Outline

Spieltheorie
Kapitel 7, 8
Evolutionary Game Theory
Modelling Network Traffic using Game Theory
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 1
Outline
  Spieltheorie Einführung
  Evolutionary Game Theory
  Spieltheorie in Netzwerken
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 2
Outline
• Erstens
• Zweitens
• Drittens
Outline
  Spieltheorie Einführung
  Das Spiel
  Terminologien
  Nash Gleichgewichte
  Mixed Strategies
  Evolutionary Game Theory
  Evolutionär Stabile Strategie (EES)
  Abstrakte Spiele
  EES vs. Nash Gleichgewicht
  Spieltheorie in Netzwerken
  Einführung
  Gleichgewichte
  Braess Paradox
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 3
Outline
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Spieltheorie
Spiel
Beeinflusst Ausgang (Auszahlung)
Interaktion
Spieler 1
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 4
Spieler 2
Outline
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Spieltheorie
Das Gefangenen Dilemma
Outline
Video: http://www.youtube.com/watch?v=ED9gaAb2BEw
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 5
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Spieltheorie
Das Gefangenen Dilemma
Outline
Alice
Dilbert
schweigen
gestehen
schweigen
-1,-1
-10,0
gestehen
0,-10
-6,-6
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 6
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Spieltheorie
Das Gefangenen Dilemma
Spieler
Normalform / Spielmatrix
Alice
Dilbert
schweigen
gestehen
schweigen
-1,-1
-10,0
gestehen
0,-10
-6,-6
Strategien
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 7
Auszahlung
Outline
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Spieltheorie
Terminologie: Best Response
Ich schweige, denn
wenn alle schweigen,
ist das insgesammt
gesehen am besten.
Outline
Dilbert schweigt,
das beste was ich
also tun kann ist
gestehen.
Alice
Dilbert
schweigen
gestehen
schweigen
-1,-1
-10,0
gestehen
0,-10
-6,-6
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 8
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Spieltheorie
Terminologie: Dominante Strategie
Outline
Ich schweige, denn
egal was Alice macht,
schweigen ist die
bessere Strategie.
Ich schweige
Alice
Dilbert
schweigen
gestehen
schweigen
1,1
-5,0
gestehen
0,-5
-6,-6
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 9
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Spieltheorie
Terminologie: Nash Gleichgewicht
Im Nash Gleichgewicht ist jede Strategie ein best response.
Schweige ich, so wird
Alice gestehen. Also
bleibt mir nur auch zu
gestehen. Es war
Alice!
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Es war
Dilbert!
Alice
Dilbert
schweigen
gestehen
schweigen
-1,-1
-10,0
gestehen
0,-10
-6,-6
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 10
Outline
Spieltheorie
Terminologie: Mixed Strategys
Outline
Papier
Stein
Es existiert kein
Nash Gleichgewicht
mit reinen Strategien
Alice
Dilbert
Schere
Stein
Papier
Schere
0,0
0,1
1,0
Stein
1,0
0,0
0,1
Papier
0,1
1,0
0,0
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 11
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Spieltheorie
Terminologie: Mixed Strategys
20% Papier,
40% Stein,
40% Schere
10% Stein,
40% Schere,
50% Papier
Alice
Dilbert
Schere
Stein
Papier
Schere
0,0
0,1
1,0
Stein
1,0
0,0
0,1
Papier
0,1
1,0
0,0
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 12
Outline
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Spieltheorie
Terminologie: Mixed Strategys
33% Papier,
33% Stein,
33% Schere
33% Stein,
33% Schere,
33% Papier
Nash Gleichgewicht
in gemischter
Strategie
Alice
Dilbert
Schere
Stein
Papier
Schere
0,0
0,1
1,0
Stein
1,0
0,0
0,1
Papier
0,1
1,0
0,0
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 13
Outline
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Evolutionary Game Theory
Spieltheorie
Evolutionäre Spieltheorie
Schere
Stein
Stein
Papier
Stein
VS.
VS.
