellinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zerstreulinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Meniskuslinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Brennweitenbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Luftlinse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beselverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Besselverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Besselverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kombination 2 dünner Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Brennpunkt und Brechungsindices am Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
minimaler Sehwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ziliarmuskel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zweilinsensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kepler’sches Teleskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Maximal beobachtbarer Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktion einer Feldlinse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Auflösungsvermögen des Telekopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bildumkehr mit Zwischenlinse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Galilei oder Holländisches Fernrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spiegelteleskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Auflösungsvermögen Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dreiecksschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreisförmige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schwingfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
aperiodischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kriechfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Orthogonale Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
gekoppelte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Normalschwingung in Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Vorlesung: Optik I, inoffizielle Mitschrift
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gegenphasige Normalschwingung . . . . . . .
gegenphasige Normalschwingung . . . . . . .
Mikrofonversuch: Interferenz . . . . . . . . . .
Reflexion einer Seilwelle . . . . . . . . . . . .
Reflexion einer Seilwelle . . . . . . . . . . . .
Reflexion einer Seilwelle . . . . . . . . . . . .
Stehwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wellenausbreitung in 2 Dimensionen . . . . .
Wellenausbreitung in 3 Dimensionen . . . . .
Doppler-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . .
Doppler-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektromagnetisches Spektrum . . . . . . . .
Lenard Experiment . . . . . . . . . . . . . . .
vollständig absorbierende Fläche . . . . . . .
Strahlungsdruck . . . . . . . . . . . . . . . .
Young’sche Doppelspalt . . . . . . . . . . . .
Interferenz an dünnen Schichten . . . . . . .
Newton’sche Ringe . . . . . . . . . . . . . . .
Interferenz an Seifenblasenhaut: Transmission
Interferenz an Seifenblasenhaut: Reflexion . .
optische Vergütung . . . . . . . . . . . . . . .
Multilayer-Schichten . . . . . . . . . . . . . .
Michelson-Interferometer . . . . . . . . . . . .
Strahlteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fresnel-Regime . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fraunhofer-Regime . . . . . . . . . . . . . . .
Beugung am Einfachspalt . . . . . . . . . . .
Intensitätsverteilung . . . . . . . . . . . . . .
Auflösungsvermögen Beugungsminimum . . .
Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beugung am Doppelspalt . . . . . . . . . . .
Beugung am Einzelspalt . . . . . . . . . . . .
Endliche Spalte am Doppelspalt . . . . . . . .
Beugungsgitter . . . . . . . . . . . . . . . . .
Linienbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polarisationsfilter . . . . . . . . . . . . . . . .
Polarisierung-ändernder Kristall . . . . . . . .
Abbildungsverzeichnis
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Abbildungsverzeichnis
Optik I - Kurzübersicht
• Grundlegende Informationen in der zur Verfügung gestellten Informationsbroschüre zur
Vorlesung Optik unter Ilias
• Ilias Zugang: https://ilias.uni-duesseldorf.de/ilias/repository.php?ref id=67548
• Kennwort: optik
• Abgabe der Übungszettel Donnerstags bis 9:00 Uhr in das Computergehäuse vor Raum
25.42.01.24
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Vorlesung: Optik I, inoffizielle Mitschrift
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Abbildungsverzeichnis
Optik
=“Lehre vom Licht“
beschreibt:
• Ausbreitung von Licht
• Wechselwirkung von Licht mit Materie (insbesondere optische Abbildungen)
Was ist Licht?
• elektromagnetische Strahlung (im engeren Sinne sichtbares Licht mit Wellenlänge
λ = 380 − 780nm
• Wechselwirkung von Licht mit Materie (insbesondere optische Abbildungen)
Waie beschreibt der Physiker Licht?
• Strahlen → Geometrische Optik
• Elektromagnetische Welle
1
~
~ 0 sin(kx − ωt) = E
~ 0 sin 2π
E(x,
t) = E
x − νt
λ
(wobei λ die Wellenlänge und ν die Frequenz darstellt)
Abbildung 1: Funktion der elektromagnetischen Welle
→ Wellenoptik, Elektrodynamik
• Teilchen (Quant) → Photonen
E = hν
, wobei E=Energie, h= Planck’sches Wirkungsquantum, ν = Frequenz
→ Quantenmechanik, Quantenoptik
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GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
1 Geometrische Optik (Strahlenoptik)
(wenn Spaltbreite Lichtwellenlänge λ)
• Näherung, da Vernachlässigung der Welleneigenschaften
• gültig für D λ (D = Ausdehnung eines mit Licht wechselwirkenden Objektes)
• Licht als Lichtstrahlen
• beschreibt Reflexion und Brechung
• Beugung und Interferenz werden von der geometrischen Optik nicht beschrieben!
1.1 Zwei Arten von Bildern
Sehen:
• Auge fängt “Lichtstrahlen“ eines Objektes ein
• visuelles System erstellt ein aus Lichtstrahlen abgeleitete Reproduktion (=Bild
b
auf der
Netzhaut)
• Reproduktion ist auch möglich, wenn es nur so scheint, dass die Lichtstrahlen von einem
Objekt kommen
virtuelles Bild:
• kann nicht auf Schirm abgebildet werden (einfangen)
• z.B. Spiegelbild (Objekt scheint hinter dem Spiegel zu sein)
• Lichtstrahlen “scheinen“ vom virtuellen Bild zu kommen
reelles Bild:
• kann auf einem Schirm aufgefangen werden
• z.B. Beamerprojektion, Fernsehbild
• Lichtstrahlen direkt vom reellen Bild
1.2 Abbildung durch Reflexion
• (spiegelnde) Reflexion
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GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
Abbildung 2: Reflexion: Einfallswinkel = Ausfallswinkel
ebene Spiegel: sin θ = sin θ0
Bedingung: Oberflächenrauigkeit d < λ
• diffuse Reflexion
d>λ
⇒ Reflexionsgesetz gilt lokal
Abbildung 3: Reflexion und Streuung
1.2.1 Abbildung mit ebenen Spiegeln
Abbildungsgleichung für den ebenen Spiegel:
b = -g mit b= Bildweite und g= Gegenstandsweite
g > 0 bei einfachen abbildenden Systemen
b < 0 bei virtuellen Bildern
1.2.2 Abbildung mit Hohl- und Wölbspiegeln
zunächst Kugelspiegel = sphärische Spiegel
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GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
Abbildung 4: Konvexe und konkave Spiegel
gemäß Definition (Halliday)
• konkav: r > 0
• konvex: r < 0
Brennpunkte von Kugelspiegeln: f = +
r
, wobei f die Brennweite ist.
2
konkave Spiegel: reell
konvexe Spiegel: virtuell
Abbildungsgleichung für Hohlspiegel:
(Lateral)vergrößerung: m = −
1 1
1
gf
+ =
oder auch b =
g
b
f
g−f
Bildgröße
b
=
g
Gegenstandsgröße
konkaver Spiegel (Hohlspiegel) gilt für virtuelle Bilder (g < r/2 = f )
• Bild wird größer (im Vergleich zu ebenen Spiegel)
• Bildfeld wird kleiner (Bereich, den man im Spiegel sehen kann)
• Bildweite b wird größer
• Krümmungsmittelpunkt rückt näher an Spiegel (da der Krümmungsmittelpunkt beim
Planspiegel im Unendlichen liegt)
Konvexer Spiegel (Wölbspiegel):
• Bild wird kleiner
• Bildfeld wird größer
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GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
• Bildweite b wird kleiner
• Krümmungsmittelpunkt rückt näher an Spiegel
r
f = =Brennweite
= Abstand zwischen Spiegel und Brennpunkt.
b
2
f > 0 für konkave Spiegel (Hohlspiegel)
f < 0 für konvexe Spiegel (Wölbspiegel)
Versuch: Abbildung mit Hohlspiegel (g > f )
g1 = 50cm, b1 = 50cm ⇒ f1 = 25, 0cm
g2 = 34, 5cm, b1 = 93, 5cm ⇒ f2 = 25, 2cm
Im Rahmen der Messungenauigkeit herrscht Übereinstimmung.
Für reelle Bilder b > 0. Für virtuelle Bilder b < 0.
Lateralvergrößerung:
Definition: m =
h0
, wobei h0 die Bildhöhe und h die Gegenstandshöhe ist.
h
m > 0 gleiche Orientierung Bild und Gegenstand
m < 0 entgegengesetzte Orientierung Bild und Gegenstand
−b
für Kugelspiegel:
g
gilt für konvexe und konkave Spiegel (folgt aus dem Strahlensatz)
Bildkonstruktion mit Hilfe von Hauptstrahlen
Abbildung 5: Bildkonstruktion mit Hilfe von Hauptstrahlen
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GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
a) Parallelstrahl: fällt parallel zur optischen Achse ein ⇒ Reflextion durch Brennpunkt
b) Krümmungsmittelpunktstrahl: geht durch Krümmungsmittelpunkt und wird in sich selbst
reflektiert
a’) Brennpunktstrahl: Umkehrung des Parallelstrahles
b’) Scheitelpunktstrahl: trifft im Schnittpunkt der optischen Achse mit dem Spiegel auf. ⇒
symmetrische Reflexion (Winkel zur optischen Achse für einfallenden und ausfallenden ist gleich)
1.2.3 Vergleich: Parabolspiegel und spährischer Spiegel
Abbildung 6: Brechungswinkel
spärischer Spiegel: ⇒nur Achsennahe Strahlen gehen durch F (=y
b R)
y 2 + (x − R)2 = R2 , wobei R=Radius
y2
⇒x≈
2R
Parabolspiegel: ⇒alle parallel einfallenden Strahlen gehen durch F
y2
⇒x=
2R
1.3 Brechung
1.3.1 Das Snellius’sche Brechungsgesetz
Brechung (Richtungsänderung von Lichtstrahlen) findet beim Übergang zwischen unterschiedlichen
Medien statt (unterschiedlicher Brechungsindex bzw. optische Dichte).
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1
GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
n2 · sin θ2 = n1 · sin θ1
Abbildung 7: Phärischer und Parabolspiegel
Kleinwinkelnäherung: θ1,2 ist klein (kleiner als 5◦ ), dann gilt n2 · Θ2 = n1 · Θ1
1.3.2 Brechungsindizes
Vakuum = 1
Luft = 1,000293 ≈ 1
Wasser = 1,33
Quarzglas=1,46
Flintglas=1,5 - 2,0 (abhängig vom Bleigehalt)
Diamant=2,42
Bleisulfid=3,90
1.3.3 Brechung an planparalleler Platte
Abbildung 8: Brechung an planparalleler Platte
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GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
d = a · cos α1
a = D · tan α1 − D · tan α2
sin α1
⇒ d = D · sin α1 − D · cos α1 p
= D · sin α1
2
n22 − sin2 α1
tan α2 =
cos α1
!
