Konvexität - KIT - Fakultät für Mathematik
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Konvexität
Kevin Eßwein
17.07.2015
Proseminar:
“Mathematisches Problemlösen”
im Sommersemester 2015
Dozentin: Natalia Grinberg
Karlsruher Institut für Technologie
Inhaltsverzeichnis:
1. Konvexe Menge
2. Konvexe Funktionen
3. Beispiele
4. Literaturverzeichnis
1. Konvexe Menge
Definition 1.1
Eine Menge K m heißt konvex, wenn für zwei beliebige Elemente x1 und x2 aus K
auch deren Verbindungsstrecke
[x1,x2] = { 1x1 + 2x2 : 1 , 2 0, 1 + 2 = 1 }
in K liegt.
nicht konvexe Menge
konvexe Menge
2. Konvexe Funktionen
Definition 2.1
Sei K m eine konvexe Menge.
(i)
Eine Funktion f : K heißt konvex, wenn für zwei beliebige Elemente x1
und x2 von K und beliebige nichtnegative Koeffizienten 1 und 2 mit
1 + 2 = 1 die Ungleichung:
f ( 1x1 + 2x2 ) 1 f ( x1 ) + 2 f ( x2 )
erfüllt ist.
( ii )
Eine Funktion g : K heißt konkav, wenn für zwei beliebige Elemente x1
und x2 von K und beliebige nichtnegative Koeffizienten 1 und 2 mit
1 + 2 = 1 gilt:
g ( 1x1 + 2x2 ) 1 g ( x1 ) + 2 g ( x2 )
3. Beispiele
Aufgabe 3.1
Seien K1 , … , Kn m konvexe Mengen.
Zeigen Sie,
( i ) dass die Schnittmenge K = K1 … Kn ebenfalls konvex ist.
( ii ) Gilt die Behauptung auch für die Vereinigung V = K1 … Kn ?
( i ) Es seien x1 , x2 K. Dann ist x1 , x2 Kj für alle j = 1, 2, …, n. Jede Menge Kj ist
konvex; daher liegt die ganze Strecke [x1,x2] in Kj. Da dies für jedes j erfüllt ist, folgt
[x1,x2] Kj; daher ist die Menge K konvex.
( ii ) Die Vereinigung von mehreren Mengen ist dagegen im Allgemeinen nicht
konvex. So sind beispielsweise die Intervalle [-1,0] und [1,2] konvex, jedoch erfüllt
ihre Vereinigung V die Konvexitätsbedingung nicht.
(z.B. 0,1 V, aber ½ (0 + 1) = ½ V)
Aufgabe 3.2
Es sei Kn m eine konvexe Menge. Beweisen Sie: Für alle xj K , j = 1, …, n
und alle nichtnegativen Koeffizienten 1 , …, n mit 1 + …+ n = 1, gehört der Punkt
1x1 + …+ nxn ebenfalls zu K.
Beweis durch vollständige Induktion (n 2):
Induktionsanfang: (n = 2)
Für n = 2 ist die Behauptung nichts anderes als die Definition einer
konvexen Menge (Definition 1.1)
Induktionsvoraussetzung:
Die Behauptung sei für ein beliebiges, aber festes n = N wahr.
Induktionsschritt:
Betrachten wir nun n = N + 1.
Es ist:
1x1 + …+ NxN + N+1xN+1
α1 x1 ... αN xN
1 αN 1
= (1 - N+1 ) ( 1αN 1
)
= (1 - N+1 ) y1 + N+1xN+1
mit
α1 x1 ... αN xN
1αN 1
y1 = ( 1αN 1
)
Nach der IV ist y1 K, da
α1 ... N 1 αN 1
α1 ... αN
1αN 1
1αN 1 = 1 αN 1 = 1 αN 1 = 1
ist. Nun wenden wir die Definition einer konvexen Menge auf die zwei Punkte
y1 und xN+1 aus K mit den Koeffizienten (1 - N+1 ) und N+1 an und schließen
daraus:
(1 - N+1 ) y1 + N+1xN+1 K.
Aufgabe 3.3 (Satz von Helly)
Man betrachte n Intervalle Ij = [aj,bj] mit j = 1, …, n. Es gelte Ij Ik
für alle j, k = 1, …, n. Beweisen Sie, dass alle n Intervalle einen gemeinsamen Punkt
haben.
Zu zeigen ist:
A = max aj min bj = B. ()
Lösung durch Widerspruchsbeweis:
Angenommen, es gilt aj > bk für ein Paar ( j , k )
Aus aj bj und ak bk Ij Ik =
Für jedes j also:
aj A B bj , oder
[A,B] Ij. Es gilt dann:
[A,B] I1 I2 … In.