Schere
Schere
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 14
Schere
Schere
Stein
Stein
Outline
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Evolutionary Game Theory
Analogien
Outline
Strategie ist
durch Gene
festgelegt
Organismus
Erwartete
Auszahlung ist
Fitness des
Organismus
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 15
Strategien der
anderen
Hängt ab von
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Evolutionary Game Theory
Beispiel: Das Körpergrößenspiel
Population von Käfern
Outline
Fitness hängt hauptsächlich
von Essen ab
Mutation: Große Käfer
Großer Körper braucht
mehr Nährstoffe
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 16
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Evolutionary Game Theory
Beispiel: Das Körpergrößenspiel
Outline
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 17
Evolutionary Game Theory
Beispiel: Das Körpergrößenspiel
Outline
1. Käfer
2. Käfer
klein
groß
klein
5,5
1,8
groß
8,1
3,3
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 18
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Evolutionary Game Theory
Evolutionär Stabile Strategien
Outline
Nash Gleichgewicht
Eine Wahl der Strategien, die beibehalten
bleibt, sobald die Spieler diese einmal
“erreicht” haben.
?
Analogon im evolutionären Setting
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 19
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Evolutionary Game Theory
Evolutionär Stabile Strategien
Nash Gleichgewicht
Eine Wahl der Strategien, die beibehalten
bleibt, sobald die Spieler diese einmal
“erreicht” haben.
Evolutionär Stabile Strategien
Genetisch bedingte Strategie, die in einer
Population bestehen bleibt, wenn sie einmal
die “Vorherrschaft” errungen hat.
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 20
Outline
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Evolutionary Game Theory
Evolutionär Stabile Strategien
Outline
Oder Anders:
“Benutzt” die gesamte Population eine bestimmte
Strategie für die gilt: “Jede kleine Gruppe an
Eindringlingen, die eine andere Strategie benutzt,
stirbt mit der Zeit ab”. Dann spricht man von einer
Evolutionär stabilen Strategie (ESS)
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 21
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Evolutionary Game Theory
Evolutionär Stabile Strategien
Formal:
•  Die Fitness eines Organismus ist die erwartete
Auszahlung bei einer Interaktion mit einem
zufälligen Mitglied der Population.
•  Invasion: Strategie T invadiert Strategie S auf
Ebene x, für kleines x > 0, wenn ein x-tel der
Population Strategie T benutzt und ein 1-x-tel
der Population Strategie S.
•  Eine Strategie S ist evolutionär stabil, falls für
y > 0 (klein) mit x < y gilt: Für jede Strategie T,
die S auf Ebene x (<y) invadiert gilt: Die Fitness
aller S-Individuen ist größer oder gleich der
Fitness der T-Individuen.
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 22
Outline
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Evolutionary Game Theory
Beispiel: Evolutionär Stabile Strategie
Outline
1-x “benutzen” Strategie Klein
x “benutzen” Strategie Groß
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 23
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Evolutionary Game Theory
Beispiel: Evolutionär Stabile Strategie
Fittnes eines kleinen Käfers
Wahrscheinlichkeit
kleinen Käfer zu treffen
5(1-x) + 1x = 5 – 4x
klein
groß
klein
5,5
1,8
groß
8,1
3,3
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 24
Outline
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Evolutionary Game Theory
Beispiel: Evolutionär Stabile Strategie
Fitness eines großen Käfers
Wahrscheinlichkeit
kleinen Käfer zu treffen
8(1-x) + 3x = 8 – 5x
klein
groß
klein
5,5
1,8
groß
8,1
3,3
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 25
Outline
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Evolutionary Game Theory
Beispiel: Evolutionär Stabile Strategie
Outline
“klein” ist nicht evolutionär stabil, da
für kleine x die Fitness von groß stets
größer ist als die von klein
klein
groß
klein
5,5
1,8
groß
8,1
3,3
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 26
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Evolutionary Game Theory
Beispiel: Evolutionär Stabile Strategie
1-x “benutzen” Strategie Groß
x “benutzen” Strategie klein
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 27
Outline
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Evolutionary Game Theory
Beispiel: Evolutionär Stabile Strategie
Fitness eines großen Käfers
Wahrscheinlichkeit
großen Käfer zu treffen
3(1-x) + 8x = 3 + 5x
klein
groß
klein
5,5
1,8
groß
8,1
3,3
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 28
Outline
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Evolutionary Game Theory