1− p
2
n22 − sin2 α1
1
sin α1
sin α2
sin α2
n · sin α1
q
= √
=
=
2
2
cos α2
1 − sin α2
2
n2 − sin2 α1
1 − n12 sin2 α1
(es gilt: sin2 α + cos2 α = 1)
Winkel in Radiant:
αrad =
αGrad
·π
180◦
1.3.4 Brechung am Prisma
Abbildung 9: Brechung am Prisma
1.3.5 Minimalablenkung am Prisma
sin α1 = n · sin α2
n · sin α3 = sin α4
Φ+
π
π
− α2 +
− α3 = π
2
2
Φ = α2 + α3
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GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
δ + Φ = α1 + α4
Minimalablenkung erhält man für symmetrischen Durchgang
α1 = α4 ⇒ δ = δmin ⇒ α2 = α3
1
⇒ α1 = (δmin + Φ)
2
1
α2 = Φ
2
eingesetzt in sin α1 = n · sin α2
⇒n=
sin( 12 (δmin + Φ))
, wobei Φ = Prismenwinkel
sin( 12 Φ)
1.3.6 Propagation von Lichtstrahlen in einem Medium mit variierendem Brechungsindex
Abbildung 10: Propagation in Medium mit variierendem Brechungsindex
Versuch: gebogener Lichtstrahl (in Zuckerlösung)
Beobachtung: Propagation entlang x-Richtung ⇒ Strahl wird in y-Richtung abgelenkt
Erklärung:
• Brechungsindex ist abhängig von der Zuckerkonzentration n=n(ρ
b
Zucker )
• Konzentrationsgradient (ρZucker ↓ für y ↑) ρZucker =ρ
b Z (y)
⇒ Brechungsindex ist auch eine Funktion von y : n=n(y)
b
• Strahl wird zum größeren Brechungsindex hin “gebogen“ (gebrochen)
• n ρZucker=30% : 1, 38
n ρZucker=0% : 1, 33
n ρZucker=80% : 1, 49
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GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
1.3.7 Totalreflexion
Brechungsgesetz: n1 sin α = n2 sin β
Abbildung 11: Übergang von optisch dickem zu optisch dünnem Medium
Es gilt: M ax(sin β) = 1 für β =
π
n2
für n1 > n2 ⇒ sin(αcrit ) =
⇒
2
n1
Grenzwinkel für Totalreflexion: αcrit = arcsin
n2
n1
Totalreflexion tritt nur auf bei Übergang von optisch dickem zu optisch dünnem Medium!
optische Faser
Abbildung 12: optische Faser (Glasfaser)
1.3.8 Dispersion
Dispersion = Abhängigkeit der Brechung (Brechungsindex) von der Lichtwellenlänge: ⇒ n=n(λ)
b
Versuch: Aufspaltung des Lichtes einer Glühlampe durch ein Prisma
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GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
Beobachtung: Blaues Licht wird stärker abgelenkt als rotes Licht. ⇒ nblau > nrot
normale Dispersion: n(λ1 ) > n(λ2 ) für λ1 < λ2
Vergleich
Farbeneindruck
Glühbirne
kontinuierlich (alle Farben)
thermisches Licht
Hg-Lampe (Quecksilberdampflampe)
diskret (atomare Spektrallienien)
“atomares“ Licht (Rekombinationslicht)
anomale Dispersion: n(λ1 ) < n(λ2 ) für λ1 < λ2 (in der Nähe atomarer Resonanzen)
Exkurs: Wellenlänge und Frequenz:
Es gilt: c = λ · ν = λ
ω
2π
mit:
c= Lichtgeschwindigkeit
λ=Wellenlänge
ν=Frequenz
ω=Kreisfrequenz
Charakterisierung der Dispersion
Angabe von n{λ} für Fraunhofer’sche Linien
C=656,3 nm
F=486,1 nm
H=396,8 nm
d=589,6 nm
rot
blau
ultraviolett
gelb/orange
Wasserstoff
Wasserstoff
Calcium
Natrium (Natriumdampflampen-Gelb)
Begriffe:
nH − nC =
b spezifische Dispersion
dn
=
b partielle Dispersion
dλ
nd − 1
= Abbe Zahl
nF − nC
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GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
1.3.9 Messung der Dispersion mit Prisma
Abbildung 13: Prisma
Messung bei symmetrischem Durchgang (Minimalablenkung)
n=
sin( 12 (δmin + Φ))
sin( 12 Φ)
Kleinwinkelnäherung: ⇒ n ≈
1
2 (δmin +
1
2Φ
Φ)
⇒ nΦ ≈ δmin + Φ ⇒ δmin (n − 1)Φ
z.B.:
δH = (nH − 1)Φ
δC = (nC − 1)Φ
⇒ totale Dispersion θ = δH − δC = Φ(nH − nC )
Auslösung eines Prismas
Spektrales Auflösungsvermögen: Trennbarkeit von λ und λ + ∆λ
λ R = ∆λ 1.3.10 Winkeländerung als Funktion der Brechungsindexsänderung (um Minimalablenkung)
dn
1
1
cos
⇒
=
1
dδ
sin 2 Φ 2
mit α =
δ+Φ
2
δ+Φ
2
Φ
b
und sin
=
2
2s
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GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
dn
s
= cos α
dδ
b
⇒ ∆δ =
b
∆n
s · cos α
1.3.11 Minimalauflösbarer Winkel
Abbildung 14: Minimalauflösbarer Winkel am Prisma - Versuch mit Blende und Quecksilberlampe
(Das bef f ist der Teil des Prismas, der Licht durchschienen wird)
Beugungslimitierung: ∆δ =
λ
λ
=
(später in der Vorlesung)
h
s · cos α
s · cos α
b∆n
λ
·
⇒
=
s · cos α
s · cos α ∆λ
⇒
∆n
λ
=b
∆λ
∆λ
λ ∆n dn ⇒ R=
= b
≈ b ∆λ
∆λ
dλ
Versuch: Spektrale Auflösung von Linien der Hg-Lampe
λ1 = 546 nm (grün)
λ2 = 578 nm (orange)
∆λ= 32 nm
⇒
λ
562
dn
=
≈ 17, 6, für Flintglas:
≈ 96, 4nm−1
∆λ
32
dλ
dn λ λ dn −1
· b = ⇒b=
dλ
∆λ ∆λ dλ ⇒ b = 0, 18mm
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GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
1.3.12 Einschub - Totalablenkung am Prisma mit Kleinwinkelnäherung
Abbildung 15: Totalablenkung am Prisma
θ1 = nθ2
θ3 = Φ − θ2
nθ3 = θ4
⇒ θ4 = nΦ − θ1
Ablenkung:
δ = θ1 + θ4 − Φ = (n − 1)Φ
gesucht: δtot,H = δtot,C
⇒ δtot = δ1 − δ2 = (n1 − 1)Φ1 − (n2 − 1)Φ2
⇒ (n1H − 1)Φ1 − (n2H − 1)Φ2 = (n1C − 1)Φ1 − (n2C − 1)Φ2
⇒ (n1H )Φ1 − (n2H )Φ2 = (n1C )Φ1 − (n2C )Φ2
1.4 Abbildung mit Linsen
1.4.1 Brechung an gekrümmten Flächen
Abbildung 16: Linsenbrechung
Brechungsgesetz n1 sin θ1 = n2 sin θ2
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GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
reeller Fokus für n2 > n1 : d.h. Strahlen werden zur opt. Achse hin gebrochen und schneiden sich in F
virtueller Fokus: für konvexe Fläche falls n2 < n1
⇒ Strahlen werden von der opt. Achse weggebrochen und rückwärtige Verlängerungen schneiden
sich in F
Herleitung für Abbildungsgleichung an gekrümmten Flächen
n1 sin θ1 = n2 sin θ2 (siehe Folie) (1)
Kleinwinkelnäherung (d.h. nur achsennahe Strahlen)
⇒ n 1 θ1 ≈ n 2 θ2
Es gilt:
θ1 = α + β (2)
β = θ2 + γ (3)
(2) und (3) in (1) ⇒ n1 α + n2 γ = (n2 − n1 ) = β (4)
Im Bogenmaß gilt:
β=
ac
b
(exakt)
r
näherungsweise:
α≈
⇒
ac
b
ac
b
,γ≈
g
b
n2 − n1
n1 n2
+
=
g
b
r
Abbildungsgleichung an gekrümmter Fläche
r > 0 für Gegenstand vor konvexer Fläche
r < 0 für Gegenstand vor konkaver Fläche (umgekehrt zum Kugelspiegel)
1.4.2 Abbildung mit Linsen
Linsentypen
(sphärische Linsen)
d.h. Oberflächen =
b Segmente von Kugeloberflächen
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GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
Sammellinsen
Abbildung 17: Sammellinsen
Zerstreulinsen
Abbildung 18: Zerstreulinsen
Meniskuslinsen
Abbildung 19: Meniskuslinsen
r2 > r1 ⇒ positiv (f > 0)
r1 > r2 ⇒ negativ (f < 0)
Brennpunkt / Brennweite
Brennweite f > 0=
b reeller Brennpunkt
Brennweite f < 0=
b virtueller Brennpunkt
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GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
Brennweite “dünner“ Linsen: (Linsendicke als Krümmungsradius |r1 |, |r2 |)
1
= (n − 1)
f
1
1
−
r1 r2
Abbildung 20: Brennweitenbestimmung
Abbildungsgleichung: (Gauß)
1
1 1
= +
f
g
b
b > 0 reelles Bild
b < 0 virtuelles Bild
• Reelles Bild entsteht auf der vom Gegenstand abgewandten Seite der Linse
• Virtuelles Bild entsteht auf der gleichen Seite wie der Gegenstand
für Sammellinse (f > 0):
g < 2f reelles Bild, verkleinert
g = 2f reelles Bild, Maßstab 1:1
2f > g > f reelles Bild, vergrößert
f > g virtuelles Bild, vergrößert
Lateralvergrößerung
m=−
b
wie Hohlspiegel
g
m > 0=
b virtuelles Bild
m < 0=
b reelles Bild
Versuch: Luftlinse
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GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
Abbildung 21: Luftlinse
⇒ Verhält sich wie Zerstreulinse, obwohl die Form einer “normalen“ Sammellinse entspricht.
