Wie berechnet man das Argument einer komplexen Zahl?

Fragen Mathe für NaWi I
2016-01-20
Wie berechnet man das Argument einer komplexen Zahl?
Sei z = x + iy mit x, y ∈ R. Gesucht ist φ = arg(z).
• arcsin gibt einen richtigen Winkel in 1.- und 4. Quadrant
• arccos gibt einen richtigen Winkel in 1.- und 2. Quadrant
• arctan gibt einen richtigen Winkel in 1.- und 4. Quadrant
Wir können ausnützen dass cos(φ) = cos(−φ), sin(φ) = sin(π − φ), tan(φ) = tan(φ − π)
usw. Und weiter gilt auch, falls φ = arg(z), dann ist auch φ + 2πk für jedes k ∈ Z eine
weitere Lösung!
Fallunterscheidung Quadrant für Quadrant Wir können nun für jeden Quadranten die Formeln separat aufstellen.
Quadrant Koordinaten Sinus
Cosinus
Tangens
1.
x > 0, y > 0 φ = arcsin(y/r)
φ = arccos(x/r)
φ = arctan(y/x)
2.
x < 0, y > 0 φ = π − arcsin(y/r)
φ = arccos(x/r)
φ = π + arctan(y/x)
3.
x < 0, y < 0 φ = π − arcsin(y/r)
φ = 2π − arccos(x/r) φ = π + arctan(y/x)
4.
x > 0, y < 0 φ = 2π + arcsin(y/r) φ = 2π − arccos(x/r) φ = 2π + arctan(y/x)
Im
Im
i
i
ϕ
ϕ
1
Re
Im
Im
i
i
ϕ
1
Re
1
Re
ϕ
1
Re
Beachte: Die hier angegebenen Formeln geben die in dem Diagramm angegebenen Winkel
wieder. Es ist zu beachten dass wir jeweils auch ±2π oder ±4π usw. addieren können
und immernoch ein gültiges Argument arg(z) erhalten, deshalb wird hier auch von einem
(von vielen) richtigen Winkel gesprochen. Weiter sind diese Formeln jeweils nur eine von
vielen Varianten.
1
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2016-01-20
Zahlen in Formeln einsetzten
Müssen an der Prüfung die Zahlen explizit in die Formel eingesetzt werden?
Ich bin nicht ganz sicher, was Du damit meinst, hier aber mal ein Beispiel:
Es ist 0 = x2 − x − 2 = ax2 + bx + c mit den Werten a = 1, b = −1, c = −2.
Dann folgt
p
√
−(−1) ± (−1)2 − 4 · 1 · (−2)
−b ± b2 − 4ac
1±3
x1,2 =
=
=
2a
2{z
·1
2
|
}
Unnötig, kann weggelasen werden.
Generell ist es einfach wichtig, dass man nachvollziehen kann, was gerechnet wurde/wie
argumentiert wurde. Im obigen Fall haben
wir z.B. ganz oben schon die werte a, b, c
√
−b± b2 −4ac
definiert, das heisst der Ausdruck
ist ja dann auch schon wohldefiniert. Es
2a
muss z.B. beim umformen von Gleichungen auch nicht jeder einzelne Zwischenschritt
aufgeschrieben werden, es ist einfach wichtig dass man als Leser nachvollziehen können
soll, was geschieht.
Übungsblatt 1, Aufgabe 4a
Wieso lässt man den Rest bei der Polynomdivision einfach weg?
Man lässt ihn nicht einfach weg - aber ich vermute die Frage bezieht sich auf die Asymptote. (Die Theorie dazu findest du auf Skript Seite 9)
Wir betrachten die Funktion
f (x) =
2x3 + 5x2 − 4x + 3
.
x+3
Wir wollen eine Asymptote berechnen, die uns sagt wie sich diese Funktion für x → ±∞
verhält. Da der Grad des Zählers grösser ist, als derjenige des Nenners, wird f (x) gegen
+∞ oder −∞ gehen. (Dies sieht man auch wenn man den Zähler und Nenner je mit 1/x
erweitert.) Da der Grad des Zählers grösser ist, als derjenige des Nenners, können wir
eine Polynomdivision durchführen (siehe Skript) um f (x) auf eine ”handlichere”Form
zu bringen. An dieser ”handlichen”Form können wir dann die Asymptote direkt ablesen.
