Lösung 2

Physik I
Übung 2 - Lösungshinweise
Stefan Reutter
Moritz Kütt
Franz Fujara
SoSe 2012
Stand: 26.04.2012
Aufgabe 1 Dopplergabel
Ein neugieriger Physikstudent lässt eine angeschlagene Stimmgabel, die den Kammerton a absondert ( f0 = 440 Hz), in einen Brunnen fallen, um dessen Tiefe zu bestimmen. Leider hat er
keine Uhr, sondern nur ein Frequenzmessgerät. Kann man die Tiefe auch damit bestimmen?
Wenn ja: wie tief ist der Brunnen, wenn der letzte Ton, den der Student vor dem Aufschlag
gemessen hat, eine Frequenz von f1 = 400 Hz hatte?
Lösungshinweise:
Die Formel für den Dopplereffekt lautet bei bewegtem Sender (Bewegung entfernt sich vom
Empfänger):
1
f1 = f0
vS = c
1+
f0
vS
c
1
−1 =
c = 34 m/s
f1
10
Die Stimmgabel fällt in freiem Fall:
v S = v (T ) = g T
x(T ) =
=
1
2
2
gT =
c2
f0
f1
v S2
2g
2
−1
2g
≈ 60 m
Aufgabe 2 Ultraschallgeschwindigkeitsmessgerät
Ein Polizist misst die Geschwindigkeit der auf ihn zukommenden Fahrzeuge mit einem Ultraschallmessgerät. Das Messgerät sendet eine Schallwelle der Frequenz 3 MHz aus und misst die
Schwebungsfrequenz der Überlagerung der Ausgangswelle mit der von den Autos reflektierten
Welle. Wie schnell ist ein Fahrzeug, bei dem eine Schwebungsfrequenz von 300 kHz gemessen
wird?
1
Lösungshinweise:
Hier muss man die Formel für den Dopplereffekt zweimal anwenden: einmal für bewegten
Beobachter (Auto empfängt Schall) und noch einmal für bewegten Sender (Auto sendet ihn
wieder aus). v sei die Geschwindigkeit des Autos

‹
v
f1 = f0 1 +
c
1 + vc
1
= f0
f2 = f1
1 − vc
1 − vc
Es kommt also effektiv das gleiche raus, wie wenn sich im Fall ohne Reflexion Sender und
Beobachter mit gleicher Geschwindigkeit aufeinander zu bewegen. Dabei ist es egal, ob sich der
Reflektor oder der Sender bewegt, wenn man also auf eine Mauer zufährt, hat man den gleichen
Effekt.
Das kann man sich (besonders im zweiten Fall) durch Analogie zum optischen Spiegel gut vorstellen, bei dem es ja auch für den Polizist so aussähe, als würde sein Spiegelbild sich mit
Geschwindigkeit v von hinter dem Spiegel auf ihn zubewegen, während er mit v auf sein Spiegelbild zurast.
Nun muss man noch die Schwebung einsetzen. Die Schwebungsfrequenz ist
Œ
‚
v
1
f0 1 + c
f B = | f2 − f0 | =
−1
2
2 1 − vc
=
f0 1 +
− 1 + vc
1−
2
v =c
v
c
fB
f B + f0
v
c
= f0
v
c−v
≈ 31 m/s = 110 km/h
Da man die Frequenz der Einhüllenden eigentlich nicht messen kann, sondern nur die Hälfte
davon, findet man auch manchmal die Definition f B = | f2 − f0 |. Damit ist die Geschwindigkeit
dann etwa doppelt so groß. Beide Lösungen sind bei entsprechender Begründung ok.
Aufgabe 3 Huygenssche Prinzip
a) Erkläre das Huygenssche Prinzip.
b) Zeichne auf, was passiert, wenn eine Wellenfront auf einen Spalt trifft, der i) klein ist im
Vergleich zur Wellenlänge und ii) groß ist im Vergleich zur Wellenlänge (siehe Abbildung).
?
?
2
Lösungshinweise:
Mit dem Huygenschen Prinzip kann man relativ einfach viele bei der Ausbreitung von Wellen
auftretenden Phänomene erklären, u.a. Reflexion, Beugung, Brechung etc.
Das Prinzip besagt, das von jedem Punkt einer Wellenfront Kugelwellen ausgehen. Bei breiten
Wellenfronten überlagern sich diese Kugelwellen dann wieder zu einer neuen Wellenfront.