Zerstreulinse erzeugt immer ein virtuelles Bild
1.4.3 Bildkonstruktion mittels Hauptstrahlen
1. Parallelstrahl: paralleler Einfall ⇒ Strahl nur durch Brennpunkt auf der
gegenstandsabgewandten Seite gebrochen
2. Brennpunktstrahl: einfallender Strahl schneidet optische Achse im gegenstandsseitigen
Brennpunkt ⇒ Strahl wird parallel zur optischen Achse auslaufen
3. Mittelpunktstrahl: verläuft durch den Schnittpunkt der Linse mit der optischen Achse
(gilt für Sammellinsen)
für Zerstreulinsen: in 1) und 2): ersetze “gegenstandabgewandt“ durch “gegenstandsseitig“
1.4.4 Besselverfahren
Bestimmung der Brennweite einer Linse (Sammellinse)
Abbildung 22: Beselverfahren
für a > 4f ⇒ genau zwei Linsenpositionen für scharfes Bild (reelles Bild)
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GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
Abbildung 23: Besselverfahren
im Versuch:
a = 0, 9m
p1 = 0, 643m
p2 = 0, 353m
⇒ f = 0, 201m
mit f =
a2 − e 2
4a
Dicke Linsen
Abbildung 24: Besselverfahren
1
(n − 1)d
1
1 1
1
−1
Es gilt: = + und f = (n − 1)
−
+
f
b g
r1 r2
nr1 r2
f (n − 1)d
r2 n
f (n − 1)d
h2 = −
r1 n
h1 = −
h > 0 falls Hauptebene rechts vom Scheitepunkt liegt: (Konvention: Gegenstand links von der Linse)
Kombination mehrerer Linsen
2 Dünne Linsen
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1
GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
Abbildung 25: Kombination 2 dünner Linsen
1
fges
=
1
1
d
+
−
f1 f2 f1 f2
Hauptebenenabstände
h1 =
fd
gemessen von Linse 1
f2
h2 =
fd
gemessen von Linse 2
f1
für d f1 · f2 gilt
oder für n Linsen:
1
fges
1
fges
=
1
1
+
f1 f2
=
N
X
1
fn
n=1
1.4.5 Linsenfehler / Aberration
Ideelle Linse ⇒ exakte Abbildung eines Gegenstandes existiert nicht (Linsenfehler), hinsichtlich
• Form
• Größenverhältnis
• Farbe
a)Monochromatische Aberration (treten für einfarbiges Licht auf)
Spährische Aberration (Öffnungsfehler)
• sphärische (kugelförmige) brechende (spiegelnde) Fläche ⇒ achsenferne Strahlen schneiden die
optische Achse an einem anderen Punkt als achsennahe Strahlen
• sphärische Aberration ist umso größer, je größer der ausgeleuchtete Bereich der Linse ist
• sphärische Aberration hängt von Brennweite und Linsengeometrie ab (beste Abbildung:
Verteilung der Strahlablenkung auf mehrere Oberflächen)
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1
GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK)
Koma
• seitlich von der Linsenachse befindliche, punktförmige Lichtquelle wird ellipsenförmig
abgebildet: Ursache “Hauptebenen“ nicht eben, sondern gekrümmt.
• umso kleiner je kleiner der ausgeleuchtete Bereich
Astigmatismus (Punktlosigkeit)
• punktförmige Quelle: seitlich von der optischen Achse ⇒ unterschiedliche Brennweiten in
Meridionalebene und Sagitalebene
• unabhängig von Größe des ausgeleuchteten Bereiches
Bildfeldwölbung
• Bild eines ebenen, ausgedehnten Gegenstandes liegt auf einer Kugelschale ⇒ aber jeder
Bildpunkt wird scharf abgebildet (in verschiedenen Abständen von der Linse)
Verzeichnung
• Vergrößerung ändert sich mit Abstand von der optischen Achse
• tonnenförmig: reelles Bild mit Sammellinse
• kissenförmig: virtuelles Bild mit Sammellinse
b)Chromatische Aberration
Ursache: Abhängigkeit des Brechungsindex von der Wellenlänge n = n(λ)
f (λ) = (n(λ) − 1)
1
1
−
r1 r2
−1
nblau > nrot ⇒ fblau < frot (für Sammellinse)
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2
OPTISCHE INSTRUMENTE
2 Optische Instrumente
2.1 Das Auge
Brechende Elemente
• nach vorne gekrümmte Hornhaut (nc = 1, 37)
• Linse (nc = 1, 4)
• Kammerwasser umgibt Linse (nK = 1, 33)
⇒ stärkste Brechung an der Grenzfläche Hornhaut / Luft
Abbildung 26: Brennpunkt und Brechungsindices am Auge
⇒ allg: fg 6= fB , da verschiedene Brechungsindices auf beiden Seiten
Nahfeld:
kürzeste Distanz, auf die das Auge scharf stellen kann. Scharfstellung erfolgt durch Änderung der
Brennweite der Linse.
Hauptebenen beim Doppellinsensystem
h1 =
fges · d
f2
h2 =
−fges · d
f1
räumliches Auflösungsvermögen
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2
OPTISCHE INSTRUMENTE
Abbildung 27: minimaler Sehwinkel
ϕ≈
a
2 · 10−6 m
≈
≈ 10−4 ≈ 0, 1mrad ≈ (6 · 10−3 )◦
d
2 · 10−2 m
Lichtstärkeregelung:
• Iris (Regenbogenhaut): Öffnung variiert zwischen ∅ = 2 und 8mm ⇒ Änderung der Fläche (=
b
Lichtmenge) um 16x
• chemische Adaption: insgesamt dynamischer Bereich von 15 Größenordnungen
Akkomodation
• Bildweite ist konstant
• Brechkraft bzw. Brennweite des Auges wird an Gegenstandsweite angepasst
• Linsenkrümmung wird geändert
• entspanntes Auge (Ziliarmuskel) ⇒ Ferneinstellung
Abbildung 28: Ziliarmuskel
• Ziliarmuskel entspannt: radialer Zug an Linse ⇒ Linse flach
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OPTISCHE INSTRUMENTE
• Ziliarmuskel angespannt: Zugentlastung ⇒ Linse kugelförmig
Fernpunkt: idealerweise gilt gf ern = ∞
Nahpunkt: Kürzeste Distanz, auf die scharf gestellt werden kann (stärkste Krümmung der Linse) gN :
• Jugendliche: 7cm
• Erwachsene: 25 cm
• Alte: 100 cm
Fehlsichtigkeiten
Kurzsichtigkeit:
• zu große Brechkraft (für Abstand Linse Netzhaut) ⇒ Fernpunkt < ∞
• entfernte Gegenstände sind immer unscharf
• Brille mit Zerstreulinse (liefert virtuelles Bild)
Beispiel: Fernpunkt = 2m
g = ∞ nach b = −2m (virtuelles Bild)
⇒
1
fBrille
=
1 1
1
1
+ =
+
g
b
∞ −2m
⇒ fBrille = −2m ⇒ Dioptriezahl: D = −
1
2
Erklärung: Wir versuchen das Bild im unendlichen dort (virtuell) abzubilden, wo das Auge gerade
noch scharf sehen kann: Bei 2 Meter vor dem Auge.
Weitsichtigkeit:
• zu kleine Brechkraft
• ⇒ Nahpunkt zu weit entfernt
• Brille mit Sammellinse (liefert virtuelles Bild)
Bin ich weitsichtig? Wenn sie ein Blatt Papier mit ihrer Brille anzünden können, dann ja (Brille hat
Sammellinse)
2.2 Die Lupe
Prinzip: Vergrößerung des Bildes auf der Netzhaut
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OPTISCHE INSTRUMENTE
ohne Lupe: (scharfe) Bildgröße maximal für g = gN ≈ 25cm ⇒ fAuge = fmin
mit Lupe:
1
1
1
=
+
fges
fLupe fmin
Wirkungsweise:
maximaler Sehwinkel
• ohne Lupe: für Gegenstand im Nahpunkt Θ =
h
gN
• mit Lupe: Gegenstand kann näher an das Auge gebracht werden ⇒ Vergrößertes virtuelles Bild
maximaler effektiver Sehwinkel: für Gegenstandsweite g so dass Bildweite: −gN
Definition der Vergrößerung: Bild im Unendlichen
• Gegenstand im Abstand fLupe vom Auge (Lupe)
• effektiver Sehwinkel Θ =
h
fL
• Winkelvergrößerung: mΘ =
gN
25cm
Θ0
≈
=
Θ
fL
fL
• kleine Brennweite =
b große Vergrößerung
typisch für Lupe: mg < 10 − 20
2.3 Fernrohr / Teleskop
• Prinzip: Vergrößerung weit entfernter Objekte
• Einfacher Aufbau: Objektiv + Okular: 1 Brennpunkt des Okulars fällt mit 2. Brennpunkt des
Objektives zusammen
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OPTISCHE INSTRUMENTE
2.3.1 Kepler’sches /Astronomisches Teleskop
Abbildung 29: Zweilinsensystem
(Linsenfernrohr = Refraktor)
Abbildung 30: Kepler’sches Teleskop
Zwei Sammellinsen, Winkelvergrößerung: m = −
fob
β
=−
α
fok
Gesichtsfeld: maximal beobachtbare Winkel
Abbildung 31: Maximal beobachtbarer Winkel
⇒ Θs =
D
fob
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2
OPTISCHE INSTRUMENTE
• Feldlinse: zwischen Objektiv und Okular: vergrößert Seh-/Gesichtsfeld
Abbildung 32: Funktion einer Feldlinse
Auflösungsvermögen:
∆Θ gibt an, welchen Winkelabstand man gerade noch beobachten kann:
Abbildung 33: Auflösungsvermögen des Telekopes
∆Θ = 1, 22
λ
(Beugungslimitiert)
D
• Größere Linsen führen zu höherer Auflösung und hellerem Bild (mehr Lichteinfall)
• Mit der Größe der Linse steigt die sphärische Aberration
• Lichtstärke hängt ab von: ∝ D2
Bildumkehr im Kepler-Teleskop
• zwei Dachprismen
• Zwischenlinse
• vergütete (entspiegelte) Optik: Verringerung der Reflexion
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2
OPTISCHE INSTRUMENTE
Abbildung 34: Bildumkehr mit Zwischenlinse
2.3.2 Galilei oder Holländisches Fernrohr
• Sammellinse + Zerstreulinse
Abbildung 35: Galilei oder Holländisches Fernrohr
• d = |fob | − |fok |
• mΘ =
|fob |
fob
=−
|fok |
fok
• aufrechtes Bild
• kleines Gesichtsfeld
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2
OPTISCHE INSTRUMENTE
2.3.3 Spiegelteleskope
Abbildung 36: Spiegelteleskop
• Spiegel statt Linsen
• größere Spiegel sind leichter herstellbar als größere Linsen
• Spiegel lassen sich für einen größeren Wellenlängenbereich herstellen (Radioastronomie,
Röntgenastronomie, Extrem-UV Lithographie zur Herstellung von Mikroprozessoren)
• keine chromatische Aberration
2.4 Mikroskop
Prinzip: Vergrößerung kleiner Objekte besteht aus Objektiv (fob ≈ 1 − 5mm) und Okular
(fok ≈ 10mm)
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2
OPTISCHE INSTRUMENTE
Abbildung 37: Mikroskop
Lateralvergrößerung des Objektives:
mob = −
b
s
≈−
g
fob
Winkelvergrößerung des Okulars
mok =
gN
fok
⇒ Mges = mob · mok = −
s gN
·
⇒ Mmax ≥ 1000
fob fok
Anmerkung:
≈=
b ungefähr
∝=
b proportional
gN = Gegenstandsweite des Normalsichtigen =25cm
b
Räumliches Auflösungsvermögen
∆xmin = 0, 61
λ
D
mit sin θ =
n sin(Θ)
2 · fob
Abbildung 38: Auflösungsvermögen Mikroskop
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3
SCHWINGUNGEN UND WELLEN
3 Schwingungen und Wellen
3.1 Schwingungen
Schwingung =
b periodische Änderung einer Zustandsgröße. Z.B.: Schwingung eines Gegenstandes in
x-Richtung.
