3.3 Das charakteristische Polynom

c Rudolf Scharlau
LinAlg II – Version 1 – 2. Mai 2006
3.3
209
Das charakteristische Polynom
Wir setzen die im vorigen Abschnitt begonnene Untersuchung von Eigenvektoren
und Eigenwerten fort und stellen den Zusammenhang zu Determinanten her. Wie
bisher ist K ein Körper, A ∈ K n×n eine quadratische Matrix und
FA : K n → K n , ~x 7→ A~x
der zugehörige Endomorphismus des Vektorraumes K n . Nach dem letzten Teil
von Bemerkung 3.2.2 können wir die Eigenwerte von FA wie folgt beschreiben:
⇐⇒
⇐⇒
λ ∈ K ist Eigenwert von FA
Kern(FA − λ Id) 6= {~0}
rang(A − λEn ) < n
Wir wollen die Eigenwerte und Eigenvektoren von FA in Zukunft auch einfach
als Eigenwerte bzw. -vektoren der Matrix A bezeichnen. Die Eigenvektoren von
A zum Eigenwert λ sind also die nichttrivialen Lösungen des homogenen linearen
Gleichungssystems zur Matrix A − λEn . Die obige Rangbedingung können wir
mit Hilfe der Determinante wie folgt umformulieren:
Bemerkung:
λ ist Eigenwert von A ⇐⇒ det(A − λEn ) = 0 .
Es geht nun darum, die auf K definierte Funktion λ 7→ det(A − λEn ) genauer zu
untersuchen.
Beispiel n = 2
A=
!
a c
,
b d
A − λE2 =
a−λ
c
b
d−λ
!
.
det(A − λE2 ) = λ2 − (a + d)λ + det A .
Wir erhalten also ein quadratisches Polynom in λ; die Eigenwerte sind die Nullstellen einer quadratischen Gleichung. Wie wir später weiter ausführen werden,
erhält man für Matrizen der Größe n entsprechend ein Polynom von Grad n.
Wir wollen im folgenden nicht nur die entsprechende Funktion auf K betrachten,
sondern λ durch eine “Unbestimmte” X ersetzen. Dieses führt uns auf Polynome
als “formale Ausdrücke” mit Potenzen einer Unbestimmten, im Unterschied zu
Polynomfunktionen. Der Grund hierfür ist, daß wir anstelle von X später nicht
nur Skalare, sondern auch andere Objekte, insbesondere Matrizen oder Endomorphismen in das Polynom einsetzen wollen.
Vorbereitend zur Beschreibung von Polynomen zunächst die Definition einer
“neuen” algebraischen Struktur, die uns in Wirklichkeit jedoch schon mehrfach
begegnet ist.
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Definition 3.3.1 (K-Algebra) Es sei K ein Körper. Eine K-Algebra ist ein
Ring R mit Einselement, der gleichzeitig ein K-Vektorraum ist (mit der gleichen Addition), in dem die folgende Verträglichkeitsbedingung zwischen skalarer
Multiplikation und Ringmultiplikation · erfüllt ist:
α(x · y) = (αx) · y = x · (αy) für alle α ∈ K, x, y ∈ R .
Beispiele 3.3.2
1. C ist eine R-Algebra. Allgemeiner ist jeder Körper L, der unseren gegebenen
Körper K als Teilkörper enthält, eine K-Algebra. Die skalare Multiplikation
ist die Einschränkung der Multiplikation in L auf K × L.
2. Mn (K) = K n×n ist eine K-Algebra.
3. End(V ) ist eine K-Algebra; dabei ist V ein beliebiger K-Vektorraum.
4. F (I, R) (die Menge der auf I definierten reellen Funktionen) ist eine RAlgebra. Sie ist kommutativ.
Wir kommen nun zu Polynomen, genauer zum Ring der Polynome über K. Wir
nehmen einen ähnlichen Standpunkt wie bei der Behandlung der komplexen Zahlen in 2.9 ein: wir geben eine Beschreibung, die alles wesentliche enthält, aber weder eine axiomatische Kennzeichnung noch eine Konstruktion des Polynomrings.
