Seminarvortrag: Schwarze Löcher und Neutronensterne

Seminarvortrag:
Schwarze Löcher und Neutronensterne
Lorenz Stäheli
30.06.2003
Inhaltsverzeichnis
1 Schwarzschild-Metrik
1.1 1. Folgerung: Periheldrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
4
2 Entwicklungsstufen eines kugelsymmetrischen Sterns
2.1 Weisse Zwerge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
9
3 Neutronensterne
10
3.1 Entstehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Nachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 2. Folgerung: Lichtbeugung an Neutronensternen . . . . . . . . . 12
4 Schwarze Löcher
4.1 Entstehung . . . . . . . . . . . . .
4.2 3. Folgerung: Ereignishorizont . . .
4.3 Alternative Formen der Metrik . .
4.3.1 Kruskalmetrik . . . . . . .
4.3.2 Vergleich mit Rindler-Raum
4.4 Hawking- und Unruh Effekt . . . .
1
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15
15
15
17
17
18
20
1
Schwarzschild-Metrik
Die für unser tägliches Leben wichtigsten Gravitationsfelder werden von langsam
rotierenden, nahezu kugelsymmetrischen Massenverteilungen erzeugt. Hier wird
nun eine exakte kugelsymmetrische Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen:
1
Gµν = Rµν − Rgµν = κTµν
2
(1)
gesucht. Dafür betrachten wir das Feld ausserhalb einer kugelsymmetrischen
Massenverteilung.
Die Schwarzschild-Lösung:
Geht man von Kugelkoordinaten aus und macht vorsichtige Einschränkungen,
so kommt man auf das Linienelement einer kugelsymmetrischen Metrik:
ds2 = eλ(r,t) dr2 + r2 (dϑ2 + sin2 ϑdϕ2 ) − eγ(r,t) d(ct)2
(2)
Die zur Metrik gehörenden Christoffel-Symbole ergeben sich, indem die aus der
Lagrange-Funktion:
L=
1 h λ dr 2 2 dϑ 2 2 2 dϕ 2 γ dx4 2 i
e
+r
+r sin ϑ
−e
2
dτ
dτ
dτ
dτ
(3)
folgenden Euler-Lagrangeschen Gleichungen mit der Geodätengleichung:
dy ν dy λ
d2 y µ
+ Γµνλ
=0
2
dτ
dτ dτ
(4)
verglichen werden. Die Christoffel-Symbole können dabei einfach abgelesen werden. Aus der allgemeinen Definitionsgleichung des Ricci-Tensors
α
α
α
ρ
α ρ
Rµβν
= Γα
µν,β − Γµβ,ν + Γρβ Γµν − Γρν Γµβ
folgt für dessen Komponenten:
h λ̈ λ̇2
γ 00
γ 02
γ 0 λ0
λ0
λ̇γ̇ i
−
+
+
+ eλ−γ
+
+
2
4
4
r
2
4
4
h γ 00
02
0 0
0i
2
γ
γλ
γ
λ̈ λ̇
λ̇γ̇
eγ−λ
+
−
+
+ −
+
2
4
4
r
2
4
4
λ̇
r
i
h
r
−e−λ 1 + (γ 0 − λ0 ) +1
2
2
− sin ϑR22
R11
= −
R44
=
R14
=
R22
=
R33
=
2
(5)
Die Vakuum-Feldgleichung:
Ausserhalb der felderzeugenden Masse verschwindet der Energieimpuls-Tensor,
und da aus
1
Rµν − g µν R = 0
2
(6)
durch Spurbildung R = 0 folgt, lauten die Feldgleichungen für das Vakuum
einfach:
Rµν = 0
(7)
d.h., alle oben aufgelisteten Komponenten des Ricci-Tensors müssen verschwinden. Die 1916 von Schwarzschild gefundene kugelsymmetrische Vakuumlösung
hat also das Linienelement:
2η 2 2
2η −1 2
dr + r2 (dϑ2 + sin2 ϑdϕ2 ) − 1 −
c dt
(8)
ds2 = 1 −
r
r
Durch Vergleich mit der Newtonschen Theorie folgt für 2η die physikalische
Bedeutung als Mass für die Gesamtmasse. Da sie die Dimension einer Länge
hat wird sie als Schwarzschildradius RS des Zentralkörpers bezeichnet.