Abbildung 39: Dreiecksschwingung
Schwingungsperiode: T [s]
Frequenz: Zahl der Schwingungen pro Zeiteinheit (typisch: pro Sekunde): f [s−1 , Hz] =
1
T
3.1.1 Harmonische Schwingungen
x(t) = xm cos(ωt + Φ)
wobei x(t)=Auslenkung, xm =Amplitude, ωt=Kreisfrequenz/Winkelgeschwindigkeit und Φ=Phase
Anmerkung: “Schwingende“ Zustandsgröße:
Geschwindigkeit, Beschleunigung, Ort, Strom, Spannung, Druck, elektrisches/magnetisches Feld
mechanische Schwingung:
• Amplitude =
b maximale (Orts-)Auslenkung
• Kreisfrequenz =
b ω = 2πf [(rad)s−1 ], ω =
2π
T
• Phase: Φ[rad]: Verschiebung einer Schwingung im Zeitraum , −Φ ⇒ Φ Abstand des 1
Maximums vom Ursprung t = 0
Geschwindigkeit einer harmonischen Schwingung
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v(t) =
dx(t)
d
= (xm cos(ωt+Φ)) = −xm ω sin(ωt+Φ) =
dt
dt
3
SCHWINGUNGEN UND WELLEN
π
cos(ωt+Φ+ )
xm ω
|{z}
2
vm =Maximalgeschwindigkeit
Beschleunigung einer harmonischen Schwingung
a(t) =
dv(t)
d
= (−xm ω sin(ωt + Φ)) =
dt
dt
a(t) =
cos(ωt + Φ) = −ω 2 x(t)
−xm ω 2
| {z }
vm =Maximalbeschleunigung
d2 x
= −ω 2 x(t) ist charakteristisch für harmonische Schwingung
dt2
3.2 Kraftgesetz der harmonischen Schwingung
Newton: F = m · a = −ω 2 mx(t) ⇒rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung
F = −Kx mit k = mω 2
Definition: Ein Teilchen führt eine harmonische Schwingung aus, wenn es eine Kraft erfährt, die
betragsmäßig proportional zur Auslenkung ist, und entgegengesetzt gerichtet ist.
r
k
= 2πf
m
r
m
k
⇒ω=
T = 2π
Versuch: Feder mit verschiedenen Massen
m
50g
100g
100g
T
1,16s
1,60s
1,60s
<= kleine Amplitude
<= große Amplitude
Hook’sches Gesetz für Auslenkung einer Feder
F = −Kx mit K =
b Federkonstante
3.3 Energie einer harmonischen Schwingung
1
1
kinetische Energie: k(t) = mv 2 (t) = mω 2 x2m sin2 (ωt + Φ) |ω =
2
2
r
k
m
1
= Kx2m sin2 (ωt + Φ)
2
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3
SCHWINGUNGEN UND WELLEN
1
potentielle Energie: F = −Kx ⇒ U = Kx2
2
1
⇒ U (t) = Kx2m cos2 (ωt + Φ)
2
1
Gesamtenergie: ET OT (t) = U (t) + K(t) = Kx2m (cos2 (ωt + Φ) + sin2 (ωt + Φ))
2
=
1
Kx2m nicht zeitabhängig
2
3.4 Pendel
(hier nur mathematisches Pendel)
• punktförmige Masse m
• masseloser Faden
• Rückstellkraft durch Gravitation
• kleine Ausdehnung
• reibungsfreie Schwingung
FR = −m · g · sin θ
≈ −m · g · θ
x
≈ −m · g ·
L
=
b Kraft ist linear in x
=
b −K ·x
=K=
m·g
nicht zeitabhängig
L
r
vgl. Federpendel: ω =
k
⇒ ω=
m |{z}
P endel
r
m·g
=
m·L
r
g
⇒T =
L
s
L
· 2π
g
⇒ Messung der Pendelperiode ermöglicht Bestimmung von g
Versuch:
Pendel 1: T=1,80 s, 81,5 cm
Pendel 2: T=0,90 s, 20,3 cm
⇒g=
L(2π)2
m
= 9, 9 2
T2
s
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3
SCHWINGUNGEN UND WELLEN
3.5 Gleichförmige Kreisbewegung
Abbildung 40: Kreisförmige Bewegung
Projektion der Kreisbewegung auf x,y-Achse erscheint als harmonische Schwingung
x(t) = R · cos(ωt + Φ)
y(t) = R · sin(ωt + Φ)
⇒ R2 = x2 + y 2
Vx (t) = ẋ(t) = −R ω sin(ωt + Φ)
Vy (t) = ẏ(t) = R ω cos(ωt + Φ)
3.6 Gedämpfte harmonische Schwingung
Federkraft: FF = −K · x
Reibungskraft: FR = −b · v
⇒ (2. Newton’sches Gesetz) Bewegungsgleichung
X
F~ = 0 , m · a = −bv − Kx
⇒ Differentialgleichung: m · a + b · v + K · x = 0
Wir wissen: v =
m
dx
d2 x
, a = 2 , somit gilt:
dt
dt
d2 x
dx
1
+b
+ Kx = 0 | ·
2
dt
dt
m
d2 x
b dx
K
+
·x = 0
+
2
dt
m dt |{z}
m
|{z}
γ=2δ
ω02
ω0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
k
Reibungskraft
=
γ, 2δ = Dämpfungskonstanten δ =
2m
2 · Masse
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3
SCHWINGUNGEN UND WELLEN
Lösung für kleine Dämpfung (ω0 > δ)
x(t) = xm e−δt cos(ω 0 t + Φ)
r
r
q
γ2
K
b2
2
2
2
mit ω = ω0 − δ = ω0 −
=
−
Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung
4
m 4m2
0
Allg. Lösung:
Diskriminante: D = ω02 − δ 2
a) D > 0 Schwingfall
Abbildung 41: Schwingfall
x(t) = xm e−δt cos(ω 0 t + Φ)
Güte: Q =
ω0
ω0
=
γ
2δ
1
gibt an, wieviel Schwingungen ausgeführt werden, bis die Auslenkung am Umkehrpunkt auf √ des
e
Anfangswertes abgefallen ist
b) D = 0: aperiodischer Grenzfall
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3
SCHWINGUNGEN UND WELLEN
Abbildung 42: aperiodischer Grenzfall
x(t) = xm (1 + δt)e−δt
(schnellste Annäherung an 0)
c) D < 0: Kriechfall
Abbildung 43: Kriechfall
q
gleiche Lösung wie beim Schwingfall, aber w = i δ 2 − ω02
0
0
x(t) = xm e−δt cos(ω 0 t) = xm e−δt
0
eiω t + e−iω t
2
2
√2
xm −δt −√δ2 −ω02 t
e
e
+ e δ −ω0 t
2
i
h √
xm − δ− δ2 −ω02 t
≈
e
2
=
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3
SCHWINGUNGEN UND WELLEN
3.7 Erzwungene Schwingungen und Resonanz
Abbildung 44: Erzwungene Schwingung
γ = 2δ =
b
m
F = Fm · cos(ωe · t)
ωR = Resonanzfrequenz
ωe = Erregerfrequenz
ω0 = Eigenfrequenz
ω 0 = Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung
Differentialgleichung für erzwungene Schwingung:
d2 x
dx
Fm · cos(ωe · t)
+γ
+ ω02 x =
2
dt
dt
m
⇒Lösung
x(t) = xm e−δt cos(ω 0 t + Φ) + Xm cos(ωe t + ϕ)
0
ω =
q
ω02 − δ 2 , Xm ≡ Amplitudenresonanzfunktion
Xm (ωe ) =
Fm
1
·p 2
2
m
(ω0 − ωe )2 + 4δ 2 ωe2
tanϕ = −
2δωe
− ωe2
ω02
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Lösung für lange Zeiten: t 3
SCHWINGUNGEN UND WELLEN
1
δ
⇒ x(t) = X · cos(ωe t + ϕ)
Diskussion der Amplitudenresonanzfunktion und Phase
lim Xm (ωe ) =
ωe →0
Fm
= Xm,0 , ϕ = 0
mω02
lim Xm (ωe ) = 0 , ϕ = −π = −180◦
ωe →0
Maximum: (= Minimum von Nenner = Minimum von Argument der Wurzel, da diese monotone
Funktion ⇒ Wird das Argument minimal, so wird auch die Wurzel minimal)
⇒ h(ωe ) = [(ω02 − ωe2 )2 + 4δ 2 ωe2 ] minimal
2
⇒ ωR
= ω02 − 2δ 2 Resonanzfrequenz
kleine Dämpfung:
ωR ≈ ω0
Xm,max =
Fm
ω0
1
=
Xm,0
·
mω0 2δ |{z}
2δ
Güte
Q=
ω0
ω0
=
Güte
2δ
γ
3.8 Harmonischer Oszillator [Einheiten]
Zeit t [s]
Auslenkung x, y, z [m]
Frequenz f, ν [s−1 ]
Kreisfrequenz ω [(rad)s−1 ] oder [2π · Hz]
Kraft F [N ]
Masse m [kg]
Federkonstante K, D [N m−1 ]
Reibungskoeffizient b [N m−1 s] oder [kgs−1 ]
Energie U, V, K [J] oder [N m]
3.9 Überlagerung von Schwingungen
3.9.1 Orthogonale Schwingungen
x = xm sin(ωx t + ϕx )
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SCHWINGUNGEN UND WELLEN
y = ym cos(ωy t + ϕy )
a)
ωx = ωy = ω
ϕx = ϕy = 0
xm = ym ⇒ Kreisbewegung
Abbildung 45: Kreisbewegung
b)
ωx = ωy = ω ; ϕx = ϕy = 0 ; xm > ym
⇒ Ellipse
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3
SCHWINGUNGEN UND WELLEN
Abbildung 46: Ellipse
c)
ωx = ωy ; ϕx 6= ϕy = 0
⇒ gekippte Ellipse
d) allgemeine Lissajous-Figuren
Abbildung 47: Orthogonale Schwingungen
3.9.2 Schwebung
2 Schwingungen der gleichen Zustandsgröße mit unterschiedlicher Frequenz
x1 = xm sin(ω1 t + ϕ1 )
x2 = xm sin(ω1 t + ϕ2 )
⇒ ϕ1 = ϕ2 = 0 durch Wahl von t=0
zunächst: xm1 = xm2 = xm
ω1 − ω2
ω1 + ω2
⇒ x(t) = x1 (t) + x2 (t) = xm [sin(ω1 t) + sin(ω2 t)] = 2xm cos
t · sin
t
2
2
|
{z
} |
{z
}
Niederfrequent Hochfrequent
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A(t) = 2xm cos
SCHWINGUNGEN UND WELLEN
ω1 + ω2
t
2
ω1 − ω2
t Amplitudenfunktion
2
x(t) = A(t) sin
3
• A(t) im Fall der Schwebung sinusförmige Modulation
• Schwebung mit doppelter Frequenz des cos-Argumentes
• Schwebungsperiode: Ts =
2π
ω1 − ω2
• Schwebungsfrequenz: ωs = ω1 · ω2
• xm1 6= xm2 ⇒ unreine Schwebung (nur Störung, 2. Amplitude wird nicht komplett aufgehoben)
3.10 Gekoppelte Schwingung
2 oder mehr schwingungsfähige Systeme, die sich gegenseitig beeinflussen.
