Identische Teilchen

Kapitel 5
Identische Teilchen
5.1
Das Pauli-Prinzip (Ausschlussprinzip)
System von zwei Teilchen:
Ψ(~r1 , ~r2 , t)
Schr. Gl
i
mit
H =−
∂Ψ
= HΨ
∂t
h̄2 2
h̄2 2
∇1 −
∇ + V (~r1 , ~r2 , t)
2m1
2m2 2
W’keit
|Ψ(~r1 , ~r2 )|2 d3 r1 d3 r2
Normierung
Z
|Ψ(~r1 , ~r2 )|2 d3 r1 d3 r2 = 1
Zeitunabhängiges Potential: Separationsansatz, die Lösung ist Superposition von
stationären Zuständen:
Ψ(~r1 , ~r2 , t) =
Hier ψ ist die Lösung von
X
ψ(~r1 , ~r2 , t)eiEn t/h̄
Hψ = Eψ
76
5.1.1
Bosonen und Fermionen
Wir ignorieren zur Zeit Spin. Sei Teilchen 1,2 im Zustand ψa (~r1 ) bzw. ψb (~r2 ). Sei
Teilchen unterschiedlich. Dann
ψ(~r1 , ~r2 ) = ψa (~r1 )ψb (~r2 )
Klassisch kann man die Teilchen immer unterscheiden, in QM aber nicht
unbedingt. Wir besprechen jetzt solche Teilchens.
Wir konstruieren die Wellenfunktion, die bei Umtausch von Teilchen nicht
geändert wird:
ψ± (~r1 , ~r2 , t) = A[ψa (~r1 )ψb (~r2 ) ± ψa (~r2 )ψb (~r1 )]
Zwei Typen von Teilchen:
1. Plus Zeichen: Bosonen
2. Minus Zeichen: Fermionen
Typ des Teichen ist von Spin abhängig:
1. Spin ganzzahlig: Bosonen
2. Spin halb-ganzzahlig: Fermionen
Das wird als Postulat angenommen; Verknüpfung wird in relativistischer QM
bewiesen (obwohl es auch andere Versuche gibt).
Pauli-Prinzip: zwei identische Fermionen dürfen nicht im gleichen
Zustand sein. Wirklich, falls ψa = ψb , dann
ψ− = A[ψa (~r1 )ψb (~r2 ) − ψa (~r2 )ψb (~r1 )] = 0
Allgemein: wir führen Umtausch-Operator ein:
P f (r~1 , r~2 ) = f (r~2 , r~1 )
Offensichtlich, P 2 = 1. Eigenwerte: λ2 = 1, λ = ±1. Sei 2 Teilchen identisch,
m1 = m2 , V (r~1 , r~2 ) = V (r~2 , r~1 ), dann Hamilton-Operator wirkt gleich und
[P, H] = 0. Also, diese zwei Operatoren haben gemeinsame Eigenfkt. Wir
bekommen
ψ(r~1 , r~2 ) = ±ψ(r~2 , r~1 )
77
Das fundamentale Gesetz: Symmetrie/Antisymmetrie der Wellenfkt.
Bsp. Zwei Teilchen, Masse m, (ohne Wechselwirkung) im unendlich hohen
Potentialtopf. Für ein Teilchen:
ψn (x) =
r
π 2 h̄2
En = n
= n2 K
2
2ma
nπ
2
sin
x
a
a
2
Unterschiedliche Teilchen, Teilchen 1 im Zustand n1 , Teilchen 2 im Zustand n2 .
W’keit ist Produkt:
ψn1 n2 (x1 , x2 ) = ψn1 (x1 )ψn2 (x2 )
En1 n2 (x1 , x2 ) = (n21 + n22 )K
Z.B. Grundzustand:
ψ11 =
2
sin(πx1 /a) sin(πx2 /a)
a
E11 = 2K
Erster angeregter Zustand (Entartung 2):
ψ12 =
2
sin(πx1 /a) sin(2πx2 /a)
a
E12 = 5K
2
sin(2πx1 /a) sin(πx2 /a)
E21 = 5K
a
Identische Teilchen: Bosonen. Grundzustand bleibt unverändert. Erster angeregter
Zustand
√
2
1
√ [ψ12 + ψ21 ] =
[sin(πx1 /a) sin(2πx2 /a) + sin(2πx1 /a) sin(πx2 /a)]
a
2
ψ21 =
hat immer noch Energie E = 5K.
