Integral

Elementare Integrale
Z
xα+1
dx
x dx =
(α 6= −1)
= ln |x| (x 6= 0)
α+1
x
Z
Z
ax
ax dx =
(a > 1, a 6= 1)
ex dx = ex
ln a
Z
Z
sin x dx = − cos x
cos x dx = sin x
Z
Z
dx
dx
= − cot x
= tan x
2
cos x
sin2 x
Z
Z
a + x
dx
1
x
1
dx
= arctan
=
ln a2 + x2
a
a
a2 − x2
2a a − x Z
√
dx
dx
x
√
√
= arcsin
= ln |x + x2 + b|
2
a
a2 Z− x2
Zx + b
sinh x dx = cosh x
cosh x dx = sinh x
Z
Z
dx
dx
= − coth x
= tanh x
2
sinh x
cosh2 x
Z
Integrale
R
α
sinn x cosm x dx
Falls n und m gerade sind, nicht negative Zahlen, man reduziert die Potenzen durch
sin2 x =
1 − cos 2x
2
cos2 x =
1 + cos 2x
2
Beispiel:
Z
1
(1 + cos2x)(1 − cos4x)
cos x sin 2x dx =
4
2·2
Z
Z
x
sin 2x sin 4x
1
1
(1 + cos 2x − cos 4x − cos2x cos 4x)dx =
(cos 2x + cos 6x)dx =
+
−
−
=
16
16
32
64
32
x
sin 2x sin 4x sin 2x sin 6x
x
sin 2x sin 4x sin 6x
+
−
−
−
=
+
−
−
16
32
64
64
192
16
64
64
192
Z
1
sin cos x =
4
2
4
Z
2
2
Falls n und m ganze Zahlen sind, und mindestens eine ist ungerade, dann für ungerade m setzt
man sin x = t und für ungerade n setzt man cos x = t. Dabei nutzt man 1 − cos2 x = sin2 x
oder 1 − sin2 x = cos2 x.
Beispiel:
Z
Z
sin6 x d(cos x)
sin7 x
dx
=
−
=
cos2 x
cos2 x
Z
Z
1 − 3u2 + 3u4 − u6
(1 − cos2 x)3 d(cos x) u=cos x
=
−
−
du =
cos2 x
u2
u5
1
cos5 x
1
+ 3u − u3 +
=
+ 3 cos x − cos3 x +
u
5
cos x
5
Falls n und m beide negativ sind, und beide sind ungerade oder gerade, dann setzt man tan x =
u oder cot x = u.
Beispiel:
Z
Z
Z
du
dx
d(x + π/2)
=
=
=
5
5
cos x
sin (x + π/2)
sin5 u
Z
Z
d u2
d tan u2 t=tan u2
1
1
=
=
sin5 u
16
16
sin5 u2 cos5 u2
2
8 u
cos
u
cos5 2
2
Z
Z
2 4
2
4
6
8
−4
1
(1 + t )
1 + 4t + 6t + 4t + t
1
t
t−2 3
t2
t4
dt
=
dt
=
−
−
+
ln
|t|
+
+
=
16
t5
16
t5
64
8
8
8
64
3 sin x
3
x π
sin x
+
+ ln || tan( + )
4
2
4 cos x 8 cos x 8
2 4
Integrale
R
R(sin x, cos x)dx wobei R eine rationale Funktion
Universeller Ansatz
x
2
2u
sin x =
1 + u2
2du
1 + u2
1 − u2
cos x =
1 + u2
u = tan
dx =
Beispiel:
Z
Z
Z
dx
du
2du
=
−2
=
=
2
1−u
6u
3 sin x + cos x
(u − 3)2 − 10
(1 + u2 )( 1+u
2 + 1+u2 )
u − 3 − √10 tan x 3 − √10 1
1
2
√ √ = − √ ln −2 √ ln x
2 10
u − 3 + 10
10
tan 2 − 3 + 10 √
√
2
2
Integrale mit a ± x oder x2 ± a2
Es helfen folgende Ansätze:
√
√
a2 − x2
⇒
x2 − a2
√
a2 + x2
⇒
⇒
x = a sin t
x = a cosh t
x = a sinh t
Beispiel:
Z √
a2
−
x2
dx
x=a sin t
=
Weil t = arcsin xa ,
Z √
a2
−
x2
a2
a cos t dt =
2
2
a
1
(t + sin 2t)
2
2
Z
2
2
Z
(1 + cos 2t) dt =
√
a2
x x a2 − x2
dx =
arcsin +
2
a
2
Beispiel:
Z √
a2
+
Z
x2
a2
dx
x=a sinh t
=
Z q
a2 (1
2
2
+ sinh t)a cosh t dt = a
Z
cosh2 t dt =
a2
cosh 2t + 1 d = a2 1
( sinh 2t + t) = (sinh t cosh t + t) =
2
dt 2 2
2
2
√
x√ 2
a
a + x2 + ln |x + a2 + x2 |
2
2
Integrale mit quadratischem Trinom
Man stellt ax2 + bx + c = a(x + β)2 + q dar.
