Mathematische Grundlagen der Informatik

22
Kapitel 1
Aussagen und Mengen
1.1
Aussagen
Wir definieren” eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f)
”
(also insbesondere nicht beides zugleich) ist1 .
Beispiel 1.1. 2 ist eine Primzahl” ist eine wahre Aussage.
”√
Beispiel 1.2.
2 ∈ Q” ist eine Aussage, die, wie wir später beweisen werden,
”
falsch ist.
Beispiel 1.3. Jede gerade natürliche Zahl größer als 2 ist Summe zweier Prim”
zahlen” ist sicherlich eine Aussage, denn dieser Satz ist sicherlich entweder wahr
oder falsch. Ob die Aussage, bekannt als die Goldbachsche Vermutung2 , wahr
oder falsch ist, bleibt aber bis heute ungeklärt.
Beispiel 1.4. Für n > 2 hat die Gleichung xn + y n = z n mit x, y, z, n ∈ N+ keine
”
Lösung” ist wiederum sicherlich eine Aussage, die als Fermatsche Vermutung3
bekannt ist. Nach über 350 Jahren wurde 1995 bewiesen, dass die Aussage wahr ist.
Beispiel 1.5. Dieser Satz ist falsch” hingegen ist keine Aussage. Angenommen der
”
Satz ist wahr, dann müsste er falsch sein. Wäre er falsch, dann ist er aber wahr.
Beispiel 1.6. Dieser Satz ist wahr” ist ebenfalls keine Aussage, denn er ist sowohl
”
wahr als auch falsch.
1
Einfachheitshalber benutzen wir diese Definition” von Aussagen, die intuitiv verständlich sein
”
sollte und uns völlig ausreicht. Zunächst legt man aber eigentlich gewisse grundlegende Aussagen,
so genannte Axiome als wahr fest (Kommutativgesetze a + b = b + a, a · b = b · a sind beispielsweise
Axiome für das Rechnen mit reellen Zahlen). Mit logischen Operationen wie und, oder, nicht,
etc. und Definitionen lassen sich dann neue (wahre oder falsche) Aussagen daraus ableiten.
2
Christian Goldbach, 1690–1764, preußischer Mathematiker.
3
Pierre de Fermat, ca. 1607–1665, französischer Mathematiker.
23
1.2 Logische Verknüpfungen
Aussagen und Mengen
Wichtige wahre Aussagen bezeichnet man als (mathematischen) Satz. Dient eine wahre Aussage lediglich zur Vorbereitung eines oder mehrerer folgender Sätze,
spricht man von einem Lemma oder einem Hilfssatz (vgl. Prolog). Eine Folgerung
aus einem Satz nennt man auch ein Korollar. Ein Korollar zum Satz von Euklid
aus dem Prolog wäre beispielsweise, dass unendlich viele private Schlüssel existieren.
1.2
Logische Verknüpfungen
Definition 1.7. Seien A, B beliebige Aussagen. Die folgenden Symbole bezeichnen
logische Verknüpfungen oder auch logische Operatoren.
¬A
A∧B
A∨B
A =⇒ B
A ⇐= B
A ⇐⇒ B
bezeichnet die Aussage nicht A,
bezeichnet die Aussage A und B,
bezeichnet die Aussage A oder B,
A impliziert B, d.h. aus A folgt B,
B impliziert A, d.h. aus B folgt A,
A und B sind äquivalent, d.h. aus A folgt B und aus B folgt A.
Dadurch entstehen neue Aussagen, deren Wahrheitsgehalt durch folgende Wahrheitstabellen gegeben ist.
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
¬A
f
f
w
w
A∧B
w
f
f
f
A∨B
w
w
w
f
A =⇒ B
w
f
w
w
A ⇐= B
w
w
f
w
A ⇐⇒ B
w
f
f
w
Gewöhnungsbedürftig ist hierbei sicherlich, dass aus falsch folgt wahr” und aus
”
”
falsch folgt falsch” beides wahre Aussagen sind. Beispielsweise sind die Aussagen
falls 0=1, dann ist 1=1” und falls 0=1, dann heißen alle Menschen Mustermann
”
”
mit Nachnamen” beide wahr.