Bei den beiden Beispielen sieht man Auswirkungen dieses Prinzips. Beim dünnen Spalt gibt es
nur sehr wenige Punkte, von denen Kugelwellen ausgehen. Es entsteht daher nach dem Spalt
keine Wellenfront mehr, die Welle breitet sich dort kugelförmig (bzw. kreisförmig in 2 Dimensionen) aus. Beim großen Spalt sieht man die Überlagerung von Kugelwellen im mittleren Bereich.
In den Randbereichen gibt es aber ebenfalls kugelähnliche Ausbreitung.
In beiden Fällen erreichen die Wellen Bereiche hinter dem Spalt, die im Schatten liegen würden
wenn man z.B. nur geradlinige Wellenausbreitung annehmen würde.
Aufgabe 4 Intensitäten und Wellen
Die gemittelte Intensität einer Welle hängt vom Quadrat der Amplitude der Welle ab. Beschreibe
und erkläre kurz, wie es zu dieser Abhängigkeit kommt. (Durchaus auch mit Formeln!)
Lösungshinweise:
Die Intensität einer Welle ist die Energieflussdichte der Welle, bzw. die Energie die in einer
gewissen Zeit durch eine bestimmte, senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle stehende
Fläche transportiert wird.
Der Ort eines Masseteilchens in einer ebenen Welle kann mit folgender Gleichung beschrieben
werden:
ξ = Acos(ωt − kz)
Dabei ist A die Amplitude der Welle. Die Energie eines solchen Masseteilchens setzt sich nun
aus kinetischer und potentieller Energie zusammen. Die kinetische Energie ist proportional zu
€ dξ Š2
, also zum Quadrat der Geschwindigkeit, damit auch zum Quadrat der Amplitude. Die podt
tentielle Energie des Masseteilchens wird bestimmt über das Integral der Rückstellkraft entlang
der Schwingung. Die Rückstellkraft hängt linear von ξ ab, durch das Integral entsteht auch hier
quadratische Abhängigkeit von ξ und damit auch der Amplitude.
3
Diese Energien sind zeit- und ortsspezifisch. Aber auch bei Bildung des zeitlichen Mittels bleibt
die quadratische Abhängigkeit erhalten.
Gleiches gilt für die Intensität: In der Form Energie pro Zeit und Fläche steckt ja wieder die
quadratische Abhängigkeit, die durch die Division auch nicht verändert wird.
Aufgabe 5 Kleine und große Schiffe
Ein kleines Schiff fährt auf einem großen See geradeaus. Es ist nicht besonders schnell, so dass
häufig andere Schiffe an ihm vorbeifahren. Der Kapitän stellt folgendes fest: Wenn zwei (sehr
ähnliche) große Schiffe überholen, gerät sein Schiff weniger stark ins Schaukeln als wenn nur
ein (ebenfalls ähnliches) großes Schiff vorbeifährt.
Erkläre dieses Phänomen.
Hinweis: Ähnliche Schiffe erzeugen Wellen praktisch gleicher Amplitude und Frequenz.
Lösungshinweise:
Vorrausgesetzt, dass ähnliche Schiffe auch ähnliche Wellen erzeugen gibt es hier eine einfache Erklärung: Die Bugwellen der beiden großen Schiffe interferieren auf dem Fahrweg des
kleineren Schiffes. Je nach Wellenlänge und Gangunterschied gibt es dabei konstruktive oder
desktruktive Interferenz. Das kleine Schiff schaukelt weniger, wenn sich die beiden Wellen z.B.
komplett oder auch nur teilweise auslöschen. Vollständige Auslöschung gibt es bei einem Gangunterschied von gerade λ2 oder Vielfachen davon.
Bei nur einem vorbeifahrenden Schiff kann eine solche Interferenz nicht auftreten (es sei denn
natürlich die Wellen werden irgendwo reflektiert - unwahrscheinlich auf einem großen See).
Aufgabe 6 Brückendehnung
Eine dreieckige Hängebrücke (siehe Skizze) dehnt sich im
Sommer aus. Ihr Pfeiler, die Seile und die Fahrbahn haben den gleichen linearen Wärmeausdehnungskoeffizient α.
Wie weit hebt bzw. senkt sich die Brücke bei einer
Temperaturdifferenz ∆T ? Denk dir sinnvolle Zahlenwerte
aus, um mit deinem Ergebnis eine Abschätzung vorzunehmen.
