Allgemeines Marktrisiko bei Schuldtiteln

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O e s t e r r e i c h i s c h e N at i o n a l b a n k
Leitfadenreihe zum Marktrisiko
Band 1
Allgemeines Marktrisiko
bei Schuldtiteln
2., überarbeitete und erweiterte Auflage
√
O e s t e r r e i c h i s c h e Nat i ona l b a n k
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
Allgemeines Marktrisiko
bei Schuldtiteln
Eigentümer, Herausgeber und Verleger:
Oesterreichische Nationalbank
Für den Inhalt verantwortlich:
Wolfdietrich Grau
Erstellt von:
Abteilung für Finanzmarktanalyse
Satz, Druck und Herstellung:
Hausdruckerei
Internet e-mail:
http://www.oenb.at
Papier:
Salzer Demeter, 100% chlorfrei gebleichter Zellstoff, säurefrei, ohne optische Aufheller
DVR 0031577
Vorwort
Der vorliegende Leitfaden behandelt das allgemeine Marktrisiko in Schuldtiteln gemäß § 22 h BWG
sowie die Zerlegung von Zinsinstrumenten gemäß § 22 e BWG und versucht anhand von zahlreichen
Beispielen, eine mögliche Behandlung dieser Thematik im Rahmen der Standardmethode aufzuzeigen.
Abschnitt 1 gibt einen Überblick über die gesetzliche Regelung und führt in die Berechnungsmethoden der Laufzeitbandmethode und der Durationsmethode ein.
In Abschnitt 2 ist der Zerlegung von Zinsprodukten breiter Raum gewidmet. Es werden die
gängigsten Produkte beschrieben und deren Zerlegung dargestellt. Zahlreiche Beispiele und graphische
Darstellungen sollen in die Thematik einführen und zu einem besseren Verständnis beitragen.
Schließlich wird in Abschnitt 3 am Beispiel eines ausgewählten Musterportefeuilles die Berechnung
des Eigenmittelerfordernisses sowohl nach der Laufzeitbandmethode als auch nach der Durationsmethode durchgeführt.
Im Anhang befindet sich eine zusammenfassende Übersicht der dargestellten Zerlegungsmethodik
aus dem Abschnitt 2 sowie eine Kurzdarstellung des Durationskonzeptes.
Die Autoren danken Annemarie Gaal, Alexandra Hohlec, Gerald Krenn, Alfred Lejsek, Helga
Mramor, Manfred Plank, Gabriela de Raaij, und Burkhard Raunig für ihre wertvollen Anregungen.
Wien, März 1998
Gerhard Coosmann
Ronald Laszlo
Vorwort zur zweiten, überarbeiteten
und erweiterten Auflage
Das Interesse an der ersten Auflage zeigte, daß seitens der Marktteilnehmer ein großer Bedarf an
authentischen Gesetzesinterpretationen besteht. Aus diesem Grund wurde dieser Band im Rahmen
der Leitfadenreihe zum Marktrisiko neu aufgelegt. Die wesentlichsten Änderungen dieser Auflage
betreffen die Bereiche Devisentermingeschäfte, Devisenoptionen und High Yield Bonds. Darüber
hinaus wird für Caps und Floors eine Berechnungsmöglichkeit auf Basis des Preisdeltas vorgestellt, die
eine einheitliche und konsistente Behandlung aller Zinsinstrumente ermöglicht.
Der Autor dankt Annemarie Gaal, Manfred Plank und Ronald Laszlo für wertvolle Anregungen
und Diskussionen. Ganz besonderer Dank gilt unserer Abteilungsleiterin Helga Mramor, deren
Engagement entscheidenden Einfluß auf das Zustandekommen der gesamten Leitfadenreihe hatte.
Wien, September 1999
Gerhard Coosmann
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
◊
5
Inhalt
1. Einführung
1.1 Laufzeitbandmethode (§ 22 h Abs. 2 BWG)
1.2 Durationsmethode (§ 22 h Abs. 3 BWG)
1.3 Der Sensitivitätsansatz (§ 22 e Abs. 6 und 7 BWG)
9
9
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12
2. Die Zerlegung von Zinsprodukten
2.1 Typologie der Zinsprodukte
2.1.1 Basisinstrumente
2.1.2 Zusammengesetzte Zinsprodukte
2.2 Symmetrische Zinsderivate
2.2.1 Forward Rate Agreements
2.2.2 Futures
2.2.2.1 Zinsfutures
2.2.2.2 Bondfutures
2.2.3 Termingeschäfte
2.2.4 Swapgeschäfte
2.2.4.1 Plain Vanilla Swaps
2.2.4.2 Basisswaps
2.2.4.3 Terminswaps
2.2.5 Devisentermingeschäfte
2.3 Asymmetrische Zinsderivate (Zinsoptionen)
2.3.1 Option auf einen Zinssatz (Option auf ein FRA)
2.3.2 Option auf einen Zinsfuture
2.3.3 Option auf eine Anleihe
2.3.4 Option auf einen Bondfuture
2.3.5 Caps
2.3.6 Floors
2.3.7 Devisenoptionen
2.4 Strukturierte Zinsprodukte
2.4.1 Reverse Floater
2.4.2 Leveraged Floater
2.4.3 Floating Rate Note mit Cap
2.4.4 Floating Rate Note mit Floor
2.4.5 Collars
2.4.6 Collarfloater
2.4.7 Swaptions
2.4.8 Anleihen mit Zinswahlrecht
2.4.9 Anleihen mit Kündigungsrecht
2.4.9.1 Schuldnerkündigungsrecht
2.4.9.2 Gläubigerkündigungsrecht
2.4.10 High Yield Bonds
2.4.10.1 High Yield Aktien Bonds
2.4.10.2 High Yield Währungs Bonds
13
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13
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Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
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7
Inhalt
3. Musterportefeuille
3.1 Produktzerlegung
3.2 Laufzeitbandmethode
3.3 Durationsmethode
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34
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Anhang
1. Die Duration
2. Übersicht über die Zerlegung von Zinsinstrumenten
3. Literaturverzeichnis
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43
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8
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Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
Einführung
1
Kreditinstitute werden durch die 2. große BWG-Novelle unter anderem
dazu verpflichtet, ab 1. Jänner 1998 Eigenkapital für Handelspositionen in
Zinstiteln, die dem allgemeinen Marktrisiko ausgesetzt sind, zu halten.
Unter dem allgemeinen Marktrisiko von Zinspositionen versteht man die
potentiellen Kursveränderungen, die durch Änderungen des Marktzinsniveaus verursacht werden und daher nicht auf emittentenspezifische
Merkmale (spezifisches Risiko) zurückzuführen sind.
§ 22 h BWG sieht für die Berechnung der erforderlichen Eigenmittel
zur Abdeckung des allgemeinen Positionsrisikos in Zinstiteln zwei alternative Standardverfahren vor: die Laufzeitbandmethode und die Durationsmethode. Darüber hinaus sieht § 22 e Abs. 6 und 7 BWG einen Sensitivitätsansatz vor, der allerdings bewilligungspflichtig ist.
Die beiden Standardmethoden erfassen grundsätzlich drei Risikokomponenten: Veränderung des Zinsniveaus (paralleler Shift der Zinskurve), Drehung der Zinskurve und das Basisrisiko. Unter Basisrisiko ist die
Tatsache zu verstehen, daß Zinsinstrumente gleicher Fristigkeiten unterschiedliche Wertentwicklungen aufweisen können. Stehen sich Long- und
Shortpositionen in nicht identen Instrumenten gegenüber, die annähernd
gleiche Restlaufzeiten aufweisen, so können durchaus Verluste aus diesem
Risiko entstehen. Auch können Verluste dadurch eintreten, da die aktiv- und
passivseitigen Laufzeiten innerhalb der Laufzeitbänder nicht völlig gleich
sein müssen. Da diese Risiken erfahrungsgemäß im Verhältnis zu den anderen Risikofaktoren eher klein sind, sind sie nur mit einem geringen Satz
(10%) mit Eigenmitteln zu unterlegen.
Der wesentliche Unterschied zwischen der Laufzeitband- und der
Durationsmethode besteht im Grad der Genauigkeit: Während bei der
Durationsmethode jede Einzelposition mit ihrer exakten modifizierten
Duration in die Berechnung eingeht, berücksichtigen die Gewichtungsfaktoren der Laufzeitbandmethode lediglich die mittlere Duration pro
Laufzeitband. Die höhere Rechengenauigkeit der Durationsmethode wird
insoferne honoriert, als die Eigenmittelunterlegung beim Durationsverfahren in der Regel geringer ausfällt als beim Laufzeitbandverfahren.
1.1 Laufzeitbandmethode (§ 22 h Abs. 2 BWG)
Erfahrungsgemäß sind die Zinsvolatilitäten im kurzfristigen Bereich höher
als auf dem langen Ende der Zinskurve. Aus diesem Grund nehmen die
angenommenen Zinssatzänderungen von 100 Basispunkten im Geldmarktbereich bis auf 60 Basispunkte im langfristigen Bereich ab. Diesen
Annahmen liegen (allerdings unveröffentlichte) statistische Untersuchungen
des Baseler Ausschusses für Bankenaufsicht zugrunde.
Die Gewichte in Spalte (4) ergeben sich aus dem Produkt der angenommenen Zinsänderungen mit den modifizierten Durationen, welche wie
folgt festgelegt wurden: Es wurde pro Laufzeitband die modifizierte
Duration eines fiktiven Wertpapiers berechnet, das einen Kupon von 8%
trägt, eine Rendite von 8% aufweist und eine Restlaufzeit hat, die in der
Mitte des Laufzeitbandes liegt.
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
◊
9
1
Laufzeitbandmethode
Zonen
Laufzeitbänder
Nominalzinssatz
von 3% oder mehr
Spalte 1
Nominalzinssatz
geringer als 3%
Gewicht
Angenommene
Zinssatzänderung
in%
in %
Spalte 2
Spalte 3
Spalte 4
Spalte 5
Zone (1)
bis 1 Monat
über 1 bis 3 Monate
über 3 bis 6 Monate
über 6 bis 12 Monate
bis 1 Monat
über 1 bis 3 Monate
über 3 bis 6 Monate
über 6 bis 12 Monate
0'00
0'20
0'40
0'70
–
1'00
1'00
1'00
Zone (2)
über 1 bis 2 Jahre
über 2 bis 3 Jahre
über 3 bis 4 Jahre
über 1 bis 1'9 Jahre
über 1'9 bis 2'8 Jahre
über 2'8 bis 3'6 Jahre
1'25
1'75
2'25
0'90
0'80
0'75
Zone (3)
über 4 bis 5 Jahre
über 5 bis 7 Jahre
über 7 bis 10 Jahre
über 10 bis 15 Jahre
über 15 bis 20 Jahre
über 20 Jahre
über 3'6 bis 4'3 Jahre
über 4'3 bis 5'7 Jahre
über 5'7 bis 7'3 Jahre
über 7'3 bis 9'3 Jahre
über 9'3 bis 10'6 Jahre
über 10'6 bis 12'0 Jahre
über 12'0 bis 20'0 Jahre
über 20'0 Jahre
2'75
3'25
3'75
4'50
5'25
6'00
8'00
12'50
0'75
0'70
0'65
0'60
0'60
0'60
0'60
0'60
Da die Zinssensitivität von Anleihen mit kleineren Kupons größer ist als
von Wertpapieren mit höheren Kupons, wurde darüber hinaus bei der
Kuponhöhe von 3% eine Unterscheidungsgrenze eingezogen.
Für die Eigenmittelberechnung sind die jeweiligen Nettopositionen der
betreffenden Währung zum Zeitpunkt ihrer Zinsfälligkeit in das entsprechende Laufzeitband einzuordnen – also zum Zeitpunkt der Rückzahlung
oder zum nächsten Zinsfestsetzungstermin – und mit dem dafür vorgesehenen Gewicht aus Spalte (4) zu multiplizieren. Grundsätzlich sind alle
Basisinstrumente zum Barwert einzustellen. Bei Anleihen entspricht dies
dem Marktwert. Der Marktwert ist das Produkt aus Nominale und
Marktpreis inklusive Stückzinsen („dirty price“). Die Restlaufzeit ist in
Übereinstimmung mit den jeweiligen Kapitalmarktusancen zu ermitteln
(z. B. 30/360, aktuell/aktuell etc.).
Beispiel:
Nominale
Marktpreis
Geschäftstag
Fälligkeit
Kupon
Frequency
10,000.000
99'50
20. 9. 1997
15. 7. 2002
5'875
1
Stückzinsen
dirty price
Marktwert
Restlaufzeit
mod. Duration
1'06076
100'56
10,056.076'39
4'82 Jahre
4'05
Daran anschließend müssen die Nettopositionen in Long- und
Shortpositionen unterschieden und getrennt aufsummiert werden. Beim
sogenannten vertikalen und horizontalen Hedging werden die offenen
Positionen innerhalb der Laufzeitbänder und zwischen den Laufzeitzonen
gegeneinander aufgerechnet.
Vertikales Hedging
Unter dem vertikalen Hedging versteht man die Aufrechnung der
Teilsummen der jeweiligen Long- und Shortpositionen im entsprechenden
10
◊
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
1
Laufzeitband. Das verbleibende Basisrisiko wird in den einzelnen Laufzeitbändern mit 10% der geschlossenen gewichteten Position berücksichtigt.
Horizontales Hedging
Beim horizontalen Hedging werden die verbleibenden offenen gewichteten
Positionen der Laufzeitbänder für jede Laufzeitzone wieder nach Longund Shortpositionen summiert und einander gegenübergestellt. Um nichtparallele Veränderungen der Zinsstrukturkurve zu berücksichtigen, werden
die ausgeglichenen Positionen der Zonen 2 und 3 mit 30% und die ausgeglichene Position der Zone 1 mit 40 Prozent Eigenmitteln unterlegt.