2
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Tun wir dies:
f (x) =
(2x3 +5x2
−4x
+3) : (x + 3) = |2x2 −{zx − 1} +
=:g(x)
6
+ 3}
|x {z
Rest/(x+3)
−(2x3 +6x2 )
−x2
−4x
2
−(−x −3x)
+3
−1x
+3
−(−1x −3)
6
= Rest
Wenn wir unten bei der 6 angelangt sind, können wir nicht mehr weiter dividieren,
da x + 3 einen grösseren Grad hat als 6, das heisst 6 ist der Rest unserer Division.
Diesen müssen wir also - ohne dass wir ihn weiter dividieren können - als Bruch anfügen.
1
(Ähnlich wie 22
7 = (3 Rest 1) = 3 + 7
Nun wissen wir also, dass
f (x) =
2x3 + 5x2 − 4x + 3
6
= 2x2 − x − 1 +
x+3
x+3
6
Da limx→±∞ x+3
= 0 ist also 2x2 − x − 1 =: g(x) eine Asymptote von f , da die die
6
Differenz f (x) − g(x) = x+3
gegen 0 geht für x → ±∞ (Das heisst g kommt beliebig
nahe an f wenn man nur x gross genug wählt.)
Hier noch einen Plot davon:
3
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Übungsblatt 3, Aufgabe 1b und 1c
Aufgabe 1b
Bei den Lösungshinweisen steht, man könnte die Aufgaben mit a0 und an berechnen. In
der Übungsstunde hast du einen anderen Lösungsweg gezeigt, welchen ich leider nicht
verstehe. Nun wollte ich dich fragen, ob du die Aufgabe auch mit a0 und an erklären
könntest.
Meine Lösung war tatsächlich etwas komplizierter als nötig. Ich hatte mir da die Lösungshinweise
wohl nicht so genau angeschaut, das tut mir leid.
Aufgabe: Eine exponentiell wachsende Population verdoppelt sich alle 3 Jahre. In
welcher zeit hat sie sich verhundertfacht?
Lösung: Sei an die Population nach n Jahren.
Somit ist a0 die Population von heute, a1 die Population in einem Jahr usw. In drei
Jahren ist die Population doppelt so gross wie heute, das heisst
a3 = 2a0 .
4
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In sechs Jahren hat sich dann die Population nochmals verdoppelt, also
a6 = 2a3 = 2 · 2 · a0 = 22 a3 .
So können weiterfahren:
a9 = 2a6 = 23 a0 ,
a12 = 24 a0 ,
a15 = 25 a0 ,
a18 = 26 a0
(∗)
Nun wollen wir aber herausfinden nach wie vielen Jahren sich die Population verhundertfacht hat. Sei also n diese Anzahl Jahre, dann soll also an = 100a0 sein. Diese Gleichung
müssen wir nun n auflösen, um die gesuchte Anzahl Jahre zu finden.
Nun müssten wir dazu aber wissen wie an aussieht. In der Gleichung (∗) oben sieht man
eine Regelmässigkeit. Versuche diese selbst zu finden.
Man sieht, dass der Exponent jeweils immer ein Drittel vom Index ist, das heisst man
findet
an = 2n/3 a0 .
Setzen wir wieder in die Gleichung von oben ein:
2n/3 a0 = an = 100a0
Diese Gleichung soll man nun nach n auflösen, versuche es selbst!
Als erstes können wir durch a0 dividieren und erhalten 2n/3 = 100. Um nach einem
Exponenten aufzulösen wenden wir auf beiden Seiten den Logarithmus (welchen, spielt
wie immer theoretisch keine Rolle. Wenn man schöne Zahlen erwartet lohnt es sich das
genauer zu überlegen, das tu ich hier jetzt aber nicht.) Dann erhalten wir
ln(2n/3 ) = ln(100).
Wegen den Rechengesetzten können wir den Exponenten herausziehen
n
ln(2) = ln(100)
3
und fertig auflösen
n=
3 ln(100
.
ln(2)
Aufgabe 1c
Diese Aufgabe funktioniert genau gleich, ich gehe diese also etwas weniger ausführlich
durch:
Aufgabe: Eine radioaktive Substanz zerfällt (exponentiell) mit Halbwärtszeit 50y. Wann
haben wir noch 0.001% der urspünglichen Masse?