Abbildung 48: gekoppelte Schwingung
Schwache Kopplung (kleines K) ⇒ langsame Energieübertragung zwischen den Pendeln
Starke Kopplung: schnelle Energieübertrag
Normalschwingungen:
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3
SCHWINGUNGEN UND WELLEN
Abbildung 49: Normalschwingung in Phase
r
in Phase: ω =
g
= ω0
L
Abbildung 50: gegenphasige Normalschwingung
s
gegenphasig: ω =
ω02 + 2
k
m
allgemein: Bei N gekoppelten schwingenden Systemen gibt es N Normalmoden (mit ggf.
unterschiedlicher Schwingungsfrequenz)
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4
WELLEN
4 Wellen
Eigenschaften
• sich ausbreitende Änderung einer physikalischen Größe
• Ausbreitung in 1,2 oder 3 Dimensionen
• Transport von Energie (in der Regel nicht von Materie)
• Wellengeschwindigkeit 6= Teilchengeschwindigkeit
Wellenarten
• mechanische Wellen (an Materie gebunden) z.B. Wasserwellen, Schallwellen, seismische Wellen,
“Federwellen“
• elektromagnetische Wellen (nicht an Materie gebunden)
• Materiewellen quantenmechanische Beschreibung von Teilchen (z.B. Elektronen, Protonen,
Atome, Moleküle)
• Transversalwellen physikalische Größe schwingt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
(elektromagnetische Wellen)
• Longitudinalwellen physikalische Größe schwingt entlang der Ausbreitungsrichtung
(Schallwelle)
4.1 Mathematische Beschreibung
Transversalwelle, harmonische Welle:
y(x, t) = ym sin(kx − ωt)
wobei:
y(x, t) = Auslenkung
ym = Amplitude
k = Wellenzahl
ω = Kreisfrequenz
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4
WELLEN
Abbildung 51: gegenphasige Normalschwingung
Amplitude: Maximalwert
Phase: (kx − ωt) bestimmt den aktuellen Wert am Ort x zur Zeit t.
y(x, t) = ym sin(kx − ωt) (Bestimmt Auslenkung an einem bestimmten Ort zu einer bestimmten
Zeit)
mit y = Auslenkung, ym = Amplitude, sin(kx − ωt) =Phase(nlage), k = Wellenzahl, ω =
Winkelgeschwindigkeit
Periode (zeitlich)
x = 0 ⇒ y(0, t) = ym sin(−ωt) = ym sin(2π − ωt) = ym sin
Frequenz: f =
2π
2π
−t ·ω ⇒ T =
ω
ω
1
T
Wellenlänge: (λ)
Abstand zweier Punkte gleicher Phasenlage zu einem bestimmten Zeitpunkt
z.B.: T = 0 ⇒ y(x, 0) = ym sin(kx) = ym sin(kx + 2π) = ym
⇒λ=
2π
sin k x +
k
2π
2π
⇔ k=
k
λ
k : Wellenzahl (Wellenvektor)
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4
WELLEN
4.2 Geschwindigkeit einer Welle
Wellengeschwindigkeit = Geschwindigkeit, mit der sich eine bestimmte Auslenkung
(Phasenlage)
1
fortbewegt. Bei fester Auslenkung gilt: kx − ωt = csc Kosekans =
sin(x)
⇒x=
dx
ω
2πf
1
(const + ωt) ⇒ Vc =
= =
λ = λf
k
dt
k
2π
Vc > 0 ⇒ nach rechts laufende Welle y(x, t) = ym sin(kx − ωt)
Vc < 0 ⇒ nach links laufende Welle y(x, t) = ym sin(kx + ωt)
Versuch zur Schallgeschwindigkeit:
f = 6, 57khz (Sinuswelle, Frequenzgenerator)
λ = 0, 0493m (Wellenlänge, gemessen)
VC = 324m/s
4.3 Geschwindigkeit einer Seilwelle
• nähere ausgelenktes Seil durch Kreisbogen (Radius R und Spannkraft τ im Seil)
• betrachte Kraft auf ein kleines (infinitesimales) Seilelement der Länge ∆l und der Masse
∆m = µ ∆l (mit µ = lineare Dichte [kg · m−1 ])
• ⇒ Fs = 2τ sin θ ≈ τ 2θ ≈ τ
∆l
R
• Wellenausbreitung mit Geschwindigkeit v ⇒ Zentripetalbeschleunigung auf Kreisbogen
v2
v2
⇒ Fz = µ∆l
a=
R
R
r
∆l
v2
τ
• ⇒ Fs = Fz , τ
= µ∆l ⇒ v =
= Vc
R
R
µ
4.4 Wellengleichung
Alle Wellen werden durch eine Differentialgleichung folgender Form beschrieben (im
1-Dimensionalen):
für y(x, t)
2
∂2y
2∂ y
=
v
c
∂t2
∂x2
harmonische Welle
y(x, t) = ym sin(kx − ωt)
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4
WELLEN
∂y
= −ωym cos(kx − ωt)
∂t
∂2y
= −ω 2 ym sin(kx − ωt)
∂t2
∂y
= kym cos(kx − ωt)
∂x
∂2y
= −k 2 ym sin(kx − ωt)
∂x2
⇒ in Wellengleichung: −ω 2 ym sin(kx − ωt) = vc2 (−k 2 )ym sin(kx − ωt)
=ω
b 2 = vc2 (k 2 )
vc =
ω
k
Allgemeine Lösung für Wellengleichung y(x, t) = f (x ± vc t)
ω z.B.: ym sin(kx − ωt) = ym sin k x − t
k
Beispiele:
a) y(x, t) =
√
s b
ax + bt = a x + t X
a
b
b) y(x, t) = sin(ax − bt) = sin ax x −
t
×
ax
2
c) y(x, t) = ym e−i(kx−ωt) X
4.5 Energie und Leistung einer Welle
(am Beispiel einer transversalen Seilwelle)
Kinetische Energie: Bewegungsenergie eines Seilstückes mit Masse dm aufgrund der transversalen
Bewegung (maximal bei y = 0)
potentielle Energie: elastische Dehnungsenergie des Seils (maximal bei v = 0)
Betrachte mittlere Energie (über eine Periode gemittelt)
⇒ Ekin = Epot ⇒ Etot = 2Ekin
Berechne Ekin :
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dEkin
1
= dm
2
∂y
∂t
2
4
WELLEN
1
= dm(−ωym cos(kx − ωt))2 (harmonische Welle)
2
mit ∂t = Transversalgeschwindigkeit
1
2
µ dx ω 2 ym
cos2 (kx − ωt) (dm = µ dx)
2
=
dEkin
dt }
| {z
⇒
Energietransportrate
1 dx 2 2
= µ
ω ym cos2 (kx − ωt)
2 |{z}
dt
Vc
⇒ Leistung über Periode gemittelt
dEkin
dt
=
1
2
cos2 (k − ωt)
µ vc ω 2 ym
2
1
cos2 (kx − ωt) =
T
ZT
1 1
1
cos2 (kx − ωt)dt = T =
2 T
2
0
⇒
dEkin
dt
=
1
2
µ vc ω 2 ym
4
⇒ gemittelte Leistung Pgem = 2
dEkin
dt
=
1
2
µ vc ω 2 ym
2
4.6 Superposition von Wellen
Superpositionsprinzip: Bei Überlagerung zweier (gleichartiger) Wellen addiert sich die Auslenkung
und es entsteht wieder eine Welle: ytot (x, t) = y1 (x, t) + y2 (x, t)
Falsch: ytot (x, t) = (ym1 + ym2 )sin(kx − ωt)
Richtig: ytot (x, t) = y1 (x, t) + y2 (x, t) = ym1 sin(k1 x − ω1 t) + ym2 sin(k2 x − ω2 t + Φ) (die Phase Φ ist
wichtig!)