Was bedeutet, dass jeder Punkt x [A,B] ein gemeinsamer Punkt aller
Intervalle Ij ist.
Aufgabe 3.4
Es sei K n eine konvexe Menge und f : K eine Funktion.
Beweisen Sie: Die Funktion f ist genau dann konvex, wenn für jede Gerade g n die
Einschränkung fg von f auf g K (falls die Schnittmenge nichtleer ist) konvex ist.
Lösung:
“” Es sei f : K konvex und sei der Schnitt g K nichtleer. Betrachten wir
zwei Punkte x1, x2 g K. Dann ist die ganze gerade Strecke [x1, x2] wegen
der Definition von konvexen Mengen in g K enthalten.
[x1, x2] g und [x1, x2] K (da K konvex)
()
aus der Konvexität von f auf K folgt nun die Definition von konvexen
Funktionen, d.h. die Funktion f ist auf g K konvex.
“”
Es sei nun die Einschränkung fg von f auf jede Gerade konvex. Wir betrachtet
zwei Punkte x1, x2 K und die Gerade g = ( x1, x2 ), die durch diese beiden
Punkte geht. Die gerade Strecke [x1, x2] ist in g K enthalten wegen ().
Aus der Konvexität von f auf g K folgt nun die Definition von konvexen
Funktionen. Da dies für zwei beliebige Punkte in K gilt, ist f auf K konvex.
Aufgabe 3.5
Es sei K n eine konvexe Menge und f : K eine konvexe Funktion.
Beweisen Sie, dass die Menge F K x
F = {(x, t) K x : f (x) t}
(Punkte oberhalb des Graphen von f) konvex ist.
Lösung:
Es seien y1 = (x1, t1) und y2 = (x2, t2) aus F,
d.h. t1 f (x1) und t2 f (x2) , dann ist
f (1x1 + 2x2) 1 f (x1) + 2 f (x2) 1 t1 + 2 t2.
das ist aber zu der Konvexitätsbedingung
1y1 + 2y2) = (1 x1 + 2 x2 , 1 t1 + 2 t2) F
äquivalent.
Aufgabe 3.6
Es seien K n eine konvexe Menge, g : K eine konvexe Funktion und
c eine Konstante.
( i ) Beweisen Sie, dass die Menge
Kc = {x K : g (x) c}
konvex ist.
( ii ) Ist die Umkehrung auch richtig: Folgt aus der Konvexität von Kc
für alle c, dass g konvex ist.
Lösung:
( i ) Es seien x, y Kc , dann ist
g (1 x + 2 y) 1 g (x) + 2 g (y) 1 c + 2 c = c.
daher ist 1 x + 2 y Kc
( ii ) Nein, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Man nehme z.B. eine
Beliebige monoton steigende Funktion. Dann ist Kc = (-, g-1(c)] konvex.
Die Funktion muss aber nicht konvex sein, vgl. beispielsweise g (x) = x3.
Aufgabe 3.7 (Jensen-Ungleichung)
Es seien M m eine konvexe Menge und f : M eine konvexe Funktion.
Dann gilt:
f ( 1x1 + … + nxn ) 1 f ( x1 ) + … + n f ( xn )
()
Ist dagegen f konkav, so gilt die Ungleichung mit umgekehrten Zeichen:
f ( 1x1 + … + nxn ) 1 f ( x1 ) + … + n f ( xn )
Beweis durch vollständige Induktion:
Induktionsanfang: (n = 2)
Für n = 2 folgt die Ungleichung aus der Definition einer konvexen Funktion
Induktionsvoraussetzung:
() sei für n = N wahr.
Induktionsschritt:
Betrachten wir nun n = N + 1.
Es ist:
f ( 1x1 + … + NxN + N+1xN+1 ) = f (( 1 - N+1) y1+ N+1xN+1)
(1 - N+1) f (y1) + N+1 f (xN+1)
=
α1 x1 ... αN xN
1 αN 1
(1 - N+1) f ( 1αN 1
) + N+1 f (xN+1)
α1 f (x1) ... αN f (xN)
1αN 1
(1 - N+1) [ 1 αN 1
] + N+1 f (xN+1)
=
1 f ( x1 ) + … + N f ( xN ) + N+1 f ( xN+1 )
4. Literaturverzeichnis
Lösungsstrategien – Mathematik für Nachdenker,
Natalia Grinberg, 2011, S. 127 – 135
www.mathepedia.de