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Lösung:
d.h.
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Sei mn die Masse nach n Jahren. Nach 50 Jahren hat sich die Masse halbiert,
1
m50 = m0
2
2
1
1
m0
m100 = m50 =
2
2
3
1
1
m150 = m100 =
m0
2
2
4
1
1
m200 = m150 =
m0
2
2
..
.
Wie sieht nun mn aus?
Der Exponent auf der rechten Seite ist jeweils ein fünfzigstel der Indizes links, also
n
1 50
mn =
m0 .
2
Für den gesuchten Zeitpunkt n gilt
mn = (0.001% von m0 ) = 0.0000 01m0 .
Setzen wir unsere obige Formel für mn hier ein und lösen auf:
n
1 50
m0 = mn = 0.0000 01m0 = 10−5 m0
2
n
1 50
=⇒
= 10−5
2
=⇒
n
50
ln(1/2)
| {z }
= −5 ln(10)
ln(1/2)=− ln(2)
=⇒ −
n
ln(2) = −5 ln(10)
50
=⇒ n = 50
5 ln(10)
ln(10)
= 250
ln(2)
ln(2)
6
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Übungsblatt 4, 1g
Ich √
kann die√Rechenschritte bis 2ei3π/4 nachvollziehen. Aber den nächsten Schritt mit
2(− 2/2 + i 2/2) ? Warum macht man diesen Schritt?
Die Aufgabe sagt, wir sollen all diese Komplexen Zahlen in der kartesischen Form z =
a + ib mit a, b ∈ R darstellen: Die Werte a, b sind hier Real- und Imaginärteil. Ich hatte
das damals graphisch gelöst, aber man kann das auch rechnerisch lösen:
√ !
2
a = Re(2ei3π/4 ) = 2 cos(3π/4) = 2 −
2
√
2
b = Im(2ei3π/4 ) = 2 sin(3π/4) = 2
2
Und man bekommt dieses Resultat sofort in dem man a, b in a + ib einsetzt.
Übungsblatt 4, 1h
Warum ergibt |eiπ/8 | = 1 ? Ich habe gedacht, dass eiπ = −1 ist?
Es ist korrekt, dass eiπ = −1. Generell ist |eiθ | = 1 für alle θ ∈ R. 1
Wenn man eine komplexe Zahl in Polarkoordinaten Darstellt, dann hat diese die Form
z = reiθ wobei r, θ ∈ [0, ∞). Die Grösse r ist gerade der Betrag von z, und θ der Winkel
zur x-Achse. Die Zahl eiθ ist im folgenden der orange Punkt.
Wir können das Resultat der Aufgabe auch so begründen: Wenn man z = eiπ/8 in
kartesischen Koordinaten z = a + ib schreiben will, findet man a = Re(z) = 3 cos(π/8)
und b = Im(z) = 3 sin(π/8). Somit ist
p
|z| = |a + ib| = 32 (cos(π/8))2 + 32 (sin(π/8))2
r
√
= 32 [(cos(π/8))2 + (sin(π/8))2 ] = 32 = 3.
|
{z
}
=1
2
Aber Achtung, für x ∈ C gilt das im allgemeinen nicht! Falls z.b. θ = i dann sieht man eiθ = ei = e−1
2
und diese Zahl hat den Betrag e−1 = 0.367.... Oder für θ = 1 − i ist eiθ = ei−i = ei+1 = ei e1 und somit
i
iθ
i 1
der Betrag |e | = |e e | = |e | ·|e| = e.
|{z}
1
1
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Damit ist also 3 = |z| = |3eiπ/8 | = 3|eiπ/8 |. Dividiert man durch 3, so sieht man sofort
dass |eiπ/8 | = 1 sein muss. (Hier könnte man überall den Winkel π/8 durch irgend einen
beliebigen anderen Wert ersetzten!)
Übungsblatt 4, Aufgabe 2b
√
Wie kommt man da auf −1 + 1 − 9?
Die Gleichung lautet x2 +2x−10 = 0. Ich hatte diese mit der a, b, c-Mitternachtsformel“gelöst.