Es gilt:
RS = 2η =
2GM
c2
Schwarzschild-Radius einiger Himmelskörper:
Objekt
Schwarzschildradius [m]
Erde
9 · 10−3
Sonne
3 · 103
Weisse Zwerge
3 · 103
Neutronenstern
4.5 · 103
Galaxis
1014
3
(9)
1.1
1. Folgerung: Periheldrehung
Keplersches Gesetz:
Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, wobei die Sonne in einem ihrer Brennpunkte liegt.
Ändert die Einsteinsche Theorie etwas an diesem Ergebnis?
Da man immer durch geeignete Drehung des Koordinatensystems die Anfangsbedingungen:
ϑ=
π
2
dϑ
=0
dτ
erfüllen kann und damit durch die Euler-Lagrangeschen Gleichungen auch
d2 ϑ
=0
dτ 2
gilt, bleibt die Bahnkurve ständig in der Fläche ϑ = π2 : Wie in der Newtonschen
Theorie verläuft eine Planetenbahn in einer “Ebene”, die durch den Mittelpunkt
der Sonne geht. Wir können deshalb von der vereinfachten Lagrange-Gleichung
für ein Punktteilchen im gekrümmten Raum ausgehen:
L=
dr 2
dϕ 2 1h
1
RS dx4 2 i
+r2
− 1−
2 1 − RS /r dτ
dτ
r
dτ
Diese erhält man durch Einsetzen der Schwarzschild-Metrik und ϑ =
Lagrange-Gleichung (3).
Da ϕ und x4 zyklische Koordinaten sind, folgt:
Drehimpulssatz:
r2
dϕ
=B
dτ
(10)
π
2
in die
(11)
Energiesatz:
1−
RS dct
=A
r dτ
(12)
An Stelle einer dritten Gleichung kann die Definitionsgleichung der Eigenzeit τ :
dr 2
dϕ 2 1
RS dct 2
+r2
− 1−
= −c2
1 − RS /r dτ
dτ
r
dτ
verwendet werden.
4
(13)
Das weitere Vorgehen ist analog dem in der Newtonschen Mechanik: Um die
Bahnkurve r = r(ϕ) zu erhalten, wird mit Hilfe des Drehimpulses die Variable
τ durch ϕ ersetzt und die Bewegungsgleichung durch die Substitution
u=
1 0
du
, u =
r
dϕ
vereinfacht:
B 2 u02 + B 2 u2 (1 − RS u) − A2 = −c2 (1 − RS u)
(14)
Differentiation ergibt die leichter auswertbare Gleichung:
u00 + u =
RS c2
3
+ RS u 2
2B 2
2
(15)
In der Newtonschen Theorie fehlt der Term 32 RS u2 . Die Lösung dieser Gleichung
wären Kegelschnitte:
u0 =
RS c2
(1 + cos ϕ)
2B 2
(16)
Eine gute Näherung u1 für RrS 1 der exakten Bahngleichung erhält man,
wenn in das in u quadratische Glied die Newtonsche Lösung u0 eingesetzt wird,
also
u001 + u1 =
RS c2
3RS3 c4
+
(1 + 2ε cos ϕ + ε2 cos2 ϕ)
2
2B
8B 4
(17)
Die gesuchte erste Näherung ist
u1 = u0 +
i
3RS3 c4 h
1
2 1
−
cos
2ϕ
1
+
εϕ
sin
ϕ
+
ε
8B 4
2 6
(18)
Der in εϕ lineare Term ist der einzige, der im Laufe der Zeit immer grösser
wird. Vernachlässigung der anderen Korrekturterme zu u0 , einsetzen von u0
2 2
RS
c
und Nähern mit 4B
2 1 ergibt:
u1 =
RS c2
3RS2 c2
[1
+
ε
cos(1
−
)ϕ]
2B 2
4B 2
(19)
Die Planetenbahn ist also nur noch näherungsweise eine Ellipse. Die Lösung (19)
ist zwar noch eine periodische Funktion, jedoch nicht mehr mit der Periode 2π.
