1 Die zeitunabhängige S-Glg. für den (unendlich hohen - KIT

Die zeitunabhängige S-Glg. für den (unendlich hohen) Potentialtopf
V
∞
Diese Situation ist näherungsweise in
Halbleiterlasern gegeben:
∞
e-
L <10 nm
x
Blaue und violette Laserdioden: Eine Vielzahl von Potentialtöpfen
1
Die zeitunabhängige S-Glg. für den (unendlich hohen) Potentialtopf
V
klassisch:
∞
∞
e-
Elektron „liegt“ entweder auf dem Boden
(kinetische Energie = 0)
oder
L <10 nm
x
-bewegt sich wie ein Ping-Pong-Ball
hin und her
-stösst jeweils gegen die Wand und kehrt
Impuls und Geschwindigkeit um
Die zeitunabhängige S-Glg. für den (unendlich hohen) Potentialtopf
V
Quantenmechanisch:
∞
∞
Suche Eigenfunktion und
zur Eigenwerte zur zeitunabhängigen
Schrödinger-Gleichung:
e-
 h2 d 2

+ V ( x )ψ ( x ) = Eψ ( x )
−
2
2
m
dx


L <10 nm
x
mit
0 : 0 < x < L
V (x) = 
 ∞ : sonst
2
Die zeitunabhängige S-Glg. für den (unendlich hohen) Potentialtopf
V
∞
 h2 d 2

+ V ( x )ψ ( x ) = Eψ ( x )
−
2
 2m dx

∞
e-
Qualitatives zur Lösung:
Unendlich hoher Potentialwall
L
0
x
ψ(x) verschwindet ausserhalb des Topfes
mit Stetigkeit von ψ(x) folgt dann ψ(0)=ψ(L)=0
Die zeitunabhängige S-Glg. für den (unendlich hohen) Potentialtopf
V
∞
 h2 d 2

+ V ( x )ψ ( x ) = Eψ ( x )
−
2
 2m dx

∞
e-
Unendlich hoher Potentialwall
ψ(x) verschwindet ausserhalb des Topfes
mit Stetigkeit von ψ(x) folgt dann ψ(0)=ψ(L)=0
0
L
x
Zwischen 0 und L muss gelten:
−
h2 d 2
ψ ( x ) = Eψ ( x )
2m dx 2
3
Der unendlich hohe Potentialtopf: Lösung durch scharfes Hingucken
V
∞
−
ψ(0)=ψ(L)=0
∞
e-
h2 d 2
ψ ( x ) = Eψ ( x )
2m dx 2
hmm ... eine Funktion, die zweimal abgeleitet sich
selbst multipliziert mit einem Faktor ergibt ??
... wie wäre es mit einer Sinusfunktion ?
ψ ( x ) = A sin ( kx )
Einsetzen:
0
L
−
x
h2 d 2
h2 2
ψ (x) =
k sin(kx )
2
2m dx
2m
E =
O.K., S-Glg. ist gelöst für
ψ(0)=ψ(L)=0:
sin ( kL ) = 0 ⇒ kL = nπ wobei n ganz
h2k 2
2m
k =
bzw.
nπ
 nπ 
und k 2 = 

L
 L 
2
Der unendlich hohe Potentialtopf: Eigenschaften der Lösungen
Lösungen haben die Form:
E
h2  nπ 
 nπ x 
ψ n ( x ) = An sin 
;
E
=
 n 2m  L 
 L 


∞
2
wobei n=1,2,...
∞
Ψ3
E3
Ψ2
E2
Ψ1
E1
x
0
L
4
Der unendlich hohe Potentialtopf: Der konventionelle Weg
Wir wissen: Im Inneren des Topfes (0<x<L) erwarten wir
ebene Wellen (freies Teilchen):
V
∞
r
urr
r
urr
ψ + (r , t ) = A+ exp(i (kr − ωk t )); ψ − (r , t ) = A− exp(i ( −kr − ω− k t ))
∞
e-
in einer Dimension, zeitunabhängig
ψ + ( x ) = A+ exp(ikx ); ψ − ( x ) = A− exp( −ikx )
Ansatz zur Lösung der zeitunabhängigen S.-Glg.:
L <10 nm
x
ψ ( x ) = A+ exp(ikx ) + A− exp( −ikx )
Der unendlich hohe Potentialtopf: Der konventionelle Weg
Es muss aber auch erfüllt werden:
V
∞
∞
ψ(0)=ψ(L)=0
ψ (0) = A+ exp(ik 0) + A− exp( −ik 0) = A+ + A− = 0
e-
ψ (L ) = A+ exp(ikL ) + A− exp( −ikL) = 0
→ Lineares Gleichungssystem für A+ und AIn Matrixform:
L <10 nm
x
1
1