In einem weiteren Schritt sind die nicht ausgeglichenen Positionen
zwischen benachbarten Zonen gegeneinander aufzurechnen.1) Der Eigenmittelbedarf für die ausgeglichenen Positionen zwischen benachbarten
Laufzeitzonen beträgt 40% der ausgeglichenen Position. Nach Ermittlung
der ausgeglichenen Position von Zone 1 mit Zone 3 ist diese mit 150%
Eigenmitteln abzudecken. Dieser hohe Satz trägt dem Umstand Rechnung,
daß sich die Risiken aus entgegengesetzten Positionen in sehr weit auseinanderliegenden Laufzeitbereichen kumulieren können, wenn eine nicht
parallele Verschiebung der Zinskurve auftritt.
Nach dieser letzten Aufrechnung sind die verbleibenden offenen gewichteten Positionen in ihrer vollen Höhe mit Eigenmitteln zu unterlegen.
Aus Gründen einer besseren Übersicht werden die für das vertikale und
horizontale Hedging erforderlichen Kapitalunterlegungsfaktoren für ausgeglichene gewichtete Positionen in folgender Tabelle zusammengefaßt.
Ausgeglichene (geschlossene) gewichtete Positionen
Zonen
Innerhalb eines
Laufzeitbandes
Innerhalb einer
Laufzeitzone
Zwischen
benachbarten
Laufzeitzonen
1
10 Prozent
40 Prozent
40 Prozent
2
10 Prozent
30 Prozent
40 Prozent
3
10 Prozent
30 Prozent
40 Prozent
Zwischen nicht
benachbarten
Laufzeitzonen
150 Prozent
(Zone 1 und 3)
1.2 Durationsmethode (§ 22 h Abs. 3 BWG)
Alternativ zur skizzierten Laufzeitbandmethode kann die auf der finanzmathematischen Kennzahl Duration basierende Durationsmethode zur
Eigenmittelberechnung herangezogen werden.
Bei der Durationsmethode sieht das BWG keine Laufzeitbänder, sondern nur drei Durationszonen vor:
Zonen
Modifizierte Duration
Angenommene Zinssatzänderung
in %
in %
1
0 bis 1'0
1'00
2
über 1'0 bis 3'6
0'85
3
über 3'6
0'70
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
◊
1 Die Reihenfolge bei der
Gegenrechnung zwischen
benachbarten Zonen kann
alternativ, also zuerst Zone 1
mit 2 und dann Zone 2 mit 3
oder zuerst Zone 2 mit 3 und
dann Zone 1 mit 2 durchgeführt werden.
11
1
Zunächst ist von der jeweiligen Nettoposition die modifizierte Duration
zu berechnen, um sie dann in die entsprechende Laufzeitzone einstellen zu
können. Daran anschließend wird die ermittelte modifizierte Duration mit
der angenommenen Zinsänderung multipliziert. Somit erhält man jene
Kursveränderung der Nettoposition, die bei einer Zinsänderung im unterstellten Ausmaß eintritt.
Die weitere Vorgangsweise für die Berechnung der Eigenmittelunterlegung deckt sich mit jener der Laufzeitbandmethode, da die
Durationsmethode konzeptionell auf der gleichen Vorgangsweise wie die
Laufzeitbandmethode beruht.2) Unterschiede bestehen lediglich bei den
Kapitalunterlegungsfaktoren im Rahmen des Hedgingverfahrens. Ausgeglichene Positionen müssen innerhalb derselben Laufzeitzone nur mit 2%
unterlegt werden, was dazu führt, daß gegenläufige Positionen fast vollständig miteinander aufgerechnet werden können.
Die Verwendung der modifizierten Duration erlaubt allerdings eine
genauere Abbildung des dem Portefeuille inhärenten Zinsänderungsrisikos,
weil in die Berechnung der modifizierten Duration der gesamte
Zahlungsstrom der betreffenden Wertpapiere eingeht.
Der konzeptionelle Hauptmangel liegt allerdings darin, daß jeder Cash
Flow mit dem gleichen Zinssatz abgezinst wird und somit eine flache
Zinsstrukturkurve unterstellt wird.
1.3 Der Sensitivitätsansatz (§ 22 e Abs. 6 und 7 BWG)
Die genaueste Methode ist zweifellos die Zerlegung von Straight Bonds in
synthetische Nullkuponanleihen (sogenanntes pre-processing) und die
Messung der Portefeuillesensitivität (Änderung des Portefeuillebarwertes
bei Änderung der Zinsen) anhand realistischer Zinsstrukturkurven. Da
dieser Ansatz aber einen wesentlich höheren Komplexitätsgrad aufweist und
in der Praxis auch schwieriger zu implementieren sein dürfte, ist er durch
die OeNB zu begutachten und vom Bundesminister für Finanzen zu
bewilligen.
Nicht zulässig ist hingegen das Strippen der Anleihen in synthetische
Nullkuponanleihen und das anschließende Weiterverarbeiten dieser Zeros
im Rahmen des Standardverfahrens. Es wird erwartet, daß Banken, die technisch in der Lage sind, ein derartiges pre-processing durchzuführen, entweder einen Sensitivitätsansatz oder ein internes Modell zur Bewilligung einreichen.
2 Genauer gesagt stellt
die Laufzeitbandmethode
eine Vereinfachung der
Durationsmethode dar.
12
◊
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
Die Zerlegung
von Zinsprodukten
2
2.1 Typologie der Zinsprodukte
2.1.1 Basisinstrumente
Wie im ersten Teil bereits ausgeführt, besteht für Zinsänderungsrisiken im
Rahmen des Standardverfahrens eine detaillierte Regelung, die eine Zuordnung der unterschiedlichen Positionen zu den diversen Laufzeitenbändern
bzw. Durationszonen vorsieht. Eine besondere Problematik ergibt sich dabei
für die Zuordnung derivativer Zinsprodukte. Grundsätzlich sollen
Derivative in eine Kombination von Basisinstrumenten (das sind: Straight Bonds,
Floating Rate Notes und Nullkuponanleihen) zerlegt werden, welche dann ohne
weitere Schwierigkeiten in die entsprechenden Bänder eingestellt werden
können. Straight Bonds haben einen über die gesamte Laufzeit konstanten
Kupon. Die Rückzahlung des Kapitals erfolgt am Ende der Laufzeit.
Hingegen sind die Kuponzahlungen von Floating Rate Notes an einen variablen Referenzzinssatz gekoppelt. Nullkuponanleihen (Zero Coupon Bonds)
weisen nur einen einzigen Cash Flow auf. Dieser besteht aus der Tilgung am
Ende der Laufzeit. Reine Straight Bonds ohne spezifische Zusätze (wie zum
Beispiel Kündigungsrechte, Zinswahlrechte etc.) werden häufig auch als
Plain Vanilla Bonds bezeichnet. Gemäß § 22 h Abs 2 BWG müssen Straight
Bonds gemäß ihrer Restlaufzeit erfaßt werden. Floater hingegen werden nur
bis zur nächsten Zinsanpassung in die entsprechenden Laufzeitenbänder eingeordnet. Dahinter steht die Überlegung, daß das Zinsänderungsrisiko von
Floating Rate Notes auf die Zeit bis zur nächsten Zinsanpassung beschränkt
ist. Es kann leicht nachgewiesen werden, daß der Kurs einer Anleihe mit
variablen Zinsen zu den Zinsfestsetzungsterminen 100 beträgt.
Betrachten wir eine dreijährige Floating Rate Note mit jährlichen Zinsanpassungen. Diese Anleihe hat ein Nominale von 1 und Kupons in Höhe der
erwarteten Einjahreszinssätze E(ri,j). Die aktuelle Zinsstruktur ist durch
r1, r2 und r3 gegeben. Somit ergibt sich der Preis der Anleihe durch die
Summe der erwarteten, mit den fristenkonformen Zinssätzen abgezinsten
Zahlungen:
E(r0, 1)
E(r1, 2) E(r2, 3)+1
P= (l+r1) + (l+r2)2 + (l+r3)3
(1)
Wird nun der erste Zinssatz festgesetzt ((E(r0, 1)=r1) und für die erwarteten Einjahreszinssätze die entsprechenden Forward Rates (f1, 2 und f2, 3)
eingesetzt, dann ergibt sich:
r1
f1, 2
f2, 3 +1
P= (l+r1) + (l+r2)2 + (l+r3)3
Nach geeigneter Umformulierung erhält man:
(2)
(l+f2, 3)(l+f1, 2))(l+r1)
=1
(3)
(l+r3)3
weil (l+f2, 3)(l+f1, 2)(l+r1)=(l+r3)3
Das gleiche wiederholt sich nach Ablauf eines Jahres: Der dann nur noch
zweijährige Floater würde abermals zu 100 bewertet werden.
P=
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
◊
13
2
2.1.2 Zusammengesetzte Zinsprodukte
Sind Zinsinstrumente aus mehreren Elementen zusammengesetzt, dann
müssen sie zunächst in ihre Plain-Vanilla-Elemente zerlegt werden, welche
dann den entsprechenden Bändern zugeordnet werden können.
Grundsätzlich ist bei zusammengesetzten Zinsprodukten zu unterscheiden:
Symmetrische Zinsderivate
•
•
•
•
•
FRAs
Futures
– Zinsfutures
– Bondfutures
Termingeschäfte
Swaps
– Plain Vanilla Swaps
– Basisswaps
– Terminswaps
Devisentermingeschäfte
Asymmetrische Zinsderivate (Zinsoptionen)
•
•
•
•
•
•
•
Option auf einen Zinssatz (= Option auf ein FRA)
Option auf einen Zinsfuture
Option auf einen Bond
Option auf einen Bond Future
Caps
Floors
Devisenoptionen
Strukturierte Zinsprodukte
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Reverse Floater
Leveraged Floater
FRN mit Cap
FRN mit Floor
Collars
Collarfloater
Swaptions
Anleihen mit Zinswahlrecht
Anleihen mit (Gläubiger- bzw. Schuldner-)Kündigungsrecht
High Yield Bonds
Symmetrische Produkte weisen ein gleichmäßiges Gewinn-/Verlustprofil auf. Der Käufer bzw. Verkäufer derartiger Produkte hat sowohl das
Recht als auch die Pflicht, die dem Geschäft zugrundeliegende Zinsverpflichtung einzugehen. Wenn sich der Wert des Basisinstruments (underlying instrument), auf dem ein symmetrisches Zinsprodukt basiert, ändert,
dann sind Verluste und Gewinne grundsätzlich unbegrenzt.
14
◊
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
2
Verlust/Gewinn
Gewinn-/Verlustprofil symmetrischer Produkte
0
Underlying
Demgegenüber hat der Käufer eines asymmetrischen Produkts lediglich
das Recht, nicht aber die Pflicht, die zugrundeliegende Zinsverpflichtung
einzugehen. Da dieses Recht nur im für den Käufer günstigen Fall beansprucht wird, resultiert daraus einerseits ein grundsätzlich unbegrenztes
Gewinnpotential, andererseits aber ein begrenztes Verlustpotential, das sich
auf den Verlust der Prämie beschränkt. Alle derartigen Geschäfte weisen
einen versicherungsähnlichen Charakter auf, was auch in der Tatsache zum
Ausdruck kommt, daß für asymmetrische Produkte eine Prämie entrichtet
werden muß.
Verlust/Gewinn
Gewinn-/Verlustprofil asymmetrischer Produkte
0
Underlying
Bei strukturierten Produkten handelt es sich schließlich um Produkte,
hinter denen sich eine Kombination von Einzelprodukten verbirgt. Das
strukturierte Produkt kann als ein Portfeuille aufgefaßt werden, das aus
einer Anzahl von Bausteinen besteht, wobei diese Bausteine sowohl
Basisinstrumente (Straight Bond, FRN) als auch symmetrische (z. B. FRAs)
und asymmetrische (Optionen) Produkte umfassen können. Die Aufgabe bei
der Analyse strukturierter Produkte besteht daher darin, zu erkennen, aus
welchen Elementen sich das Produkt zusammensetzt. Erst dann kann ein
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
◊
15
2
derartiges Produkt sowohl hinsichtlich seines korrekten und marktgerechten Preises als auch in Hinblick auf sein Risiko richtig beurteilt werden.
Im Anhang dieses Leitfadens befindet sich ein systematischer Überblick über die
Zerlegung der wichtigsten Zinsprodukte.
2.2 Symmetrische Zinsderivate
2.2.1 Forward Rate Agreements (FRAs)
Forward Rate Agreements sind Geschäfte, bei welchen sich die Kontrahenten über einen Zinssatz für eine in der Zukunft liegende Zeitperiode
einigen. Beispielsweise würde im Falle eines 6- gegen 9-Monate-FRAs ein
Zinssatz fixiert, der in sechs Monaten für einen Zeitraum von drei Monaten
gilt. Am Beginn der FRA-Periode wird das Settlement vorgenommen (im
genannten Beispiel daher nach Ablauf von 6 Monaten), wobei lediglich die
Differenzen zwischen den abgeschlossenen FRA-Sätzen und den aktuellen Marktzinssätzen ausgeglichen werden. Die Ausgleichszahlung wird
auf den Gegenwartswert abgezinst. Es sind keine Kapitalbewegungen
involviert.
Der Käufer eines Forward Rate Agreements sichert sich gegen
steigende Zinsen ab. Im Falle steigender Zinssätze erhält er eine Ausgleichszahlung nach Maßgabe der Differenz zwischen dem vereinbarten FRA-Satz
und dem dann geltenden Marktzinssatz. Das Umgekehrte gilt bei fallenden
Zinssätzen: dann hat der Käufer die Ausgleichszahlung zu leisten. Daraus
ergibt sich ein (theoretisch) unbegrenztes Gewinnpotential bei steigenden
Zinsen bzw. ein (theoretisch) unbegrenztes Verlustpotential bei fallenden
Zinsen. Prinzipiell entspricht der Kauf eines FRAs einer in der Zukunft
liegenden Geldaufnahme, der Verkauf eines FRAs einer in der Zukunft
liegenden Geldveranlagung.
