Der Primzahltest von Agrawal, Kayal und Saxena Dr. Gerold Jäger

Der Primzahltest von Agrawal, Kayal und Saxena
Dr. Gerold Jäger
Habilitationsvortrag
Christian-Albrechts-Universität
zu Kiel
Institut für Informatik
19. Januar 2011
Dr. Gerold Jäger
Habilitationsvortrag
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Überblick
1
Zahlentheorie
Bedeutung
Wichtige Probleme der Zahlentheorie
Weitere Primzahltests
2
Definitionen und Resultate aus der Zahlentheorie
3
Primzahltest von Agrawal, Kayal und Saxena
4
Fazit und Ausblick
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Bedeutung
Carl Friedrich Gauß (1777–1855):
Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik.“
”
Wichtige Anwendungen in der Informatik, z.B. in der Kryptographie.
Genauer sind folgende zwei Probleme von großer Relevanz:
Weise für eine große Primzahl nach, dass sie eine Primzahl ist.
Primzahltest.
Berechne für eine große Nicht-Primzahl einen Teiler dieser Zahl.
Faktorisierungsalgorithmus.
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Zahlentheorie
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Wichtige Probleme der Zahlentheorie
Problem 1: Gibt es unendlich viele Primzahlen?
Antwort: Ja.
Euklid von Alexandria (ca. 360 v. Chr. – ca. 280 v. Chr.).
Problem 2: Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge,
d.h. Primzahlen mit Differenz 2, z.B. 5, 7 und 29, 31 ?
Antwort: Unbekannt.
Vermutung: Ja.
Teilresultat auf dem Weg zu dieser Vermutung:
Goldston, Yildirim, Pintz, 2005.
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Zahlentheorie
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Wichtige Probleme der Zahlentheorie
Problem 3: Gibt es eine natürliche Zahl n > 2 und natürliche Zahlen
x, y , z, so dass gilt: x n + y n = z n ?
Antwort: Nein.
Aber: Für n = 2: Ja.
Beispiel: 32 + 42 = 52 .
Pythagoreische Tripel.
Großer Fermatscher Satz
Pierre Fermat (1607/1608–1655).
Fermat: Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis
”
gefunden, doch ist der Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.“
Generationen von Mathematikern suchten nach dem Beweis.
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Zahlentheorie
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Wichtige Probleme der Zahlentheorie
Geldpreis: Testament von Paul Friedrich Wolfskehl (1856–1906).
Beweis: Andrew Wiles, Richard Taylor (1995).
Dieser Beweis gilt als eine der bedeutendsten Arbeiten des 20.
Jahrhunderts.
Jahrhundertbeweis.
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Wichtige Probleme der Zahlentheorie
Problem 4: Suche eine möglichst große Primzahl!
Primzahltest.
Aktuell: 243.112.609 − 1, eine Zahl mit 12.978.189 Stellen.
Man bräuchte einen 1 Meter hohen Papierstapel, um diese Zahl
aufzuschreiben.
Edson Smith, University of California, Los Angeles (2008).
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Wichtige Probleme der Zahlentheorie
Problem 5: Gibt es einen Primzahltest, dessen Laufzeit polynomial
beschränkt ist in der Eingabelänge log(n) der zu testenden Zahl?
(Hintergrund: Algorithmen, deren Laufzeit durch ein Polynom in der
Eingabegröße beschränkt ist, gelten in der theoretischen Informatik
als effiziente Algorithmen.)
Antwort: Ja.
Theorem 1
(Agrawal, Kayal, Saxena, 2002)
Für jede natürliche Zahl n lässt sich in Zeit O(log10,5 (n)) entscheiden, ob
n eine Primzahl ist.
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Wichtige Probleme der Zahlentheorie
Lösung eines über 30 Jahre offenen Problems der Zahlentheorie und
Komplexitätstheorie.
Überraschendes Resultat.
Weltweit großes Interesse.
Gödel-Preis im Gebiet Theoretische Informatik (2006).
Fulkerson-Preis im Gebiet Diskrete Mathematik (2006).
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Weitere Primzahltests
Primzahlsieb des Eratosthenes (ca. 200 v. Chr.).
Primzahlsieb von Atkin (1999).
Verbesserung des Siebs von Eratosthenes.
Primzahltest von Fermat.
Folgende Primzahltests sind Erweiterungen des Primzahltests von Fermat:
Primzahltest von Miller, Rabin (1976).
Primzahltest von Solovay-Strassen (1977).