Erklärung 3.3.3 (Polynomring, Polynome) Gegeben sei ein Körper K.
a) Der Polynomring K[X] ist eine kommutative K-Algebra. Es gibt hierin ein
ausgezeichnetes Element X, die sog. Unbestimmte derart, daß
K[X] = {a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n | n ∈ N, a0 , a1 , . . . , an ∈ K} .
Die Elemente aus K[X] heißen Polynome über K.
b) Wenn zwei Polynome f = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n und g = b0 +
b1 X + b2 X 2 + · · · + bn X n übereinstimmen, dann ist ai = bi für i = 0, . . . , n.
c) In Polynome kann man Elemente β einer beliebigen K-Algebra R einsetzen:
für f ∈ K[X] wie eben definiert man
f (β) := a0 1R + a1 β + a2 β 2 + · · · + an β n .
Das Einsetzen ist ein Ringhomomorphismus, d.h. (f + g)(β) = f (β) + g(β)
und (f · g)β = f (β) · g(β) für festes β und alle f, g ∈ K[X].
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Wenn f = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n ein Polynom ist, dann nennen wir a0
auch der konstanten Term von f . Er kann auch als f (0) (Einsetzen von 0 ∈ K in
f ) beschrieben werden. Wenn zusätzlich n so gewählt ist, daß an 6= 0 ist, dann
heißt n der Grad von f , und an wird Leitkoeffizient von f genannt. Der Grad
gibt also wie üblich die höchste in f vorkommende Potenz der Unbestimmten an.
Wenn man Polynome miteinander multipliziert, addieren sich ihre Grade (und
ihre Leitkoeffizienten werden multipliziert).
Die Bedingung b) können wir eleganter wie folgt formulieren: die Menge {X k |
k ∈ N0 } aller Potenzen der Unbestimmten ist linear unabhängig im Vektorraum
K[X].
Durch das Einsetzen liefert jedes Polynom f insbesondere eine Funktion fe :
K → K, α 7→ f (α), aber das Polynom ist nicht diese Funktion. Wenn der
Körper K nur endlich viele Elemente hat, können verschiedene Polynome die
gleiche Funktion liefern. 1
Beispiel Betrachte den Körper F2 = {0, 1} aus zwei!Elementen, das Polynom
0 1
der F2 -Algebra M2 (F2 ).
g = X + X 2 ∈ F2 [X] sowie das Element S =
1 0
!
1 1
Dann ist e
g = 0 (die Nullfunktion auf F2 ), aber g(S) =
.
1 1
Wir kehren nun zu der oben betrachteten Funktion λ 7→ det(A − λEn ) zurück
und ersetzen –grob gesprochen– hierin λ durch die Unbestimmte X.
Definition und Bemerkung 3.3.4 (Charakteristisches Polynom) Für eine n×n-Matrix A mit Koeffizienten in einem Körper K wird das charakteristische
Polynom als
PA := det(A − XEn )
definiert. Dabei wird dieses Polynom (induktiv über n) durch Entwicklung nach
der ersten Spalte gemäß der Formel in 3.1.4 gebildet. PA ist ein Polynom vom
Grad n mit Leitkoeffizient (−1)n und konstantem Term det A.
Bemerkung. Der explizite Verweis auf die Entwicklung nach der ersten Spalte in der
letzten Definition mag etwas unelegant wirken. Mit etwas größerem Aufwand kann
man dieses in der Tat vermeiden. Wichtig ist nur, daß man eine explizite Formel
hat, die erstens die Determinante als Funktion der Matrixeinträge aij audrückt und
zweitens für Matrizen mit Koeffizienten in einem beliebigen kommutativen Ring (hier
dem Polynomring K[X]) Sinn macht. Etwas mehr dazu im ergänzenden Abschnitt
3.6.
Als zweites Hauptziel dieses Abschnittes steuern wir nun die Definition des charakteristischen Polynoms PF ∈ K[X] für einen Endomorphismus F eines beliebigen (allerdings endlich-dimensionalen) K-Vektorraumes an. Dieses geschieht
1
Weitere Informationen über Polynome, die im folgenden z.T. benutzt werden, findet man
im ergänzenden Abschnitt 3.6; insbesondere 3.6.7 und 3.6.9 setzen wir im folgenden als bekannt
voraus.