”
Aber man kann sie auch mit der p, q-Formel lösen. (Die p, q Formel erhält man aus der
a, b, c-Formel, in dem man a = 1, b = p, c = q setzt. Diese Umformung“könnte man sich
”
vielleicht mal als Übung anschauen.)
Für eine Gleichung x2 + px + q = 0 (In unserem Fall ist p = 2, q = −10.)lautet die p, q
Formel:
x1,2
p
=− ±
2
r p
−q
2
s 2
2 2
− 10
=− ±
2
2
√
= −1 ± 1 − 10
√
= −1 ± −9
= −1 ± 3i
Übungsblatt 4, Aufgabe 2d
Bestimme alle (komplexen) Lösungen der Gleichung z 2 + (1 − i)z − i = 0.
Ich hatte diese Aufgabe mit dem Zweiklammeransatz gelöst, aber das ist tatsächlich
vielleicht etwas ungewohnt bei komplexen Zahlen. Wenn man das nicht gewohnt ist,
kann man aber ganz normal die Mitternachtsformel benutzen (siehe unten). Die Idee ist
wie immer, wenn man die Löusngen z = A und z = B dieser Gleichung kennt, dann
kann man die Gleichung schreiben alls 0 = (z − A)(z − B) = z 2 − (A + B)z + AB. Wir
sehen nun das −A − B = 1 − i und AB = i sein müssen. Durch gut anschauen“kommt
”
man auf die Lösungen A = −1, B = i. Der Zweiklammeransatz hat hier natürlich auch
wieder einfach gut funktioniert, weil wir schöne“Zahlen hatten.
”
Man kann auch die Mitternachtsformel benutzen: 0 = |{z}
1 z 2 + (1 − i) z |{z}
−i . Dann
| {z }
a
bekommen wir die Lösungen
8
b
c
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√
b2 − 4ac
2a p
−1 + i ± −2i − 4 · 1 · (−i)
=
√ 2
−1 + i ± 2i
=
2
−1 + i ± (1 + i)
=
= i oder − 1
2
z1,2 =
−b ±
Übungsblatt 4, Aufgabe 3a
In Übung 4 bei Aufgabe 3(a) komme ich für √φ auf −60◦ (sprich 300◦ ) und nicht wie in
√
3/2
= − 3 gerechnet. Wo mache ich den
der Lösung auf 120◦ . Ich habe tan φ = ab = −1/2
Fehler?
√
Die Gleichung tan φ = − 3 ist korrekt. Wenn man diese aber nach φ auflösen will und
hier den Arkustangens anwendet, kommt man nicht auf die Richtige Lösung, denn der
Wertebereich vom Arkustangens ist W = (−π/2, π/2) = (−90◦ , 90◦ ).
√
(Wenn man sich die komplexe Ebene mit Einheitskreis aufzeichnet (z = − 21 + 23 i auch
einzeichnen), sieht man sofort, dass φ ein Winkel im zweiten Quadrant ist, das heisst,
das φ ∈ [π/2, π] = [90◦ , 180◦ ] liegen muss. )
Da der Tangens
π-periodisch (180◦ -periodisch) ist, ist φ = 60◦ nur eine Lösung von
√
tan φ = − 3, aber für jedes n ∈ Z ist auch φ = 60◦ + n · 180◦ eine Lösung dieser
Gleichung. Wir müssen also jetzt nur ein n suchen, so das unser φ tatsächlich im zweiten
Quadrant liegt. Für n = 1 bekommen wir φ = 120◦ , das ist im ersten Quadranten und
ist genau der gesuchte Wert. Man muss also - egal ob man mit arcsin, arccos oder arctan
arbeitet - immer aufpassen, welchen Wertebereich man hat.
Übungsblatt 4, Aufgabe 3a
Wieso kann man den Winkel nicht wie auf Seite 45 unten im Skript gezeigt, mit der
Gleichung cos(φ) = a/r,sin(φ) = b/r berechnen?
Wenn ich mich richtig erinnere habe ich genau das getan, nur dass ich den Winkel von
Hand berechnet habe.
r = |z| = 1
√
cos(φ) := a/r = −1/2, sin(φ) = b/r = 3/2
Wenn man sich z aufzeichnet, sieht man dass φ zwischen π/2 und π sein müsste.