Wie kann ein FRA in seine Plain-Vanilla-Elemente zerlegt werden? Das
gekaufte FRA kann durch zwei fiktive Zero-Coupon-Positionen synthetisch
abgebildet werden: eine Shortposition (Verbindlichkeit) bis zur Fälligkeit
des zugrundeliegenden Kreditgeschäftes und eine Longposition (Forderung)
bis zum Zeitpunkt des FRAs. Das BWG regelt diesen Sachverhalt in § 22 e
Abs. 1 Z 2 unter der Rubrik „Zinstermingeschäfte“, wobei als Beispiel ein
verkauftes FRA zerlegt wird. Das Prinzip der Zerlegung in zwei Komponenten, nämlich Short- und Longpositionen in fiktiven Plain-Vanilla-Instrumenten (oft spricht man in diesem Zusammenhang auch vom Grundsatz der
Zerlegung in zwei „Legs“ mit unterschiedlichem Vorzeichen), wird in der
Folge bei praktisch allen Zinsderivaten zur Anwendung kommen.
Ein Beispiel soll der Verdeutlichung dienen:
Kauf eines 3- gegen 6-Monate-FRAs, Nominale 10 Mio, Zinssatz 5%
Diese Position wird in zwei gegenläufige Zero-Coupon-Bond-Positionen mit
Laufzeiten von 3 (Long) und 6 Monaten (Short) zerlegt. Korrekterweise müssen
diese Positionen zu ihren Barwerten in die Laufzeitbänder eingeordnet werden
(d. h. die synthetischen Cash Flows müssen mit dem aktuellen 3- bzw. 6-MonatsZinssatz abgezinst werden). Kreditinstitute, die bei der Umsetzung dieser
Bestimmung Schwierigkeiten haben, können allerdings auch die Nominalwerte
16
◊
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
2
(d. h. 10 Mio) in die Spalte (3) der Tabelle aus § 22h Abs. 3 Z 4 BWG eintragen,
da der daraus resultierende Fehler infolge der in der Regel eher kurzen Laufzeiten
im FRA-Bereich vernachlässigbar klein ist. Generell könnte im unterjährigen
Bereich von der Abzinsung Abstand genommen werden, während bei Fälligkeiten
ab einem Jahr das Barwertprinzip durchgängig beachtet werden soll. Da es sich
um synthetische Nullkuponanleihen handelt, kann unter „Nominalzins geringer
als 3%“ eingestellt werden, und zwar unabhängig von der Höhe des tatsächlich
vereinbarten FRA-Zinssatzes. Letztlich hat diese Unterscheidung bei Laufzeiten
unter einem Jahr ohnehin keine praktische Auswirkung.
Kauf eines 3- gegen 6-Monats-FRAs
10
5
0
–15
–10
–15
1
2
3
4
5
6
2.2.2 Futures
Bei Futures ist grundsätzlich zwischen kurzlaufenden Zinsfutures (z. B.
Future auf den LIBOR) und Futures auf Anleihen (z. B. Future auf den AGB)
zu unterscheiden.
2.2.2.1 Zinsfutures
Der kurzlaufende Zinsfuture weist die gleichen Charakteristika wie ein
FRA-Geschäft auf (tatsächlich werden die Preise dieser Instrumente auch
nach den gleichen Grundsätzen ermittelt). Der Unterschied besteht lediglich darin, daß es sich bei Zinsfutures um standardisierte Börsenkontrakte
handelt. Es ist allerdings zu beachten, daß die Vorzeichen bei der
Synthetisierung eines Zinsfutures durch fiktive Basisgeschäfte genau umgekehrt wie bei FRAs sind.1) Der Käufer eines Zinsfutures sichert sich gegen
fallende Zinsen ab. Dementsprechend muß dieses Geschäft durch eine
Longposition des zugrundeliegenden Kreditgeschäftes und eine Shortposition bis zum Futures-Termin abgebildet werden. Die gesetzliche
Regelung für die Zerlegung von Geldmarktfutures befindet sich in § 22 e
Abs. 1 Z 1 BWG („Zinsterminkontrakte“).
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
◊
1 Diese Besonderheit ergibt sich
aus der Tatsache, daß die
Preise der Geldmarktfutures
gebildet werden, indem die
FRA-Zinssätze von 100
abgezogen werden. Damit hat
man erreicht, daß sowohl
Geldmarkt- als auch
Bondfutures auf Änderung
der Zinsen in gleicher Weise
reagieren.
17
2
Beispiel:
Ein im Jänner gekaufter und im März fällig werdender Future auf den
3-Monats-LIBOR in Höhe von 50 Mio wird in eine 5-Monate-Longposition
(= Laufzeitband 3 bis 6 Monate) und eine 2-Monate-Shortposition
(= Laufzeitband 1 bis 3 Monate) zerlegt. Im übrigen gelten die gleichen
Grundsätze wie bei FRAs (Einstellung der Barwerte, oder – wenn dies dem
Kreditinstitut nicht möglich ist – der Nominalwerte in die Spalte „Nominalzinssatz geringer als 3%“).
Kauf eines 3-Monate-LIBOR-Futures
(Kauf im Jänner, Erfüllung im März)
40
20
0
–20
–40
–60
1
2
4
3
5
2.2.2.2 Bondfutures
Im Falle von Bond Futures bestehen die beiden Legs aus Positionen in einem
langlaufenden Straight Bond und einem kurzlaufenden Zero Kupon Bond
(bis zum Erfüllungstag) mit umgekehrtem Vorzeichen (siehe § 22 e Abs. 1 Z
3 BWG). Sinnvollerweise sollte für die zehnjährige Position die CTDAnleihe („Cheapest to Delivery“) herangezogen werden, da diese die realistischen Zahlungsströme widerspiegelt. Die anderen lieferbaren Anleihen
oder die dem Futureskontrakt zugrundeliegende synthetische Basisanleihe
sollten für diesen Zweck nicht in Betracht gezogen werden.
18
◊
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
2
Beispiel:
Ein im Dezember gekaufter und im Juni fällig werdender Future auf den
AGB (Nominale 10 Mio) besteht aus einer Longposition in der zehnjährigen
CTD-Anleihe und einer Shortposition in einer 6-Monate-Nullkuponanleihe.
Sollte die Anleihe eine Kuponzahlung im Februar aufweisen, dann müßte außerdem eine zusätzliche Shortposition in einer 2-Monate-Nullkuponanleihe in
Höhe dieses Kupons eingestellt werden. Die Longposition ist zum Barwert (dirty
price) einzustellen. Die Höhe der 6-Monate-Nullkuponanleihe ist wie folgt zu
berechnen: vereinbartes Nominale mal Futurespreis mal Konversionsfaktor plus
Stückzinsen am Liefertag. Dieser Betrag wird anhand der aktuellen Zinsstrukturkurve auf den Barwert abgezinst.
Kauf eines 10-y-Bundfutures
(kein Kupon bis Erfüllungstag)
10
5
0
–15
–10
–15
0'5
2
4
6
8
10
2.2.3 Termingeschäfte
Selbstverständlich werden auch Termingeschäfte auf Anleihen, also nichtstandardisierte Vereinbarungen (Over the Counter-Geschäfte) über Kauf
oder Verkauf einer Anleihe auf Termin nach der gleichen Methode wie die
Bondfutures in ihre Bestandteile zerlegt.
2.2.4 Swapgeschäfte
2.2.4.1 Plain Vanilla Swaps (Kuponswap/Generic Swap)
Bei dieser Variante werden feste gegen variable Zinsen getauscht. Der
Käufer eines Swaps bezahlt feste Zinsen und erhält dafür im Austausch
variable Zinsen (Payer Swap). Das Umgekehrte gilt für den Verkäufer eines
Swaps (Receiver Swap). Kuponswaps lassen sich als eine Kombination eines
Geldmarkt- und eines Kapitalmarktpapiers darstellen. Der Käufer des
Swaps kann diese Position als Shortposition in einem Straight Bond und
einer Longposition in einer Floating Rate Note duplizieren. Es ist daher eine
Shortposition in jenem Laufzeitband einzustellen, welches der Laufzeit des
Swaps entspricht, und eine Longposition bis zum nächsten Zinsanpassungstermin einzutragen (§ 22 e Abs. 4 BWG).
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
◊
19
2
2.2.4.2 Basisswaps
Bei Basisswaps werden variable gegen variable Zinsen ausgetauscht (z. B.
3-Monats-LIBOR gegen 6-Monats-LIBOR). Es werden daher Long- und
Shortpositionen entsprechend den nächsten Zinsanpassungsterminen in die
Bänder eingestellt.
2.2.4.3 Terminswaps (Forward Swaps)
Zinsswaps, deren Konditionen heute festgelegt werden, deren Laufzeit aber
erst in der Zukunft beginnt, werden als Forward Swaps bezeichnet.
Terminswaps wurden im BWG nicht explizit geregelt. Sinngemäß kann aber
eine analoge Produktzerlegung vorgenommen werden: ein Leg bis zur
Endfälligkeit des Straight Bonds und ein Leg mit umgekehrtem Vorzeichen
bis zur ersten Zinsfestsetzung.
Beispiel:
Der Kauf eines fünfjährigen Kuponswaps (Payer Swap),der in zwei Jahren beginnt
und einen Zinssatz von 6% hat, kann in eine siebenjährige Shortposition in
einem 6%igen Straight Bond und in eine zweijährige Longposition in einem
6%igen Straight Bond aufgeteilt werden. Die Barwerte dieser synthetischen
Anleihen sind anhand einer aktuellen Zinsstrukturkurve zu ermitteln.
Die folgenden Grafiken sollen die Zerlegung von Terminswaps in zwei
synthetische Straight Bonds veranschaulichen:
Grafik 1
Grafik 2
90
90
40
40
–110
–110
–160
–160
–110
–110
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
Grafik 3
Grafik 4
90
90
40
40
–110
–110
–160
–160
–110
–110
1
variabel
20
7
2
3
4
5
6
1
7
2
3
4
5
6
7
fix
◊
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
2
Die erste Grafik zeigt den tatsächlichen Cash Flow des Terminswaps. Im
zweiten Bild wird aktiv- und passivseitig das hypothetische Kapital dazugeschlagen. Die Floating-Seite kann aus den bereits dargestellten Überlegungen (siehe Seite 11) mit dem Wert 100 zum ersten Zinsfestsetzungstermin angesetzt werden (Grafik 3). Um eine Shortposition im
siebenjährigen Straight Bond einstellen zu können, müssen noch zwei
Kupons in den ersten beiden Jahren angesetzt werden, welche durch entgegengesetzte Longpositionen ausgeglichen werden müssen. Das Ergebnis
ist eine Longposition in einem zweijährigen Straight Bond.
2.2.5 Devisentermingeschäfte
Bei einem Devisentermingeschäft handelt es sich um einen Währungstausch,
der zu einem zukünftigen Zeitpunkt stattfindet, dessen Wechselkurs aber
bereits zum Zeitpunkt des Geschäftsabschlusses fixiert wird. Das Hauptrisiko, das aus solchen Geschäften entsteht, ist naturgemäß das Wechselkursrisiko.Allerdings sind darüber hinaus auch Zinsrisiken involviert, die im
Rahmen des Standardverfahrens berücksichtigt werden müssen. Dabei ist
das Termingeschäft aufzuspalten in ein Kassageschäft, ein Geldaufnahmeund ein Geldveranlagungsgeschäft.
Beispiel:
Ein Kauf von 5 Mio EUR gegen USD mit Fälligkeit in 6 Monaten zu einem
Terminkurs von 1.05 ist im Rahmen des allgemeinen Zinsrisikos wie folgt zu
behandeln:
Einstellung einer EUR-Longposition in das Laufzeitband 3 bis 6 Monate
(5 Mio EUR, abgezinst mit dem aktuellen 6-Monate-EUR-Zinssatz) und einer
USD-Shortposition in das gleiche Laufzeitband (5.25 Mio USD, abgezinst
mit dem aktuellen 6-Monate-USD-Zinssatz).
2.3 Asymmetrische Zinsderivate
Asymmetrische Zinsderivate sind Instrumente mit optionalem Charakter.
Ebenso wie die symmetrischen Geschäfte werden diese Positionen in zwei
Legs, das heißt in eine Long- und eine Shortposition aufgeteilt2). Dabei ist
eine Position bis zum Laufzeitende des Underlyings und die andere Position
bis zum Ausübungstag einzustellen.
Darüber hinaus ist bei Optionen zu berücksichtigen, daß die Kursveränderungen des Underlying-Instruments nur einen mittelbaren Einfluß
auf die Optionsprämien haben. Aus diesem Grund sind die Positionen mit
dem jeweiligen Deltafaktor zu gewichten. Der Deltafaktor gibt an, um
wieviel sich der Optionswert ändert, wenn sich der Wert des UnderlyingInstruments um eine Einheit ändert. Das BWG (§ 22 e Abs. 2) sieht in
diesem Zusammenhang vor, daß im Falle börsengehandelter Optionen der
von den Börsen publizierte Deltafaktor herangezogen werden kann. Bei
Over the Counter-Optionen muß das Kreditinstitut die Deltafaktoren über
ein geeignetes Optionspreismodell selbst berechnen.
Bei der Einstellung der deltagewichteten Positionen ist das Vorzeichen
des Delta (Short- oder Longpositionen) zu beachten:
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
◊
2 Das BWG (§ 22 e Abs. 2) sieht
diese Aufteilung in Shortund Longkomponente nicht
ausdrücklich vor. Dennoch
sollten Zinsoptionen auf diese
Weise behandelt werden.
Gerade bei Optionen, deren
Ausübungstag weit in der
Zukunft liegt, würde eine
Vernachlässigung des Legs bis
zum Ausübungstag eine deutliche Verzerrung der
Risikoposition darstellen.
Dies ist etwa bei Anleihen mit
Kündigungsrecht (callable
Bonds), das sind Anleihen mit
einer eingeschlossenen
Option, der Fall.