Beides probabilistische Algorithmen, d.h. sie haben eine kleine
Irrtumswahrscheinlichkeit.
Primzahltest von Lucas-Lehmer (1930).
Wurde benutzt zur Berechnung der Rekord-Primzahl.
Primzahltest von Lucas (1953).
Primzahltest von Adleman, Pomerance, Rumely (1983).
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Definitionen und Resultate aus der Zahlentheorie
N := {1, 2, 3, . . .}.
N0 := {0, 1, 2, 3, . . .}.
Primzahlen: Zahlen aus N \ {1}, die nur Teiler 1 und sich selbst haben.
Zusammengesetzte Zahlen: Zahlen aus N \ {1}, die keine Primzahlen
sind.
R: Menge der reellen Zahlen.
R+ : Menge der positiven reellen Zahlen.
bxc: untere Gaußklammer:
größte natürliche Zahl kleiner gleich x ∈ R.
dxe: obere Gaußklammer:
kleinste natürliche Zahl größer gleich x ∈ R.
Wir verwenden immer den Logarithmus zur Basis 2:
log(x) := log2 (x)
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für x ∈ R+ .
Definitionen und Resultate aus der Zahlentheorie
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Definitionen und Resultate aus der Zahlentheorie
Landau-Symbol: Seien f , g : R → R.
f (x) = O(g (x)) :⇔ ∃C1 , C2 ∈ R : ∀x ≥ C1 : |f (x)| ≤ C2 · |g (x)|.
Fakultät:
n! := 1 · 2 · 3 · . . . · n
Binomialkoeffizient:
m
m!
:=
n
(m − n)! · n!
für n ∈ N0 .
für m, n ∈ N0 mit n ≤ m.
Teilbarkeit: Seien a, b ∈ N.
a | b :⇔ ∃k ∈ N : a · k = b.
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Definitionen und Resultate aus der Zahlentheorie
Seien a, b ∈ N.
a und b teilerfremd
:⇔ a und b haben keinen gemeinsamen Teiler außer 1.
ggT (k, m): Größter gemeinsamer Teiler von k, m ∈ N.
Modulare Kongruenz natürlicher Zahlen k, m ∈ N modulo n ∈ N:
k ≡n m
:⇔ k und m lassen bei Division durch n den gleichen Rest.
Andere Schreibweise:
k ≡ m
Beispiel:
mod n.
44 ≡6 26 wegen
44 = 7 · 6 + 2,
26 = 4 · 6 + 2.
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Definitionen und Resultate aus der Zahlentheorie
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Definitionen und Resultate aus der Zahlentheorie
Definiere für n ∈ N:
Zn := {0, 1, 2, . . . , n − 1}.
+ auf Zn ist folgendermaßen definiert:
Die Operation + b := (a + b) mod n.
a
Beispiel für n = 14:
+ 7 = 10 + 7 mod 14
⇒ 10 da
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= 17
mod 14
= 3
mod 14,
17 = 1 · 14 + 3.
Definitionen und Resultate aus der Zahlentheorie
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Definitionen und Resultate aus der Zahlentheorie
Definiere für n ∈ N:
Z×
:= {a ∈ {1, 2, . . . , n − 1} | a, n sind teilerfremd }.
n
· auf Z×
Die Operation n ist folgendermaßen definiert:
· b := (a · b) mod n.
a
Beispiel für n = 14:
· 11 = 5 · 11 mod 14
5
da
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= 55
mod 14
= 13
mod 14,
55 = 3 · 14 + 13.
Definitionen und Resultate aus der Zahlentheorie
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Definitionen und Resultate aus der Zahlentheorie
Fakt: Für jedes r ∈ N und n ∈ Z×
r gibt es ein d ∈ N mit
nd
≡r
1.
Definiere ordr (n) als das kleinste d ∈ N mit dieser Eigenschaft.
Beispiel: ord9 (4) = 3, da
43 = 4 · 4 · 4 = 64 = 7 · 9 + 1,
aber
42 = 4 · 4 = 16 = 1 · 9 + 7,
41 = 4 = 0 · 9 + 4.
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Definitionen und Resultate aus der Zahlentheorie
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Definitionen und Resultate aus der Zahlentheorie
Menge aller Polynome in der Variablen x mit Koeffizienten aus
Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1}, wobei n ∈ N:
( t
)
X
Zn [x] :=
ai · x i t ∈ N, ai ∈ Zn .
i=0
Modulare Kongruenz zwischen Polynomen p(x), q(x) ∈ Zn [x]:
p(x) ≡n q(x)
:⇔ p(x) und q(x) sind koeffizientenweise gleich modulo n.