Hinweis:
p
1 + x ≈ 1 + 12 x für kleine x
x
h
L
Lösungshinweise:
Ausdehnung der einzelnen Brückenteile:
h0 = h (1 + α∆T )
x 0 = x (1 + α∆T )
L 0 = L (1 + α∆T )
4
Der Pfeiler dehnt sich aus, wodurch sich die Fahrbahn hebt. Allerdings wird durch die Ausdehnung der Seile die Fahrbahn auch wieder ein Stück gesenkt. Zusätzlich wird durch Ausdehnung
der Fahrbahn das Dreieck gespreizt, der Winkel also größer.
q
€ Š2
Wir definieren die Höhe des Dreiecks als y = x 2 − 2L . Da die Brücke dreieckig bleibt, muss
das auch für die gestrichenen Größen gelten:
È
0
y =
x 02 −
L0
2
2
È
= (1 + α∆T )
x2 −
2
L
2
Dabei haben wir uns im zweiten Schritt die gleiche Temperaturabhängigkeit von x und L zu
Nutze gemacht.
Als Höhendifferenz ergibt sich dann
È
0
2
L
0
∆z = y − y + h − h = x 2 −
2

 È
2
L


+ h
= α∆T − x 2 −
2
(1 − (1 + α∆T )) + hα∆T
Als Beispielszahlenwerte nehmen wir mal α = 1 × 10−5 (in etwa Stahl), ∆T = 20K, x = 75m,
L = 100m, h = 70m. Dann ergibt sich ∆z = 3mm: das sollte innerhalb der Toleranzbereiche einer typischen Brücke sein (Bewegungen in dieser Größenordnung gibt es oft auch durch
Schwingungen, Wind etc.).
Aufgabe 7 Explosionsgefahr!
Eine Gasflasche ist leider etwas angerostet. Daher besteht schon Explosionsgefahr, wenn der
Innendruck über 60 bar steigt. Im Moment lagert die Flasche bei 15 °C, der Druck in der Flasche
beträgt 52 bar.
a) Die Temperatur steigt nun langsam an. Wann besteht Explosionsgefahr?
b) Jemand lässt zur Sicherheit Gas aus der Flasche ab, so dass der Druck um 10 bar fällt (isotherm bei 15 °C). Wie hoch ist dann die Temperatur, ab der Explosionsgefahr besteht?
Lösungshinweise:
a) Aus der idealen Gasgleichung
pV = nRT
kann man bei konstanter Stoffmenge und konstantem Volumen folgendes ableiten:
p1
T1
=
p2
T2
5
Explosionsgefahr besteht bei einem Druck p2 = 60 bar, also bei einer Temperatur
T2 =p2
T1
p1
T2 =332 K = 59.3 ◦ C
b) Gleiche Rechnung wie bei a), nur mit anderem Druck
T2 =412 K = 138 ◦ C
Aufgabe 8 Ballon
Ein Heißluftballon wird aufgeblasen und die Luft in seinem Inneren geheizt. Die Temperatur
der Außenluft beträgt T1 = 300 K, die im Inneren des Ballons T2 = 600 K. Der Ballon hat
ein Volumen von V = 200 m3 . Die Masse des gefüllten Ballons (inklusive Hülle) beträgt m =
200 kg.
a) Wie schwer ist die Ballonhülle?
b) Welche Last kann ein solcher Ballon vom Boden anheben?
Hinweis: Mittlere Molmasse von Luft: Ml = 29 g, Druck am Boden p = 105 Pa.
Lösungshinweise:
a) Um die Masse der Hülle zu berechnen, muss man die Masse der im Ballon enthaltenen Luft
berechnen. Der Druck im Ballon entspricht dem Druck am Boden.
Ideale Gasgleichung
m f llung =
pV =nRT2
m f l lung
pV =
RT2
Ml
pV Ml
RT2
Masse der Hülle
m =m f l lung + mhl l e
mhl l e =m − m f l lung
pV Ml
mhl l e =m −
RT2
mhl l e =83.5 kg
6
b) Die anhebbare Last ist der Unterschied zwischen Ballongewicht und Gewicht der verdrängten
Luft mv .
Bestimmung von mv über ideale Gasgleichung, Umstellung siehe oben.
mv =
pV Ml
RT1
mv =232.9 kg
Anhebare Last mlast
ml ast =mv − m
ml ast =32.9 kg
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