Der sonnennächste Punkt der Bahn wird erst nach Durchlaufen des zusätzlichen
Winkels
4ϕ =
3πRS2 c2
2B 2
wieder erreicht.
Dieser Effekt heisst Periheldrehung.
5
Es war den Astronomen schon vor Einstein aufgefallen, dass von der beobachteten Periheldrehung von 5600 Bogensekunden pro Jahrhundert zwar der
grösste Teil auf Störungen durch andere Planeten zurückgeführt werden konnte,
aber ein nicht erklärbarer Rest blieb.
Periheldrehung des Merkur:
theoretisch: 42.98 Bogensekunden pro Jahrhundert
experimentell: 43.11(45) Bogensekunden pro Jahrhundert
Abbildung 1: Rosettenbahn eines Planeten infolge Periheldrehung (aus [5] Seite
112)
6
2
Entwicklungsstufen eines kugelsymmetrischen
Sterns
(sehr vereinfachte Darstellung)
Abbildung 2: Entwicklungsstufen (aus [1] Seite 30)
Ein Gaswolke wird instabil, wenn die Gravitationsenergie die thermische
Energie der Moleküle übersteigt:
Jeans-Kriterium:
3
M
GM 2
EB ≈
> Ekin = kB T
(20)
r
2
mM
M
mM
: Anzahl Moleküle in der Gaswolke
Für ”normale Sterne”wie etwa die Sonne kann die Zustandsgleichung sehr genau
durch die eines idealen Gases angenähert werden:
pV = RG T
(21)
Durch Umformung erhalten wir die gewünschte Form der Zustandsgleichung des
idealen Gases zu:
p
kB T
= f (T )
(22)
f (ρ, T ) = 2 =
ρc
mM c2
7
Für ein ideales Gas hängt die Funktion f (ρ, T ) nur von der Temperatur T des
Gases ab und gibt das Verhältnis von mittlerer kinetischer Energie (kB T ) zur
Ruheenergie (mM c2 ) der Gasmoleküle an. Das Verhältnis RrS und damit die
Grösse der relativistischen Effekte ist durch die Temperatur T im Sterninnern
bedingt (T ≈ 107 K):
kB T
1keV
RS
≈
≈
≈ 10−6
r
mM c2
1GeV
(23)
Wenn der Stern seinen Wasserstoff verbraucht hat, kann die hohe Temperatur
und damit der Druck nicht mehr aufrechterhalten werden. Aus vorangegangener
Gleichung folgt, dass der Radius r wächst, wenn der Stern abkühlt:
r = RS
mM c2
kB T
(24)
(→ Roter Riese)
Dabei halten Helium und schwerere Elemente die Kernreaktionen aufrecht. Kühlt
der Stern weiter ab, so kann er die Energie nicht mehr aufbringen, um zu neuen
Gleichgewichtszuständen zu gelangen, denn dazu müsste er weiter expandieren. Nach einigen weiteren, ziemlich komplizierten Entwicklungsphasen fällt der
Stern in sich zusammen.
Um die Gleichgewichtskonfiguration des Sterns nach Ausbrennen des Kernbrennstoffs zu finden, müssen die Zustandsgleichungen hergeleitet werden. Dabei
kann T = 0 gesetzt werden, da f unabhängig von der Temperatur T ist: In entarteter Materie ist nicht die kinetische Energie der Moleküle, sondern diejenige
der Elektronen für den Druck verantwortlich. Setzt man ein Material Drücken
von einigen Millionen Atmosphären aus, so nimmt das Material metallische Eigenschaften an und die Elektronen verhalten sich im wesentlichen wie ein freies
Elektronengas. Der hohe Druck des Elektronengases ist darauf zurückzuführen,
dass die Elektronen dem Pauliprinzip genügen.