Beispiel für n = 6:
8x 4 + 12x 3 − 5x + 17 ≡6 2x 4 + x + 5.
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Definitionen und Resultate aus der Zahlentheorie
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Definitionen und Resultate aus der Zahlentheorie
Modulare Kongruenz zwischen Polynomen p(x), q(x) ∈ Zn [x] modulo
n ∈ N und z(x) ∈ Z(x).
p(x) ≡n,z(x) q(x)
:⇔
Dividiert man die Polynome p(x) und q(x) durch z(x)
und nennt sie p 0 (x) und q 0 (x), so gilt:
p 0 (x) und q 0 (x) sind koeffizientenweise gleich modulo n.
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Definitionen und Resultate aus der Zahlentheorie
Beispiel:
n = 5,
p(x) = 2x 3 − 5x 2 − x + 13,
q(x) = 7x 5 − 6x 3 + 10x + 3,
z(x) = x 2 − 1.
Es gilt:
2x 3 − 5x 2 − x + 13 ≡5, x 2 −1 7x 5 − 6x 3 + 10x + 3,
da
2x 3 − 5x 2 − x + 13 = (2x − 5) · (x 2 − 1) + (x + 8),
7x 5 − 6x 3 + 10x + 3 = (7x 3 + x) · (x 2 − 1) + (11x + 3).
⇒ x + 8 ≡5 11x + 3.
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Definitionen und Resultate aus der Zahlentheorie
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Definitionen und Resultate aus der Zahlentheorie
Satz 2
(Binomischer Lehrsatz)
Seien x, y ∈ R und n ∈ N0 . Dann gilt:
(x + y )
n
=
n X
n
i=0
i
· x i · y n−i .
Lemma 3
p Sei p eine Primzahl. Für alle i ∈ N mit 0 < i < p gilt: p .
i
Satz 4
(Kleiner Fermatscher Satz)
Sei a ∈ N0 und p eine Primzahl. Dann gilt: ap ≡p a.
Probabilistischer Primzahltest.
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Definitionen und Resultate aus der Zahlentheorie
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Primzahltest von Agrawal, Kayal und Saxena
Theorem 5
(Einfaches AKS-Kriterium)
Seien a, n ∈ N, wobei a und n teilerfremd sind. Dann gilt:
n ist Primzahl
⇔
(x + a)n ≡n x n + a.
Beweis
⇒“: Sei n Primzahl. Sei i ∈ N mit 0 < i < n. Nach Lemma 3 gilt:
”
n
n .
i
n X
n i n−i
n
⇒ (x + a)
=
x ·a
(nach dem binomischen Lehrsatz)
i
i=0
≡n x n + an
≡n x n + a
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(nach dem kleinen Fermatschen Satz).
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Primzahltest von Agrawal, Kayal und Saxena
Beweis (Fortsetzung)
⇐“: Es gelte (x + a)n ≡n x n + a.
”
Annahme: n ist keine Primzahl.
Es existiert eine Primzahl p < n mit p|n.
Sei
c := max{c ∈ N p c | n} ≥ 1.
D.h. p c |n, aber p c+1 6 | n.
Es gilt:
n
n!
n · (n − 1) · . . . · (n − p + 1)
=
=
.
p
p! · (n − p)!
p · (p − 1) · . . . · 2 · 1
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Beweis (Fortsetzung)
Beobachtung 1: p geht in den Zähler genau c-mal ein.
Beobachtung 2: p geht in den Nenner genau 1-mal ein.
n
⇒ p geht in
genau (c − 1)-mal ein.
p
n c ⇒ p 6
.
p
n ⇒ n 6
.
p
n
⇒
6≡n 0.
p
n X
n
n
⇒ (x + a) ≡n
· x i · an−i 6≡n x n + a.
i
i=0
zur Voraussetzung.
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⇒ n ist Primzahl.
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Primzahltest von Agrawal, Kayal und Saxena
Könnte man
(x + a)n ≡n x n + a
in Polynomialzeit testen, wäre man fertig.
Problem: Komplexität dieses Primzahltests
O(n · log2 (n)) = O 2log(n) · log2 (n)
somit nicht polynomial in Länge von n, d.h. in log(n).
Idee: Teste zusätzlich Gleichheit mod z(x) mit einem geeigneten
Polynom z(x).