Man muss nun nur aufpassen (in jedem Fall, auch wenn man mit dem TR rechnet), weil
arccos nur Winkel zwischen 0 und π zurückgibt (hier also kein Problem), und arcsin nur
Winkel zwischen −π/2 und π/2 zurückgibt. Dies stellt hier beim Sinus offensichtlich ein
Problem dar, da wir oben gesehen haben dass φ nicht in diesem Bereich ist. Mit dem
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arccos können wir die Gleichung auf der linken Seite benutzen und sollten das richtige
Resultat bekommen.
Wenn wir also naiv arccos und arcsin auf die obigen Formeln loslassen, bekommen wir
Resultate die nicht übereinstimmen:
arccos(−1/2) = 2π/3 (Richtiges Resultat, wie erwartet)
√
arcsin( 3/2) = π/2 (Falsches Resultat, auch wie erwartet)
Wenn man aber dennoch mit Gleichung auf der rechten Seite rechnen will, muss man so
vorgehen. (Dies ist wichtig wenn man einen Winkel im 3. Quadranten hat, da kann man
weder arccos noch arcsin direkt anwenden.)
Graphisch sieht man (einfach z sowie cos(φ) und sin(φ) am Einheitskreis einzeichnen)
dass b/r = sin(φ) = − sin(π − φ) ist.
Das heisst π − φ ist schön zwischen −π/2 und π/2 und somit können wir nun dies
ausnützen und bekommen π − φ = arcsin(−b/r) und somit folgt φ = π − arcsin(−b/r).
Übungsblatt 6, Aufgabe 1b, Winkeleinheiten
In Übung 6 bei Aufgabe 1(b) verstehe ich nicht, wieso 1◦ = 2π/360 ist!
Das sind einfach zwei verschiedene Einheiten, auf der linken seite in Grad, und auf der
rechten Seite im Bogenmass. (Ein Grad ist der 360-stel eines Kreises, und der Einheitskreis hat den Umfang 2π.)
Generell haben wir zwei Möglichkeiten, einen Winkel anzugeben: Als Grad α = 45◦ oder
im Bogenmass α = π/4.
Ein Grad (1◦ ) ist einfach definiert als ein 360-stel des gesamten Kreises. Dies ist im
Alltag sehr praktisch, aber es ist eine künstliche ”menschengemachteËinteilung.
Im Bogenmass ist der Winkel definiert als die entsprechend Länge eines Einheitskreissegments. Da hat der volle Kreis also einen Winkel von 2π, dem Umfang des Einheitskreises.
Dies ist eine natürliches Mass, praktisch in der Mathematik, aber für den Alltag weniger.
Im allgemeinen können wir beides verwenden, unsere Computer/Taschenrechner können
in der Regel auch mit beidem umgehen. Wichtig ist aber dann die Unterscheidung,
wenn wir z.B. wie in Aufgabe 1b Taylorreihen anschauen. Da würde es gar keinen Sinn
machen, wenn wir einen Wert mit einer Einheit einsetzten würden, wir brauchen also
eine Einheitenlose Zahl. (Also man könnte das schon zurechtbiegen, aber es wäre ziemlich
umständlich.) Ich hoffe das hat diese Unterscheidung ein wenig motiviert.
Übunsgblatt 6, Aufgabe 4
Wie kommt man auf die beiden Fixpunkte? Du hast es zwar theoretisch erklärt, aber die
Fixpunkte nicht ausgerechnet. Leider habe ich auch deinen theoretischen Teil nicht ganz
verstanden. Vor allem bereitet mir der zweite Fixpunkt Mühe.