In einem freien Elektronengas können die verschiedenen Quantenzustände
durch den Impuls oder auch durch den Ort der Elektronen charakterisiert werden. Sei d der mittlere Abstand zweier Elektronen. Aufgrund der quantenmechanischen Unschärferelation erhalten die Elektronen einen Impuls pF , der aus
pF d ≈ h̄
(25)
folgt. Durch die Restriktion auf kleine Raumgebiete erhalten diese einen mittleren Impuls und damit eine mittlere kinetische Energie:
EF =
h̄2
pF
≈
2mE
mE d 2
(26)
Je kleiner das Gebiet d3 ist, um so stärker steigt die Fermienergie an. Dabei
haben die leichtesten Teilchen die grösste Fermienergie, da EF ∝ m−1 . Während
also für den Druck die Elektronenmasse mE ausschlaggebend ist, ist für die
Ruhmassendichte die viel grössere Protonenmasse mP verantwortlich.
8
Zur Herleitung der Zustandsgleichung eines entarteten Fermigases (EF kB T ) kann man die kinetische Energie (kB T ) der Teilchen durch EF ersetzen:
f (ρ) =
p
mE ρ 23
≈
ρc2
mP ρc
(27)
wobei
ρc =
mP
(h̄/mE c)3
die kritische Dichte bezeichnet. Diese Zustandsgleichung stimmt im Gebiet von
g
10 g
101 cm
3 < ρ < 10
cm3 gut mit exakteren Rechnungen überein.
2.1
Weisse Zwerge
Weisse Zwerge sind ein Endzustand, bei dem die Dichte im Sterninnern unter
g
ρc ≈ 108 cm
3 liegt. Dabei bilden der Gravitationsdruck und der Nullpunktsdruck
der Elektronen einen Gleichgewichtszustand. Der Radius von Weissen Zwergen
liegt im Bereich von 104 km. Dabei sei auf eine Bemerkenswerte Beziehung hingewiesen:
3
M r 3 ≈ MC r C
(28)
mit
h̄c 32
MC =
≈ 3 · 1030 kg
Gm2P
der Chandrasekhar-Grenze. Sie ist die obere Grenze der Masse eines Weissen
Zwerges, die für ρ = ρc erreicht wird. Die Radien der Weissen Zwerge fallen also
mit steigender Masse.
9
3
Neutronensterne
3.1
Entstehung
Übersteigt die Dichte ρ im zentralen Teil des Sterns den Wert
ρc ≈ 108
g
cm3
werden die Elektronen relativistisch (Ekin ≈ M eV ). Charakteristisch für diesen Dichtebereich ist, dass die Fermienergie der Elektronen so stark steigt, das
inverser β-Zerfall stattfindet:
p + e− −→ n + νe
g
g
< ρ < 1013 cm
Im Bereich von 108 cm
3 entstehen immer mehr Neutronen
3
und bauen zunächst sehr neutronenreiche schwere Atomkerne auf. Ab etwa
g
ρ ≈ 1011 cm
3 existieren freie Neutronen neben den Atomkernen. Die durch den
inversen β-Zerfall bedingte Verringerung der Elektronen bewirkt, dass der Druck
mit der Dichte nicht mehr ansteigt, sondern schwächer wird. Das führt zum Abfallen der Gleichgewichtsmasse m(ρ) mit der Dichte.