21
2
Optionsposition
Delta
Underlying
gekaufter Call
positiv
Longposition
verkaufter Call
negativ
Shortposition
gekaufter Put
negativ
Shortposition
verkaufter Put
positiv
Longposition
Es wird für die Zwecke der Eigenkapitalunterlegung kein Unterschied
zwischen europäischen (Ausübung nur zu einem bestimmten Stichtag möglich) und amerikanischen (Ausübung während eines bestimmten Zeitraums
möglich) Optionen gemacht. Es wird unterstellt, daß amerikanische
Optionen nicht vorzeitig ausgeübt werden.3)
Weiters ist im Zusammenhang mit Optionen auch auf andere Risiken
Bedacht zu nehmen. § 22 e Abs. 3 BWG weist ausdrücklich auf Gamma- und
Vegarisiken hin. Eine detaillierte Regelung eines vereinfachenden Verfahrens
zur Behandlung dieser Risiken wird in der Optionsrisikoverordnung vorgenommen.4)
2.3.1 Option auf einen Zinssatz (Option auf ein FRA)
Kaufoptionen auf ein FRA werden als caplets, Verkaufsoptionen als floorlets bezeichnet. Derartige Optionen werden genauso zerlegt, wie das der
Option zugrundeliegende FRA selbst (siehe Punkt 2.2.1). Allerdings müssen die Positionen deltagewichtet in die jeweiligen Laufzeitbänder
eingeordnet werden. Eine für die Berechnung der Prämien und Sensitivitäten geeignete Methode stellt zum Beispiel das sogenannte Black76-Modell dar5):
3 Dies gilt vorbehaltlos für
amerikanische Calls, aber
nur eingeschränkt für
amerikanische Puts.
4 Siehe Band 4 der
Leitfadenreihe zum
Marktrisiko (Gaal/Plank –
Berücksichtigung von
Optionsrisiken).
5 Siehe Hull, Seite 392 ff.
22
Prämien:
caplet=†Le–r(k+l)†[FN(d1)–RN(d2)]
floorlet=†Le–r(k+l)†[RN(–d2)–FN(–d1)]
wobei:
2
d1 = ln(F/R)+‚ k†/2
‚‹˘
k†
‹k̆
d2 =d1 –‚ †
Sensitivitäten:
•(call)=†N(d1)e–r(k+l)†
•(put)=†(N(d1)–1)e–r(k+l)†
©= n(d1) †e–r(k+l)†
F‚‹˘
k†
wobei:
L = Nominalbetrag
F = Forward Zinssatz
R = Strike
† = Laufzeit des Caplet/Floorlet
k = Perioden bis Laufzeitbeginn des Caplet/Floorlet
e = Eulersche Zahl
◊
(4)
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
2
N = Verteilungsfunktion
n = Dichtefunktion
‚ = Volatilität
r = risikoloser Zinssatz bis Laufzeitende des Caplet/Floorlet
Beispiel:
Es soll eine verkaufte Calloption auf ein 1- gegen 2-Jahres-FRA zerlegt und in
die Laufzeitbänder eingestellt werden.
Nominalbetrag: 20 Mio,
Strike: 6%,
Forwardzinssatz 1 gegen 2 Jahre: 5.41%,
Risikoloser Zinssatz: 5.21%,
Volatilität: 20%.
Aus diesen Angaben resultieren folgende Ergebnisse:
Prämie: 39.413.79 ATS,
Delta: 0.305
Deltaäquivalent: 6,093.541 ATS.
Wie hat die Produktzerlegung und Einstellung zu erfolgen?
Eine verkaufte Calloption stellt eine Shortposition im Underlying dar (siehe
Punkt 2.2).Es ist daher das Deltaäquivalent einer verkauften FRA-Position in die
beiden Legs aufzuspalten und in die Laufzeitbandmethode einzustellen: Das
heißt, daß der Betrag in Höhe von 6,093.541 ATS sowohl als Longposition in
das Laufzeitband 1 bis 2 Jahre als auch als Shortposition in das Laufzeitband
6 bis 12 Monate einzustellen ist. Das sich daraus ergebende Eigenmittelerfordernis beträgt 50.570.– ATS.
Gewicht
Laufzeitbänder
Kupons >=3%
Kupons <3%
Offene Positionen
Gewichtete
offene Positionen
long
long
short
short
Geschlos- Verbleibende offene
Bandposition
sene
Bandposition
long
short
Geschlos Offene Zonenpositionen
sene
Zonenpositionen long
short
%
–1
>1–3
>3–6
>6–12
–1
>1–3
>3–6
>6–12
0%
0'20%
0'40%
0'70%
Zone 1
>1–2
>2–3
>3–4
>1–1'9
>1'9–2'8
>2'8–3'6
1'25%
1'75%
2'25%
>3'6–4'3
>4'3–5'7
>5'7–7'3
>7'3–9'3
>9'3–10'6
>10'6–12
>12–20
>20
2'75%
3'25%
3'75%
4'50%
5'25%
6'00%
8'00%
12'50%
Zone 2
>4–5
>5–7
>7–10
>10–15
>15–20
>20
6.093
6.093
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
42'65
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
42'65
42'65
0'00
0'00
0'00
42'65
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
76'16
0'00
0'00
0'00
76'16
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
76'16
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
76'16
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
Zone 3
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
◊
23
2
Position
EK-Satz
Eigenmittelerfordernis
%
Geschlossene Positionen in Laufzeitbändern
Geschlossene Positionen in Zone 1
Geschlossene Positionen in Zone 2
Geschlossene Positionen in Zone 3
Geschlossene Position zw. Zone 1 und 2
Geschlossene Position zw. Zone 2 und 3
Geschlossene Position zw. Zone 1 und 3
übrige offene Positionen
0'00
0'00
0'00
0'00
42'65
0'00
0'00
33'51
10
40
30
30
40
40
150
100
0'00
0'00
0'00
0'00
17'06
0'00
0'00
33'51
50'57
2.3.2 Option auf einen Zinsfuture
Eine Option auf einen Zinsfuture stellt das Recht dar, während eines
bestimmten Zeitraums oder zu einem bestimmten Zeitpunkt in einen
Futureskontrakt zu einem vorher fixierten Strike einzutreten. Eine derartige Option wird genauso zerlegt, wie der der Option zugrundeliegende
Futureskontrakt selbst (siehe Punkt 2.2.2.1). Allerdings werden die beiden
Legs mit ihrem Deltaäquivalent eingestellt.
Beispiel:
Eine im Jänner gekaufte Calloption auf den im März fällig werdenden Future auf
den 3-Monats-LIBOR wird in eine deltagewichtete 5-Monate-Longposition und
eine deltagewichtete 2-Monate-Shortposition zerlegt.
2.3.3 Option auf eine Anleihe
6 Korrekterweise müssen diese
beiden Positionen mit dem
auf den Gegenwartswert
abgezinsten Betrag angesetzt
werden. Siehe dazu die
Besprechung des
Musterporteufeuilles in
Abschnitt C.
24
Eine Option auf einen Straight Bond beinhaltet das Recht, eine Anleihe zu
einem bestimmten zukünftigen Zeitpunkt zu einem festgelegten Kurs zu
kaufen oder zu verkaufen. Nach dem „two legged approach“ ist eine
derartige Position ebenfalls in eine Nullkuponanleihe-Position bis zum
Ausübungstag und in eine entgegengesetzte Straight Bond-Position bis zur
Endfälligkeit der Anleihe zu zerlegen, wobei – da es sich um eine
Optionsposition handelt – beide Positionen mit ihrem Deltaäquivalent
anzusetzen sind.
Beispiel:
Es wird ein Put mit einem Ausübungstag in 3 Monaten auf eine Anleihe gekauft.
Der vereinbarte Strikepreis beträgt 99.– (wobei unterstellt wird, daß in diesem
Preis bereits Stückzinsen enthalten sind). Bei der dem Put zugrundeliegenden
Anleihe handelt es sich um eine 8%ige Bundesanleihe mit einer Restlaufzeit von
8.2 Jahren. Der aktuelle Marktpreis (inklusive Stückzinsen) beträgt 98.–. Das
Nominale ist 10 Mio, das Preisdelta der Putoption beträgt –0.4.
Der erworbene Put wird deltagewichtet mit einer Shortposition im Laufzeitenband
7 bis 10 Jahre und mit einer Longposition im Laufzeitenband 1 bis 3 Monate
eingestellt. Da diese Anleihe noch vor dem Ausübungstag eine Kuponzahlung aufweist, sollte dieser Kupon mit einer weiteren Longposition im Laufzeitenband 1
bis 3 Monate neutralisiert werden.
Daher:
Laufzeitband 1 bis 3 Monate
3,960.000.– Long
320.000.– Long6)
Laufzeitband 7 bis 10 Jahre
3,920.000.– Short
◊
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
2
2.3.4 Option auf einen Bondfuture
Eine Option auf einen Bondfuture beinhaltet das Recht, einen Futureskontrakt auf eine Anleihe zu einem bestimmten zukünftigen Zeitpunkt (bzw.
während eines bestimmten Zeitraums, da die meisten börsegehandelten
Optionen auf Bondfutures vom amerikanischen Typ sind) zu einem
festgelegten Kurs zu kaufen oder zu verkaufen. Bei der Zerlegung sind
abermals zwei Legs zu bilden. Ein gekaufter Call besteht aus einer
Longposition in einem Straight Bond und einer Shortposition bis zum
Ausübungstag der Option.
2.3.5 Caps
Caps sind Zinsbegrenzungsvereinbarungen. Der Käufer eines Caps schützt
sich vor steigenden Zinsen. Sollte der variable Referenzzinssatz (z. B.
3-Monats-LIBOR) den vereinbarten Cap-Zinssatz übersteigen, erhält der
Käufer die Differenz. Ein Cap kann als ein Portfolio von Optionen auf einen
Zinssatz (Calloptionen auf FRAs) interpretiert werden, wobei diese
Optionen den gleichen Strike, aber unterschiedliche Laufzeiten haben. Die
einzelnen Optionselemente werden häufig auch als Caplets bezeichnet.
Diese Caplets sind „im Geld“, wenn der Referenzzinssatz über dem
Capzinssatz liegt. Liegt er hingegen darunter, sind sie „aus dem Geld“. Für
die Bewertung eines Caps ist es erforderlich, jedes einzelne Optionselement
gesondert zu bewerten; der Preis des Caps ergibt sich aus der Summe der
Preise der individuellen Optionen.
Da ein Cap lediglich aus einer Serie von Caplets besteht, ist er in die
individuellen Caplets aufzuspalten und diese sind nach der unter Punkt
2.3.1 bereits beschriebenen Methode weiterzuverarbeiten. Jedes Caplet ist
als deltagewichtetes FRA mit seinen beiden Legs in die entsprechenden
Laufzeitbänder einzureihen. Bei einem gekauften Cap sind pro Caplet die
Legs mit den längeren Laufzeiten als Shortpositionen, jene mit den kürzeren
Laufzeiten als Longpositionen einzustellen.
2.3.6 Floors
Floors sind ebenso wie Caps Zinsbegrenzungsvereinbarungen. Der Käufer
eines Floors schützt sich vor fallenden Zinsen. Fällt der Referenzzinsssatz
unter den vereinbarten Floorzinssatz, dann erhält der Käufer des Floors die
Differenz. Auch Floors können als Portfolio von Einzeloptionen interpretiert werden, wobei jedes einzelne Optionselement als Floorlet bezeichnet
wird. Ein Floor stellt somit eine Serie von Putoptionen auf FRAs dar, welche
unterschiedliche Laufzeiten, aber gleiche Strikes aufweisen.
Die Produktzerlegung ist daher im Falle von Floors spiegelbildlich zu
Caps vorzunehmen. Jedes Floorlet ist als deltagewichtetes FRA mit seinen
beiden Legs in die entsprechenden Laufzeitbänder einzureihen. Bei einem
gekauften Floor sind pro Floorlet die Legs mit den längeren Laufzeiten als
Longpositionen, jene mit den kürzeren Laufzeiten als Shortposition einzustellen.
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
◊
25
2
2.3.7 Devisenoptionen
Devisenoptionen geben dem Optionskäufer das Recht, aber nicht die
Pflicht, einen in der Zukunft liegenden Währungstausch zu einem
bestimmten Wechselkurs (Strike) durchzuführen. Für die Zwecke der
Kapitaladäquanz ist ein derartiges Geschäft als deltagewichtetes Devisentermingeschäft zu behandeln, wobei dieses in der unter Punkt 2.2.5
beschriebenen Weise weiter zu zerlegen ist (synthetisches Kassageschäft und
zwei gegenläufige Geldmarktgeschäfte). Ein für die Ermittlung des Deltas
von europäischen Devisenoptionen geeignetes Modell ist das von Garman
und Kohlhagen modifizierte Black-Scholes-Modell:
c=e–rfTSN (d1)–e–rTXN (d2)
p=e–rTXN (–d2)–e–rfTSN (–d1)
wobei:
2
d1 = ln(S/X)+(r–rf+‚ /2)T
‚‹˘
T
‹T̆
d2 =d1 –‚
wobei:
S = aktueller Kurs des Underlying
X = Strike
e = Eulersche Zahl
N = Verteilungsfunktionen
r = risikoloser Zinssatz
‚ = Volatilität
rf = risikoloser Zinssatz der Fremdwährung
T = Laufzeit der Option
Beispiel:
Ein Kauf eines Calls auf eine Devisenoption Pfund Sterling gegen US-Dollar in
Höhe von 5 Mio GBP mit folgenden Geschäfts- und Marktdaten:
Underlying
S
1.61
Strike
X 1.60
.
Zinssatz STG rf 5 50%
Zinssatz USD r
5.80%
Zeit
T 0.5
‚ 15.00%
Volatilität
∂ 0.535
Delta
wird im Rahmen des allgemeinen Zinsrisikos wie folgt zerlegt:
Einstellung einer deltagewichteten GBP-Longposition in das Laufzeitband
3 bis 6 Monate (5 Mio GBP mal dem Delta = GBP 2.67 Mio) und einer USDShortposition in das gleiche Laufzeitband (8 Mio USD mal dem
Delta = 5 Mio mal 1.6 mal 0.535 = 4.28 Mio USD).