Identische Teilchens: Fermionen. Kein Zustand mit E = 2K! Grundzustand ist jetzt
√
2
[sin(πx1 /a) sin(2πx2 /a) − sin(2πx1 /a) sin(πx2 /a)]
a
mit Energie 5K.
Eigenschaften des Mehrteilchensystems sind davon abhängig, ob die Teilchen
unterscheidbar, Bosonen oder Fermionen sind.
78
5.2
Kristalline Festkörper
Im Festkörper Valenzelektronen sind frei: Leitungselektronen als Fermigas
(Sommerfeld-Theorie).
5.2.1
Elektronengas
Rechteck Festkörper, Längen lx , ly , lz . Freies Elektron im Potential: V = 0 für
0 < x < lx , 0 < y < ly , 0 < z < lz , und V = ∞ sonst. Die Schrödinger-Gl:
h̄2 2
−
∇ ψ = Eψ
2m
Separationsansatz:
ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z)
h̄2 d2 X
−
= Ex X
2m dx2
h̄2 d2 Y
−
= Ey Y
2m dy 2
h̄2 d2 Z
−
= Ez Z
2m dz 2
mit Ex + Ey + Ez = E und
kx,y,z =
p
2mEx,y,z
h̄
Lsg:
X(x) = Ax sin(kx x) + Bx cos(kx x)
und ähnlich für y, z. Randbediengungen X(0) = X(lx ) = 0, dann Bx = 0 und
kx lx = nx π, wobei n = 1, 2, . . .. Die Wellenfkt:
ψnx ,ny ,nz =
s
8
nx πx
sin
sin
lx ly lz
lx
ny πy
ly
!
nz πz
sin
lz
Erlaubte Energiewerte:
Enx ,ny ,nz
h̄2 π 2
=
2m
n2z
n2x n2y
+ 2 + 2
lx2
ly
lz
!
h̄2 2
h̄2 k 2
2
2
=
(k + ky + kz ) =
2m x
2m
Betrachte k-Raum mit Achsen kx , ky , kz . Jeder Zustand (ein Teilchen) entspricht
einen Punkt mit Koordinaten nx,y,z π/lx,y,z und einen Volumen
π3
π3
=
lx ly lz
V
79
Volumen des Körpers V = lx ly lz .
Sei es N ∼ 1023 (Avogadro-Konstante) und sei es q freie Elektronen pro Atom.
Wäre Elektronen Bosonen oder unterscheidbare Teilchen, dann wären die alle im
Zustand ψ111 (Festkörper is kalt!).
Fermionen: 2 Elektronen pro π 3 /V , Oktant im k-Raum, Radius kF .
1
8
4 3
πk
3 F
Nq
=
2
π3
V
!
Nq 2
π
kF = (3ρπ 2 )1/3
V
mit Elektron-Dichte ρ = N q/V . Fermi-Radius, Fermi-Fläche, Fermi-Energie
kF3 = 3
h̄2
EF =
(3ρπ 2 )2/3
2m
Volumen einer Schale:
1
(4πk2 )dk
8
Anzahl von Zustanden in der Schale:
V
(1/2)πk 2 dk
= 2 k 2 dk
2·
3
π /V
π
Energie pro Zustand ist h̄2 k 2 /2m, totale Energie in der Schale:
h̄2 k 2 V 2
dE =
k dk
2m π 2
Totale Energie:
Etot
h̄2 V
=
2mπ 2
Z
0
kF
h̄2 (3N qπ 2 )5/3 −2/3
h̄2 kF5 V
h̄2 (3N qπ 2 )5/3 V
=
k dk =
=
V
10mπ 2
10mπ 2
10mπ 2 V 5/3
4
Ähnlich zur thermischen Energie bei üblichen Gasen. Quantendruck P . Der Körper
wird größer:
2
dV
2 h̄2 (3N qπ 2 )5/3 −5/3
V
dV
=
−
E
dEtot = −
tot
3
10mπ 2
3
V
dEtot + dW = dEtot + P dV = 0
2 Etot
2 h̄2 kF5
(3π 2 )2/3 h̄2 5/3
P =
=
=
ρ
3 V
3 10mπ 2
5m
80
5.2.2
Bandstruktur
Kristallgitter, Dirac-Kamm. Periodisches Potential
V (x + a) = V (x)
Bloch-Theorem: die Lsg der Schrödinger-Gl:
−
h̄2 d2 ψ
+ V (x)ψ = Eψ
2m dx2
erfüllt
ψ(x + a) = eiKa ψ(x)
wobei K ist von x unabh. Beweis: Verschiebung-Operator:
Df (x) = f (x + a)
Potential ist periodisch, dann
[D, H] = 0
Gemeinsame Eigenfunktionen: Dψ = λψ, oder
ψ(x + a) = λψ(x)
λ 6= 0, wir schreiben λ = eiKa .