Beispiel 1.8. Will man aus einer entsprechenden Datenbank gewisse Vorlesungen
extrahieren, so könnte dies mit SQL4 etwa so aussehen ( AND entspricht ∧, OR ∨):
SELECT Vorlesung WHERE Semester=1 AND
Studiengang=’Information Engineering’ FROM Lsf
SELECT Vorlesung WHERE Semester=1 AND
(Professor=’Brandes’ OR Professor=’Saupe’) FROM Lsf
4
SQL (Structured Query Language) dient der Abfrage/Bearbeitung relationaler Datenbanken.
24
Aussagen und Mengen
1.2 Logische Verknüpfungen
Natürlich lassen sich Aussagen auch durch mehrere Operatoren zusammensetzen.
Wir können z.B. wie im Beispiel oben schon verwendet die Aussage A ∧ (B ∨ C)
betrachten oder noch komplexere Aussagen bilden, wie etwa (B =⇒ A) ∧ (B ∨ C).
Die zugehörigen Wahrheitstabellen sehen hierbei folgendermaßen aus.
A
w
w
w
w
f
f
f
f
B
w
w
f
f
w
w
f
f
C
w
f
w
f
w
f
w
f
B∨C
w
w
w
f
w
w
w
f
B =⇒ A
w
w
w
w
f
f
w
w
A ∧ (B ∨ C) (B =⇒ A) ∧ (B ∨ C)
w
w
w
w
w
w
f
f
f
f
f
f
f
w
f
f
Um in zusammengesetzten Aussagen weniger Klammern zu schreiben, legen wir
folgende Rangfolge fest (vgl. Punkt-vor-Strich-Regel, Rangfolge von Operatoren in
Programmiersprachen, z.B. in C: ++, !, & (Adressbildung), /, +, ==, &&, . . . ).
¬, ∧, ∨, =⇒, ⇐⇒ .
Die zwei folgenden Ausdrücke sind somit äquivalent (d.h. sie liefern bei allen möglichen Wahrheitswerten der Argumente A, B, C immer den gleichen Wahrheitswert).
C ⇐⇒ A ∨ ¬B ∧ A =⇒ B ,
h
i
C ⇐⇒ A ∨ (¬B) ∧ A =⇒ B .
Definition 1.9. Eine zusammengesetzte Aussage, die stets wahr (w) ist (d.h. für
alle möglichen Wahrheitswerte der Argumente wahr ist), heißt Tautologie oder allgemeingültige Aussage. Eine zusammengesetzte Aussage, die stets falsch (f) ist,
heißt Kontradiktion oder Widerspruch.
Beispiel 1.10. Die folgenden Aussagen sind Tautologien.
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A ∨ ¬A
w
w
w
w
¬(A ∨ B) ⇐⇒ ¬A ∧ ¬B
w
w
w
w
A ∧ (A =⇒ B) =⇒ B
w
w
w
w
Die drei Tautologien sind als Gesetz des ausgeschlossenen Dritten”, eine der beiden
”
De Morgan’sche Regeln5 und modus ponens (siehe nächster Abschnitt) bekannt.
5
Augustus de Morgan, 1806–1871, englischer Mathematiker.
25
1.3 Direkte Beweise
Aussagen und Mengen
Beispiel 1.11. Folgende Aussagen sind hingegen Kontradiktionen.
A
w
w
f
f
1.3
B
w
f
w
f
A ∧ ¬A
f
f
f
f
¬A ∧ B ∧ (A =⇒ B) (A ⇐⇒ B) ∧ (A ⇐⇒ ¬B)
f
f
f
f
f
f
f
f
Direkte Beweise
Das letzte obige Beispiel für eine Tautologie
A ∧ (A =⇒ B) =⇒ B
heißt modus ponens und stellt die einfachste Form eines direkten Beweises dar:
wenn Aussage A gilt (wahr ist) und B aus A folgt, dann ist auch Aussage B wahr”.
”
Man zeigt also, dass die zu beweisende Behauptung B aus einer schon bekannten
wahren Aussage A folgt. Betrachten wir zum Beispiel den folgenden (nicht allzu
bedeutenden) Satz.
Satz. 55500 ist durch 37 teilbar.
Beweis: Als Aussage A wählen wir z.B. 111 ist durch 37 teilbar”. Diese Aussage
”
ist offensichtlich wahr, denn 111 = 37 · 3. Aussage B ist der Satz selbst. Da 55500 =
111 · 500, folgt aus der Aussage A sofort die Aussage B (d.h. A =⇒ B), denn
55500 = 111 · 500 = 37 · 3 · 500 = 37 · 1500. Damit haben wir bewiesen, dass der
Satz wahr ist6 .