4.6.1 Interferenz
Überlagerung von (sinusförmigen) Wellen gleicher Wellenlänge und Amplitude aber unterschiedlicher
Phase und gleicher Ausbreitungsrichtung.
y1 (x, t) = ym · sin(kx − ωt)
y2 (x, t) = ym · sin(kx − ωt + φ)
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4
WELLEN
φ
φ
ytot (x, t) = y1 (x, t) + y2 (x, t) =
2ym cos
sin kx − ωt +
2
2
{z
}
|
A(φ)=
b Amplitudenfunktion der Gesamtwelle
mit sin α + sin β = 2 sin
α+β
2
cos
α−β
2
p
b
2
2
Hinweis: f (x) = a + b · sin x + arctan
(mit arccos als Phase des Sinus)
a
A(φ) = Amplitudenfunktion der Gesamtwelle
⇒ φ = 0 Konstruktive Interferenz: A(φ = 0) = 2ym
⇒ φ = π Destruktive Interferenz: A(φ = π) = 0
Allgemein:
• konstruktive Interferenz für φ = 2nπ
• destruktive Interferenz für φ = (2n + 1)π
• gemischte Interferenz für φ 6= nπ
zum Versuch: Interferenz von akustischen Wellen
Abbildung 52: Mikrofonversuch: Interferenz
y1 (∆x1 , t) = ym · sin(k∆x1 − ωt)
y2 (∆x2 , t) = ym · sin(k∆x1 − ωt)
Am Ort des Mikrofon: Überlagerung der beiden Schallwellen
⇒ ytot = 2ym cos
k(∆x1 − ∆x2 )
2
sin
k(∆x1 + ∆x2 )
− ωt
2
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4
WELLEN
konstruktive Interferenz: k(∆x1 − ∆x2 ) = 2nπ
destruktive Interferenz: k(∆x1 − ∆x2 ) = (2n + 1)π
4.6.2 Stehende Wellen
Überlagerung gegenläufiger Wellen gleicher Wellenlänge (und Amplitude)
y1 (x, t) = ym · sin(kx − ωt)
y2 (x, t) = ym · sin(kx + ωt)
ytot (x, t) =
cos(ωt)
2y sin(kx)
}
| {z }
| m {z
A(φ)=
b Amplitudenfunktion Schwingterm
λ
A(x) = 0 für kx = n · π ⇒ x = n =
b Knoten der Stehwelle
2
A(x) = Amax = 2ym für kx = (2n + 1)
π
(2n + 1) λ
⇒x=
=
b Bäuche der Stehwelle
2
2
2
Erzeugen von Stehwellen
z.B. durch Reflexion einer Seilwelle:
a) fest eingespanntes Ende
Abbildung 53: Reflexion einer Seilwelle
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4
WELLEN
Abbildung 54: Reflexion einer Seilwelle
y1 = ym sin(kx − ωt)
y2 = ym sin(−kx − ωt + π) (Mit π als Phasensprung und −k als Richtungsänderung)
π
π
⇒ ytot (x) = −2ym sin ωt −
cos kx −
2
2
ytot (x = 0) = 0 für alle t. (folgt aus sin(−ky − ωt + π) = −sin(kx + ωt − π))
b) lose festgemachtes Ende
Abbildung 55: Reflexion einer Seilwelle
⇒ kein Phasensprung
y2 = ym sin(−kx − ωt)
⇒ ytot (x = 0) = −2ym sin(ωt)
Seilwelle als Stehwelle
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4
WELLEN
Abbildung 56: Stehwelle
r
⇒ größte Wellenlänge für stabile Stehwelle λ = 2l mit vc =
vc
=
⇒ f1 =
λ
r
τ
µ
τ
(Grund-)Resonanzfrequenz der eingespannten Saite
µ4l2
Oberwellen (mehr Knoten):
3 Knoten: λ = l ⇒ f2 = 2f1
2
4 Knoten: λ = l ⇒ f3 = 3f1
3
allgemein: fn = nf1 , λn =
2l
n
4.7 Wellen in 1,2 und 3 Dimensionen
allgemeine Wellengleichung in 3D (für isotrope Medien (Richtungsunabhängige
Ausbreitungsgeschwindigkeit))
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4
WELLEN
∂2 ~
~ y, z, t) mit ∆ als Laplace-Operator
A(x, y, z, t) = vc2 ∆A(x,
∂t2
2
∂2 ~
∂ ~
∂2 ~
∂2 ~
2
A(x,
y,
z,
t)
=
v
A(x,
y,
z,
t)
+
A(x,
y,
z,
t)
+
A(x,
y,
z,
t)
c
∂t2
∂x2
∂y 2
∂z 2
~ ist im allgemeinen vektoriell:
Anm: A

Ax
~ = Ay  ⇒ Wellen gleichung gilt für jede Komponente
A
Az

für anisotrope Ausbreitungsmedien kann vc von der Richtung abhängen
1-Dimensionale Welle (harmonisch)
~ t) = A
~ 0 sin(kx − ωt)
ebene Welle: A(x,
~ r, t) = A
~ 0 sin(~k · ~r − ωt)
allgemein: A(~


kx
~k = ky  = Wellenvektor
kz
|~k| = k =
b Wellenzahl
Intensität=
Leistung
=konstant (unabhängig vom Ort)
Fläche
~2
Erinnerung: Leistung ∝ |A|
2-Dimensionale Welle (harmonisch)
~0
A
~ y, t) = A(~
~ r, t) = √
Kreiswelle: A(x,
sin(~k · ~r − ωt) mit ~k = |k| · ~er
r
Abbildung 57: Wellenausbreitung in 2 Dimensionen
~2∝
Intensität=∝ |A|
1
(Erinnere: ∝ = Proportionalitätszeichen)
r
3-Dimensionale Welle (harmonisch)
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4
WELLEN
~
~ y, z, t) = A(~
~ r, t) = A0 sin(~k · ~r − ωt) mit ~k = |k| · ~er
Kugelwelle: A(x,
r
Intensität=
Leistung
1
=∝ 2
Fläche
r
Abbildung 58: Wellenausbreitung in 3 Dimensionen
Zylinderkoordinaten als 3D-Erweiterung vom Polarkoordinaten
3D-Welle: Kugelkoordinaten ~er , ~eθ , ~eϕ
4.8 Doppler-Effekt
Sender und Empfänger bewegen sich relativ zueinander ⇒ fsend 6= fEmpf ang
a) Empfänger bewegt sich
Abbildung 59: Doppler-Effekt
Sendefrequenz: fs =
vc
1
=
λ
T


v
vc − ve
ve 
 c

Empfangsfrequenz: fe =  −
 = fs
λ
λ
vc

|{z}
1
∆T
⇒ fe > fs für ve < 0 (Empfänger bewegt sich entgegengesetzt zur Ausbreitungsrichtung der Welle
auf den Sender zu)
⇒ fe < fs für ve > 0 (Empfänger bewegt sich vom Sender weg)
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4
WELLEN
b) Empfänger in Ruhe, Sender bewegt sich
Abbildung 60: Doppler-Effekt
Sendefrequenz im Ruhesystem des Senders fs =
Empfangsfrequenz = fs = fe
vc
λ
vc
vc T
= fs
vc T − vs T
vc − vs
⇒ fe > fs für vs > 0 (Sender bewegt sich in die gleiche Richtung wie die Welle)
⇒ fe < fs für vs < 0 (Sender bewegt sich entgegengesetzt zur Welle)
c) allgemein: Doppler-Effekt
fe = fs
vc − ve
vc − vs
d) Überschall
Vs → Vc ; fe → ∞
• Schockwellen (Zusammentreffen der Wellenfronten)
• beim Überschreiten von vc entsteht “ Überschallknall“
Mach’scher Kegel:
sin θ =
vc
vc t
=
mit vs = Geschwindigkeit des Senders
vs t
vs
4.9 Das Huygens’sche Prinzip
Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt sekundärer kugelförmiger Elementarwellen. Der
Ort der Wellenfront zu einer beliebigen Zeit t ist gegeben durch die Tangenten an allen diesen
sekundären Elementarwellen.
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5
ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
5 Elektromagnetische Welle
5.1 Wellengleichung für elektromagnetische Wellen
~ =
c2 ∆E
~
~
∂2B
∂2E
2 ~
und
c
∆
B
=
2
2
∂t
∂t
• c0 = Vakuumlichtgeschwindigkeit ist unabhängig vom Bezugssystem
• ⇒c=
c0
=
b Lichtgeschwindigkeit im Medium mit Brechungsindex n
n
• c0 = √
1
m
= 2, 9979 · 108
µ 0 ε0
s
• ε0 =
b Influenzkonstante = 8, 85 · 10−12
As
Vm
• µ0 =
b Induktionskonstante = 4π · 10−7
Vm
As
~ ~
Em
E
• ⇒
=
c
=
~
~ Bm
B
~ = Em
~ sin(K
~ · ~r − ωt)
• E
~ = Bm
~ sin(K
~ · ~r − ωt)
• B
Es gilt:
~ ⊥ Bm
~ =
~ · Bm
~ =0
Em
b Em
~ ⊥K
~ und Bm
~ ⊥K
~ ⇒ elektromagnetische Wellen sind transversal (gilt für isotrope Medien)
Em
~ heißt Polarisationsrichtung
⇒ Die Richtung von E
5.2 Energietransport und Poynting-Vektor
~= 1E
~ ×B
~ Poynting-Vektor:
S
µ0
gibt momentane lokale Richtung des Energieflusses an.