g
Überschreitet ρ aber den Wert von 1013 cm
3 , so beginnen sich die individuellen Atomkerne aufzulösen und einheitliche Neutronenmaterie resultiert. Nun
steigt allmählich auch der Druck wieder stärker an, da die Neutronen die Rolle der Elektronen übernehmen und ihre Fermienergie mit wachsender Dichte
ansteigt. Damit braucht man nur in allen vorangegangenen Formeln die Elektronenmasse mE durch die Neutronenmasse mN zu ersetzen und erhält so die
neue Zustandsgleichung zu:
f (ρ) =
ρ 23
p
≈
ρc2
ρ1
(29)
wobei
ρ1 =
mP
g
≈ 1017 3
3
(h̄/mP c)
cm
(30)
ρ1 ist die Dicht, bei der die Neutronen relativistische Geschwindigkeiten v ≈ c
infolge ihrer Fermienergie annehmen. Der Radius der Neutronensterne liegt bei
g
13 g
etwa 10km. Im Dichtebereich von 108 cm
3 < ρ < 10
cm3 gibt es keine stabilen
Sterne.
10
3.2
Nachweis
Der erste Neutronenstern wurde im Jahr 1967 von der Doktorandin Jocelyn
Bell und ihrem Doktorvater Anthony Hewish entdeckt. Das entdeckte Himmelsobjekt war ein Radiopulsar mit der erstaunlich kurzen Periodendauer von
Millisekunden bis Sekunden. Um dieses kurze Intervall zu erklären, musste das
beobachtete Objekt sehr kompakt sein. Die plausibelste Erklärung ist, dass es
sich um einen schnell rotierenden Neutronenstern handelt.
Abbildung 3: Pulsar (aus [7] Seite 348)
Beim Kollabs eines rotierenden Sterns muss der Drehimpuls erhalten bleiben, so dass bei Verkleinerung des Radius die Winkelgeschwindigkeit zunehmen
muss, auch wenn ein Teil durch die abgestossene Hülle abgeführt wird. Gleichzeitig wird durch die Kontraktion des Plasmas das anfänglich schwache Magnetfeld von den geladenen Teilchen mitgenommen und komprimiert. Dabei wird
bei konstantem magnetischen Fluss die Magnetfeldstärke grösser. Die Richtung
des Magnetfeldes muss nicht unbedingt mit der Rotationsachse zusammenfallen. Das dadurch rotierende Magnetfeld kann geladene Teilchen, insbesondere
Elektronen, bis auf relativistische Geschwindigkeiten beschleunigen. Auf Grund
der Lorentzkraft werden die geladenen Teilchen in eine schraubenförmige Bahn
gezwungen, wodurch Synchrotronstrahlung erzeugt wird. Ausserdem können geladene Teilchen, die um die Magnetfeldlinien spiralen, auf Grund der Gravitationskraft, an den Austrittspunkten der Magnetfeldlinien auf die Oberfläche des
Neutronensterns prallen. Diese Punkte sind daher Quellen intensiver Strahlung.
11
3.3
2. Folgerung: Lichtbeugung an Neutronensternen
Lichtstrahlen sind Nullgeodäten, d.h. ds2 = 0. Durch geeignete Drehung des
Koordinatensystems gilt wiederum:
ϑ=
π
2
dϑ
=0
dτ
d2 ϑ
⇒
=0
dλ2
Die Photonenbahnen verlaufen in der Ebene. Damit lauten die Geodätengleichungen
für die Koordinaten t, r, ϕ:
RS
dt dr
d2 t
+ 2
=0
dξ 2
r (1 − RS /r) dξ dξ
dr 2
d2 r RS (1 − RS /r) dt 2
RS
+
− 2
2
2
dξ
2r
dξ
2r (1 − RS /r) dξ
dϕ 2
−r(1 − RS /r)
=0
dξ
d2 ϕ 2 dϕ dr
+
=0
dξ 2
r dξ dξ
(31)
(32)
(33)
Analytische Integration dieser drei Gleichungen ergibt:
dt
kt
=
dξ
1 − RS /r
r
dr
1 − RS /r
= ± kt2 − kϕ2
+ kr (1 − RS /r)
dξ
r2
kϕ
dϕ
= 2
dξ
r
(34)
(35)
(36)
Die Integrationskonstanten kt , kr , kϕ parametrisieren die Bahnen der Photonen.
k
Definiere: b ≡ kϕt .