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mit Hilfe einer der unter 2.6.11 ff. eingeführten Darstellungsmatrix. Wir müssen
dafür klären, wie sich die Darstellungsmatrix MAA (F ) ändert, wenn wir die Basis
A ändern. Vorbereitend leiten wir einen Satz über Produkte von Darstellungsmatrizen her.
Wir wissen nach Satz 2.4.8, daß die Verkettung von linearen Abbildungen
zwischen Standardvektorräumen K n der Multiplikation der zugehörigen Matrizen entspricht. Dieses übertragen wir im folgenden Satz auf beliebige lineare
Abbildungen und ihre Darstellungsmatrizen MBA . Dabei muß man allerdings im
mittleren“ Vektorraum zwei Mal dieselbe Basis nehmen.
”
Satz 3.3.5 (Verkettung und Matrizenmultiplikation) Seien V, W, Z Vektorräume,
F : V → W und G : W → Z lineare Abbildungen. Seien A, B, C Basen von V, W
bzw. Z. Sei A die Matrix von F bezüglich A und B und B die Matrix von G
bezüglich B und C. Dann ist Matrix von G ◦ F : V → Z bezüglich der Basen A
und C gleich dem Matrizenprodukt BA. Kurz gefaßt:
MCB (G) MBA (F ) = MCA (G ◦ F )
Beweis: Zusammensetzen der beiden A bzw. B definierenden Diagramme liefert
F
V −−−→
x
Φ
 A
F
G
W −−−→
x
Φ
 B
F
Z
x
Φ
 C
A
B
K n −−−
→ K m −−−
→ Kp
Das äußere Diagramm ist ebenfalls kommutativ: (G ◦ F ) ◦ ΦA = ΦC ◦ (FB ◦
FA ). Wegen FBA = FB ◦ FA (siehe Satz 2.4.8) erfüllt also BA die definierende
Bedingung für MCA (G ◦ F ).
Wir wollen noch eine kleine Bezeichnungsvereinfachung vereinbaren. In einem
Diagramm von Abbildungen wollen wir in Zukunft über den Pfeil einer linearen
Abbildung K n −→ K m nicht mehr den Namen FA der Abbildung schreiben,
sondern wir beschriften den Pfeil mit der Matrix selbst:
A
K n −−−→ K m .
Dieses soll nicht heißen, daß wir die Unterscheidung zwischen Matrizen und den
zugehörigen linearen Abbildungen jetzt aufgeben; es geht lediglich um eine kurze
und zweckmäßige Beschriftung von Diagrammen.
Als nächstes klären wir, wie sich die Matrix einer linearen Abbildung ändert, wenn
man die zugrundeliegenden Basen des Definitionsbereiches V und des Zielraumes
W ändert. Es zeigt sich, daß dieses durch Multiplikation (von links und rechts)
mit regulären Matrizen geschieht. Hierzu zunächst eine
Definition 3.3.6 Es seien A und A′ zwei Basen des K-Vektorraumes V . Die
Matrix MAA′ (IdV ) heißt auch Matrix des Basiswechsels von A zu A′.
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Die Koeffzienten der Matrix des Basiswechsels drücken die “alten” Basisvektoren
vj durch die “neuen” vi′ aus, nicht umgekehrt:
vj =
n
X
sij vi′ ,
j = 1, . . . , n .
i=1
Lemma 3.3.7 Jede Basiswechselmatrix MAA′ (IdV ) ist invertierbar; ihre Inverse
′
ist die Matrix MAA (IdV ) des Basiswechsels von A′ zu A.
Beweis: Es gilt nach
′
′
MAA′ (Id) MAA (Id) = MAA′ (Id) = En
′
MAA (Id) MAA′ (Id) = MAA (Id) = En
Übrigens kann in diesem Beweis im Prinzip auf die zweite Zeile verzichtet werden,
wie an anderer Stelle schon bemerkt wurde (jede rechtsinverse Matrix ist auch
linksinvers).