Beispiel:
Z
2(x + 2) + 1
2x + 5
x+2=z
√
p
dx =
dx =
2
2
x + 4x + 7
(x + 2) + 3
Z
Z
Z
2
d(z + 3)
dz
2z + 1
√
√
dz =
+ √
=
2
2
z +3
z +3
z2 + 3
√
√
√
√
2 z 2 + 3 + ln |z + z 2 + 3| = 2 x2 + 4x + 7 + ln |x + 2 + x2 + 4x + 7|
Z
Beispiel:
Z
z=x+ 1
1 − 3x
1 − 3x
√
q
dx = 2
dx =
5
1 − x − x2
− (x + 12 )2
4
Z
Z
Z 5
d( 54 − z 2 ) 5
− 3z
dz
3
2
q
q
q
dz =
+
=
2
2
5
5
5
2
2
2
−
z
−
z
−
z
4
4
4
Z
3
r
√
5
5
2z
2x + 1
5
− z 2 + arcsin √ = 3 1 − x − x2 + arcsin √
4
2
2
5
5
Rationalbrüche
Rationalbrüche stellt man als Summe von elementaren Partialbrüchen.
(1)
T (x)
Q(x)
= Φ(x) +
R(x)
R(x)
wobei der höchste Potenz in Q ist kleiner als in R.
(2) Falls
dann
R(x) = (x − α1 )k1 (x − α2 )k2 · · · (x2 + p1 x + q1 )l1 (x2 + p2 x + q2 )l2
(1)
(1)
(1)
Ak1
A1
A2
Q(x)
=
+
+
·
·
·
+
+···
R(x)
x − α1 (x − α1 )2
(x − α1 )k1
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
Bl1 x + Cl1
B2 x + C2
B1 x + C1
+ 2
+
·
·
·
+
+
+ 2
x + p1 x + q1 (x + p1 x + q1 )2
(x2 + p1 x + q1 )l1
···
Beispiel:
x
A
B
C
=
+
+
=
2
(x + 1)(x − 2)
x + 1 x − 2 (x − 2)2
A(x − 2)2 + B(x + 1)(x − 2) + C(x + 1)
=
(x + 1)(x − 2)2
(A + B)x2 + (C − B − 4A)x + (4A − 2B + C)
(x + 1)(x − 2)2
Deshalb
A + B = 0,
C − B − 4A = 1
4A − 2B + C = 0
Das ergibt A = −1/9, B = 1/9, C = 2/3.
Z
Z
Z
Z
dx
dx
dx
x dx
1
1
2
=−
+
+
=
2
(x + 1)(x − 2)
9
x+1 9
x−2 3
(x − 2)2
1 x − 2 2 1
ln
−
9 x + 1 3 x − 2
Beispiel:
A
Bx + C
Dx + E
3x2 − x + 2
=
+
+
=
2
2
2
(1 + x ) (x − 1)
x−1
(1 + x
(1 + x2 )2
A(1 + x2 )2 + (Bx + C)(x − 1)(1 + x2 ) + (Dx + E)(x − 1)
(1 + x2 )2 (x − 1
Man kriegt ein System
A + B = 0,
−B + C = 0,
2A − C + D + B = 3,
C − B + E − D = −1,
A−C −E = 2
mit der Lösung
A = 1,
Z
B = −1,
, C = −1,
, D = 1,
E=0
Z
Z
Z
3x2 − x + 2
dx
x+1
xdx
dx =
−
dx +
=
2
2
2
(1 + x ) (x − 1)
x−1
1+x
(1 + x2 )2
1 1
1
ln |x − 1| − ln |1 + x2 | − arctan x −
2
2 1 + x2