2. ¨Ubung (KW 17/18)

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— Lösungen —
2. Übung (KW 17/18)
2. Übung (KW 17/18)
Aufgabe 1
(T 1.5 Eistemperatur“)
”
Eis (Masse mE ) wird in siedendes Wasser (Masse mW ) gebracht. Die Mischungstemperatur ist ϑM . Als Kalorimeter dient ein Thermogefäß, dessen Wärmekapazität zu
vernachlässigen ist. Welche Temperatur ϑE hatte das Eis?
cE = 2.09 kJ kg−1 K, cW = 4.19 kJ kg−1 K, qf = 332 kJ kg−1
mE = 100 g, mW = 500 g, ϑM = 69 ◦C
Aufgabe 2
(T 2.1 Verbundfenster“)
”
Ein Verbundfenster der Fläche A besteht aus zwei Glasscheiben der Dicke d1 , zwischen denen sich eine Luftschicht befindet. Das Glas hat die Wärmeleitfähigkeit
λ1 , die Luftschicht den Wärmedurchgangskoeffizienten k2 (die Konvektion ist damit berücksichtigt). Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen αi (Zimmerluft
ruhend) und außen αa (Außenluft leicht bewegt). Die Innentemperatur ist ϑi , die
Außentemperatur ϑa .
(a) Berechnen Sie die Heizleistung P , die erforderlich ist, um den Energieverlust,
den der Wärmestrom durch das Fenster verursacht, zu ersetzen!
(b) Welchen Wert P 0 nimmt die erforderliche Heizleistung an, wenn das Fenster nur
eine Scheibe der Dicke d3 hat?
A = 2 m2 , d1 = 3.5 mm, d3 = 5.4 mm, λ1 = 0.85 W m−1 K−1 , k2 = 5.9 W m−2 K−1 ,
αi = 12.5 W m−2 K−1 , αa = 25 W m−2 K−1 , ϑi = 22 ◦C, ϑa = −10 ◦C
Aufgabe 3
(T 3.7 Kreisprozess“)
”
Mit einem idealen Gas wird ein Kreisprozess ausgeführt, der sich aus folgenden Zustandsänderungen zusammensetzt, die in der angegebenen Reihenfolge durchlaufen
werden.
1. isobare Ausdehnung,
2. isotherme Zustandsänderung,
3. isochore Zustandsänderung.
Stellen Sie den Prozess im p(V )-Diagramm und im p(T )-Diagramm dar! Welches
Vorzeichen hat die vom Gas verrichtete Arbeit?
Jens Patommel <[email protected]>
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Aufgabe 4
— Lösungen —
2. Übung (KW 17/18)
(T 3.2 Luftblase“)
”
In welcher Wassertiefe h eines Sees beträgt das Volumen einer aufsteigenden Luftblase ein Zehntel des Volumens, das sie beim Auftauchen an der Wasseroberfläche hat?
(Kleine Luftblasen haben eine geringe Steiggeschwindigkeit und nehmen deshalb die
Temperatur des umgebenen Wassers an, die sich mit der Wassertiefe ändert.)
Luftdruck p1 = 1024 hPa,
Oberflächentemperatur ϑ1 = 13 ◦C,
Tiefentemperatur ϑ2 = 4 ◦C,
Dichte des Wassers %W = 1000 kg m−3
Aufgabe 5
(T 3.4 Luftpumpe“)
”
Eine Luftpumpe hat das Maximalvolumen V1 , das sich beim Ansaugen von Luft
vom Druck p1 und der Temperatur ϑ1 füllt. Beim anschließenden Komprimieren
öffnet sich das Ventil, wenn in der Pumpe der Druck den Wert p2 erreicht hat (keine
Wärmeabgabe an die Umgebung).
(a) Welches Volumen V2 hat in diesem Augenblick die eingeschlossene Luft?
(b) Wie groß ist dann die Temperatur ϑ2 ?
(c) Welche Arbeit W 0 wird an dem Gas bis zum Öffnen des Ventils verrichtet?
(d) Wie groß ist die Masse m des Gases, das bei N Pumpstößen in den Schlauch
befördert wird?