Oft ist es notwendig, den Beweis durch eine ganze Kette von Implikationen zu
führen, also beispielsweise
A1 ∧ (A1 =⇒ A2 ) ∧ (A2 =⇒ A3 ) ∧ (A3 =⇒ B) =⇒ B .
Oder aber man muss den Beweis aus mehreren schon bekannten Aussagen zusammensetzen, wie z.B.
A1 ∧ A2 ∧ A3 ∧ (A1 ∧ A2 ∧ A3 =⇒ B) =⇒ B .
Wenn wir durch eine Wahrheitstabelle beweisen, dass eine zusammengesetzte Aussage eine Tautologie ist, dann tritt z.B. folgende Beweisstruktur auf. Die Aussagen
A1 , . . . , A8 sind dabei alle möglichen Wahrheitsbelegungen der Argumente.
(A1 ∨ A2 ∨ · · · ∨ A8 ) ∧ (A1 =⇒ B) ∧ · · · ∧ (A8 =⇒ B) =⇒ B .
Diese verschiedenen Beweisstrukturen können beliebig kombiniert werden, so dass
auch recht komplizierte Baum-Strukturen entstehen können.
6
Natürlich hätten wir auch sofort 55500 = 37 · 1500 zeigen können.
26
Aussagen und Mengen
1.4
1.4 Indirekte Beweise
Indirekte Beweise
Im Gegensatz zum modus ponens, dem direkten Beweis, kann man einen Beweis
auch indirekt führen. Dies nennt man dann einen indirekten Beweis oder Widerspruchsbeweis. Aufgrund der folgenden Tautologie7 können wir die Implikation
A =⇒ B, die wir im direkten Beweis verwenden, durch ¬B =⇒ ¬A ersetzen.
(A =⇒ B) ⇐⇒ (¬B =⇒ ¬A) ,
d.h. aus A folgt B genau dann, wenn ¬A aus ¬B folgt”. Die folgende Tautologie8
”
ist dann die Grundlage für den indirekten Beweis.
A ∧ (¬B =⇒ ¬A) =⇒ B .
Der Name Widerspruchsbeweis kommt daher, dass wir dabei annehmen, dass A
und ¬B wahr sind und dann durch ¬B =⇒ ¬A gleichzeitig A und ¬A erhalten,
was ein Widerspruch, eine Kontradiktion, ist (siehe Beispiel 1.11). Versuchen wir,
den obigen Satz indirekt, durch einen Widerspruchsbeweis zu beweisen.
Satz. 55500 ist durch 37 teilbar.
Beweis: Als wahre Aussage A wählen wir wieder 111 ist durch 37 teilbar.”. Doch
”
diesmal wollen wir nicht A =⇒ B, sondern ¬B =⇒ ¬A zeigen. Nehmen wir also
an, die Aussage ¬B sei wahr, d.h. es gibt kein ` ∈ N, so dass 55500 = 37 · `. Daraus
folgt aber, dass es auch kein k ∈ N geben kann mit 111 = 37 · k, denn sonst hätten
wir (da 55500 = 111 · 500) oben ` := k · 500 ∈ N wählen können9 . Damit gilt jetzt
gleichzeitig A und ¬A, ein Widerspruch. Unsere Annahme ¬B ist also falsch und
damit der Satz wahr.
Ein besseres Beispiel für einen indirekten Beweis haben wir bereits im Prolog beim
Beweis zum Satz von Euklid gesehen. Die Behauptung, Aussage B, es gibt un”
endlich viele Primzahlen” haben wir zuerst verneint zur Aussage ¬B es gibt nur
”
endlich viele Primzahlen” und dann einen Widerspruch zur Voraussetzung, Aussage A, dem vorangegangen Lemma, hergestellt.
1.5
Beweis zusammengesetzter Aussagen
Oft besteht die Aussage B eines Satzes (oder Lemmas) aus einer zusammengesetzten Aussage, z.B. eine Implikation, dass aus gewissen Voraussetzungen (Aussage B1 )
7
Siehe 1. Übungsblatt, Aufgabe 2.
Siehe 1. Übungsblatt, Aufgabe 2.
9
Eigentlich machen wir hier einen doppelten Widerspruchsbeweis, denn wir beweisen ¬B =⇒
¬A wiederum indirekt.