~ =
S = |S|
S=
Energie/Zeit
Leistung
=
= Intensität[W m−2 ]
Fläche
Fläche
1 ~
~ = 1 |E|
~ 2
|E| · |B|
µ0
cµ0
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5
ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
zeitlich gemittelte Intensität:
I=S=
1 ~ 2
1 ~ 2
~ · ~r − ωt)
|Em| sin2 (K
|E| =
|
{z
}
cµ0
cµ0
1
2
⇒I=
~
1 1 ~ 2
|Em|
2
|Em| = cε0 Erms
mit Erms = √ = Root Mean Square
2 cµ0
2
Beispiel: Sonneneinstrahlung
~
~
S = 1, 4kw/m2 (Solarkonstante) ⇒ |Em|
≈ 103 V /m ; |Bm|
≈ 3, 3 · 10−6 T
5.3 Erzeugung elektromagnetischer Wellen
Allg: e.m. Wellen entstehen durch Abstrahlung bei der Beschleunigung elektrischer Ladungen
• Hertz’scher Dipol: oszillierender Dipol mit Kreisfrequenz ω ⇒
– abgestrahltes elektrisches Feld mit Kreisfrequenz ω
– Feldlinien lösen sich nach jeder halben Periode ab
– Ausbreitung der Feldlinien mit Lichtgeschwindigkeit
• atomares Licht: “Elektronen“ (-) “kreisen“ um Kern (+) =
b beschleunigte Bewegung ⇒
Abstrahlung von Licht (Achtung: Quantenmechanik)
• Moleküle
Abbildung 61: Ladung
– Schwingung
– =
b periodische Abstandsänderung
– Rotation um Schwerpunkt
⇒ führt zu Abstrahlung von e.m. Wellen
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5
ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
5.4 Überblick über das elektromagnetische Spektrum
Abbildung 62: Elektromagnetisches Spektrum
Radiowellen:
λ ∼ 0, 3m − x km
ν ∼ Hz − 109 Hz
Radio, MRT (Magnetresonanztomographie)
Mikrowellen:
λ ∼ 10−3 m − 0, 3m
ν ∼ 109 Hz − 3 · 1011 Hz
Radar, Handy, Untersuchung molekularer Strukturen
Infrarotes Spektrum:
λ ∼ 7, 8 · 10−7 m − 10−3 m
ν ∼ 4 · 1011 Hz − 4 · 1014 Hz
Industrie, Medizin, Astronomie, neue Anwendungsfälle: Terahertz-Strahlung
sichtbares Spektrum:
λ ∼ 3, 8 · 10−7 m − 7, 8−7 m
ν ∼ 4 · 1014 Hz − 8 · 1014 Hz
Photovoltaik, Laser, Photosynthese
Ultraviolette Strahlung:
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ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
λ ∼ 6 · 10−10 m − 3, 8 · 10−7 m
ν ∼ 4 · 814 Hz − 3 · 1017 Hz
medizinische Anwendungen, Sterilisation
Röntgenstrahlung:
λ ∼ 6 · 10−12 m − 6 · 10−10 m
ν ∼ 3 · 1017 Hz − 3 · 1019 Hz
medizinische Diagnose, Krebstherapie, Industrie, Astronomie
γ-Strahlung:
λ ∼ 10−14 m − 6 · 10−12 m
ν ∼ 3 · 1019 Hz − 3 · 102 Hz
produziert in Kernreaktionen
5.5 Licht als Teilchen - der Fotoeffekt
• 1888 Versuch von Hallwachs: UV-Licht löst Elektron aus negativ geladener Platte
• 1902 Lenard: Messung der kinetischen Energie der emittierten Elektronen durch
Gegenfeldmethode
Abbildung 63: Lenard Experiment
U < 0 ⇒ Elektronen werden abgebremst
U > 0 ⇒ Elektronen werden beschleunigt
Ekin < −U · e ⇒ Elektronen gelangen nicht zur Anode
Beobachtungen:
1. U, ν konstant ⇒ I ∝ P (Lichtleistung)
2. ν, P konstant ⇒ I sättigt für große U
3. ν konstant ⇒ für U < Umax ist I = 0 unabhängig von P
4. ν < νGrenz ⇒ I = 0 unabhängig von P und U
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ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
Interpretation:
• Licht besteht aus Quanten (Photonen), die einzeln Elektronen aus der Fotokathode auslösen.
• Für die Photonenenergie gilt EP hoton = h · ν mit h = 6, 62 · 10−34 Js = 2π~
• Je höher die Lichtleistung, desto größer ist die Photonenzahl
• Mindestenergie für Freisetzung von Elektronen: Austrittsarbeit WA = e · UA = h · νGrenz (mit
W = Materialkonstante)
• kinetische Energie der Elektronen (direkt nach Ausritt aus der Fotokathode):
Ekin = −e · Umax ⇒
−e · Umax = h · ν − e · UA (⇒ Ekin = Ephoton − Austrittsarbeit)
−Umax =
h·ν
− UA
e
Einstein-Gleichung (E = mc2 ) ⇒ Präzisionsmessung von
h
aus Geradensteigung
e
5.6 Strahlungsdruck / Strahlungsdruckkraft
...mit
P0 = Leistung
Ps = Druck
P = Impuls
a)
Abbildung 64: vollständig absorbierende Fläche
P0 = I · A
mit P0 = Leistung, I = Intensität, A = Fläche
⇒ Impulsveränderung im Zeitinvervall ∆t
PLicht =
∆P
=
|{z}
Impulsübertrag
P0 · ∆t
deponierte Energie
=
c
Lichtgeschwindigkeit
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5
ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
P0 · t
P0 · t
P0 · t
E
E
2
folgt aus: P0 =
⇒ E = P0 · t ; E = mc ⇒ m = 2 = 2 ; P = m · v = m · c = 2 · c =
t
c
c
c
c
Ekin
bei kleinen Geschwindigkeiten:∆P = 2 ·
v
b)
Abbildung 65: Strahlungsdruck
⇒ ∆P = PvorherLicht − PnachherLicht = 2|PvorherLicht | =
2 · P0 ∆t
c
Strahlungsdruckkraft
F =m·a=
∆P
2P0
⇒F =
(für vollständige Reflexion)
∆t
c
z.B. HeNe-Laser mit 1 mW:
⇒F =
2 · 10−3 W
= 0, 6̄ · 10−11 N
3 · 108 m/s
Strahlungsdruck
Druck
z}|{
2P0
F
Ps =
=
(für vollständige Reflexion)
A
cA
z.B. Strahlungsdruck durch die Sonne
I = 1, 4kw/m2 ⇒ Ps =
2 · 1, 4kw/m2
≈ 10−5 P a ≈ 10−10 bar
3 · 108 m/s
Impuls eines Photons
Impulsübertragung
z}|{
P0 · ∆t
∆P
=
(bei vollständiger Absorption)
c
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ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
=1
⇒ PP hoton
P0 =
z}|{
h
N hc∆t
= = ~K
=
∆tλc
λ
N hc
(siehe Übungsblatt)
λ∆t
5.7 Interferenz elektromagnetischer Wellen
allg: Interferenz = Überlagerung von zwei oder mehr Wellen nach dem Superpositionsprinzip
Beispiel: Fresnelspiegel
• Erzeugung zweier virtueller Lichtquellen durch Reflexion an zwei leicht gegeneinander
verkippten Spiegeln
• Beobachtung: Interferenzstreifen
Maxima =
b konstruktive Interferenz
Minima =
b destruktive Interferenz
5.7.1 Der Young’sche Doppelspalt
Abbildung 66: Young’sche Doppelspalt
⇒ ∆l = d · sin θ
Konstruktive Interferenz: ∆l =mλ mitm= ganze Zahl
1
Destruktive Interferenz: ∆l = m +
λ mit m= ganze Zahl
2
Intensität: Auf dem Schirm: (Nähere Wellen als ebene Wellen)
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ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
Welle von Spalt 2: E2 = E0 sin(ωt)
Welle von Spalt 1: E1 = E0 sin(ωt + Φ) (Phase Φ beinhaltet Gangunterschied)
Schirmauftreffpunkt am Ort ~r = 0
Intensität =
1
E2
(E1 + E2 )2 = 0 (sin(ωt) + sin(ωt + Φ))2
cµ0
cµ0
2
2
E02
Φ
Φ
Φ
E02
2Φ
=
2cos
+ sin ωt +
4 cos
sin ωt +
=
cµ0
2
2
cµ0
2
2
{z
}
|
1
2
=
Φ
1 E02
4 cos2 (I0 =
b Intensität einer Welle)
2 cµ0
2
⇒ Intensität in den Maxima ist doppelt so groß wie die Summe der Einzelintensitäten
Falls Φ ausschließlich aufgrund von Gangunterschied ⇒ Φ =
∆l
2π · d · sin θ
· 2π =
λ
λ
5.7.2 Interferenz an dünnen Schichten
Abbildung 67: Interferenz an dünnen Schichten
Wann verstärken sich die reflektierten Wellen (1) und (2)? (bzw. löschen sich aus)
E1 = E01 sin(kx − ωt + π) (Phasensprung wegen Reflexion optisch dünn nach optisch dick)
E2 = E02 sin(kx − ωt + 0 + ϕ) (keinen Phasensprung wg. optischer Dichte, aber Gangunterschied wg.
längerem Weg)
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ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
n1 < n2 ⇒ Phasensprung um π
n2 > n3 ⇒ kein Phasensprung
senkrechter Einfall: (θ = 0) ⇒ 2π ·
2d
d·n
= 4π
λn
λ0
mit λn = Wellenlänge im Glasplättchen und λ0 = Wellenlänge im Vakuum
gesamter Phasenunterschied: ∆ϕ =
4π · d · n
−π
λ0
Gangunterschied
ϕ = 2π
4πdn2
λ0
2d
=
, λn =
λn
λ0
n
⇒ ∆ϕ =
4πdn2
− π (für Reflexion)
λ0
konstruktive Interferenz für : ∆ϕ = 2πm ⇒ m2π = 4π
⇒
1
m+
2
1
⇒d=
2
π=
dn2
−π
λ0
2πdn2
2dn2
1
⇒m+ =
λ0
2
λ0
1 λ0
m+
(m ist ganze Zahl)
2 n
1 λ0
destruktive Interferenz: (2m + 1)π = ∆ϕ ⇒ d = m
2 n
q
4π
Allgemein: konstruktive Interferenz für ∆ϕ =
d n22 − sin2 θ − π
λ0
5.7.3 Newton’sche Ringe
Linse (bzw. gekrümmte Oberfläche) auf planer Oberfläche ⇒ Interferenz an Schicht variabler Dicke
⇒ Interferenzringe
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ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
Abbildung 68: Newton’sche Ringe
r2 = R2 − (R − d)2 = 2Rd − d2
für R d ⇒ r ≈
√
2Rd
Konstruktive Interferenz (Reflexion):
1
λ ⇒ Radius des m-ten Kreises
2d = m +
2
x+
m
s 1
= R m+
λ
2
destruktive Interferenz:
−
Xm
=
√
mRλ
5.7.4 Versuch: Reflexion und Transmission von Weißlicht an Seifenblasenhaut
Prinzip: Interferenz an dünner Schicht variabler Dicke
Abbildung 69: Interferenz an Seifenblasenhaut: Transmission
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Transmission: Interferenzmaxima für 2d(x) = m
ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
λ
n
Abbildung 70: Interferenz an Seifenblasenhaut: Reflexion
Reflexion: Interferenzmaxima für 2d(x) =
1
m+
2
λ
n
bei Weißlichtbeleuchtung tritt Interferenz für unterschiedliche Wellenlängen an Orten
unterschiedlicher Dicke auf ⇒ “Regenbogen“-effekt durch Interferenz
optische Vergütung ⇒ Verminderung der Reflexion durch destruktive Interferenz
Abbildung 71: optische Vergütung
⇒ Reflexion an (1) und (2) sollen destruktiv interferieren ⇒=
λ 1
(an beiden Grenzflächen
4 n2
Phasensprung von π)
Multilayer-Schichten
Abbildung 72: Multilayer-Schichten
Interferenz an vielen Schichten ⇒ R =
Iin
IR
kann zwischen 10−6 und 0, 99999 eingestellt werden (für mehrere Wellenlängen möglich)
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ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
5.7.5 Interferometer
z.B. Michelson-Interferometer
Abbildung 73: Michelson-Interferometer
Gangunterschied (im Vakuum) ∆ = 2d2 − 2d1 , Phasensprung um π bei einer Reflexion
konstruktive Interferenz für ∆ = mλ +
λ
2
Abbildung 74: Strahlteiler
n2 > n1 ⇒ (1) ⇒ kein Phasensprung
n2 > n1 ⇒ (2) ⇒ Phasensprung um π
⇒ Michelson-Interferometer kann Gang-Unterschied bzw. Phasendifferenz messen:
Beeinflussung der Phasendifferenz:
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ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
• Änderung der Weglänge ⇒ interferometrische Längenbestimmung
• Änderung des Brechungsintex (z.B. Temperaturänderung)
5.8 Beugung
• Abweichung von der geradlinigen Wellenausbreitung
• Wichtig: Bei Wechselwirkung eines Lichtfelds mit kleinen “Hindernissen“ bzw. an Kanten, die
das Lichtfeld beschneiden
Fresnel-Regime
Abbildung 75: Fresnel-Regime
• D 6 a
• “Nahfeld“
• berücksichtigt “Nicht“-Parallelität
Fraunhofer-Regime
Abbildung 76: Fraunhofer-Regime
• Da
• “Fernfeld“
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ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
• berücksichtigt “Nicht“-Parallelität
5.8.1 Beugung am Einfachspalt
Abbildung 77: Beugung am Einfachspalt
a
λ
sin θ =
2
2
⇒ Bedingung für 1. Minimum sin θ =
höhere Minima: sin θ =
λ
a
mλ
a
Intensitätsverteilung
Abbildung 78: Intensitätsverteilung
I(θ) = I0
sin2 α
α2
mit α =
πa λ
sin θ
5.8.2 Beugung an Kreisförmiger Öffnung
sin θm =
1, 22λ
(1. Beugungsminimum)
d
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5
ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
Auflösungsvermögen
Abbildung 79: Auflösungsvermögen Beugungsminimum
• Für Wahrnehmung zweier Sterne: Beugungsbilder dürfen nicht überlappen
• Kriterium: 1. Beugungsminimum eines Beugungsscheibchens fällt mit Hauptmaximum des
anderen Beugungsscheibchens zusammen.