Wir vernachlässigen Randeffekte (das Gitter ist sehr gross, N ∼ 1023 ), periodische
Randbedingungen:
ψ(x + N a) = ψ(x)
eiNKa ψ(x) = ψ(x)
eiNKa = 1
Also,
2πn
Na
K (Bloch-Faktor) ist reell, dann
K=
n = 0, ±1, ±2, . . .
|ψ(x + a)|2 = |ψ(x)|2
W’keit is periodisch, obwohl ψ(x) ist es nicht.
Potential: Dirac-Kamm
V (x) = α
N−1
X
j=0
81
δ(x − ja)
N Ka = 2πn
Das Modell ist nicht realistisch, aber Effekt der Periodizität ist da. Man kann
annehmen, dass Atomen in Punkten ±a/2, ±3/2a, ... sind.
Laut Bloch-Theorem sollen wir die Gl nur im Intervall 0 ≤ x ≤ a lösen. Hier ist
V = 0:
h̄2 d2 ψ
d2 ψ
−
= Eψ
= −k 2 ψ
2
2
2m dx
dx
mit
√
2mE
k=
h̄
Lsg:
ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx)
0≤x≤a
Lsg im Intervall −a ≤ x ≤ 0:
ψ(x) = e−iKa [A sin(k(x + a)) + B cos(k(x + a))]
Kontinuität am x = 0:
A = [eiKa − cos(ka)]B/ sin(ka)
B = e−iKa [A sin(ka) + B cos(ka)]
Ableitung am x = 0. Für δ-Potential haben wir hergeleitet:
dψ
∆
dx
=−
2mα
ψ(0)
h̄2
Hier α → −α. Dann
kA − e−iKa k[A cos(ka) − B sin(ka)] =
2mα
B
h̄2
"
#
[eiKa − cos(ka)]B
[eiKa − cos(ka)]B
2mα
k
− e−iKa k
cos(ka) − B sin(ka) = 2 B
sin(ka)
sin(ka)
h̄
[eiKa − cos(ka)][1 − e−iKa cos(ka)] + e−iKa k sin2 (ka) =
2mα
sin(ka)
kh̄2
Multiplizieren und umformen:
cos(Ka) = cos(ka) +
mα
sin(ka)
kh̄2
Mehr realistische Potentiale geben ähnliche Ergebnisse. Diese Gl. bestimmt
erlaubte Werte von k und E. Notation:
mαa
z = ka
β= 2
h̄
82
sin(z)
z
Bild für β = 10. Bandstruktur: erlaubte Energiebänder und Energielücken
(“verbotene Zonen”). Im Band: N Energieneveaus:
cos(Ka) = f (z) = cos(z) + β
K = 2π
n
N
Es gibt N q freie Elektronen. Pauli-Prinzip: nur 2 Elektronen dürfen im gleichen
Energiezustand sein (wegen Unterschied in Spin). Dann:
1. q = 1: Hälfte des ersten Bandes voll
2. q = 2: Das erste Band voll.
3. q = 3: Band 1 und eine Hälfte des zweiten Bandes voll.
Band voll: Isolator. Band nicht voll: Leiter. Falls einige Atomen von anderen Typ
sind und mehr oder weniger freien Elektronen haben (q1 6= q ): Halbleiter
(Elektronen in dem oberen Band oder Löcher).
83