(e) Was geschieht mit der von außen zugeführten Energie?
V1 = 250 cm3 , p1 = 101 kPa, p2 = 405 kPa, ϑ1 = 20 ◦C, Mr = 29, κ = 1.40,
N = 50
Jens Patommel <[email protected]>
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— Lösungen —
2. Übung (KW 17/18)
Lösung zu Aufgabe 1
Wir betrachten die folgenden vier Teilprozesse:
1. Erhöhung der Temperatur des Eises von der Ausgangstemperatur TE auf die
Schmelztemperatur T0 . Dabei nimmt das Eis die Wärmemenge Q1 auf.
2. Schmelzen der kompletten Eismasse; beim Übergang von fest zu flüssig nimmt
das Eis die Wärmemenge Q2 auf.
3. Erhöhung der Temperatur des geschmolzenen Eises von der Schmelztemperatur T0 auf die Mischtemperatur TM , wobei das geschmolzene Eis die Wärmemenge Q3 aufnimmt.
4. Erniedrigung der Temperatur des siedenden Wassers von der Siedetemperatur
TS auf die Mischtemperatur TM . Bei diesem Vorgang gibt das siedende Wasser
die Wärmemenge Q4 ab.
Die einzelnen Wärmemengenbeiträge sehen im einzelnen wie folgt aus:
Q̇1 = mE cE (T0 − TE )
(1.1)
Q̇2 = mE qf
(1.2)
Q̇3 = mE cW (TM − T0 )
(1.3)
Q̇4 = mW cW (TM − TS )
(1.4)
Wenn das Kalorimeter ordentlich wärmeisoliert ist, geht weder Wärme an die Umgebung verloren, noch wird Wärme von der Umgebung in das System Wasser/Eis
transportiert. Mechanische Arbeit wird ebenfalls nicht verrichtet, also muss nach
dem Energieerhaltungssatz die Summe aller Wärmemengenbeiträge gleich Null sein,
was das Berechnen der gesuchten Temperatur gestattet:
0 = Q1 + Q2 + Q3 + Q4
(1.1)−(1.4)
⇐⇒
⇐⇒
=⇒
0 = mE cE (T0 − TE ) + mE qf + mE cW (TM − T0 ) + mW cW (TM − TS )
qf
cW
mc cW
+
(TM − T0 ) +
(TM − TS ) = 259.6 K
TE = T0 +
cE
cE
mE cE
ϑE = −13.6 ◦C .
Lösung zu Aufgabe 2
(a) Aufgrund des Temperaturunterschiedes zwischen der Luft im Innenraum und
der Luft außerhalb des Hauses (innen warm, außen kalt) findet Wärmetransport von
innen nach außen statt, wobei der Wärmestrom durch die Gleichung
Q̇ = kA (ϑi − ϑa )
Jens Patommel <[email protected]>
(2.1)
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— Lösungen —
k2 = [1/↵m + d2/
↵i
1
d1
#i
Temperatur
#1
z
↵m
}|
2
+ 1/↵m ]
{
↵m
2
d2
2. Übung (KW 17/18)
1
1
↵a
d1
#2
#3
#4
#5
Luft innen
Glas
Luft zwischen Glas
#6
Glas
#a
Luft außen
Ort
gegeben ist. Der Wärmestrom ist proportional zum Temperaturunterschied und zur
Querschnittsfläche A des Wärmeleiters (hier Querschnitt der Fensterscheibe), mit
dem Wärmedurchgangskoeffizienten k als Proportionalitätsfaktor. In Analogie zur
1
definieren, mit dem die
Elektrotechnik kann man einen Wärmewiderstand R = kA
Gleichung (2.1) die Form
∆ϑ = RQ̇
annimt. Der Temperaturunterschied ∆ϑ entspricht dem Spannungsabfall U am elektrischen Widerstand und der Wärmestrom Q̇ entspricht der eletrischen Stromstärke I.