⇒ θR = arcsin
1, 22λ
d
≈ 1, 22
λ
Rayleigh-Kriterium
d
Addendum: Kohärenz
Bedingung für Interferenz: feste Phasenbeziehung zwischen überlagerten Wellen
Abbildung 80: Kohärenz
E1 = E01 (sin(ω1 + φ1 ))
E2 = E02 (sin(ω2 + φ2 ))
∆φ = φ1 − φ2
Interferenz bedingt ∆φ varriiert während Beobachtungszeit nur wenig. ⇒
Wellen (1) und (2) sind kohärent.
Gründe für Variation von ∆φ:
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ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
1. ω1 6= ω2 bzw. ω1 und ω2 sind zeitlich nicht konstant oder nicht genau bestimmt.
2. Lichtquelle sendet endliche, unabhängige Wellenzüge aus.
3. Brechungsindex fluktuiert
Kohärenzzeit: ∆tc ist die Zeit, in der sich ∆φ um höchstens 2π ändert.
Abbildung 81: Kohärenz
s1 , s2 } zurückgelegte Strecke
t1 =
s2
s1
, t2 =
c
c
⇒ Interferenzbeobachtung für t2 − t1 < ∆tc
für Laser typisch: ∆tc ∼ 1µs
für Weißlicht typisch: ∆tc ∼ einige f s
5.8.3 Beugung am Doppelspalt
sehr schmale Spalte
Abbildung 82: Beugung am Doppelspalt
Maxima für: sin θ = m
λ
a
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5
ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
1 λ
Minima für: sin θ = m +
2 a
⇒ Abstand 2er Minima: ∆θD ≈
λ
a
Einzelspalt:
Abbildung 83: Beugung am Einzelspalt
λ
a
λ
Abstand 2er Minima (auf der gleichen Seite des o. Hauptmaximums): ∆θE ≈
a
Minima für sin θE =
endliche Spalte beim Doppelspaltexperiment:
Abbildung 84: Endliche Spalte am Doppelspalt
2
I(θ) = Imax cos (β)
sin α
α
2
mit β =
πd
πa
sin θ , α =
sin θ
λ
λ
bei N Spalten treten zusätzlich N − 2 Nebenmaxima auf.
Der Cosinus gibt hier die einzelnen Interferenzmaxima an (wenn cos = 1 ist Maximum gegeben), der
Sinus Cardinalis die “Hüllkurve“.
5.8.4 Beugungsgitter
mit
a = Spaltbreite
d = Abstand zwischen den Spalten
N = Anzahl der Spalten
m = Maximum / Minimum der Ordnung m (m = 1 ist Hauptmaximum)
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Zusammenhang: a =
5
ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
d
ohne Kenntnis des sin θ.
m
Abbildung 85: Beugungsgitter
(Haupt)Maximum für: d sin θ = mλ
1. Minimum für Gangunterschied zwischen 1. und N’ten Spalt: λ (für N → ∞)
⇒ N d sin(∆θ 1 ) = λ
2
⇒ Linienbreite: ∆θ =
2λ
Nd
Abbildung 86: Linienbreite
Dispersion und Auflösungsvermögen
Auflösungsvermögen: R =
λ
∆λ
Winkeldispersion - Definition
∆θ
=D
∆λ
mit ∆θ = Winkelabstand zweier benachbarter Wellenlängen mit Unterschied ∆λ
⇒ Winkeldispersion eines Gitters:
d sin θ = mλ ⇒ d cos θ dθ = m dλ (Ableitung)
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ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
d
dλ
d
λ = sin θ ⇒
= cos θ
m
dθ
m
dθ
m
=
dλ
d cos θ
⇒
Auflösungsvermögen eines Gitters:
Linienbreite:
2λ
(0. Ordnung): ∆θ =
Nd
2λ
höhere Ordnung: ∆θ =
N d cos θ
⇒ minimaler Auflösungswinkel (Minimum für 1. Wellenlänge fällt auf Maximum für 2. Wellenlänge):
∆θ 1 =
2
λ
d cos θ
λ
λ
⇒ ∆λ =
=
N d cos θ
N D cos θ m
Nm
⇒ R=
λ
= N m für Gitterbeugung
∆λ
5.9 Polarisation
5.9.1 Lineare und zirkulare Polarisation
a) Lineare Polarisation:
~k = k~ez (Ausbreitungsrichtung)
~ t) = ~ex E0x sin(kz − ωt) = ~ex Ex (z, t) oder
⇒ E(z,
~ t) = ~ey E0,y sin(kz − ωt) = ~ey Ey (z, t)
E(z,
~ t) = (~ex E0,x + ~ey E0y ) sin(kz − ωt)
Allgemein: E(z,
|
{z
}
~0
E
~ =
|E|
q
2 + E 2 |sin(kz − ωt)|
E0x
0y
• Ex und Ey schwingen in Phase
• E0 steht fest im Raum
• Betrag oszilliert
b) zirkulare Polarisation:
~ x und E
~ y schwingen π außer Phase
• E
2
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ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
• E0x und E0y sind gleich
~ t) = ~ex E0,x sin kz − ωt + π ± ~ey E0,y sin (kz − ωt)
• E(z,
2
• mit “+“ für rechts zirkular und “-“ für links zirkular
~ Feld-Vektor rotiert in der x-y-Ebene
⇒ E1
~ = E0 (cos2 (kz − ωt) + sin2 (kz − ωt)) 2 = E0 = E0x = E0y
|E|
c) elliptische Polarisation:
allgemeiner Fall
~ = E0x ~ex sin(kz − ωt + ϕ) + E
~ = E0y ~ey sin(kz − ωt + ϕ) mit ϕ 6= 0 oder π
E
2
d) natürliches Licht:
• Glühlampe, Neonröhre, Kerze, Sonne: unpolarisiert (zufällig polarisiert)
• Laser: in der Regel polarisierend
5.9.2 Erzeugung von polarisiertem Licht
a) Dichroismus
Polarisation durch Absorption
Beispiel: Drahtgitterpolarisation, Polarisationfolie
Dichroitische Kristalle:
• anisotrop, besitzen Vorzugsrichtung (=optische Achse)
• Licht, das senkrecht zur optischen Achse polarisiert ist wird stark absorbiert
• Dichroitisches Verhalten ist im allgemeinen wellenlängenabhängig
Malus’sche Gesetz
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ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
Abbildung 87: Polarisationsfilter
I(θ) = Iin cos2 (θ)
b) Polarisation durch Reflexion
Definition:
• p-Polarisation (parallel) =
b Polarisationsvektor liegt in der Ebene die von einfallendem und
reflektiertem Strahl aufgespannt wird.
• s-Polarisation (senkrecht) =
b senktrecht zur p-Polarisation
~r ⊥ K
~T
Es gilt: falls K
θ 1 + θ2 =
π
2
⇒ p-Polarisation wird nicht reflektiert =tan
b
θ1 =
n2
Gesetz von Brewster
n1
z.B. Übergang Luft/Glas: n1 = 1 , n2 = 1, 5 ⇒ θ1 ≈ 57◦
⇒ Allgemein: Reflexion hängt vom Einfallswinkel ab. (Fresnel’sche Gleichungen)
c) Polarisation durch Streuung
Versuch: Streuung eines Laserstrahls in Wasser
Polarisierender Kristall
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Prof. Dr. Axel Goerlitz, WS 2010/11, HHU Duesseldorf
Vorlesung: Optik I, inoffizielle Mitschrift
by: Christian Franzen, Matr. 1956616
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ELEKTROMAGNETISCHE WELLE
Abbildung 88: Polarisierung-ändernder Kristall
Eingang:
E0~ey sin(kz − ωt)
Ea0~ex sin(kz − ωt)
Ausgang:
2
E0~ey sin 2π ·
− ωt
λ0 2
Ea0~ex sin
− ωt
λa0
⇒ ∆ϕ = 2π ·
⇒ ∆ϕ =
l
l
−
λ0 λa0
π
⇒ zirkular polarisiertes Licht
2
⇒ ∆ϕ = π ⇒ lineare Polarisation, aber gedreht
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