  A+ 

 −  = 0
 exp(ikL) exp( −ikL )   A 
Nichtriviale Lösung, falls Determinante verschwindet:
det (
) = exp(−ikL) − exp(ikL) = −2i sin(kL) = 0
π
⇒ k = n ; n ganze Zahl
L
5
Der unendlich hohe Potentialtopf: Der konventionelle Weg
Wegen A+=-A- lauten die Lösungen also:
V
∞
ψ ( x ) = A+ exp( ikx ) − A+ exp( −ikx ) =
∞
−2iA+ sin( kx ) = A sin(kx )
e-
π


 k = n ; n ganze Zahl 
L


L <10 nm
-dieser Weg erscheint hier zwar umständlich,
funktioniert aber (im Prinzip) ganz allgemein.
x
z.B.
V
x
Der unendlich hohe Potentialtopf: Eigenschaften der Lösungen
Lösungen haben die Form:
h2  nπ 
 nπ x 
ψ n ( x ) = An sin 
;
E
=
 n 2m  L 
 L 


E
Eigenschaften der Lösungen:
∞
2
wobei n=1,2,...
∞
Ψ3
-es gibt nur bestimmte diskrete Energien
(„Quantelung“)
-es gibt eine Minimalenergie E≠0 !!
(„Nullpunktsenergie“)
E3
Ψ2
E2
Ψ1
E1
x
0
L
6
Der unendlich hohe Potentialtopf: Eigenschaften der Lösungen
Lösungen haben die Form:
h2  nπ 
 nπ x 
ψ n ( x ) = An sin 
; En =



2m  L 
 L 
E
2
wobei n=1,2,...
∞
Eigenschaften der Lösungen:
∞
Ψ3
-das Elektron ist über den ganzen
Topf „verschmiert“, aber nicht gleichmässig
E3
-die niedrigste Lösung hat keinen Nulldurchgang
(Knoten)
- je höher die Energie, desto mehr Knoten
Ψ2
E2
Ψ1
-abwechselnd symmetrische und
antisymmetrische Wellenfunktionen
E1
x
L
0
Der unendlich hohe Potentialtopf: Eigenschaften der Lösungen
„proportional zur
Aufenthaltswahrscheinlichkeit“
2
ρ ( x, t ) = ψ ( x, t ) = ψ * ( x, t )ψ ( x, t )
E
∞
E
∞
Ψ3
∞
∞
|Ψ 3 |2
3.38 eV
3.38 eV
Ψ2
|Ψ 2 |2
1.5 eV
1.5 eV
Ψ1
|Ψ 1 |2
0.38 eV
0.38 eV
0
L
= 1 nm
x
0
L
= 1 nm
x
7
Der unendlich hohe Potentialtopf: Normierung der Lösungen
E
∞
Berechnung eines Erwartungswert sah bisher ziemlich
hässlich aus:
∞
Ψ3
3.38 eV
r
r
µ (r$, p
$ )ψ (r , t )
d rψ (r , t )F
$ ∫∫∫
r
r
<F>=
∫∫∫ d rψ (r , t )ψ (r , t )
3
Ψ2
1.5 eV
*
3
Ψ1
*
0.38 eV
0
L
= 1 nm
x
Handhabbarer –aber nicht immer möglich-:
r
r
d3rψ * (r , t )ψ (r , t ) = 1
∫∫∫
Normierung der Wellenfunktion
∫ψ
Zeitunabhängig, nur eine Dimension:
2 L
*
*
2  π xn 
∫0 ψ ( x )ψ ( x )dx = ∫0 A A sin  L  dx = A nπ
L
L
*
( x )ψ ( x )dx = 1
nπ
∫ A A sin ( y ) dy =
*
2
A
2
0
L
2
Der unendlich hohe Potentialtopf: Normierung der Lösungen
E
∞
∞
A
Ψ3
2
2
L
= 1; also A =
2
L
3.38 eV
Ψ2
Wir wählen o.B.d. A.
A=
1.5 eV
Ψ1
2
L
0.38 eV
0
L
= 1 nm
x
Die gesuchten normierten
Wellenfunktion lauten also:
mit den Energien:
 2
 nπ x 
sin 