8
27
1.6 Mengen
Aussagen und Mengen
eine Behauptung (Aussage B2 ) folgt, d.h. die Aussage B besteht aus der zusammengesetzten Aussage B1 =⇒ B2 . Betrachten wir z.B. das folgende Lemma, das
wir oben eigentlich schon verwendet haben.
Lemma 1.12. Für n, a, b ∈ N gelte n|a (d.h. n teilt a”) und a|b. Dann gilt n|b.
”
Voraussetzungen werden meist im Konjunktiv angegeben wie gelte, sei, genüge,. . . ”
”
und die Behauptung wird oft durch dann” eingeleitet.
”
Beweis: Wir müssen also zeigen, dass die zusammengesetzte Aussage B gilt, d.h. aus
Aussage B1 (n|a und a|b) folgt Aussage B2 (n|b). Als wahre Aussage A können wir
hier wählen, dass aus a = n · j (j ∈ N) und b = a · k (k ∈ N) (Aussage A1 ) durch
Einsetzen natürlich folgt, dass b = a·k = n·j ·k = n·` (` := j ·k ∈ N) (Aussage A2 ).
Insgesamt sind also A und die Implikation
(A1 =⇒ A2 ) =⇒ (B1 =⇒ B2 ) bzw.
A =⇒ B
wahr. Und damit ist das Lemma (direkt) bewiesen.
Wir werden später in Skript und Übungen ausreichend Beispiele für Beweise dieser
Art sehen. Beachten Sie, dass sich alle Beweise aus den letzten
drei Abschnitten immer auf die elementare
Form
eines
direkten
A
∧
(A
=⇒
B)
=⇒ B oder indirekten
A ∧ (¬B =⇒ ¬A) =⇒ B Beweises reduzieren lassen (z.B. setzt man im letzten
Beweis die zu beweisende Aussage B gleich der Implikation B1 =⇒ B2 oder man
setzt A der Voraussetzung und B der Behauptung gleich). In Kapitel 3 werden wir
einen neuen Beweistyp, vollständige Induktion, kennen lernen.
1.6
Mengen
Wir definieren” eine Menge M als eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunter”
scheidbarer Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen10 .
Spezielle Mengen sind z.B. N := N0 := {0, 1, 2, . . . }, N+ := {1, 2, . . . }, Z, Q, R,
die Mengen der natürlichen, positiv-natürlichen, ganzen, rationalen, reellen Zahlen. Aber auch {2, 3, 5, 7, 11} oder die Menge der Erstsemester sind Mengen. Die
Reihenfolge der Elemente einer Menge ist dabei unerheblich, d.h. es ist
{2, 3, 5, 7, 11} = {3, 2, 11, 7, 5} .
10
Wiederum einfachheitshalber benutzen wir diese Definition” von Mengen, die sich mit der
”
intuitiven Vorstellung einer Menge deckt und vollkommen ausreichend ist. Eine axiomatische
Einführung in die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo,
1871–1953, deutscher Mathematiker, Adolf Fraenkel, 1891–1965, deutsch-israelischer Mathematiker) findet man beispielsweise in [2].
28
Aussagen und Mengen
1.6 Mengen
Genauso sind die beiden folgenden Mengen gleich.
{2, 3, 5, 7, 11} = {2, 2, 2, 3, 3, 11, 7, 5} .
Mengen lassen sich auch durch Eigenschaften ihrer Elemente definieren.
{x ∈ N+ : 2|x}, die Menge der positiven, geraden Zahlen.
Definition 1.13. Die folgenden Symbole bilden Aussagen mit Mengen.
x∈M
x∈
/M
M ⊆N
M ⊇N
M =N
x ist Element von M , die Aussage ist genau dann wahr,
wenn x in der Menge M enthalten ist,
x ist nicht Element von M ,
M ist eine Teilmenge von N ,
M ist eine Obermenge von N ,
M ist gleich N .
Die Aussage M ⊆ N ist definiert durch ∀x ∈ M gilt x ∈ N ”, wobei wir hier den
”
Allquantor ∀ (d.h. für alle”) verwendet haben11 . Also
”
M ⊆ N :⇐⇒ ∀x ∈ M gilt x ∈ N
Die Gleichheit zweier Mengen M und N ist definiert durch
M = N :⇐⇒ (M ⊆ N ) ∧ (M ⊇ N ) .