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Theorem 6
(Erweitertes AKS-Kriterium)
Seien a, n, r ∈ N, wobei a und n teilerfremd sind. Dann gilt:
n ist Primzahl
⇒
(x + a)n ≡n,x r −1 x n + a.
Könnte man
(x + a)n ≡n,x r −1 x n + a
in Polynomialzeit testen und würde auch die Rückrichtung gelten,
wäre man fertig.
Die Polynomialzeit-Eigenschaft ist bei geeigneter Wahl von r erfüllt.
Wie wir später sehen werden.
Problem: Die Rückrichtung gilt nicht, d.h. es gibt auch
zusammengesetzte Zahlen, die dieses Kriterium erfüllen.
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Primzahltest von Agrawal, Kayal und Saxena
Idee: Sei r fest. Betrachte eine zusammengesetzte Zahl n, die trotzdem
das erweiterte AKS-Kriterium für ein a ∈ N (a, n teilerfremd) erfüllt.
Suche ein anderes b ∈ N (b, n teilerfremd), das die erweiterte
AKS-Bedingung nicht erfüllt.
Definiere
A(n, r ) := {a ∈ N | a, n teilerfremd, (x + a)n ≡n,x r −1 x n + a},
B(n, r ) := {b ∈ N | b, n teilerfremd, (x + b)n 6≡n,x r −1 x n + b}.
0
a1
a2
b1
b2
b3
a3
a4
a5
b4
Ziel: Finde eine Menge C (n, r ) ⊆ N mit B(n, r ) ∩ C (n, r ) 6= ∅.
Aber: Es muss |C (n, r )| = O(poly log(n)) gelten.
AKS-Resultat: Eine solche gesuchte Menge ist:
n
j q
ko
C (n, r ) =
1, 2, . . . , 2 · |Z×
|
·
log(n)
.
r
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Input: n ∈ N. Output: Prim oder Zusammengesetzt.
1. Teste: Ist n = ab für ein a ∈ N und ein b ∈ N mit b > 1 ?
If Yes then Output Zusammengesetzt.
Potenz-Schritt.
2. Berechne das kleinste r ∈ N mit ordr (n) > 4 log2 (n).
Ordnung-Schritt.
3. For a = 1, 2, . . . , r Do
If 1 < ggT(a, n) < n then Output Zusammengesetzt.
ggT-Schritt.
4. If n ≤ r then Output Prim.
Vergleich-Schritt. q
5. For a = 1, 2, . . . , 2 · |Z×
r | · log(n) Do
If (x + a)n 6≡n, x r −1 x n + a then Output Zusammengesetzt.
AKS-Schritt.
6. Output Prim.
Finaler Schritt.
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Primzahltest von Agrawal, Kayal und Saxena
Beispiel 1: n = 36.
Potenz-Schritt 1: n = 36 = 62 .
Output: Zusammengesetzt.
Beispiel 2: n = 21.
Potenz-Schritt 1: n ist keine echte Potenz einer natürlichen Zahl.
Ordnung-Schritt 2: r = 97.
ggT-Schritt 3: 1 < ggT(3, 21) = 3 < 21.
Output: Zusammengesetzt.
Beispiel 3: n = 307.
Potenz-Schritt 1: n ist keine echte Potenz einer natürlichen Zahl.
Ordnung-Schritt 2: r = 281.
ggT-Schritt 3: ggT(a, 307) = 1 für alle a = 1, 2, . . . , 281.
Vergleich-Schritt 4: n = 307 > 281 = r . q
AKS-Schritt 5: Für alle a = 1, 2, . . . , 2 · |Z×
r | · log(n) = 191 gilt:
(x + a)307 ≡307, x 281 −1 x 307 + a.
Finaler Schritt 6:
Output: Prim.
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Theorem 7
Für den AKS-Algorithmus gilt:
n ist Primzahl ⇒ Output: Prim.
Beweis
Annahme: n ist Primzahl, aber Output: Zusammengesetzt.
Fall 1: Output: Zusammengesetzt in Potenz-Schritt 1.
Dann wäre n eine echte Potenz einer natürlichen Zahl und damit
selber keine Primzahl.
zu n Primzahl.
Fall 2: Output: Zusammengesetzt in ggT-Schritt 3.
Dann gäbe es einen Teiler b von n zwischen 1 und n.
zu n Primzahl.
Dr. Gerold Jäger
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Beweis (Fortsetzung)
Fall 3: Output: Zusammengesetzt in AKS-Schritt 5.
Dann gibt es ein a ∈ N mit
(x + a)n 6≡n, x r −1 x n + a.