Aus
dϕ
dϕ/dξ
b
=
=± p
2
2
dr
dr/dξ
r 1 − b /r2 (1 − RS /r)
folgt für die Bahn der Photonen :
Z r
bdr
p
ϕ(r) = ϕ0 ±
2
2
1 − b /r2 (1 − RS /r)
r0 r
12
(37)
(38)
Daraus folgen zwei unterschiedliche Typen von Wegen für die Photonen:
p
√
1. b < bc = 1.5 3RS : 1 − b2 /r2 (1 − RS /r) > 0
Diese Bahn des Photons ist definiert für 0 < r < ∞. Das graue Gebiet ist
die Region mit r < RS . Der gestrichelte Kreis bezeichnet die Photonenkugel bei r = 1.5RS . Je näher b an bc kommt, um so mehr wird die Bahn
gebeugt und umkreist den Körper (von rechts nach links im Bild).
Abbildung 4: aus [3] Seite 70
p
2. b > bc : 1 − b2 /r2 (1 − RS /r) hat zwei Nullstellen r1 < 1.5RS < r2
Für jedes b ergeben sich zwei Wege: jeweils eine innerhalb und eine ausserhalb der Photonenkugel. Der eine ist definiert für 0 < r < r1 und der
andere für r2 < r < ∞. Die Bahnen sind entweder vollständig innerhalb
oder völlig ausserhalb der Photonenkugel.
Abbildung 5: aus [3] Seite 71
13
Weitere Effekte:
Fünf Bilder von ”Neutronensternen”mit identischen Radien und unterschiedlichen Massen: RrS = ∞, 3, 2, 1.7, 1.52:
Abbildung 6: aus [3] Seite 75
Eine kleine Lichtquelle in einem Abstand h = 0.25r von einem Neutronenstern
mit RrS = 2.5
für die Winkel 90◦ , 140◦ , 160◦ , 170◦ , 175◦ , 180◦ (rechts oben beginnend):
Abbildung 7: aus [3] Seite 77
14
4
4.1
Schwarze Löcher
Entstehung
Übersteigt die Dichte ρ im zentralen Teil des Sterns grosser Masse in seinem
Endstadium den Wert
ρc ≈ 1017
g
cm3
reicht der Nullpunktsdruck der Neutronen nicht mehr aus, um den Gravitationsdruck zu kompensieren. Es existiert keine weitere Gleichgewichtskonfiguration.
Der Stern kollabiert weiter und sein Radius unterschreitet den Schwarzschildradius RS , womit ein Schwarzes Loch entstanden ist. Die klassische allgemeine
Relativitätstheorie sagt voraus, dass die Masse bis auf einen Punkt kollabiert.
Es entsteht eine Singularität! Ob auch im Rahmen einer relativistischen Quantentheorie eine echte Singularität auftritt, ist noch nicht völlig geklärt.
4.2
3. Folgerung: Ereignishorizont
Um die physikalischen Verhältnisse in der Nähe des Schwarzschild-Radius RS ,
welcher auch als Ereignishorizont bezeichnet wird, besser zu verstehen, wird die
radiale Geodäte untersucht, über deren Eigenschaften das Linienelement
ds2 =
dr2
− (1 − RS /r)c2 dt2
1 − RS /r
(39)
Auskunft gibt. Daraus erhält man für die Bahnen von Testteilchen:
p
dr
= ± A2 − c2 (1 − RS /r)
dτ
A
dct
=
dτ
1 − RS /r
(40)
(41)
mit A = const. > 0 aus (12). Für ein Testteilchen sagen diese Gleichungen aus,
dass es die unendlich lange Zeit
Z
Z
RS
dt =
r0
A
dr
p
−→ ∞
c (1 − RS /r) A2 − c2 (1 − RS /r)
(42)
braucht, um die endliche Strecke
Z
RS
S0 =
dr
p
1 − RS /r
r0
(43)
zurückzulegen, aber schon in endlicher Eigenzeit
Z
RS
τ0 =
r0
dr
p
A2
−
c2 (1
15
− RS /r)
(44)
an sein Ziel gelangt. Das frei fallende Testteilchen würde also wahrscheinlich gar
nichts aussergewöhnliches bei r = RS feststellen.