2.4 Strukturierte Zinsprodukte
Die bisher besprochenen Zinsinstrumente werden häufig miteinander kombiniert und in einem sogenannten strukturierten Produkt „verpackt“. Auf
26
◊
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
2
diese Weise lassen sich die unterschiedlichsten Zahlungsströme synthetisch
generieren. Es gibt auf diesem Gebiet bereits eine ungeheure Produktvielfalt, wobei in der Folge lediglich jene Instrumente dargestellt sind, die in
der Praxis am häufigsten angeboten werden.
2.4.1 Reverse Floater
Reverse Floater sind Anleihen mit variabler Verzinsung, wobei in regelmäßigen Abständen ein variabler Referenzzinssatz von einem Fixzinssatz
abgezogen wird (z. B. 12% minus 6-Monats-LIBOR). Der Käufer eines
Reverse Floaters profitiert von fallenden Zinsen. Das Kursrisiko dieser
Papiere ist im Gegensatz zu Plain Vanilla Floatern sehr groß.
Dies wird unmittelbar verständlich, wenn ein Reverse Floater in seine
Basiselemente zerlegt wird: Eine Longposition in einem Reverse Floater
besteht aus einer Longposition in zwei Straight Bonds, einer Shortposition
in einem Plain Vanilla Floater und einer Longposition in einem Cap.
Um den Cash Flow zum Zeitpunkt der Tilgung korrekt abzubilden,
muß die Anzahl der Straight Bonds immer um eins größer sein als die Anzahl
der Floater. Die Notwendigkeit einen Cap einzustellen, ergibt sich aus
der Tatsache, daß die Emissionsbedingungen von Reverse Floatern eine
negative Verzinsung ausschließen.Würden Marktbedingungen eintreten, bei
denen der variable Referenzzinssatz den Fixzinssatz übersteigt, müßte der
Käufer des Papiers eine Zahlung an den Emittenten leisten. Um dies zu
verhindern, wird eine Mindestverzinsung von 0% eingezogen.
Beispiel:
Kauf einer Reverse Floating Rate Note
Nominale 1 Mio,Verzinsung 12% minus 6-Monats-LIBOR, Laufzeit 10 Jahre,
Mindestverzinsung 0%.
Dieses Papier besteht aus:
• Longposition in einem Straight Bond
Nominale 2 Mio,Verzinsung 6%, Laufzeit 10 Jahre
• Shortposition in einem Plain Vanilla Floater
Nominale 1 Mio,Verzinsung 6-Monats-LIBOR, Laufzeit 10 Jahre
• Longposition in einem Cap
Basispreis 12%, Laufzeit 10 Jahre
Der Cap ist nach dem oben beschriebenen Verfahren in seine Basiselemente
weiter zu zerlegen.
Fallweise treten auch Reverse-Floater-Konstruktionen wie zum Beispiel
Fixzinssatz minus 2 mal variabler Referenzzinssatz (sogenannte „Turbo
Reverse Floater“) auf. In diesem Fall steht einer Longposition in drei Straight
Bonds eine Shortposition in zwei FRNs gegenüber.
Häufig werden Reverse Floater auch mit Perioden fixer Verzinsung
verbunden.
Beispiel:
Longposition in einer Anleihe mit 8% fix bis zum 2. Jahr, danach 10% minus
12-Monats-LIBOR7), Gesamtlaufzeit 5 Jahre, Mindestverzinsung 0%.
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
◊
7 Aus Gründen einer
vereinfachten Darstellung
wurde eine jährliche
Zinsanpassungsperiode
gewählt.
27
2
Diese Anleihe kann in eine Longposition in zwei fünfjährigen Straight Bonds
zu 5%, eine Shortposition in einem fünfjährigen Floater, eine Position in einem
zweijährigen Payer Swap mit 2% Fixzinssatz (damit werden die Cash Flows
für die ersten beiden Jahre korrigiert) sowie in einen Cap long in Höhe von 10%
(forward starting 2 gegen 5 Jahre) zerlegt werden.
Um feststellen zu können, ob das Wertpapier korrekt repliziert wurde,
empfiehlt es sich, den aus den fiktiven Basisinstrumenten resultierenden
Zahlungsstrom abzubilden und mit jenem des zu zerlegenden Produkts zu
vergleichen:
LIBOR
Zeit
5
7
9
11
13
Reverse
Floater
1'0
2'0
3'0
4'0
5'0
8'0
8'0
1'0
0'0
100'0
2 Straights
(5%) long
10'0
10'0
10'0
10'0
210'0
1 FRN
short
– 5'0
– 7'0
– 9'0
– 11'0
–113'0
Payer
Swap (2%)
–2'0
–2'0
1 Cap long Summe
(10%)
5'0
7'0
1'0
3'0
8'0
8'0
1'0
0'0
100'0
In der Spalte LIBOR wird eine fiktive LIBOR-Entwicklung ausgewiesen.Auf Basis dieser Zinsannahme ergibt sich der Cash Flow des Reverse
Floaters (Spalte 3). Die Summe der hypothetischen Basisinstrumente muß
den gleichen Cash Flow ergeben.
2.4.2 Leveraged Floater
8 Die Longposition in einem
Leveraged Floater kann
alternativ auch als eine
Longposition in einem Plain
Vanilla Floater und eine
Position in einem Payer Swap
interpretiert werden.
28
Leveraged Floater sind variabel verzinsliche Anleihen, deren laufende
Verzinsung nach einem Prinzip konstruiert ist, welches das genaue Gegenteil zu Reverse Floatern darstellt: von einem variablen Referenzzinssatz
wird ein Fixzinssatz abgezogen (z. B. zweimal LIBOR minus 4%). Die
Mindestverzinsung ist Null Prozent. Der Käufer eines Leveraged Floaters
profitiert von steigenden Zinsen. Die Kursentwicklung eines derartigen
Papiers hängt von den langfristigen Zinssätzen ab: Steigen die langfristigen
Zinsen, dann steigt auch der Kurs des Leveraged Floaters.
Produktzerlegung:
Eine Longposition in einem Leveraged Floater setzt sich aus einer Longposition
in zwei Floating Rate Notes und einer Shortposition in einem Straight Bond8)
zusammen. Um eine negative Verzinsung auszuschließen, bestehen darüber hinaus
zwei Longpositionen in einem Floor.
Beispiel:
Kauf eines Leveraged Floaters
Nominale 1 Mio, Verzinsung zweimal 6-Monats-LIBOR minus 4%, Laufzeit
5 Jahre, Mindestverzinsung 0%
Dieses Papier besteht aus:
• Longposition in einem Plain Vanilla Floater
Nominale 2 Mio, Verzinsung 6-Monats-LIBOR, Laufzeit 5 Jahre
• Shortposition in einem Straight Bond
Nominale 1 Mio, Verzinsung 4%, Laufzeit 5 Jahre
◊
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
2
•
Longpositionen in zwei Floors
Basispreis 2%, Laufzeit 5 Jahre
Die Floors wären nach dem oben beschriebenen Verfahren in ihre Basiselemente
weiter zu zerlegen.
2.4.3 Floating Rate Note mit Cap
Cap Floater sind variabel verzinste Anleihen, deren Zinssatz eine bestimmte
Obergrenze nicht übersteigen kann. Da sich der Emittent dadurch vor
steigenden Zinsen schützen will, erwirbt er einen Cap. Der Käufer des
Floaters hingegen verkauft den Cap. Er erhält dafür einen höheren Aufschlag
auf den Referenzzinssatz.
Beispiel:
Verkauf einer Cap Floating Rate Note
.
Verzinsung 12-Monats-LIBOR9) plus 0 375%, Laufzeit 5 Jahre, Höchstzinssatz
.
6 875%
Dieses Papier ist in eine Shortposition in einem Plain Vanilla Floater und eine
Longposition in einem Cap mit dem Strike 6.5% zu zerlegen. Eine völlig exakte
Replizierung des Cash Flows würde darüber hinaus auch erfordern, daß eine
Shortposition in einem Straight Bond mit einem Zinssatz von 0.375% und eine
Longposition in einer fünfjährigen Nullkuponanleihe eingestellt werden.
Jahre
LIBOR
1
2
3
4
5
Cap-FRN
4
5
6
7
8
– 4.375
– 5.375
– 6.375
– 6.875
–106.875
Short FRN
– 4
– 5
– 6
– 7
–108
Long Cap
0'5
1'5
Short
Straight
Bond
– 0'375
– 0'375
– 0'375
– 0'375
–100'375
Long Zero
100
Summe
– 4.375
– 5.375
– 6.375
– 6.875
–106.875
Die dargestellte Methode der Zerlegung des Aufschlags auf den
variablen Referenzzinssatz in einen Straight Bond mit einem Kupon in Höhe
des Aufschlags und eine gegenläufige Nullkuponanleihe-Position auf die
Endfälligkeit sollte übrigens auch bei allen Plain Vanilla Floatern mit
Aufschlag vorgenommen werden.
Im Rahmen eines Standardverfahrens kann allerdings von einer derartigen Vorgangsweise Abstand genommen werden. Die involvierten Cash
Flows sind so geringfügig, daß eine Vernachlässigung dieses Zinsänderungsrisikos kaum ins Gewicht fällt und somit keine wesentliche
Fehlerquelle darstellt.
2.4.4 Floating Rate Note mit Floor
Floor Floater sind variabel verzinste Anleihen, deren Zinssatz eine bestimmte Untergrenze nicht unterschreiten kann. Floor Floater schützen den
Anleger vor unter ein bestimmtes Niveau fallenden Zinsen. Dies geschieht
mittels eines erworbenen Floors. Der Preis für den Floor wird in der Regel
als Abschlag auf die variable Verzinsung dargestellt.
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
◊
9 Aus Gründen einer
vereinfachten Darstellung
wurde eine jährliche
Zinsanpassungsperiode
gewählt.
29
2
Beispiel:
Kauf eines Floor Floaters
Verzinsung LIBOR minus 0.5%, Laufzeit 5 Jahre, Mindestzinssatz 3.5%
Dieses Papier wird in eine Longposition in einer Floating Rate Note und in eine
Longposition in einem Floor mit dem Strike 4% zerlegt.Will man eine völlig
exakte Abbildung des Cash Flows erzielen, dann ist darüber hinaus eine Shortposition in einem Straight Bond mit einem Kupon von 0.5% und eine Longposition in einer fünfjährigen Nullkuponanleihe einzustellen. In Analogie zu den
Ausführungen im Zusammenhang mit Cap Floatern kann aber aus Gründen der
Praktikabilität von dieser Vorgangsweise im Rahmen des Standardverfahrens
abgesehen werden.
2.4.5 Collars
Collars sind Kombinationen aus Caps und Floors. Der Kauf eines Collars
stellt eine Absicherung gegen steigende Zinsen dar. Der Aufwand für den
Cap wird durch den Erlös aus dem Verkauf des Floors reduziert. Häufig
werden Collars so konstruiert, daß der Preis des Caps gleich jenem des
Floors ist (= Zero Cost Collar).
Zerlegung: Ein gekaufter Collar (= Longposition) besteht aus einer
Longposition in einem Cap und einer Shortposition in einem Floor. Ein
verkaufter Collar (= Shortposition) besteht aus einer Longposition in einem
Floor und einer Shortposition in einem Cap.
2.4.6 Collarfloater
Collarfloater sind Floating Rate Notes mit einem Höchst- und einem
Mindestzinssatz. Der Anleger kann von steigenden Zinsen nur bis zur
Obergrenze profitieren, erhält aber im Gegenzug eine Mindestverzinsung,
auch wenn die Marktzinsen unter dieses Niveau fallen. Implizit hat der
Käufer eines derartigen Papiers daher einen Cap verkauft und einen Floor
gekauft.
Zerlegung: Eine Longposition in einem Collarfloater besteht aus einer
Longposition in einem Plain Vanilla Floater und einer Shortposition in
einem Collar (= Shortposition in einem Cap plus Longposition in einem
Floor).
2.4.7 Swaptions
Eine Swaption ist eine Option, in einen zukünftigen Swapvertrag mit einem
bereits heute vereinbarten Fixzinssatz eintreten zu können (Forward Swap).
Die international übliche Konvention lautet:
30
Kauf
Verkauf
Payer Swaption
Das Recht, fix zu zahlen und
variabel zu erhalten.
Die Verpflichtung, fix zu erhalten
und variabel zu zahlen.
Receiver Swaption
Das Recht, fix zu erhalten
und variabel zu zahlen.
Die Verpflichtung, variabel
zu erhalten und fix zu zahlen.
◊
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
2
Der Käufer einer Payer Swaption wird sein Recht ausüben, wenn der
aktuelle Swapsatz am Fälligkeitstag über dem vereinbarten Basispreis liegt.
Da eine Swaption eine Option auf einen Forward Swap darstellt, kann
sie in einen deltagewichteten Forward Swap übergeführt werden. Dieser
wird dann nach der bereits beschriebenen Methode zerlegt. Das Delta ist
nach einem anerkannten Modell zu berechnen.10)
Produktzerlegung:
Longposition in einer Payer Swaption = deltagewichtete Longposition in einem
Forward Payer Swap = Shortposition in einem langfristigen Straight Bond
(deltagewichtet) plus Longposition in einem kurzfristigen Straight Bond (deltagewichtet).