Diese Analogie ist hilfreich, wenn man den Wärmetransport durch hintereinander
geschaltete Wärmewiderstände betrachtet. In unserem Beispiel ist dies der Übergang von Innenluft zur inneren Scheibe (Widerstand R1 ), der Durchgang durch die
Scheibe (Widerstand R2 ), der Übergang von der inneren Scheibe zur Luft zwischen
den Scheiben (Widerstand R3 ), der Durchgang durch die Luft zwischen den Scheiben
(Widerstand R4 ), Übergang von Luft zur äußeren Scheibe (Widerstand R5 ), Durchgang durch diese Scheibe (Widerstand R6 ) und schließlich der Übergang von der
äußeren Scheibe zur Außenluft (Widerstand R7 ). Wie in der Elektrotechnik addieren
sich auch die Wärmewiderstände bei Serienschaltung, der Gesamtwärmewiderstand
ergibt sich also zu
1
= R = R1 + R2 + R3 + R4 + R5 + R6 + R7
kA
1
d1
1
d2
1
d1
1
=
+
+
+
+
+
+
.
αi A λ1 A αm A λ2 A αm A λ1 A αa A
Jens Patommel <[email protected]>
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2. Übung (KW 17/18)
Die Querschnittsfläche kürzt sich raus, wir erhalten also
1
1
d1
1
d2
1
1
d1
=
+
+
+
+
.
+ +
k
αi λ1 αm λ2 αm λ1 αa
{z
}
|
1
k2
In der Aufgabe wurden die drei Widerstandsbeitrage zwischen den Scheiben zu einem
Term zusammengefasst und mit k2 bezeichnet. Für den Gesamtwärmedurchgangskoeffizienten errechnen wir schlielich
−1
1
1
2d1
1
+
+
+
= 3.36 W m−2 s−1 .
k=
αi αa k2
λ1
Damit die Temperatur im Innenraum konstant bleibt, muss die Heizleistung die
abtransportierte Wärme ersetzen, die gesuchte Heizleistung ergibt sich also zu
P = Q̇ = kA(ϑi − ϑa ) = 3.36 W m−2 s−1 · 2 m2 · 32 K = 215 W .
(b) Für eine einfache Fensterglasscheibe ergibt sich ein Übergangskoeffizient von
1
d2
1
k=
+
+
αi λ1 αa
−1
= 7.91 W m−2 s−1
und somit eine Heizleistung von
P 0 = 7.91 W m−2 s−1 · 2 m2 · 32 K = 507 W ,
die Heizkosten würden sich also mehr als verdoppeln!
Jens Patommel <[email protected]>
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2. Übung (KW 17/18)
Lösung zu Aufgabe 3
p(T )
p(V )
Isochore
V = VA
p2
p2
2.
A
3.
Isobare p = p1
1.
VA
C
Isotherme
T = T 2 > T1
W< 0
p1
Isochore
V = VA
Isotherme
T = T 3 > T2
C
3.
Isotherme
T = T1
B
p1
A
1.
Isotherme
T = T1
VB
V
2.
TA
B
T1
Isobare
p = p1
T
Der Kreisprozess setzt sich aus drei Teilprozessen zusammen, die wir im einzelnen
diskutieren wollen.
1. Isobare Ausdehnung
Das Gas dehnt sich bei konstantem Druck p = p1 vom Volumen VA auf das Volumen
VB > VA aus. Da in beiden Diagrammen der Druck als Ordinate aufgetragen ist,
wird die isobare Zustandsänderung in beiden Diagrammen als horizontal verlaufende
Linie dargestellt. Im p(V )-Diagramm ist sofort ersichtlich, dass der isobare Teilprozess von links nach rechts verläuft, schließlich vergrößert sich das Volumen bei der
Ausdehnung. Um die Richtung im p(T )-Diagramm zu ermitteln, muss man herausfinden, wie sich die Temperatur in Abhängigkeit des Volumens bei einer isobaren
Ausdehnung verhält. Dabei hilft die Idealgasgleichung pV = νRT . Wenn Druck p
und Stoffmenge ν konstant bleiben, verhalten sich Volumen und Temperatur proportional zueinander, d. h. die Temperatur erhöht sich bei Expansion des Gases und
erniedrigt sich bei Kompression. Weil sich unser Gas im ersten Teilprozess ausdehnt,
muss sich dessen Temperatur erhöhen, die horizontale Isobare verläuft also auch im
p(T )-Diagramm von links nach rechts.