Ein Photon würde ebenfalls eine unendlich lange Zeit, nämlich
T0 =
1
c
Z
RS
r0
dr
1 − RS /r
benötigen, um die endliche Strecke S0 zurückzulegen.
16
(45)
4.3
4.3.1
Alternative Formen der Metrik
Kruskalmetrik
Die Kruskalmetrik ist die maximale geodätische Erweiterung der SchwarzschildMetrik, die nicht weiter fortgesetzt werden kann. Im Aussenraum lässt sich eine
Koordinatentransformation einführen, mit der man zur Schwarzschild-Metrik
gelangt. Ist r die radiale Koordinate und t die Zeit in der Schwarzschild-Metrik,
so hängen diese Koordinaten mit u und v wie folgt zusammenhängen:
r
− 1 er/2η = u2 − v 2
2η
und
t=
4m tanh−1 (v/u)
4m tanh−1 (u/v)
links/rechts von u = v = 0
Verg./Zukunft von u = v = 0
wobei v die Zeit-Koordinate ist. Das Linienelement hat damit in der KruskalRaum-Zeit die Form:
ds2 = f 2 (u, v)(−dv 2 + du2 ) + r2 (u, v)(dϑ2 + sin2 ϑdϕ2 )
(46)
mit
f2 =
32η 3 −r/2η
e
r
Abbildung 8: Die Koordinatenlinien des Kruskal-Raums (aus [2] Seite 53)
Die Koordinatenlinien des Kruskal-Raums: Die unterbrochenen Geraden sind
die Linien konstanter Zeit t, durchgezogene Hyperbeln sind Linien mit konstantem r. Die Singularität ist durch die beiden fett gezeichneten Hyperbeln
gegeben.
17
Es fällt auf, dass im Innenraum (Vergangenheits- und Zukunfts-Lichtkegel
von v = u = 0) die Linien konstanter Zeit zeitartig und die Linien konstatem
r raumartig werden. t wird somit zu einer Ortskoordinate und r zu einer Zeitkoordinate. Lichtstrahlen bleiben in den (u, v)-Koordinaten diagonal, die speziellen Strahlen, die durch den Ursprung laufen, sind gleichzeitig auch der Ereignishorizont r = RS des Schwarzen Lochs, sowie die Linien mit unendlicher
Schwarzschild-Zeit t = ±∞.
4.3.2
Vergleich mit Rindler-Raum
Der Rindler-Raum bezeichnet eine Art Bezugssystem eines konstant beschleunigten Beobachters im flachen zweidimensionalen Minkowski-Raum (vgl.: NormalKoordinaten aus Vortrag Nr.3). Dieser erfüllt die Bewegungsgleichung:
z¨µ + Γµνλ z˙ν z˙λ = aµ
(47)
mit zeitlich konstanter Viererbeschleunigung a und verschwindenden ChristoffelSymbolen Γµνλ . Die Standardlösung dieser Gleichung in zwei Dimensionen lautet:
sinh(aτ )/a
µ
z (τ ) =
cosh(aτ )/a
Die Lösungen der Geodätengleichung sind:
(1 + as)
sinh(aτ )
a
(1 + as)
y 1 (r, s) =
cosh(aτ )
a
y 0 (r, s) =
(48)
(49)
Fasst man dieses als Koordinatentransformation auf, so kann man in der üblichen
Weise die Metrik in den neuen Koordinaten bestimmen. Sie lauten:
gτ τ = −(1 + as)2
gss = 1
(50)
(51)
In zwei Dimensionen sind die Fermi-Koordinaten des Rindler-Beobachters durch
x0 = τ und x1 = s gegeben. Fasst man die Lösungen der Geodätengleichung als
Koordinatentransformation auf, so lautet die Metrik in den neuen Koordinaten:
gτ τ = −(1 + as)2
gss = 1
(52)
(53)
Die Metrik hat am Punkt s = −1/a eine Koordinatensingularität, da sich alle
räumlichen Geodäten an diesem Punkt schneiden.