Die Definition der Basiswechselmatrix wird unter anderem auch durch folgenden
Satz gerechtfertigt.
Satz 3.3.8 (Koordinatenumrechnung bei Basiswechsel) Es seien A und A′ zwei
geordnete Basen desselben Vektorraumes V und S die Matrix des Basiswechsels
von A zu A′ (siehe 3.3.6). Es sei v ∈ V ein Vektor, ~x und x~′ seine Koordinatenspalten bezüglich A bzw. A′ . Dann gilt x~′ = S~x.
Beweis: Das folgt direkt aus der Definition von S durch das kommutative Diagramm
Id
V −−−→ V
x
x

Φ
ΦA′ 
 A
S
K n −−−→ K n .
−1
~′
Es ergibt sich S~x = SΦ−1
A (v) = ΦA′ (v) = x .
Wir kommen nun zum eigentlichen Ziel dieses Unterabschnittes: der folgende Satz
enthält die angekündigte, oft gebrauchte Formel, die klärt, wie sich die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung ändert, wenn man die Basen wechselt.
Satz 3.3.9 Es seien A, A′ Basen von V , S die Matrix des Basiswechsels von A
zu A′ , B, B′ Basen von W , T die Matrix des Basiswechsel von B zu B′ , F : V →
W eine lineare Abbildung, A die Matrix von F bezüglich A und B und A′ die
Matrix von F bezüglich A′ und B′ . Dann gilt
A′ = T AS −1 .
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Beweis: Nach Definition gilt:
′
A = MBA (F ), S = MAA′ (Id), also S −1 = MAA (Id) (siehe 3.3.7), T = MBB′ (Id)).
Mittels zweimaliger Anwendung von Satz 3.3.5 folgt
T AS −1 =
=
=
=
′
MBB′ (Id) MBA (F ) MAA (Id)
′
MBB′ (Id) MBA (F ◦ Id)
′
MBA′ (Id ◦F ◦ Id)
′
MBA′ (F ) = A′
Speziell für Endomorphismen F ∈ End V betrachtet man in aller Regel Darstellungsmatrizen S = MBB (F ) bezüglich einer Basis. Wenn man von B zu B′
wechselt, ändert sich die Matrix zu A′ = SAS −1 mit einer invertierbaren Matrix
S. Dieses führt auf folgende Definition:
Definition und Bemerkung 3.3.10 (Ähnlichkeit von Matrizen)
Zwei
n×n
quadratische Matrizen A, B ∈ K
heißen ähnlich, wenn eine invertierbare Matrix S ∈ GLn (K) existiert mit B = SAS −1 . Ähnlichkeit von Matrizen ist eine
Äquivalenzrelation.
Wir formulieren noch einmal ausdrücklich den Sachverhalt, der uns (anschließend
an Satz 3.3.9) auf die Definition der Ähnlichkeit geführt hat: wennn F ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen K-Vektorraumes ist, dann sind alle
Darstellungsmatrizen für F (bezüglich verschiedener Basen) ähnlich zueinander.
Dieses führt auf folgenden Satz:
Satz und Definition 3.3.11 Es sei F ein Endomorphismus von V und MAA (F ),
MBB (F ) zwei Darstellungsmatrizen für F . Dann gilt det MAA (F ) = det MBB (F ).
Dieses Zahl heißt auch Determinante von F , abgekürzt det F .
Beweis: Zu zeigen ist, daß die Determinanten von ähnlichen Matrizen übereinstimmen. Dieses folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz 3.1.10:
det(SAS −1 ) = det S det A det(S −1 ) = det S det A (det S)−1 = det A .
Nach unserem Exkurs über zum Basiswechel steuern wir nun das eigentliche Ziel
dieses Abschnittes an: die Kennzeichnung von Eigenwerten eines beliebigen Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraumes durch das charakteristische Polynom. Dieses muß im allgemeinen Fall erst einmal definiert werden.
Dafür benötigt man folgenden Hilfssatz:
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Lemma 3.3.12 Ähnliche Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom.