1. Isotherme Zustandsänderung
Die Temperatur bleibt konstant. Aus der Idealgasgleichung folgt, dass sich in diesem
Fall Druck und Volumen umgekehrt proportional zueinander verhalten, p ∝ V −1 ,
d. h. im p(V )-Diagramm entspricht die Isotherme einer Hyperbel. Folgen wir nun
der Hyperpel nach links oben oder nach rechts unten? Die Antwort ergibt sich aus
dem dritten Teilprozess, dort müssen wir per isochorer Zustandsänderung zum Ausgangspunkt zurückkehren, was nur dann funktioniert, wenn wir der Isothermen nach
links oben folgen (Isochoren verlaufen im p(V )-Diagramm senkrecht, siehe nächsten
Abschnitt). Im p(T )-Diagramm wird die Isotherme als senkrechte Gerade dargestellt, denn die Temperatur wird entlang der Abszissenachse aufgetragen. Ob man
der senkrechten Isothermen nach unten oder nach oben folgen muss, ergibt sich aus
der Forderung, dass man im dritten Teilprozess per isochorer Zustandsänderung zum
Ausgangspunkt zuückkehren muss. Im Falle eines idealen Gases sind Isochoren im
p(T )-Diagram stets Geraden durch den Nullpunkt (siehe nächsten Abschnitt). Um
auf solch einer Isochoren zum Ausgangspunkt zurückkehren zu können, bleibt nichts
Jens Patommel <[email protected]>
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2. Übung (KW 17/18)
anderes übrig, als der Isothermen im zweiten Teilprozess nach oben zu folen.
3. Isochore Zustandsänderung
Bei diesem letzten Teilprozess kehren wir bei konstant gehaltenem Volumen zum
Ausgangspunkt zurück. Im p(V )-Diagramm werden Isochoren als senkrechte Geraden dargestellt, während sie sich im p(T )-Diagramm als durch den Nullpunkt verlaufende Geraden manifestieren. Letzteres erkennen wir anhand des Idealgasgesetzes,
aus welchem bei konstanter Stoffmenge und konstantem Volumen die Proportionalität zwischen Druck und Temperatur folgt, p ∝ T .
Mechanische Arbeit
Die im p(V )-Diagramm vom Kreisprozess eingeschlossene Fläche entspricht der umgesetzten Arbeit. Je nachdem, in welchem Umlaufsinn die Fläche umlaufen wird,
verrichtet das Gas positive Arbeit (Uhrzeigersinn) oder negative Arbeit (Gegenuhrzeigersinn). Man beachte, dass die von der Umgebung an dem Gas verrichtete Arbeit
W 0 den gleichen Betrag hat wie die Arbeit W , die das Gas verrichtet, aber entgegengesetztes Vorzeichen besitzt, W 0 = −W . Im konkreten Fall wird der Kreisprozess
im p(V )-Diagramm gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen, das Gas verrichtet also
während eines Umlaufes insgesamt negative und die Umgebung verrichtet an dem
Gas positive Arbeit.
Lösung zu Aufgabe 4
Wenn man die Luft innerhalb der Blase näherungsweise als ideales Gas ansieht, so
gilt die Idealgasgleichung, und für die beiden Situationen 1 (Oberfläche des Sees)
und 2 (Tiefe h) können wir
p1 V1 = N1 kB T1
p2 V2 = N2 kB T2
(4.1)
(4.2)
schreiben. Dabei wurde von der Annahme Gebrauch gemacht, dass die Luftblase
langsam genug nach oben steigt und somit die Lufttemperatur innerhalb der Blase
die Temperatur des umgebenen Wasser annimmt, welche nach oben hin größer wird.