18
Abbildung 9: Die Koordinatenlinien des Rindler-Raums (aus [2] Seite 23)
Die Koordinatenlinien des Rindler-Raums: Die Hyperbeln sind Linien konstanten Ortes s, die unterbrochenen Geraden sind Linien konstanter Zeit τ . Die
fett gedruckte Hyperbel repräsentiert die Weltlinie des Beobachters.
Schon auf den ersten Blick fällt die qualitative Ähnlichkeit der beiden Räume
auf. Anschaulich beschrieben ist auch ein Beobachter in konstantem Abstand
zu einem schwarzen Loch nichts anderes als ein sich konstant beschleunigender
Beobachter.
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4.4
Hawking- und Unruh Effekt
Schwarze Löcher sind durch die Eigenschaft charakterisiert, dass aus dem Innenraum nichts durch den Horizont an die Aussenwelt dringt. Danach müsste ihre
Temperatur verschwinden und ein Gleichgewicht mit Systemen endlicher Temperatur unmöglich sein. Hawking untersuchte Quantenfelder in der Nähe von
schwarzen Löchern. Er fand, dass das Loch Teilchen emittiert, wobei im Falle
der Schwarzschild-Metrik die Emission der Strahlung eines schwarzen Körpers
der Temperatur
T =
M
h̄c
≈ 10−6
K
8πGM kB
M
(54)
entspricht. Je grösser die Masse des Schwarzen Lochs ist, desto kühler ist dessen
Hawking-Temperatur. Damit lässt sich der Kollaps Schwarzer Löcher vorhersagen.
Eine überraschende Beziehung zwischen Thermodynamik, Quantentheorie und
Gravitation!
Ein ähnliches Ergebnis erhält man für einen beschleunigten Beobachter in
einem Minkowski-Vakuum:
Dieser misst, im Gegensatz zu einem inertialen Beobachter, die Temperatur
T =
h̄a
2πkB
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(55)
Abbildungsverzeichnis
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Rosettenbahn eines Planeten infolge Periheldrehung (aus [5] Seite
112) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Entwicklungsstufen (aus [1] Seite 30) . . . . . . . . . . . . . . . .
Pulsar (aus [7] Seite 348) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
aus [3] Seite 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
aus [3] Seite 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
aus [3] Seite 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
aus [3] Seite 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Koordinatenlinien des Kruskal-Raums (aus [2] Seite 53) . . .
Die Koordinatenlinien des Rindler-Raums (aus [2] Seite 23) . . .
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13
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14
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19
Literatur
[1] M. Begelmann und M. Rees: “Schwarze Löcher im Kosmos: Die magische
Anziehungskraft der Gravitation”, Spektrum Akademischer Verlag, 1997.
[2] K.-P. Marzlin: ”Der Einfluss von Gravitation und Trägheit auf die Interferenz von Quantenfeldern”, Hartung-Gorre Verlag Konstanz, 1994.
[3] H. Riffert, H. Ruder, H. Nollert, F. Hehl: ”Relativistic Astrophysics”, Fried.
Vieweg und Sohn Verlagsgesellschaft, 1998.
[4] R.u.H. Sexel: “Weisse Zwerge - Schwarze Löcher”, Fried. Vieweg und Sohn
Verlagsgesellschaft, 1979.
[5] R. Sexl, H. Urbantke: “Gravitation und Kosmologie”, BI-WissenschaftsVerlag, 1987.
[6] H. Stephani: “Allgemeine Relativitätstheorie”, VEB Deutscherverlag der
Wissenschaft, 1988.
[7] W. Demtröder: “Experimentalphysik 4”, Springer-Verlag, 1996.
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