Beispiel:
Kauf einer Receiver Swaption:
Nominale 20 Mio, Strike 6%, Expiry 2 Jahre, Laufzeit des Swaps 5 Jahre
Die Position kann als Longposition in einem Receiver-Terminswap (deltagewichtet) betrachtet werden. Unter der Annahme, daß das Delta 0.5 beträgt,
kommt es zu folgender Zerlegung:
10 Mio Longposition in einem Receiver-Terminswap zu 6% =
10 Mio Longposition in einem 6%igen Straight Bond im Laufzeitband
5–7 Jahre plus
10 Mio Shortposition in einem 6%igen Straight Bond im Laufzeitband
1–2 Jahre
2.4.8 Anleihen mit Zinswahlrecht
Der Käufer einer Anleihe mit Zinswahlrecht erhält in den ersten Jahren
einen fixen Zinssatz. Danach hat er das Recht (aber nicht die Verpflichtung),
den festen Zinssatz in eine variable Verzinsung umzutauschen. Läßt er sein
Recht verfallen, dann erhält er bis zur Endfälligkeit der Anleihe den
Fixzinssatz. Der Anleger wird sein Recht dann ausüben, wenn die langfristigen Zinsen gestiegen sind.
Eine Anleihe mit Zinswahlrecht kann demnach als eine Kombination
eines Straight Bonds in Verbindung mit einer Swaption betrachtet werden.
Produktzerlegung:
Kauf einer Anleihe mit Zinswahlrecht = Longposition in einem Straight Bond
plus Longposition in einer Payer Swaption
Exkurs: Zinsphasenanleihen
Anleihen mit Phasenverzinsung sind nicht zu verwechseln mit Anleihen,
welche mit Zinswahlrecht ausgestattet sind, da sie kein Optionselement
enthalten. Derartige Anleihen können als Kombination von Floatern mit
Swaps leicht dargestellt werden.
Beispiel:
Zehnjährige Anleihe mit Fixverzinsung von 5% während der ersten 5 Jahre,
variabler Verzinsung während der nächsten 3 Jahre und abermals fixer Verzinsung
in Höhe von 6% während der letzten beiden Jahre.
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
◊
10 Eine adäquate Methode zur
Berechnung des Deltas von
Swaptions wird in Abschnitt C
(Musterportefeuille) gezeigt.
31
2
Produktzerlegung:
Eine Longposition in einem Floater plus,
eine Longposition in einem Receiver Swap zu 5% (0–5) plus,
eine Longposition in einem Receiver Swap zu 6% (9–10) (Terminswap).
2.4.9 Anleihen mit Kündigungsrecht
2.4.9.1 Schuldnerkündigungsrecht
Anleihen mit Schuldnerkündigungsrecht verbriefen dem Emittenten das
Recht, die Anleihe zu einem bestimmten Termin (oder zu bestimmten
Terminen) zu einem bereits heute fixierten Kurs zurückzukaufen. Dieses
Recht wird bei fallenden Zinsen ausgeübt. Da es sich bei diesem Recht um
eine Call-Option handelt, werden diese Papiere häufig als callable Bonds
bezeichnet.
Der Anleger hat demnach implizit eine Option an den Emittenten
verkauft. Aus der Sicht des Anleihekäufers besteht daher ein callable Bond
aus einem Straight Bond long und einem short Call auf diesen Bond.
Beispiel:
Callable Bond (Laufzeit 10 Jahre, Kupon 6%, Nominale 20 Mio, Kündigungsrecht nach 5 Jahren mit Strike 100). Das nach Black-76 ermittelte Preisdelta
beträgt 0.5.
Produktzerlegung (aus Sicht des Anlegers):
20 Mio Straight Bond long im Laufzeitband 7–10 Jahre.
Zerlegung des short Calls:
10 Mio Straight Bond short im Laufzeitband 7–10 Jahre.
10 Mio Straight Bond long im Laufzeitband 4–5 Jahre.
2.4.9.2 Gläubigerkündigungsrecht
Beim Gläubigerkündigungsrecht verfügt der Anleger über die Option, das
Papier vorzeitig zu verkaufen (putable Bond). Aus der Sicht des Anleihekäufers besteht ein putable Bond daher aus einem Straight Bond long und
einem long Put auf diesen Bond.
Beispiel:
Putable Bond (Laufzeit 10 Jahre, Kupon 6%, Nominale 20 Mio, Kündigungsrecht nach 5 Jahren mit Strike 100). Das nach Black-76 ermittelte Preisdelta
beträgt 0.5.
Produktzerlegung (aus Sicht des Anlegers):
20 Mio Straight Bond long im Laufzeitband 7–10 Jahre.
Zerlegung des long Puts:
10 Mio Straight Bond short im Laufzeitband 7–10 Jahre.
10 Mio Straight Bond long im Laufzeitband 4–5 Jahre.
2.4.10 High Yield Bonds
In jüngster Vergangenheit wurde eine Vielzahl von Anleihen begeben,
die sehr hohe Kupons aufweisen. Offensichtlich hat die lange Phase
niedriger Zinsen bei den Anlegern das Bedürfnis nach höherer Verzinsung
entstehen lassen. Möglich wird dies, indem die Anleger Optionen, die in
32
◊
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
2
den Anleihen verpackt sind, verkaufen. Die daraus resultierende Prämie
wird in Form einer Verzinsung, die entsprechend über dem Marktzinssatz
liegt, geleistet. In der Folge seien zwei typische Produkte dieser Art skizziert
und deren Zerlegung dargestellt.
2.4.10.1 High Yield Aktien Bonds
Die Anleger dieser Papiere bekommen zum Tilgungszeitpunkt entweder das
eingesetzte Kapital zurück (= Tilgung zum Nennwert) oder eine im
Anleiheprospekt spezifizierte Anzahl einer Aktie, sofern dieser Aktienkurs
am Ende der Laufzeit einen bestimmten Kurs (meistens der zum Zeitpunkt
der Begebung aktuelle Kurs) unterschreitet. Außerdem trägt eine derartige
Anleihe einen weit über dem herrschenden Marktzinssatz liegenden Kupon.
Aus der Sicht des begebenden Kreditinstituts handelt es sich somit um die
Kombination einer Anleiheemission und dem Kauf einer Putoption auf eine
Aktie. Das Kreditinstitut hat ein unbeschränktes Gewinnpotential bei fallenden Aktienkursen und ein auf den überhöhten Kupon beschränktes
Verlustpotential.
Der Emittent hat eine solche Anleihe in zwei Elemente zu zerlegen: eine
Shortposition in einem Straight Bond und eine Longposition in einer AktienPutoption.
2.4.10.2 High Yield Währungs Bonds
Abermals handelt es sich um eine Anleihe mit einem weit über dem
Marktzinssatz liegenden Kupon und einer asymmetrischen Tilgungsmodalität. Die Höhe der Tilgung ist an die Wechselkursentwicklung eines in
den Ausstattungsbedingungen genannten Währungspaares gekoppelt. Wenn
der Wechselkurs zum Tilgungszeitpunkt über einem bestimmten Wert liegt,
dann erhält der Anleger das eingesetzte Kapital zurück (= Tilgung zum
Nennwert). Liegt er unter diesem Wert, dann reduziert sich die Tilgung je
nach Wechselkurs.
Aus der Sicht des begebenden Kreditinstituts handelt es sich abermals
um die Kombination einer Anleihemission und dem Kauf einer Putoption
auf einen Wechselkurs. Der Unterschied zu den unter Punkt 2.4.10.1
beschriebenen Anleihen liegt daher lediglich im Underlying. Das Kreditinstitut hat ein unbeschränktes Gewinnpotential bei einem fallenden
Wechselkurs und ein auf den überhöhten Kupon beschränktes Verlustpotential.
Der Emittent hat eine solche Anleihe in zwei Elemente zu zerlegen: eine
Shortposition in einem Straight Bond und eine Longposition in einer
Putoption auf einen Wechselkurs.
Die Devisenoption ist natürlich im Rahmen des allgemeinen Zinsrisikos
weiterzuverarbeiten. Die diesbezügliche Vorgangsweise ist unter Punkt
2.3.7 bereits ausführlich erläutert worden.
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
◊
33
3
Musterportefeuille
Im folgenden soll anhand eines Musterportefeuilles sowohl die Methodik
der Einstellung von zinsrisikobehafteten Positionen in die Laufzeitbänder als
auch die dafür erforderliche Zerlegung dieser Geschäfte dargestellt werden.
Die Methode entspricht dem im vorigen Abschnitt beschriebenen „two
legged approach“. Es werden die Teilanrechnungsbeträge für das allgemeine
Marktrisiko sowohl nach der Jahresbandmethode als auch nach der
Durationsmethode ermittelt.
3.1 Produktzerlegung
Das Musterportefeuille setzt sich aus folgenden Positionen zusammen:
1. Longposition in einer Bundesanleihe mit einer Restlaufzeit von
8.5 Jahren mit einem Kupon von 7% und jährlicher Zinszahlung,
Nominalvolumen 10 Mio, aktueller Kurs (inkl. Stückzinsen) 106.71.
Die modifizierte Duration beträgt 6.51. (BOND)
2. Terminkauf einer Bundesanleihe per Termin 6 Monate mit Nominale
50 Mio, vereinbarter Terminkurs 118.50 (inkl. Stückzinsen), Anleiheausstattung Kupon 8%, Laufzeit 6.25 Jahre, aktueller Kurs 115.96 (inkl.
Stückzinsen). Die modifizierte Duration der Anleihe beträgt 4.95.
(TBOND)
3. Kauf eines FRAs 3/6 in Höhe von 100 Mio (FRA)
4. Kauf eines 3-Monate-Interest-Rate-Futures in Höhe von 50 Mio,
Erfüllungszeitpunkt 1 Monat. (IRF)
5. Longposition in einem Reverse Floater 12% – 6-Monats-LIBOR über
20 Mio mit einer Restlaufzeit von 3.25 Jahren. Die nächste Zinsfestsetzung findet in 3 Monaten statt. Der Zinssatz für die laufende
Periode beträgt 4.5%. (REVERSE)
6. Longposition in einem Payer-Swap über 10 Mio mit einem Zinssatz von
6%. Die Laufzeit des Swaps beträgt 5 Jahre. Der 6-Monats-LIBOR
wurde aktuell mit 5% fixiert, die nächste Zinsanpassung findet in
6 Monaten statt. (PAYER)
7. Verkaufter Cap, Strike 6%, Laufzeit 3 Jahre, Referenzzinssatz
12-Monats-LIBOR, Nominalbetrag 20 Mio (CAP)
8. Shortposition in einer Payer-Swaption, Nominale 30 Mio, Strike 7%,
Expiry 2 Jahre. Die Laufzeit des der Option zugrundeliegenden Swaps
beträgt 5 Jahre (SWAPTION)
Die Basis für die Berechnung der finanzmathematischen Parameter
(Barwerte, Durationen etc.) bildet die nachstehende Zinsstrukturkurve.
Mittels Bootstrapping-Verfahrens wurden aus den am Markt herrschenden
Swap-Par-Rates die entsprechenden Zero Coupon Rates und die dazugehörigen Diskontfaktoren errechnet. Für den Geldmarkt (bis zu 1 Jahr)
wird eine flache Zinskurve von 5% angenommen.
34
◊
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
3
Jahre
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Swap-Rates
Zero-Rates
%
%
5'00
5'20
5'40
5'60
5'80
6'00
6'20
6'40
6'60
6'80
Diskontfaktoren
5'00
5'21
5'41
5'63
5'85
6'08
6'31
6'55
6'81
7'07
0'9524
0'9034
0'8538
0'8033
0'7526
0'7018
0'6516
0'6020
0'5527
0'5050
ad 1: BOND
Die Anleihe ist mit dem Marktwert (aktueller Kurs inklusive Stückzinsen
(= dirty price) mal Nominale/100) in das Laufzeitband 7 bis 10 Jahre
als Longposition einzustellen. Der Betrag ist 10,671.000.–.
ad 2: TBOND
Der Terminkauf einer Anleihe ist in zwei Legs aufzuteilen: eine Longposition
in der Anleihe (Einstellung zum Marktwert wie oben) im Laufzeitband 5–7
Jahre und eine Shortposition in einem Zerobond in Höhe des vereinbarten
Terminkurses mal dem Nominale (abgezinst auf den Barwert) im
Laufzeitband 3–6 Monate. Darüber hinaus ist zu berücksichtigen, daß der
erste Kupon der Anleihe durch einen gegenläufigen Zerobond (abgezinst auf
den Barwert) neutralisiert werden muß (Shortposition im Laufzeitband 1–3
Monate).
ad 3: FRA
Das gekaufte FRA 3/6 entspricht einer Shortposition 3–6 Monate und einer
Longposition 1–3 Monate. Vereinfachend werden im Rahmen dieses
Beispiels die Nominalwerte eingestellt; es muß aber nochmals betont werden, daß die korrekte Vorgangsweise in der Einstellung zu Barwerten
besteht.Aus Gründen der Praktikabilität kann im unterjährigen Bereich aber
davon abgegangen werden (siehe die Ausführungen unter Punkt 2.2.1).
ad 4: IRF
Die Longposition in einem 3-Monate-IRF mit Erfüllungstag in einem Monat
wird in eine Longposition 3–6 Monate und eine Shortposition bis
1 Monat zerlegt.
ad 5: REVERSE
Der Reversefloater ist in folgende Bestandteile zu zerlegen:
• Longposition in einem Straight Bond mit Nominale 40 Mio, Kupon 6%
und Restlaufzeit von 3.25 Jahren.
• Shortposition in einem Floater mit Nominale 20 Mio und nächstem
Zinsanpassungstermin in drei Monaten.
• Longposition in einem Cap auf den 6-Monats-LIBOR mit Strike 12%.
In der folgenden Darstellung wurde auf die separate Zerlegung des Caps
verzichtet, da die dafür erforderlichen Anrechnungsbeträge äußerst gering
sind. Der Grund dafür liegt in dem Umstand, daß der Cap mit einem Strike
von 12% und einem aktuellen Marktsatz von 5% weit aus dem Geld ist und
somit kaum ins Gewicht fällt. Selbstverständlich muß der Cap aber im
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
◊
35
3
Jahre (A)
0'25
1'25
2'25
3'25
Cash Flows (B)
Diskont
faktoren (C)
(Basis: zeros)
2,400.000
2,400.000
2,400.000
42,400.000
0'988
0'940
0'891
0'841
Barwert (D)
Diskont
faktoren (E)
(Basis: yield)
2,370.904
2,256.333
2,138.420
35,665.193
42,430.850
0'987
0'936
0'888
0'842
Dur:
A*B*E
42,430.850
0'01
0'07
0'11
2'73
2'93
Rendite: 5'447%; mod. Dur: 2'78
1 Die Produktzerlegung wird
anhand des Beispiels 7 (CAP)
ausführlich demonstriert.