:0 < x <L
ψ n (x) =  L
 L 

0 : sonst

; En =
h 2  nπ 


2m  L 
2
wobei n=1,2,...
8
Der unendlich hohe Potentialtopf: Erwartungswerte
L
Damit errechnen sich die Erwartungswerte gemäß:
*
$
<F>=
∫ ψ ( x, t )Fµ (x, p$ x )ψ ( x, t )dx
0
Nehmen wir an, dass Elektron wird beschrieben durch
die Wellenfunktion ψn („ist im Zustand n“).
Erwartungswerte ?
L
 h2 d 2 
*
$
µ
<E>=<H>=
(
)
ψ
x
ψ ( x )dx =
−
2 
∫0
 2m dx 
E
∞
∞
Ψ3
3.38 eV
Ψ2
1.5 eV
Ψ1
0.38 eV
L
∫ψ
*
n
( x )Enψ n ( x )dx = En
0
L
= 1 nm
x
0
Das Elektron befindet sich im (Energie)Eigenzustand ψn. Wenn sonst nichts passiert,
wird es dort für alle Ewigkeit bleiben und der Zustand entwickelt sich gemäß
E
ψ n ( x, t ) = ψ n ( x,0)exp( −iω n t ); mit ωn = n
h
Der unendlich hohe Potentialtopf: Erwartungswerte
E
Wie sieht es mit dem Ort aus ?
*
$
<x>=
∫ ψ n ( x )xψ n ( x )dx =
3.38 eV
0
2
2 nπ x
∫0 L x sin ( L )dx = .... =
∞
|Ψ 3 |2
L
L
∞
|Ψ 2 |2
1.5 eV
L
2
|Ψ 1 |2
0.38 eV
0
L
= 1 nm
x
.... und mit Geschwindigkeit/Impuls?
h d
 nπ x  h d
 nπ x 
*
$
<p>=
∫0 ψ n ( x ) i dx ψ n ( x )dx = ∫0 sin  L  i dx sin  L  dx =
L
L
∫
0
L
 nπ x  hnπ
 nπ x 
sin 
cos 

 dx = .... =
 L  iL
 L 
0
9
Der unendlich hohe Potentialtopf: Erwartungswerte
Nicht verschwindend hingegen ist der Erwartungswert
von
E
∞
∞
|Ψ 3 |2
3.38 eV
2 < Ekin >
2 < E1 >
v =
=
=
m
m
|Ψ 2 |2
1.5 eV
|Ψ 1 |2
0.38 eV
2 ⋅ 0.138 ⋅ 1.602 ⋅ 10
=
9.1⋅ 10−31kg
−19
J
0
m
= 2.2 ⋅ 10
s
L
= 1 nm
5
x
Elektron tanzt wie der Derwisch zwischen den Wänden hin- und her !
... aber es ist ein stationärer Zustand !!!
Der unendlich hohe Potentialtopf: Wellenpakete
E
Kann das Elektronen auch durch eine Summe von
Wellenfunktionen beschrieben werden ?
Na klar, genau wie bei der Bildung von Wellenpaketen
aus ebenen Wellen für das freie Elektron.
∞
∞
Ψ3
3.38 eV
Ψ2
1.5 eV
Ψ1
0.38 eV
2 ∞
 nπ x 
ψ ( x ) = ∑ anψ n ( x ) =
an sin 
∑

L 0
 L 
0
∞
0
L
= 1 nm
x
→ vollkommen analog zu einer Fourierreihe
albert
10
Der unendlich hohe Potentialtopf: Fourierreihen
E
Jede beliebige (periodische) Funktion ψ(x) kann
als Fourierreihe dargestellt werden
(nach den Eigenfunktionen entwickelt werden)
∞
∞
Ψ3
3.38 eV
Ψ2
1.5 eV
2 ∞
 nπ x 
ψ ( x ) = ∑ anψ n ( x ) =
an sin 
∑

L 0
 L 
0
∞
Ψ1
0.38 eV
0
L
= 1 nm
x
mit
2
 nπ x 
dx sin 
ψ ( x )
L ∫0
 L 
L
an =
Der unendlich hohe Potentialtopf: Wellenpakete
E
Die Dynamik der Gesamtwellenfunktion wird dann
gegeben durch:
2 ∞
 nπ x 
ψ ( x, t ) = ∑ anψ n ( x, t ) =
an sin 
∑
 exp( −iω n t )
L 0
 L 
0
∞
∞
Ψ3
3.38 eV
Ψ2
∞
1.5 eV
Ψ1
0.38 eV
0
L
= 1 nm
x
Damit ergeben sich dann auch zeitabhängige Erwartungswerte !
Infinitely deep well applet
11
Entwicklung nach Eigenfunktionen/Eigenvektoren
r
u2
r
uur
uur
v = 2u1 + 3u2
r
u1
∞
ψ ( x ) = ∑ anψ n ( x ) =
0
2
 nπ x 
= ∑ an sin 

L
 L 
0
∞
Entwicklung nach Eigenfunktionen
Diese Erwägungen gelten ganz allgemein:
Die Eigenfunktionen eines Operators zu einer Observablen bilden
ein (quasi)orthonormales System von Basisfunktionen.
r r
 1: i = j
u i ⋅ u j = δ ij = 
0 : sonst
∫ψ
*
n
1: n = m
( x )ψ m ( x )dx = δ nm = 
0 : sonst
Wie in einem Vektorraum kann jede Funktion als Linearkombination dieser
Basisfunktionen dargestellt werden.
 a1 
 
 a2 
∞
∞
∞
ψ ( x ) = ∑ anψ n =  a3 
2
 nπ x 
 
0
ψ ( x ) = ∑ anψ n ( x ) =
= ∑ an sin 

L
 
 L 
0
0
a 
 n  Ende 3.11.
12