Eine obere Grenze für das isoperimetrische Defizit einer ebenen

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7. By fitting the submatrices Y n • m together we can now obtain a
solution to the matrix equation
Bs Y= YB T
where Bs and BT are the rational canonical forms of the matrices S
and T respectively. Suppose then that
W - I S W = Bs and that Z-I T Z=B T .
It follows that X = W Y Z - I is a solution to the matrix equation
SX=XT.
The solution to the problem has now been given.
Mathematics. - Eine obere Grenze für das isoperimetrische Defizit
einer ebenen Kurve. Von O. BOTTEMA. (Communicated by Prof.
W. VAN DER WO UDE.)
(Communicated a t the meeting of April 29, 1933) .
Ist p der Umfang, (der Flächeninhalt einer ebenen Kurve,
die Ungleichung
50
besteht
2
~
4n - f =:'
- :-:: O,
wobei das Gleichheitszeichen nur für den Kreis gilt.
Schon vor längerer Zeit hat F. BERNSTEIN I) eine Verschärfung dieser
isoperimetrischen Ungleichung gegeben, wobei im rechten Glied statt der
Null eine Zahl steht, welche positiv ausfällt für jede Kurve, welche kein
Kreis ist.
Eine weitere Verschärfung ist das Ziel einer Reihe von Arbeiten von
BONNESEN 2) gewesen . Sein Hauptresultat ist dabei die Ungleichung
2
P4- - { =- (R - r)2,
;;z
wo R den Radius des kleinsten die Kurve enthaltenden Kreises, r den
Radius des grössten der Kurve einschreibbaren Kreises bedeutet.
Darüber hinaus hat BONNESEN gezeigt
2
~n - f =- (R' - r/)2,
F. BERNSTEIN, Math. Ann. 60 (1905) , S. 117.
i. B. : Math. Ann,
(1921), S. 216 ; Math . Ann. 9\ (192.), S. 252 ; Acta
Math • • 8 (1926), p. 123.
I)
2) Vgl.
8.
443
R' und r' die Radien des kleinsten konzentrischen Kreisringes sind.
welcher die Kurve in sieh schliesst. Das Gleichheitszeiehen gilt dab ei
immer nur für den Kreis.
WO
2
Daneben hat man auch gewisse obere Grenzen für den Ausdruck ~n -
f
(welchen wir mit BONNESEN als isoperimetrisches Defizit der Kurve be~
zeiehnen) ableiten können.
So bewies KUBOTA I) für Eikurven die Ungleichung:
l?~
- f -=
~ d 2.
'In
- n
wo d den Durchmesser der Kurve bedeudet. während F AV ARD 2) die
Beziehung
2
~n - f -==- n R' (R' - r'J
abgeleitet hat.
Wir beweisen den folgenden Satz :
Hat eine Eikurve mit dem Umfang p und dem Flächeninhalt f in
jedem Punkt einen Krümmungsradius und sind el und e2 dessen obere.
bzw. untere Gren ze, so ist
wobei das Gleichheitszeichen nur gilt für den Kreis .
Wir betrachten zwei ebene konvexe Polygone. AI A 2 ••• • An und
BI B 2 ••• • Bn wo die Seiten AI A i+ I und Bi B i+ I gleiehsinnig parallel
sind. Der durch AI A 2 •••• An festgelegte Umlaufsinn sei der positive.
Mit den zwei konvexen Bereiehen A und B können wir die lineare
Schar
C (1) = (1 - 1) A
1B
+
bilden. Dabei verstehen wir unter C (1) ein Polygon Cl C 2 ••• C n
C ein auf der Geraden AI Bi liegender Punkt ist. soda ss
•
wo
C Ai : C Bi = (1 - 1) : 1.
Die Seite C C + I liegt offenbar auf einer Geraden. welche mit Ai Ai+ I
und Bi B i + I parellel ist.
Hat Ai die Koordinaten Xi' Yi • Bi die Koordinaten
dann hat
Ci die Koordinaten
x;. y;.
~' = (1 - 1) XI
+ 1 x;
I) KUBOTA. Science Rep. of the Töhoku Imp. Univ. 13 (1923); The T6hoku Matb.
Vol. H (1925) . pg. 60.
2) FAVARD. Matematisk Tidsskrift B (1929). pg . 62.
J.
444
Die Flächeninhalte der Polygone A und B sind bzw.:
FI
=t I
n
(Xi
Yi+I-XI+I
Yi)
I
Für den lnhalt von C erhält man
wo
den von BR UNN und MINKOWSKIl) herrührenden gemischten Flächeninhalt der beiden Bereiche bedeutet. Für diesen letzteren gilt bekanntlich
die fundamentale Ungleichung
wo das Gleichheitszeichen nur gilt, wenn die zwei Bereiche homothptisch
sind. Diese Ungleichung sàgt aus, dass der lnhalt F (À) nicht für jeden
Wert von À positiv ist. Wenn man mit der hier angewandten Methode
ei ne untere Grenze für das isoperimetrische Defizit herleiten will. so hat
man wie es von BLASCHKE 2) und im wesentlichen auch von BONNESEN
getan ist, verschiedene Werte von À anzugeben, wobei F (À)
0 ist.