(1)
Fall 3a: a und n sind teilerfremd.
Nach dem Erweiterten AKS-Kriterium gilt in (1) die Gleichheit. Fall 3b: a und n sind nicht teilerfremd.
Da n Primzahl ist, gilt: n | a.
⇒ In (1) gilt die Gleichheit. ⇒ Output: Prim.
Dr. Gerold Jäger
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Theorem 8
Für den AKS-Algorithmus gilt:
n ist zusammengesetzt ⇒ Output: Zusammengesetzt.
Beweis
Annahme: n ist zusammengesetzt, aber Output: Prim.
Somit gibt es eine Primzahl p, die Teiler von n ist.
Fall 1: Output: Prim in Vergleich-Schritt 4.
Dann wäre p bereits in ggT-Schritt 3 gefunden worden. Fall 2: Output: Prim im finalen Schritt 6.
Die Idee für diesen Fall wurde schon präsentiert.
Die Ausführung erfordert tieferliegende Methoden
und wird hier nicht gezeigt.
Dr. Gerold Jäger
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Lemma 9
Falls es kein r ∈ N mit r ≤ 16dlog5 (n)e und ggT(r , n) > 1 gibt, so wird in
Ordnung-Schritt 2 ein r ∈ N mit r ≤ 16 dlog5 (n)e gefunden.
Theorem 1
(Agrawal, Kayal, Saxena, 2002)
Für jede natürliche Zahl n lässt sich in Zeit O(log10,5 (n)) entscheiden, ob
n eine Primzahl ist.
Beweis
(Komplexität)
Potenz-Schritt 1: Teste, ob für b = 2, 3 . . . , dlog(n)e ein a ∈ N mit
√
a ≤ n existiert, so dass ab = n.
√
O(log( n) · log(n) · log3 (n)) = O(log5 n).
Dr. Gerold Jäger
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Beweis (Fortsetzung)
Ordnung-Schritt 2: Teste für jedes r ∈ N mit r ≤ 16dlog5 (n)e und
alle d ∈ N mit d ≤ 4 log2 (n), ob nd ≡r 1.
Multiplikation in Zr :
O(log2 (r )).
Gesamt-Komplexität:
O(r · d · log2 (r )).
⇒ O(log5 (n) · log2 (n) · log2 (log5 (n))).
⇒
Dr. Gerold Jäger
O(log7 (n) · poly(log log(n)).
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Beweis (Fortsetzung)
ggT-Schritt 3: Berechne für jedes a ∈ N mit a ≤ r den Wert
ggT(a, r ).
ggT-Berechnung:
O(log2 (r )).
Gesamt-Komplexität:
O(r · log2 (r )).
⇒
O(log5 (n) · log2 (log5 (n))).
⇒ O(log5 (n) · poly(log log(n)).
Vergleich-Schritt 4: Test n ≤ r .
Komplexität: O(log(n)).
Dr. Gerold Jäger
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Beweis (Fortsetzung)
q
×
AKS-Schritt 5: Berechne für jedes a ∈ N mit a ≤ 2 |Zr | log(n) ,
ob (x + a)n 6≡n, x r −1 x n + a gilt.
Polynom-Multiplikation von Polynomen mit Grad höchstens r
und Koeffizienten aus Zn :
O(r · log2 (n)).
Gesamt-Komplexität:
q
×
2
O
|Zr | · log(n) · r · log (n) .
⇒
O(r 1,5 · log3 (n)).
⇒
O(log10,5 (n)).
Gesamt-Komplexität aller Schritte: O(log10,5 (n)).
Dr. Gerold Jäger
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Fazit und Ausblick
Primzahltest von Agrawal, Kayal, Saxena :
Erster Primzahltest mit polynomialer Laufzeit.
Verbesserung von Lenstra, Pomerance (2003):
O(log10,5 (n))
O(log6 (n)).
Trotzdem:
Primzahltest von Lucas, Lehmer
Primzahltest von Miller, Rabin
Rekord-Primzahl.
wird in der Praxis benutzt.
Diskrepanz zwischen Theorie und Praxis.
Erst für (praktisch zu) große n ist der Primzahltest von
Agrawal, Kayal, Saxena führend.
Problem: Kann man den Primzahltest von Agrawal, Kayal, Saxena so
verbessern, dass er auch in der Praxis am besten ist?
Dr. Gerold Jäger
Fazit und Ausblick
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Vielen Dank
für Ihre
Aufmerksamkeit!
Dr. Gerold Jäger
Fazit und Ausblick
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