Beweis: Wir beschränken uns auf den Fall, daß der Grundkörper K unendlich
viele Elemente besitzt. Dann wird der Beweis deutlich einfacher, weil jedes Polynom P ∈ K[X] durch die zugehörige Polynomfunktion Pe : K → K, α 7→ P (α)
eindeutig bestimmt ist: wenn P (α) = Q(α) für alle α ∈ K ist, dann gilt P = Q
(Gleichheit von Polynomen, d.h. Gleichheit aller entsprechenden Koeffizienten).
Aus dem letzten Beweis wissen wir schon, daß die Determinanten von ähnlichen
Matrizen übereinstimmen: det(SAS −1 ) = det A . Für jedes λ ∈ K können wir
dieses auch auf die Matrix A − λEn anwenden. Wegen
S(A − λEn )S −1 = SAS −1 − λSEn S −1 = SAS −1 − λEn
folgt dann PA (λ) = PSAS −1 (λ), wie behauptet.
Bemerkung. Wenn man den Satz für beliebige Körper beweisen möchte, benötigt
man den Determinantenmultiplikationssatz det(SA) = det S det A = det(AS) für
den Fall, daß die Matrix A ihre Koeeffizienten in einer beliebigen kommutativen KAlgebra R hat (während weiterhin S eine Matrix über K ist). In der Anwendung ist
dann R der Polynomring. Diesen Satz kann man mittels der Ergänzungen zu Abschnitt
2.5 herleiten. Man benutzt, daß S ein Produkt von sog. Elementarmatrizen ist, die
elementare Zeilen- bzw. Spaltenumformungen beschreiben. Da für dieses Produkt der
Multiplikationssatz bereits bewiesen ist, können wir uns auf den Fall beschränken,
daß S selbst eine Elementarmatrix ist. Für alle drei Typen von Elementarmatrizen
ergibt sich dann der Beweis durch scharfes Hinsehen unter Benutzung der expliziten
(induktiv definierten) Formel für die Determinante über Ringen.
Definition 3.3.13 Das charakteristische Polynom PF eines Endomorphismus F
von V wird definiert als das charakteristische Polynom einer beliebigen Darstellungsmatrix von F :
PF := PA = det(A − XEn ), wobei A = MBB (F ) ,
und B irgendeine Basis von V ist.
Satz 3.3.14 Es sei K ein Körper und F ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen K-Vektorraumes oder eine n×n-Matrix für ein n ∈ N. Ein Element
λ ∈ K ist ein Eigenwert von F genau dann, wenn λ Nullstelle des charakteristischen Polynoms von F ist: PF (λ) = 0
Definition 3.3.15 Es sei F ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen
Vektorraumes oder eine quadratische Matrix. Die Vielfachheit m =: m(PF , λ)
einer Nullstelle λ ∈ K des charakteristischen Polynoms PF heißt auch algebraische
Vielfachheit des Eigenwertes λ. Es ist also
PF = (X − λ)m · g, mit g ∈ K[X], g(λ) 6= 0 .
Die Dimension des Eigenraumes Eig(F, λ) heißt in diesem Zusammenhang auch
geometrische Vielfachheit von λ.
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Der folgende Satz klärt den Zusammenhang zwischen den beiden Vielfachheiten
und darüber hinaus zumindest im Prinzip die Frage der Diagonalisierbarkeit.
Der Teil b) beruht wesentlich auf unserer detailierten Untersuchung von direkten
Summen in Satz 3.2.9 sowie dem Satz 3.2.10.
Satz 3.3.16
a) Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes ist höchstens
gleich seiner algebraischen Vielfachheit: dim Eig(F, λ) ≤ m(PF , λ) für alle
λ ∈ K.
b) Ein Endomorphismus oder eine Matrix F ist genau dann diagonalisierbar,
wenn das charakteristische Polynom PF in Linearfaktoren zerfällt,
r
r
X
Y
mi
(X − λi ) , wobei
mi = n = dim V ,
PF = (−1)
n
i=1
i=1
und die geometrische Vielfachheit jedes Eigenwertes mit der algebraischen
Vielfachheit übereinstimmt: dim Eig(F, λ) = m(PF , λ) für alle λ ∈ K.