Gleichheit zweier Mengen M und N bedeutet also alle Elemente der Menge M sind
”
auch in N enthalten, und alle Elemente der Menge N sind auch in M enthalten”.
Betrachten wir dazu ein einfaches Beispiel.
Beispiel 1.14. Wir definieren zwei Mengen M und N .
M :={x ∈ N+ : 2|x} ,
N :={x = a + b : N 3 a, b ungerade} .
Behauptung: M = N .
Beweis: Zuerst zeigen wir M ⊆ N : sei also x ∈ M beliebig 12 , dann folgt mit a :=
x − 1 ∈ N und b := 1 (beide sind ungerade), dass x = a + b. Also x ∈ N .
Jetzt zeigen wir noch M ⊇ N : sei x ∈ N (beliebig), dann ist x die Summe zweier
ungerader Zahlen und somit 2|x und x ≥ 2, also gilt auch x ∈ M .
11
Die Verwendung von Aussagen mit Quantoren behandeln wir im Detail in Abschnitt 1.8.
Dadurch, dass wir x nicht als ein bestimmtes Element aus M festlegen, zeigen wir die Aussage
implizit für alle x ∈ M .
12
29
1.7 Verknüpfungen von Mengen.
1.7
Aussagen und Mengen
Verknüpfungen von Mengen.
Definition 1.15. Seien M, N beliebige Mengen. Die folgenden Symbole bezeichnen
Verknüpfungen von Mengen und stellen selbst wieder eine Menge dar.
M ∩ N := {x : x ∈ M ∧ x ∈ N }
M ∪ N := {x : x ∈ M ∨ x ∈ N }
M \ N := {x : x ∈ M ∧ x ∈
/ N}
P(M ) := {M0 : M0 ⊆ M }
Schnitt von M und N ,
Vereinigung von M und N ,
M ohne N ,
Potenzmenge einer Menge M , die
Menge aller Teilmengen von M ,
M × N := {(m, n) : m ∈ M ∧ n ∈ N } kartesisches Produkt der Mengen M, N ,
Menge der geordneten Paare (m, n).
Ist der Schnitt zweier Mengen M, N leer, d.h. M ∩ N = ∅ (∅ bezeichnet die leere
Menge, d.h. die Menge ohne Elemente) dann heißen die beiden Mengen M und N
disjunkt oder elementfremd.
Beispiel 1.16. Sei M := {1, 2, 3} und N := {3, 4}. Dann ist
M ∩ N = {3} ,
M ∪ N = {1, 2, 3, 4} ,
M \ N = {1, 2} ,
P(M ) = {∅, {1}, {2}, {3} , {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} ,
M × N = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)} ,
∅ = (M \ N ) ∩ N , d.h. M \ N und N sind disjunkt.
Die Elemente von (2-stelligen) kartesischen Produkten M × N sind geordnete Paare (m, n) bzw. allgemein sind die Elemente von n-stelligen, kartesischen Produkten M1 × M2 × · · · × Mn geordnete n-Tupel (m1 , m2 , . . . , mn ). In einem n-Tupel ist
im Gegensatz zu Mengen die Reihenfolge entscheidend. Es ist also z.B.
(5, 5, 7) 6= (5, 7, 5) ∈ {5, 7}3 := {5, 7} × {5, 7} × {5, 7} .
Weitere Beispiele für kartesische Produkte sind ein Kartenspiel
{♦, ♥, ♣, ♠} × {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass}
oder Vektorräume R2 = R × R und R3 = R × R × R. Im nächsten Kapitel werden
wir Teilmengen von kartesischen Produkten betrachten.
30
Aussagen und Mengen
1.8
1.8 Aussagen mit Quantoren
Aussagen mit Quantoren
Im vorigen Abschnitt haben wir bereits den Allquantor ∀ ( für alle”) kennen gelernt.
”
Damit lassen sich Aussagen der Form
∀x ∈ M gilt A(x)
bilden, die genau dann wahr ist, wenn A(x) für alle x ∈ M wahr ist. Dabei bezeichnet A(x) eine Aussage, die von x abhängt. Man nennt A(x) auch eine Aussageform
oder ein (einstelliges) Prädikat bzw. allgemein heißt A(x1 , . . . , xn ) ein n-stelliges
Prädikat.