Beispiel: Evolutionär Stabile Strategie
Fitness eines kleinen Käfers
Wahrscheinlichkeit
großen Käfer zu treffen
(1-x) + 5x = 1 + 4x
klein
groß
klein
5,5
1,8
groß
8,1
3,3
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 29
Outline
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Evolutionary Game Theory
Beispiel: Evolutionär Stabile Strategie
Outline
“groß” ist evolutionär stabil, da für
kleine x die Fitness von “groß” stets
größer ist als die von “klein”
klein
groß
klein
5,5
1,8
groß
8,1
3,3
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 30
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Evolutionary Game Theory
Empirisch nachgewiesen
Arms Race in der Biologie
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 31
Outline
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Evolutionary Game Theory
Allgemeine Beschreibung
Outline
Strategien: S, T, (1-x) sind S-Organismen
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Erwartete Auszahlung für S-Organismus
a(1-x)+bx
Erwartete Auszahlung für T-Organismus
c(1-x)+dx
S ist evolutionär stabil, falls
a(1-x)+bx > c(1-x)+dx
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 32
S
T
S
a,a
b,c
T
c,b
d,d
Evolutionary Game Theory
Allgemeine Beschreibung
Outline
S ist evolutionär stabil, falls
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
a(1-x)+bx > c(1-x)+dx
1.  a > c
2.  a = c und b > d
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 33
S
T
S
a,a
b,c
T
c,b
d,d
Evolutionary Game Theory
ESS vs. Nash
Outline
S,S ist Nash Gleichgewicht für
a größer gleich c
S,S ist ESS für
1.  a > c
2.  a = c und b > d
Ist S evolutionär stabil, dann ist (S,S) ein
Nash Gleichgewicht
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 34
S
T
S
a,a
b,c
T
c,b
d,d
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Evolutionary Game Theory
ESS und mixed Strategies
Outline
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 35
Game Theorie and Networks
Equilibrium Traffic
Outline
4000 Autos wollen von A nach B
C
x/100
45
A
B
45
x/100
D
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 36
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Game Theorie and Networks
Equilibrium Traffic
Outline
4000 Autos wollen von A nach B
C
x/100
A
45
B
4000/100 + 45 = 85
45
x/100
D
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 37
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Game Theorie and Networks
Equilibrium Traffic
Outline
4000 Autos wollen von A nach B
C
x/100
A
45
B
4000/100 + 45 = 85
45
x/100
D
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 38
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Game Theorie and Networks
Equilibrium Traffic
Outline
4000 Autos wollen von A nach B
C
x/100
A
45
B
2000/100 + 45 = 65
45
x/100
D
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 39
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Game Theorie and Networks
Equilibrium Traffic
Outline
Statt 2 Spielern
4000
C
A
B
D
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 40
Nash
Equilibrium ist
immer noch
Menge an Best
Response
Strategien
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Game Theorie and Networks
Equilibrium Traffic
Outline
Nash
Equilibrium
existiert
C
A
Nash
Equilibrium
D
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 41
B
Alle
Strategiemengen,
die sich gleich auf
oben und unten
verteilen sind Nash
Gleichgewichte
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Game Theorie and Networks
Braess‘s Paradox
Outline
4000 Autos wollen von A nach B
C
x/100
45
A
B
0
45
x/100
D
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 42
•  GT Einführung
• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
• Abstrakte Spiele
• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Game Theorie and Networks
Braess‘s Paradox
Outline
4000 Autos wollen von A nach B
C
x/100
45
A
B
0
45
x/100
D
Einziges Nash Gleichgewicht: 4000/100*2 = 80
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 43
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• Das Spiel
• Terminologien
• Nash
• Mixed Strategies
•  Evolutionary GT
• EES
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• EES vs. Nash
•  GT in Netzwerken
• Einführung
• Gleichgewichte
• Braess Paradox
Vielen Dank
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 44
Quellen
Inhalt
Davide Easley, Jon Kleinberg, Networks Crowds and Markets, Cambridge University Press, 2010, Kapitel
6,7 und 8
Video
http://wn.com/prisoner's_dilemma, accessed November 29, 2010
Bilder
Käfer
Myers, P., R. Espinosa, C. S. Parr, T. Jones, G. S. Hammond, and
T. A. Dewey. 2006. The Animal Diversity Web (online). Accessed November
26, 2010 at http://animaldiversity.org.
Baum
Christmas Tree by Phillip J Rhoades, http://www.ungab.com/coloring
01.12.2010 | Arno Mittelbach | 45