36
Rahmen des Standardverfahrens korrekt erfaßt und in seine Bestandteile
zerlegt werden.1)
Die Berechnung des Barwerts und der modifizierten Duration der
synthetischen Anleihen wird nachstehend exemplarisch veranschaulicht:
• Straight Bond long im Laufzeitband 3–4 Jahre
Zunächst wird anhand der aktuellen Zinsstrukturkurve der Barwert
ermittelt (die Diskontfaktoren in der Spalte C wurden aus der Tabelle
auf Seite 42 herangezogen, wobei zwischen den Gitterpunkten linear
interpoliert wurde). Damit kann mittels der ISMA-Methode die
Rendite in Höhe von 5.447% errechnet werden. Für die Ermittlung der
Duration müssen die Diskontfaktoren auf Basis einer flachen Zinskurve
von 5.447% neu bestimmt werden. Die modifizierte Duration ergibt
sich dann aus Duration/(1+Rendite).
• Floater short im Laufzeitband 1–3 Monate
Es ist ein Cash Flow in Höhe von 20,450.000.- (letzter 6-MonatsLIBOR von 4.5% bezogen auf ein Nominale von 20 Mio) mit dem
3-Monats-Diskontfaktor von 0.988 auf den Barwert abzuzinsen:
20,202.000.–.
ad 6: PAYER
Die Longposition im Payer Swap wird in eine Longposition in einer Anleihe
mit einem Kupon von 6% im Laufzeitband 4–5 Jahre und in eine
Shortposition in einem Floater im Laufzeitband 3–6 Monate zerlegt. Die
Barwerte werden nach der unter Punkt 5 (REVERSE) demonstrierten
Methode berechnet.
ad 7: CAP
Ein dreijähriger Cap mit einjährigen Zinsfestsetzungperioden besteht aus
zwei Caplets. Diese beiden Caplets haben folgende Parameter:
Caplet2
Caplet1
R: 6% 6%
F: 5.41%
5.83%
r: 5.21%
5.41%
k: 1 2
†: 1 1
‚: 20%
20%
L: 20 Mio
20 Mio
Bei Anwendungen der unter Punkt 2.3.1 beschriebenen Methode gelangt
man zu folgenden Ergebnissen:
◊
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
3
Caplet1
Caplet2
Prämie
39.414.–
99.150.–
∂:
0.305
0.452
Deltaäquivalent 6,093.541.– 9,041.278.–
Die Deltaäquivalente müssen daher wie folgt in der Laufzeitbandmethode
berücksichtigt werden:
Gewicht
Laufzeitbänder
Kupons >=3%
Kupons <3%
Offene Positionen
Gewichtete
offene Positionen
long
long
short
short
Geschlos- Verbleibende offene
Bandposition
sene
Bandposition
long
short
Geschlos Offene Zonenpositionen
sene
Zonenpositionen long
short
%
–1
>1–3
>3–6
>6–12
–1
>1–3
>3–6
>6–12
0%
0'20%
0'40%
0'70%
Zone 1
>1–2
>2–3
>3–4
>1–1'9
>1'9–2'8
>2'8–3'6
1'25%
1'75%
2'25%
>3'6–4'3
>4'3–5'7
>5'7–7'3
>7'3–9'3
>9'3–10'6
>10'6–12
>12–20
>20
2'75%
3'25%
3'75%
4'50%
5'25%
6'00%
8'00%
12'50%
Zone 2
>4–5
>5–7
>7–10
>10–15
>15–20
>20
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
42'66
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
42'66
42'66
76'18
0'00
0'00
42'66
36'84
0'00
0'00
0'00
113'01
0'00
0'00
0'00
0'00
158'22
0'00
0'00
76'18
158'22
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
76'18
36'84
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
121'38
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
158'22
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
36'84
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
6.094
6.094
9.041
9.041
Zone 3
Position
EK-Satz
Eigenmittelerfordernis
%
Geschlossene Positionen in Laufzeitbändern
Geschlossene Positionen in Zone 1
Geschlossene Positionen in Zone 2
Geschlossene Positionen in Zone 3
Geschlossene Position zw. Zone 1 und 2
Geschlossene Position zw. Zone 2 und 3
Geschlossene Position zw. Zone 1 und 3
übrige offene Positionen
76'18
0'00
36'84
0'00
42'66
0'00
0'00
78'72
10
40
30
30
40
40
150
100
0'00
0'00
11'05
0'00
17'06
0'00
0'00
78'72
114'45
Die für den Cap erforderlichen Eigenmittel betragen somit 114.450.– ATS.
ad 8: SWAPTION
Die Shortposition in einer Payer-Swaption (was das gleiche wie eine
Longposition in einer Receiver-Swaption darstellt) kann durch eine deltagewichtete Shortposition in einem Forward-Payerswap ersetzt werden.
Demgemäß kann die Position zerlegt werden in:
• Longposition Anleihe mit Kupon 7% und Restlaufzeit 7 Jahre
• Shortposition Anleihe mit Kupon 7% und Restlaufzeit 2 Jahre
Für die Berechnung des Deltafaktors kann zum Beispiel folgende BlackFormel herangezogen werden:
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
◊
37
3
T+n
Í
i=T+1
C=(L dft, i) (r N(d1)–R N(d2))
(1)
wobei
C
=
L
=
T
=
n
=
dƒt,i =
t
=
r
=
R
=
N(x) =
Preis der Payer-Swaption
Nominalbetrag
Expiry der Swaption
Laufzeit des zugrundeliegenden Swaps
Diskontfaktor vom Zeitpunkt i auf den Zeitpunkt t
Bewertungszeitpunkt
aktueller Forwardswapsatz
vereinbarter Swapsatz
Wert der Verteilungsfunkton der Standardnormalverteilung an der Stelle x
Außerdem sind d1 und d2 wie folgt definiert:
‚2
d1=(ln(r/R)+ 2 (T–t))/(‚‹˘˘
T–t)
d2=d1 –‚‹˘˘
T–t
wobei ‚ die Volatilität des Forwardsatzes bezeichnet.
Der Deltafaktor ∂ = N(d1).
Zieht man dieses Modell für die Berechnung des Deltas für das vorliegende Beispiel heran, so ergibt sich unter der Annahme eines aktuellen
Forwardsatzes von 6.75% und einer Volatilität von 12% ein Delta von
0.45. Unter Anwendung dieses Deltas ergibt sich eine Shortposition im
Payer-Swap in Höhe von 13.5 Mio (30 Mio mal 0.45). Die Barwerte der
beiden synthetischen Anleihen sind abermals nach der bereits beschriebenen
Methode zu ermitteln.
3.2 Laufzeitbandmethode
Die nachstehenden Tabellen zeigen im Überblick, wie die Produkte in die
Laufzeitbänder eingeordnet werden:
Produkt
BOND
TBOND
TBOND
TBOND
FRA
FRA
IRF
IRF
REVERSE
REVERSE
PAYER
PAYER
CAP
CAP
CAP
CAP
SWAPTION
SWAPTION
38
Long/Short
Restlaufzeit
Long
Long
Short
Short
Short
Long
Long
Short
Long
Short
Short
Long
Long
Short
Long
Short
Long
Short
◊
Betrag in Tausend
8'50
6'25
0'50
0'25
0'50
0'25
0'33
0'08
3'25
0'25
5'00
0'50
2'00
1'00
3'00
2'00
7'00
2'00
10.671
57.981
59.250
3.952
100.000
100.000
50.000
50.000
42.431
20.202
10.085
10.000
6.094
6.094
9.041
9.041
14.106
13.950
Mod. Duration
6'11
4'67
0'50
0'25
0'50
0'25
0'33
0'08
2'78
0'25
4'22
0'50
2'00
1'00
3'00
2'00
5'49
1'84
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
3
Gewicht
Laufzeitbänder
Kupons >=3%
Produkte
Kupons <3%
long
short
%
–1
>1–3
>3–6
>6–12
>1–2
>2–3
>3–4
>4–5
>5–7
>7–10
>10–15
>15–20
>20
0
0'20
0'40
0'70
IRF
FRA TBOND, REVERSE
IRF, PAYER
TBOND, FRA
CAP
>1–1'9
>1'9–2'8
>2'8–3'6
1'25
1'75
2'25
CAP SWAPTION, CAP
CAP
REVERSE
>3'6–4'3
>4'3–5'7
>5'7–7'3
>7'3–9'3
>9'3–10'6
>10'6–12
>12–20
>20
Gewicht
Laufzeitbänder
Kupons >=3%
–1
>1–3
>3–6
>6–12
Kupons <3%
2'75
3'25 TBOND, SWAPTION
3'75
BOND
4'50
5'25
6'00
8'00
12'50
Offene Positionen
long
Gewichtete
offene Positionen
short
long
short
PAYER
Geschlos- Verbleibende offene
sene
Bandposition
Bandlong
short
position
Geschlos Offene Zonensene
positionen
Zonenshort
positionen long
%
–1
>1–3
>3–6
> 6–12
Zone 1
–1
>1–3
>3–6
> 6–12
>1–2
>2–3
>3–4
Zone 2
>1–1'9
>1'9–2'8
>2'8–3'6
>4–5
>5–7
>7–10
>10–15
>15–20
>20
>3'6–4'3
>4'3–5'7
>5'7–7'3
>7'3–9'3
>9'3–10'6
>10'6–12
>12–20
>20
0
50.000
0'20 100.000 24.154
0'40 60.000 159.250
0'70
6.094
1'25
1'75
2'25
2'75
3'25
3'75
4'50
5'25
6'00
8'00
12'50
6.094
10.789
42.431
22.991
10.085
72.087
10.671
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'0
200'00
240'00
0'00
76'18
188'81
954'70
0'00
2.342'83
400'16
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
Zone 3
0'0
48'31
637'00
42'66
287'39
0'00
0'00
277'34
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'0
48'31
240'00
0'00
0'0
151'69
0'00
0'00
151'69
0'0
0'00
397'00
42'66
439'66
151'69
0'00
287'97
0'00
188'81
954'70
1.143'51
211'21
0'00
0'00
211'21
211'21
932'29
0'00
0'00
0'00
0'00 2.342'83
0'00 400'16
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
364'48 2.742'99
277'34
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
0'00
277'34
277'34 2.465'65
0'00
76'18
0'00
0'00
Beträge in Tausend.
Der letzte Berechnungsschritt hat das vertikale und horizontale Hedging
zum Gegenstand, bei dem die offenen Positionen innerhalb der Laufzeitbänder und zwischen den Laufzeitbändern gegeneinander aufgerechnet
werden können.
Vertikales Hedging
Die jeweils kleinere, gewichtete offene Long/Short-Position ist die
geschlossene Bandposition. Die Summe der geschlossenen Bandpositionen
(364.48) ist für das verbleibende Basisrisiko mit 10% Eigenmitteln zu
unterlegen.
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
◊
39
3
Position
UnterlegungsSatz
Beträge in Tausend
Beträge in Tausend %
Geschlossene Positionen in Laufzeitbändern
Geschlossene Positionen in Zone 1
Geschlossene Positionen in Zone 2
Geschlossene Positionen in Zone 3
Geschlossene Positionen zw. Zone 1 und 2
Geschlossene Positionen zw. Zone 2 und 3
Geschlossene Positionen zw. Zone 1 und 3
übrige offene Positionen
364'48
151'69
211'21
277'34
287'97
0'0
0'0
3.109'98
Eigenmittelerfordernis
10
40
30
30
40
40
150
100
36'45
60'68
63'36
83'20
115'19
0'0
0'0
3.109'98
3.468'86
Horizontales Hedging
Zunächst können die nach Abzug der geschlossenen Bandpositionen verbleibenden offenen Bandpositionen innerhalb der Zonen gegenseitig aufgerechnet werden. Die geschlossenen Zonenpositionen sind die jeweils
kleineren verbleibenden offenen Zonenpositionen. Die geschlossenen
Zonenpositionen sind mit 40% (Zone 1) bzw. 30% (Zone 2 und 3)
Eigenmitteln zu unterlegen.
Danach können die endgültig verbleibenden offenen Zonenpositionen
festgestellt werden. Zunächst werden die offenen Zonenpositionen zwischen Zone 1 und Zone 2 gegenseitig aufgerechnet (287.97). Dann wird der
verbleibende Rest aus Zone 2 mit Zone 3 aufgerechnet. Da im vorliegenden
Fall gleiche Vorzeichen herrschen, gibt es keine geschlossene Position aus
dieser Aufrechnung. Die Eigenmittelunterlegung für benachbarte Zonen ist
mit 40% anzusetzen. Abschließend werden entgegengesetzte Positionen aus
Zone 1 und Zone 3 geschlossen. Da die Zone 1 bereits voll mit Zone 2 aufgerechnet wurde, ist das Ergebnis 0.
Alle nach der Zonenverrechnung übriggebliebenen Beträge ergeben die
endgültig offene Position. Diese hat mit 100% in die Eigenmittelunterlegung einzugehen.
Die erforderlichen Eigenmittel betragen 3,468.860.–.
3.3 Durationsmethode
Bei der Durationsmethode erhält man die gewichteten offenen Positionen,
indem man jede einzelne Position mit der zugehörigen modifizierten
Duration und mit der in der entsprechenden Zone angenommenen
Zinsänderung multipliziert. Das Ergebnis widerspiegelt die Wertveränderungen dieser Positionen, wenn Zinsänderungen im unterstellten Ausmaß
eintreten.