Beispiel 1.17. Sei M die Menge der positiven, geraden Zahlen. Dann ist
∀x1 , x2 , x3 ∈ M gilt 8|x1 x2 x3
| {z }
=A1 (x1 ,x2 ,x3 )
eine Tautologie, während
∀x1 , x2 , x3 ∈ M gilt 16|x1 x2 x3
| {z }
=A2 (x1 ,x2 ,x3 )
eine Kontradiktion ist13 .
Ein weiterer Quantor ist der Existenzquantor ∃ ( es existiert”). Die Aussage
”
∃x ∈ M , so dass A(x)
ist genau dann wahr, wenn in M (mindestens) ein Element x existiert, so dass A(x)
wahr ist.
Beispiel 1.18. Sei M := {2n : n ∈ N+ } (wieder die Menge der positiven, geraden
Zahlen). Dann ist
∃x ∈ M , so dass 8|x
eine Tautologie, während
∃x ∈ M , so dass
√
x∈N\M
eine Kontradiktion ist14 .
13
Es spielt hierbei also keine Rolle, dass die Aussage für manche Werte, z.B. x1 = x2 = x3 = 4
wahr ist. Die Aussage, dass A2 (x1 , x2 , x3 ) für alle x1 , x2 , x3 ∈ M wahr ist, ist nämlich falsch.
14
Siehe 3.Übungsblatt, Aufgabe 12.
31
1.8 Aussagen mit Quantoren
Aussagen und Mengen
Meistens verzichtet man darauf, so dass” oder gilt” zu schreiben. Statt dessen
”
”
schreibt man kurz ∃x ∈ M A(x) oder ∀x ∈ M A(x). Wenn klar ist, aus welcher
Menge die Elemente stammen, schreibt man sogar ∃x A(x) oder ∀x A(x). Die beiden
Quantoren können auch zusammen verwendet werden. Es lassen sich beispielsweise
folgende Aussagen bilden.
Beispiel 1.19. Sei M := {x : x/2 ∈ N+ } (schon wieder die Menge der positiven,
geraden Zahlen). Dann ist
∀x ∈ M ∃y ∈ M y > x
eine Tautologie15 , während
∃x ∈ M ∀y ∈ M y > x
eine Kontradiktion ist. Die Reihenfolge der Quantoren ist also entscheidend.
Wichtige Regeln für den Umgang mit Quantoren sind die Folgenden.
Negation :
¬ ∀x A(x) ⇐⇒ ∃x ¬A(x)
¬ ∃x A(x) ⇐⇒ ∀x ¬A(x)
Ausklammern :
Vertauschen :
∀x A1 (x) ∧ ∀x A2 (x) ⇐⇒ ∀x A1 (x) ∧ A2 (x)
∃x A1 (x) ∨ ∃x A2 (x) ⇐⇒ ∃x A1 (x) ∨ A2 (x)
∀x ∀y A(x, y) ⇐⇒ ∀y ∀x A(x, y)
∃x ∃y A(x, y) ⇐⇒ ∃y ∃x A(x, y)
Beachten Sie die Paarungen ∀, ∧ bzw. ∃, ∨ beim Ausklammern. Die entsprechenden
Aussagen für ∀, ∨ bzw. ∃, ∧ gelten im Allgemeinen nicht16 . Abschließend ein etwas
komplexeres Beispiel.
Beispiel 1.20. Mit Hilfe der De Morgan’schen Regel ¬(A ∨ B) ⇐⇒ ¬A ∧ ¬B
(siehe Beispiel 1.10) und obigen Regeln sind folgende Aussagen äquivalent17 .
¬ ∀x ∃y ∃z A1 (x, y, z) ∨ A2 (x, y, z) ,
∃x ∀z ∀y ¬A1 (x, y, z) ∧ ∀y ¬A2 (x, y, z) .
Beispiel 1.21. In jedem Buch steht (mindestens) ein Wort, das in allen anderen
”
Büchern nicht steht” ist die negierte Aussage von Es gibt (mindestens) ein Buch,
”
in dem jedes Wort auch in (mindestens) einem anderen Buch steht”.
15
Bei den Axiomen der natürlichen Zahlen N werden wir hierauf zurückkommen. Die angegebene
Aussage ist natürlich wahr, weil zu jedem x ∈ M die Zahl y := x + 2 ∈ N existiert und y > x.
16
Siehe 4. Übungsblatt, Aufgabe 13.
17
Siehe 3. Übungsblatt, Aufgabe 10.
32