Wir suchen dagegen nach solchen Werten von J" wobei F (l) =- ausfällt.
Es ist klar, dass für 0 :::; À::S; 1 der Wert F (À) positiv ist; C (À) ist
dann nämlich ein konvexes Polygon dessen Seiten mit den übereinstimmenden von A und B gleiehsinnig parallel sind.
Wenn die Längel" der Seiten AI Ai+ I und Bi Bi+ I mit ai und a'i bezeichnet werden, so findet man für die Länge von Cl C i + I:
==
wenn man für die Verbindungsgerade von C und C i + I die Richtung
Ai Ai + I als die positive wählt.
Es gibt also immer solche Werte von À, wobei a;' == 0 ist; er geht
daraus eb en die Möglichkeit hervor, dass F (J.) negativ wird. Anderseits
ist aber gewiss F (À) :=:: 0, wenn für jeden Wert von i a;' =- 0 ist.
Wählt man aber J, so, dass für jeden Wert von i die Zahl a;' negativ
ausfällt, dann ist das Polygon C (À) ein solches, dessen Seiten sämtlich
mit denen von A und B ungleichsinnig parallel sind. C (l) ist dann aber
wieder ein konvexes Polygon, wobei der Umlaufsinn Cl C 2 •••• C n der
positive ist, d .h. wir haben abermals F (l) =- O.
I) MINKOWSKI. Volumen und Oberfläche, Ges. Abh. 11, S. 230.
2) BLASCHKE , Hamb. Abh . I (1922), S. 206.
445
Wir setzen
À-I
t-- - .l.also
F(.l.)
=).2
f(t).
wo
Mit Ausnahme des Wertes Je = O. wo F()') den positiven Wert FI
hat. sind Fund f gleichzeitig
O. = 0 und < o. Wenn 0 < ). ::s; 1 dann
ist t ::S; O. Die Form f(t) ist also positiv für negative Werte von t.
Weiter ist f(t) =- O. wenn
>
(i
= 1. 2•... n)
also wenn
I
t ~ 1 und gleichzeitig t -=::: ~
-
ai
:-:>--
al
und wenn
I
t =- 1 un d 91eic h zei tig t ~
-- -a i
f (t)
ist aber auch
=- O.
wenn
(i
= 1. 2... . n)
also wenn
1 =- t
-
=- a 'i
-
ai
und auch wenn
l-=:::t ~ ~
ai
Wir haben also
,
f(t)
~
0 wenn t -=
-
aal-,-
(i
= 1. 2 ... n)
,
f(t) =- 0 wenn t =- ~
-
al
(i = 1. 2 . . . n)
d.h.
I
f (t) =- 0
wenn t -= min. ~
B,
1
f(t)
=- 0
wenn t -
max. ~.
ai
446
Die Differenz der Nullstellen von f(t) ist
~I
VF;2 -
PI F 2• sodass wir
die folgende Ungleichung erhalten haben:
2
2
F 12
-
-= F 1 [ max. -at, - mm.
. a,,
PI P 2 = 4
l2
a, J
a,
Dabei sind ai und a; übereinstimmende Seiten der Polygone A und B.
Diese Seiten verhalten sich aber wie die Radien ei und e; der Kreise.
welche bzw. die Seiten Ai-I Ai. Ai Ai + I. Ai + I Ai+2 und Bi - I Bi.
Bi Bi + I. Bi+ I Bi + 2 an der Innenseite des Polygons berühren.
Wir haben also
2
~ p 1 [
P 2I 2 - P I P 2 =
- max.
4
,
(!i
-
ei
.
ei,
ei
-mm.-
J2
und e; die Radien übereinstimmender Berührungskreise der Poly~
gone sind.
Wenn in den Ungleichungen das Gleichheitszeichen gilt. so ist dabei
notwendig
WO (!i
f
(max.
~') =0
ai
d.h. also dass das Polygon C (J,) den Flächeninhalt Null hat. wenn À so
gewählt wird. dass eine Seite null ist. und die anderen nicht negativ sind.
Für diesen Wert von À. sind also die Seiten sämtlich nul!. Für jeden
andren Wert von À sind sie also entweder sämtlich positiv oder negativ.
Die Funktion f(t) hat also nur eine Nullstelle. d.h. P~2 die Polygone sind homothetisch.
PI P 2
=0
und
Wir können nun die abgeleitete Ungleichung auf beliebige konvexe
Kurven übertragen. indem wir sie anwenden auf eine Reihe den Kurven
umschriebener Polygone mit wachsender Seitenzah!. Die Werte ei und
e;
nähern sich dabei den Radien der Krümmungskreise in übereinstimmenden Punkten der Kurven . d.h . in Punkten mit gleichsinnig parallellen
Tangenten.
Wenden wir die Ungleichung an in dem Fall. dass die Kurve A der
Einheitskreis ist. dann wird P I2 bekanntlich gleich t p wo p der Umfang
von Bist. PI wird n. die Zahlen e werden sämtlich 1. Schreiben wir
f statt P und deuten wir max. r/ mit el . min. e' mit e2 an. so er~
halten wir
wobei das Gleichheitszeichen nur gilt. wenn die Kurve ein Kreis ist.