Zuerst nochmals die Bedinung für die Fixpunktiteration:
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Sei f : X ⊂ R → R eine reelle, differenzierbare Funktion. Wenn wir nun eine Menge
D ⊂ X betrachten, auf der die Ableitung (betragsmässig) immer kleiner als eins ist,
also |f 0 (x)| < 1 (dies bringt uns die Kontraktionseigenschaft) für alle x ∈ D. Wenn
das gilt, wissen wir zwei Dinge:
1. Es gibt einen eindeutigen Fixpunkt a ∈ D. (d.h. f (a) = a)
2. Die Folge xn+1 := f (xn ) konvergiert für jeden Startwert x0 gegen a. (d.h
limn→∞ xn = a)
Wir schauen uns das in der Aufgabe 4 das Beispiel
1
f (x) = ex
8
an. Gesucht sind jetzt also diese a so dass f (a) = a. Dazu müssen wir also mal eine
Menge D bestimmen, so dass die Ableitung auf ganz D betragsmässig kleiner als eins
ist. Die ableitung ist hier f 0 (x) = 18 ex . Nun ist
| f 0 (x) | < 1
| {z }
>0
0
⇐⇒ f (x) < 1
⇐⇒ ex < 8
⇐⇒ x < ln(8) ∼
= 2.0794
Also können wir D = (−∞, ln(8)) setzten, und wissen, für jeden Startwert x0 in der
Menge D wird die folge xn+1 := f (xn ) gegen einen Fixpunkt konvergieren. Ich nehme
jetzt mal x0 = −100, aber jeder andere Wert in D würde genauso gehen! Nun können
wir zu rechnen beginnen:
x0 = −10
x1 = f (x0 ) = 0.0000056
x2 = f (x1 ) = 0.1250007
x3 = f (x2 ) = 0.1416436
x4 = f (x3 ) = 0.1440207
x5 = f (x4 ) = 0.1443635
x6 = f (x5 ) = 0.1444129
x7 = f (x6 ) = 0.1444201
x8 = f (x7 ) = 0.1444211
..
.
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Wir sehen, der Fixpunkt in D liegt bei etwa 0.14442.
Wenn wir einen Fixpunkt suchen, das heisst ein x so dass f (x) = x, dann bestimmen
wir eigentlich die Schnittpunkte von y = x und y = f (x). Wenn wir uns das für unser
Beispiel mal aufzeichnen, sieht das so aus:
Diese Funktion hat aber noch einen zweiten Fixpunkt, in der Nähe von 3. Das Problem
ist aber, dass da die Steigung viel Grösser als 1 ist. Da hilft uns aber folgende Idee:
Wenn b ein Fixpunkt von f ist, dann gilt b = f (b). Falls jetzt aber f in der Nähe von
b umkehrbar ist, dann können die Umkehrfunktion f −1 auf diese Gleichung loslassen
und bekommen f −1 (b) = f −1 (f (b)) = b, das heisst also b ist dann auch ein Fixpunkt
von der Funktion f −1 !
df
Der Clue dabei ist, dass wenn |f 0 (x)| = dx
(x) > 1 für x in der Nähe von a, dann
−1 gilt dass dfdy (y) < 1 für y in der Nähe von f (a) = a. 2
Das sieht man sehr schön an dem Plot, wenn man sich in Erinnerung ruft, dass der
Graph der Umkehrfunktion einfach die Spiegelung des Graphen der Funktion an der
ersten Winkelhalbierenden ist.
Diese Beobachtungen wenden wir nun an: Für unser Beispiel hatten wir y = f (x) = 18 ex ,
somit folgt die Umkehrfunktion x = f −1 (y) = ln(8y). Nun suchen wir die Menge, für
welche die Kontraktionsbedingung gilt:
−1 df
dy (y) < 1
d
⇐⇒ ln(8y) < 1
dy
⇐⇒ 1/y < 1 und y > 0
(Der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert.)
⇐⇒ y > 1
2
Beweis: Sei g := f −1 . Dann ist x = g(f (x)). Leitet man nach x ab, so folgt 1 = g 0 (f (x))f 0 (x) und
daraus folgt f 0 (x) = g0 (f1(x)) .
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−1 Also ist dfdy (y) < 1 für alle y ∈ (1, ∞), und die Konvergenz der Fixpunktiteration
gegen einen Fixpunkt ist sofort gegeben.
Wählen wir nun einen Startwert, z.B. y0 = 10 dann erhalten wir folgende Werte:
y0 = 10
y1 = f −1 (y0 ) = 4.382026
y2 = f −1 (y1 ) = 3.556952
y3 = f −1 (y2 ) = 3.348345
y4 = f −1 (y3 ) = 3.287907
y5 = f −1 (y4 ) = 3.269693
y6 = f −1 (y5 ) = 3.264137
y7 = f −1 (y6 ) = 3.262437
y8 = f −1 (y7 ) = 3.261916
..
.