Die nachstehenden Tabellen zeigen die Einordnung der Produkte im
Durationsverfahren:
40
◊
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
3
Produkt
Long/Short
Betrag
Mod. Duration
Beträge in Tausend
IRF
TBOND
FRA
REVERSE
IRF
TBOND
FRA
PAYER
CAP
SWAPTION
CAP
CAP
REVERSE
CAP
PAYER
TBOND
SWAPTION
BOND
Zonen
Short
Short
Long
Short
Long
Short
Short
Long
Short
Short
Long
Short
Long
Long
Short
Long
Long
Long
Modifizierte
Duration
50.000
3.952
100.000
20.202
50.000
59.250
100.000
10.000
6.094
13.950
6.094
9.041
42.431
9.041
10.085
57.980
14.106
10.671
0'08
0'25
0'25
0'25
0'33
0'50
0'50
0'50
1'00
1'84
2'00
2'00
2'78
3'00
4'22
4'67
5'49
6'11
Modifizierte
Duration
AngenomOffene Positionen
mene
short
Zinsänderung long
Geschlossene
Zonenposition
Gewichtete
offene Position
long
short
Offene
Zonenposition
long
short
%
0–1'0
1'00
50.000
3.952
100.000
20.202
50.000
59.250
100.000
10.000
6.094
0'08
0'25
0'25
0'25
0'33
0'50
0'50
0'50
1'00
Zone 1
40'00
9'88
250'00
50'51
165'00
296'25
500'00
50'00
465'00
>1–3'6
0'85
13.950
6.094
9.041
42.431
9.041
1'84
2'00
2'00
2'78
3'00
Zone 2
>3'6
0'70
10.085
57.980
14.106
10.671
4'22
4'67
5'49
6'11
Zone 3
60.94
957'58
465'00
0'00
492'58
371'88
964'91
0'00
297'91
2.595'95
0'00
218'18
103'60
153'70
1.002'64
230'55
1.336'79
371'88
297'91
1.895'37
542'09
456'40
2.893'86
297'91
Beträge in Tausend.
Die letzten Berechnungsschritte sind analog zum Laufzeitbandverfahren
durchzuführen. Zuerst wird das vertikale Hedging innerhalb der Zonen und
anschließend das horizontale Hedging zwischen den Zonen vorgenommen.
Position
UnterlegungsSatz
Beträge in Tausend
Beträge in Tausend %
Geschlossene Positionen in Zonen
Geschlossene Position zw. Zone 1 und 2
Geschlossene Position zw. Zone 2 und 3
Geschlossene Position zw. Zone 1 und 3
übrige offene Positionen
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
1.134'79
492'58
0'0
0'0
3.068'29
◊
Eigenmittelerfordernis
2
40
40
150
100
22'70
197'03
0'0
0'0
3.068'29
3.288'01
41
3
Der Unterlegungssatz für die Summe der geschlossenen Zonenpositionen (465+371.88+297.91 = 1.234.79) beträgt 2%.
Die Unterlegungssätze für das horizontale Hedging sowie für die
übrigen offenen Positionen sind identisch mit jenen der Laufzeitbandmethode.
Die erforderlichen Eigenmittel betragen 3,288.010.– ATS.
42
◊
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
Anhang
Anhang
1. Die Duration
1938 konstruierte Frederick Macaulay ein Maß, das als Approximation für
die Berechnung der mittleren Fälligkeit einer festverzinslichen Anleihe
verwendet wird.1) Diese Kennzahl, deren Einheit die Zeit (meistens Jahr)
ist, wird daher auch als Macaulay-Duration bezeichnet und ist ein gewichteter Durchschnitt der Fälligkeiten aller aus der Anleihe resultierenden
Zahlungen. Der Gewichtungsfaktor einer Fälligkeit ist der Anteil der zu dieser Fälligkeit anfallenden Zahlung am Gesamtbarwert des Wertpapiers, die
Summe dieser Gewichtungsfaktoren ist also eins. Die Duration kann daher
als die durchschnittliche Dauer bis zum Erhalt der Zahlungen aus der
Anleihe aufgefaßt werden. So hat zum Beispiel eine in T Jahren fällige
Nullkuponanleihe eine Duration von T Jahren. Eine ebenfalls in T Jahren
fällige, aber Kupons zahlende Anleihe dagegen hat eine Duration, die
weniger als T Jahre beträgt, da einige Zahlungen vor dem Jahr T erfolgen.
Die Höhe dieser Abweichung hängt von der Kuponhöhe der Anleihe ab: je
niedriger die Kuponrate, desto höher die Duration der kuponzahlenden
Anleihe und desto kleiner die Abweichung zur Duration der entsprechenden
Nullkuponanleihe.
Angenommen, wir befinden uns zum Zeitpunkt 0 und betrachten eine
Anleihe, die zum Zeitpunkt ti den Betrag Ci zahlt (1≤i≤T). Unter Verwendung diskreter Zinssätze zur Barwertberechnung ist die Duration durch
die folgende Formel gegeben:
T
C
t (l+y)
Í
i=l
D=
T
Í
i=l
i
Ci
(l+y)ti
i
i
ti
Ci
(l+y)ti
wobei ti
Ci
T
y
wi
T
Í
i=l
= ti
,
C
i
i
t
i=l (l+y) i
utvtw
wi
(1)
T
Í
die Zeit bis zur i-ten Fälligkeit,
den i-ten Auszahlungsbetrag,
die Anzahl der Zahlungen,
den internen Zinsfuß und
den Gewichtungsfaktor der i-ten Fälligkeit bezeichnet.
1 Frederick Macaulay,
Some Theoretical Problems
Suggested by the Movements
of Interest Rates, BondYields
and Stock Prices in the
United States Since 1865,
National Bureau of Economic
Research, 1938
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
◊
43
Anhang
In weiterer Folge wird die Berechnung der Duration einer zehnjährigen
Anleihe mit einem Kupon von 8% und einem internen Zinsfuß von 7%
dargestellt:
Berechnung der Macaulay-Duration
t
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1/(1+y)^t
8'0
8'0
8'0
8'0
8'0
8'0
8'0
8'0
8'0
108'0
w
0'9346
0'8734
0'8163
0'7629
0'7130
0'6663
0'6227
0'5820
0'5439
0'5083
t*w
0'07
0'07
0'06
0'06
0'05
0'05
0'05
0'04
0'04
0'51
1'00
0'07
0'13
0'18
0'23
0'27
0'30
0'33
0'35
0'37
5'13
7'35
Macaulay-Duration=7'35.
Es gibt eine wichtige Beziehung zwischen dem Preis und der Duration
einer Anleihe. Der Preis P der Anleihe ist gegeben durch:
T
P=
C
Í
i=l (l+y)
i
(2)
ti
Bildet man die erste Ableitung des Preises nach dem internen Zinsfuß,
erhält man:
•P T (–ti)Ci
tiCi
1 T
=
=
–
•y i=l (l+y)ti+1
1+y i=l (l+y)ti
Í
Í
(3)
Kombiniert man die Formeln (1) bis (3), kommt man auf die Beziehung
zwischen Preis und Duration:
•P
•y
D
– P = l+y
(4)
Die rechte Seite der Gleichung bezeichnet man als modifizierte
Duration. Es gilt also, daß die relative Preisänderung aufgrund einer
Zinsänderung bis auf das Vorzeichen durch die modifizierte Duration
approximiert werden kann.
Die modifizierte Duration der Anleihe aus dem obigen Beispiel beträgt
also:
7.35
.
Dmod = 1+0.07 = 6 87
(5)
Die modifizierte Duration kann allerdings nur bei kleinen Zinsänderungen als verläßliche Approximation einer Preisänderung verwendet
werden. Aufgrund der konvexen Beziehung zwischen Preis und Zinssatz
spielen neben der ersten Ableitung die hier nicht berücksichtigten höheren
Ableitungen eine wesentliche Rolle.
44
◊
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
Anhang
2. Übersicht über die Zerlegung von Zinsinstrumenten
Instrument
Zerlegung
+ FRA
kurze Laufzeit
lange Laufzeit
kurze Laufzeit
lange Laufzeit
+
–
–
+
Zero
Zero
Zero
Zero
–
+
+
–
kurze Laufzeit
lange Laufzeit
kurze Laufzeit
lange Laufzeit
–
+
+
–
Zero
Zero
Zero
Zero
–
+
+
–
kurze Laufzeit
lange Laufzeit
kurze Laufzeit
lange Laufzeit
– Zero
+ Straight Bond
+ Zero
– Straight Bond
+
–
–
+
+
–
–
+
kurze Laufzeit
lange Laufzeit
kurze Laufzeit
lange Laufzeit
kurze Laufzeit
lange Laufzeit
kurze Laufzeit
lange Laufzeit
+ FRN
– Straight Bond
– FRN
+ Straight Bond
+ Straight Bond
– Straight Bond
– Straight Bond
+ Straight Bond
+ gekaufte Währung
– verkaufte Währung
+ Zero
– Zero
+
–
–
+
–
+
+
–
delta kurze Laufzeit
delta lange Laufzeit
delta kurze Laufzeit
delta lange Laufzeit
delta kurze Laufzeit
delta lange Laufzeit
delta kurze Laufzeit
delta lange Laufzeit
+
–
–
+
–
+
+
–
–
+
+
–
+
–
–
+
delta kurze Laufzeit
delta lange Laufzeit
delta kurze Laufzeit
delta lange Laufzeit
delta kurze Laufzeit
delta lange Laufzeit
delta kurze Laufzeit
delta lange Laufzeit
+
–
–
+
–
+
+
–
delta kurze Laufzeit
delta lange Laufzeit
delta kurze Laufzeit
delta lange Laufzeit
delta kurze Laufzeit
delta lange Laufzeit
delta kurze Laufzeit
delta lange Laufzeit
– FRA
+ Zinsfutures
– Zinsfutures
+ Bondfutures
– Bondfutures
+ Payerswap
+ Receiverswap
+ Payer Terminswap
+ Receiver Terminswap
Devisentermingeschäft
Option auf FRA
+ Call
+ delta FRA
– Call
– delta FRA
+ Put
– delta FRA
– Put
+ delta FRA
Option auf Bond
(Option auf Bondfuture)
+ Call
– Call
+ Put
– Put
Caps und Floors
+ Cap
+ delta FRA
– Cap
– delta FRA
+ Floor
– delta FRA
– Floor
+ delta FRA
Devisenoptionsgeschäft
Basisinstrument
+
–
–
+
+ delta gekaufte
Währung
– delta verkaufte
Währung
Zero
Zero
Zero
Zero
Zero
Zero
Zero
Zero
– Zero
+ Straight Bond
+ Zero
– Straight Bond
+ Zero
– Straight Bond
– Zero
+ Straight Bond
+
–
–
+
–
+
+
–
Zero
Zero
Zero
Zero
Zero
Zero
Zero
Zero
+ Zero
– Zero
Legende:
FRA = Forward Rate Agreement.
Zero = Zero Coupon Bond
delta = deltagewichtet.
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
◊
45
Anhang
(Fortsetzung)
Instrument
Position
Zerlegung
Reverse FRN
Long
Short
Leveraged FRN
Long
Short
FRN mit Cap
+ 2 * Straight Bond
– FRN
+ Cap
– 2 * Straight Bond
+ FRN
– Cap
+ 2 * FRN
– Straight Bond
+ 2 * Floor
– 2 * FRN
+ Straight Bond
– 2 * Floor
Long
+
–
–
+
Short
FRN mit Floor
Long
+ FRN
+ Floor
– FRN
– Floor
Short
Collars
Long
+ Cap
– Floor
– Cap
+ Floor
Short
Collar FRN
Long
+ FRN
– Collar
– FRN
+ Collar
Short
Swaptions
+ Payer Swaption
+ delta Payer Terminswap
– Payer Swaption + delta Receiver Terminswap
+ Receiver Swaption + delta Receiver Terminswap
– Receiver Swaption
+ delta Payer Terminswap
Anleihe mit
Zinswahlrecht
Long
Short
Callable Bond
Long
Short
Putable Bond
Long
Short
High Yield Aktien Bond
Long
Short
High Yield
Währungs Bond
Long
Short
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FRN
Cap
FRN
Cap
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+ Straight Bond
+ Payer Swaption
– Straight Bond
+ Receiver Swaption
+
–
–
+
Straight Bond
Call auf Bond
Straight Bond
Call auf Bond
+ Straight Bond
+ Put auf Bond
– Straight Bond
– Put auf Bond
+ Straight Bond
– Put auf Aktie
– Straight Bond
+ Put auf Aktie
+ Straight Bond
– Put auf Wechselkurs
– Straight Bond
+ Put auf Wechselkurs
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
Anhang
3. Literaturverzeichnis
3.1 Rechtliche Regelungen
Baseler Ausschuß für Bankenaufsicht, 1996: Änderung der Eigenkapitalvereinbarung
zur Einbeziehung von Marktrisiken.
EG-Kommission, 1993: Richtlinie 93/6/EWG des Rates vom 15. März 1993 über die
angemessene Eigenkapitalaussstattung von Wertpapierfirmen und Kreditinstituten
(Kapitaladäquanzrichtlinie).
2. große BWG-Novelle (Umsetzung der Kapitaladäquanzrichtlinie in Österreich).
Bundesaufsichtsamt für das Kreditwesen: Grundsatz I vom 29. Oktober 1997
(Umsetzung der Kapitaladäquanzrichtlinie in der BRD).
3.2 Sonstige Literatur
Gruber/Raskopf: Die Behandlung von derivativen Zinsinstrumenten in der Kapitaladäquanzrichtlinie (Working Paper der Deutschen Bundesbank).
Hull John C., 1997: Options, Futures, and Other Derviatives, 3rd Edition, Prentice Hall.
Schulte-Mattler/Traber, 1995: Marktrisiko und Eigenkapital, Gabler Verlag.
Eller Roland, 1995: Alles über Finanzinnovationen, Beck-Wirtschaftsberater, dtv-Verlag.
Jorion Philippe, 1996: Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk,
Irwin Professional
Leitfaden für § 22e und § 22h BWG
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