Wenn wir weiterhin annehmen, dass während des Aufsteigens der Luftblase weder
im Wasser gelöste Luft in die Blase gelangt noch, dass Luftmoleküle aus der Blase
ins Wasser diffundieren, dann bleibt die Anzahl der Moleküle in der Blase konstant,
N1 = N2 und aus den Gleichungen (4.1) und (4.2) folgt durch Division
T2
p2 V 2
=
p1 V 1
T1
⇐⇒
p2 =
V1 T2
T2
p1 = f p1 .
V2 T1
T1
(4.3)
Da das Volumen der Luftblase in der Tiefe h auf ein zehntel ihres Volumens an der
Seeoberfläche zusammenschrumpft, gilt f = 10. Die Temperaturen T1 und T2 sind
gegeben, ebenso der Luftdruck p1 an der Wasseroberfläche. Folglich ist p2 via (4.3)
vollständig bestimmt. Stellt sich noch die Frage, in welcher Wassertiefe der Druck p2
herrscht. In der Wassertiefe h ergibt sich der Druck als Summe aus dem Luftdruck
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2. Übung (KW 17/18)
an der Wasseroberfläche und dem Druck, den die Wassersäule der Höhe h aufgrund
ihrer Gewichtskraft verursacht:
Fg
mg
ρV g
ρAhg
p 2 = p1 + pW = p1 +
= p1 +
= p1 +
= p1 +
= p1 + ρgh
A
A
A
A
⇐⇒ p2 = p1 + ρgh
T
p2 − p1 (4.3) f T21 p1 − p1
T2
p1
⇐⇒ h =
=
= f −1
ρg
ρg
T1
ρg
1024 hPa
(273.15 + 4)K
−1
= 10 ·
3
(273.15 + 13)K
10 kg m−3 · 9.81 m s−2
N m−2
kg m s2
= 90.6
=
90.6
= 90.6 m .
kg m−2 s2
kg s2
Lösung zu Aufgabe 5
Es soll das Komprimieren von Luft in einer Luftpumpe untersucht werden. Als Randbedingung wird angenommen, dass die Stoffmenge des Gases konstant bleibt (Ventil
bleibt geschlossen) und während des Vorganges keine Wärme an die Umgebung
abgeführt wird. Die zweite Annahme ist in der Praxis nur näherungsweise erfüllt,
denn eine Luftpumpe ist selten wärmeisoliert. Wenn jedoch der Kompressionsvorgang schnell genug erfolgt, so hat die Wärme keine Zeit, aus dem Gas durch die
Zylinderwand nach außen zu gelangen, d. h. bei hinreichend schnellem Pumpem ist
die Annahme einer adiabatischen Zustamdsänderung in guter Näherung gerechtfertigt.
(a) Wir gehen von der Adiabatengleichung aus und formen nach dem Volumen um:
κ1
p1
κ
κ
V1
(5.1)
p1 V1 = p2 V2
⇐⇒ V2 =
p2
1
101 kPa κ
=⇒ V2 =
· 250 cm3 = 92.7 cm3 .
405 kPa
(b) Wir wenden die Idealgasgleichung auf die Zustände 1 und 2 an,
p1 V1 = νRT1
p2 V2 = νRT2
(5.2)
(5.3)
und eliminieren durch Division die unbekannte Stoffmenge ν:
T2
p2 V 2
=
.
T1
p1 V 1
Nach der Temperatur T2 auflösen und das in (a) berechnete Volumen einsetzen führt
zum gesuchten Ergebnis:
1
−1 κ1
κ1 −1
p1
p1
p1
p2 V2 (5.1) p2 p1 κ
T2 =
T1 =
T1 =
T1 =
T1 = 435.6 K
p1 V1
p1 p2
p2
p2
p2
=⇒ ϑ2 = 162.5 ◦C .
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(c) Die an dem Gas verrichtete Arbeit ergibt sich aus folgendem Integral:
ZV1
ZV2
W = −W = − dV p(V ) = dV p(V ) .
0
(5.4)
V2
V1
Zum Lösen dieses Integrals benötigen wir die Funktion p(V ). Diese ergibt sich aus
der Adiabatengleichung, indem man diese auf den Anfangszustand (p1 , V1 , T1 ) und
einen beliebigen Zwischenzustand (p, V , T ) anwendet und nach p auflöst:
pV κ = p1 V1κ
⇐⇒ p = p1 V1κ V −κ .