Übungsblatt 8, 2a
Mir ist nicht ganz klar, weshalb man da 1/2 vor das Integral setzt, von wo kommt dieses?
Wir wollen das Integral
Z
x−2
dx
x2 − 4x + 3
berechnen. Wir haben hier die Substitutionsregel angewendet, in dem wir den relativ
unbequemen“Nenner substituieren, also u = x2 − 4x + 3.
”
Damit das gut geht, müssen wir ja noch (mit der Eselsbrücke.) betrachten, wie wir
dx und du austauschen können. Dies tun, wir, in dem wir die Substitutionsgleichung
differenzieren:
du
= 2x − 4 = 2(x − 4) ⇐⇒ du = 2(x − 2)dx
dx
Im Zähler des Integrals haben wir aber nur den Ausdruck (x − 2)dx, d.h. der Faktor
2 fehlt. Den können wir aber hinein nehmen, in dem wir gleichzeitig das ganze wieder
durch 2 dividieren:
Z
Z
Z
Z
x−2
1
2(x − 2)
1
2(x − 2)dx
du
dx =
·
dx =
=
= ...
x2 − 4x + 3
2 x2 − 4x + 3
2
x2 − 4x + 3
u
z
}|
{
Substitution
13
u = x2 − 4x + 3
du = 2(x − 2)dx
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Übungsblatt 9, 2a
Es ist mir nicht klar weshalb yP = a(x)x dann yp0 = a0 (x) + a(x) ergibt, ist dies nicht
die Produktregel und es sollte so lauten : yp0 = a0 (x)x + a(x) · 1 ?
Nein, das ist korrekt! Es tut mir leid, falls ich da einen Fehler gemacht habe. Wir differenzieren yP = a(x) · x. Wie Du gesagt hast: Hier müssen wir die Produkteregel anwenden
und erhalten yP0 = a0 (x)x + a(x) · 1 = a0 (x)x + a(x).
Könntest du mir nochmals erklären wie ich den partikulären Teil yp finden kann?
Nochmals generell das Rezept“zum Lösen von inhomogenen linearen Differntialglei”
chungen erster Ordnung.
1. Aus der inhomogenen Gleichung (I) die homogene Gleichung H herleiten.
2. Die Lösung von (H) bestimmen. Wir nennen diese Lösung yH .
3. Die Konstante A, die wir in yH durch die Integration erhalten haben, ersetzen wir
durch eine (noch unbekannte) Funktion a(x), diese Funktion nennen wir nun yP .
4. Die Funktion yP (und ihre Ableitung yP0 ) setzen wir nun in die inhomogene Gleichung (I) ein, und lösen nach a(x) auf. (Zuerst nach a0 (x) auflösen, und dann
integrieren um a(x) zu erhalten.
5. Dieses a(x) kennen wir nun explizit, und können es in yP explizit einsetzen.
6. Die Lösung von (I) lautet nun y = yH + yP .
Nun zur Aufgabe 2a:
1. (H) aufschreiben
(
(I) xy 0 − y = x2 + 4
(H) xy 0 − y = 0
2. (H) lösen
xy 0 − y = 0
dy
y
⇐⇒
= y0 =
x
Z dx Z
dy
dx
⇐⇒
=
y
x
(H) :
⇐⇒ yH := y = eln(x)+c = Ax
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Fragen Mathe für NaWi I
2016-01-20
3. yP aufstellen, 4. in (I) einsetzten
yH = Ax
yP := a(x)x
(a(x) noch unbekannt)
=⇒ yP0 = a0 (x)x + a(x) · 1
(Produkteregel)
Einsetzten in (I):
xyP0 − yP = x2 + 4
=⇒ x(a0 (x)x + a(x)) − a(x)x = x2 + 4
q
a0 (x)2 + a(x)x − a(x) = a0 (x)x2
=⇒ a0 (x)x2 = x2 + 4
4
=⇒ a0 (x) = 1 + 2
x
Z
a(x) = x +
integrieren
4
4
dx = x − + c
2
x
x
5. a(x) in yP explizit einsetzen
yP = a(x)x = (x −
4
+ c)x = x2 − 4 + cx
x
6. Lösungen zusammenführen Lösung:
y = yH + yP = Ax + x2 − 4 + cx = x2 + Bx − 4
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