(5.5)
Gleichung (5.5) wird in (5.4) eingesetz und das Integral gelöst:
V1
ZV1
p1 V1κ 1−κ
−κ
κ 1
0
κ
−κ+1 W = p1 V1 dV V = p1 V1 −κ+1 V
=
V1 − V21−κ
1−κ
V2
V2
"
1−κ #
p1 V11 V1κ−1 1−κ
V2
p
V
1 1
=
V1 − V21−κ =
1−
1−κ
1−κ
V1


( 1 )1−κ
"
#
1−κ
κ
κ
p
p
V
p
(5.1) p1 V1
1
1
1 −
= 1 1 1−
=
1−κ
p2
1−κ
p2
= 30.7 J .
(d) Die Masse mN der Luft, welche nach N Pumpstößen in den Reifen befördert
wird, ergibt sich aus der Masse m1 für einen einzelnen Pumpstoß, indem man diese
mit N multipliziert:
mN = N m 1 .
(5.6)
Die Masse m1 für einen einzelnen Pumpzyklus berechnen wir aus der Stoffmenge ν,
die sich vor dem Öffnen des Ventils in der Pumpe befindet und der molaren Masse
Mm (Masse pro Stoffmenge):
m1 = νMm .
(5.7)
Die Stoffmenge ν erhält man durch Auflösen der Gleichung (5.2):
(5.2)
=⇒
ν=
p1 V 1
.
RT1
(5.8)
Nun benötigen wir noch die molare Masse. Diese hängt mit der relativen Molekülmasse Mr über folgende Gleichung zusammen1 :
Mm = Mr g mol−1 .
(5.9)
1
Dieser Zusammenhang ist kein Zufall, sondern die Konsequenz aus der Definition der Stoffmengeneinheit: Die Einheit mol wird gerade so definiert, dass die in ihr enthaltene Teilchenzahl
eine Masse ergibt, deren Maßzahl in Gramm der relativen Teilchenmasse entspricht.
Jens Patommel <[email protected]>
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2. Übung (KW 17/18)
Schließlich setzen wir die Gleichungen (5.6), (5.7), (5.8) und (5.9) ineinander ein:
(5.6)
(5.7)
(5.8)
mN = N m1 = N νMm = N
p1 V1
p1 V1
(5.9)
Mm = N
Mr g mol−1 ,
RT1
RT1
was auf das Ergebnis
101 kPa · 250 cm3
· 29 g mol−1
8.314 J mol−1 K−1 · 293.15 K
3
3
−2
m)
3 10 Pa · (10
· g mol−1
= 15.0 × 10 ·
J mol−1
Pa m3
= 15.0 × 103 × 103 × 10−6 ·
·g
J
N m−2 m3
· g = 15.0 g
= 15.0 ·
Nm
m50 = 50 ·
führt.
(e) In Teilaufgabe (c) wurde die von außen an dem Gas verrichtete Arbeit zu 30.7 J
berechnet. Da keine Wärme abgeführt wird (adiabatischer Prozess), wird die gesamte
Arbeit dazu verwendet, die Innere Energie des Gases zu erhöhen, was zu einem
Anstieg der Temperatur von 20 ◦C auf 163 ◦C führt:
∆U = Q − W = Q + W 0 = W 0 > 0
=⇒
∆T =
∆U
>0.
m1 cV
Quellen
Die Aufgaben sind entnommen aus: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer,
Hellmut Zimmer, Übungsbuch Physik, Hanser Fachbuch, ISBN: 978-3-446-41785-4
http://www.hanser-fachbuch.de/buch/Uebungsbuch+Physik/9783446417854
Die Übungs- und Lösungsblätter gibt es unter
http://newton.phy.tu-dresden.de/~patommel/Physik_2_hydro
Die Homepage zur Vorlesung findet sich unter
http://iktp.tu-dresden.de/index.php?id=839
Jens Patommel <[email protected]>
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