Seminarthemen

SEMINAR ANALYSIS IN WINTERSEMESTER 2016/2017
THEMEN
1. Berechnung von π · [Walter1, 9.18], [Königsberger, 8.11] · Die Irrationalität von e und π · [BUCH,
Kap. 7]
2. Das Basel-Problem · [BUCH, Kap. 8]
Verschiedene Beweise werden für die Eulersche Identität
∞
X
π2
1
=
n2
6
n=1
vorgetragen.
3. Ein Lob der Ungleichungen · [BUCH, Kap. 18]
Die Cauchy–Schwarz–Buniakowski-Ungleichung und die AGM-Ungleichung werden bewiesen und
einige ihrer Anwendungen werden gezeigt. Leute mit Vorliebe für Kombinatorik werden dieses
Thema mögen.
4. Der Fundamentalsatz der Algebra · [BUCH, Kap. 19] · Existenz der Partialbruchzerlegung · [Heuser,
§69]
Jedes nichtkonstante Polynom mit komplexen Koeffizienten besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle, kurz gesagt: der Körper C ist algebraisch abgeschlossen. Dieser grundlegende Satz der Mathematik wird auf elementare Weise bewiesen.
5. Ein Satz von Pólya über Polynome · [BUCH, Kap. 21]
6. Das Nadel-Problem von Buffon · [BUCH, Kap. 24]
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine kurze, auf ein liniertes Papier zuffällig fallen gelassene Nadel eine
der Linien trifft, wird mit analytischen Methoden bestimmt.
7. Der Kotangens und der Herglotz-Trick · [BUCH, Kap. 23] · Die Bernoulli-Zahlen [Walter1, 7.207.21], [Königsberger, 14.3]
Die Partialbruchzerlegung der Kotangensfunktion
∞
1 X 1
1 +
(x ∈ R \ Z)
π cot(πx) = +
x
x+n x−n
n=1
wird bewiesen, und anschliessend wird Euler’s Formel für ζ(2k) hergeleitet (als Verallgemeinerung
des Basel-Problems).
8. Die Eulersche Summenformel und Anwendungen · [Walter1, 12.15-12.20], [Königsberger, 11.10]
Die Aufgabe ist die Motivation und Herleitung der Euler–McLaurinschen Summenformel
Z n
n
m
X
f (n) − f (0) X B2k (2k−1)
f (j) =
f (x)dx +
+
(f
(n) − f (2k−1) (0)) + Rk
2
k!
0
j=0
k=1
mit vollständigen Beweis aller dazu benötigten Hilfsmittel und mit Anwendungen. Dieses Thema
kann ggf. von 2 Leuten gemacht werden.
9. Die Gamma-Funktion · [Königsberger, Kap. 17], [Walter1, 12.8], [Walter2, 7.21.4]
Die Gamma-Funktion Γ : [0, ∞) → R ist die kontinuierliche Verallgemeinerung der Fakultät von
natürlichen Zahlen: Γ(n) = (n − 1)!, und ist eine der wichtigsten Funktionen der Analysis bzw. der
Zahlentheorie. Ihre grundlegenden Eigenschaften werden im Vortrag diskutiert.
THEMEN
10. Stetige und nirgends differenzierbare Funktionen: Die Takagi-Funktion · [Königsberger, 9.11] · Die
Weierstraß’sche Funktion
Zwei konkrete Beispiele für eine stetige Funktion f : R → R, welche an keiner Stelle differenzierbar
ist, werden vorgestellt. Für den Fall der Weierstraß’schen Funktion wird selbständige Literaturrecherche erwartet, bzw. Sie sollten die Beweisdetails selber herausfinden.
11. Stetige und nirgends differenzierbare Funktionen · [Werner, IV.1]
Der Baire’sche Kategoriensatz ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Analysis um Existenz von mathematischen Objekten mit merkwürdigen Eigenschaften zu zeigen. Dieses Thema ist für sehr motivierte Leute geeignet, und es erlaubt die Vertiefung in ein sehr schönes Gebiet der Analysis.
12. Die Cantor-Menge und die Cantor-Funktion · [Rajwade, §1.4, §2.2, Ex. 2.4.1]
Wieder zwei komische Objekte, etwa Gegenbeispiele für anscheinend plausiblen Sätze, werden diskutiert. Dieses Thema ist für sehr motivierte Leute geeignet.
13. Die Brodén-Funktion · [Hawkins, S.160–161]
Brodén hat eine Funktion f : (0, 1) → R gefunden, welche streng monoton steigend und an allen
Stellen differenzierbar ist, wobei f 0 (t) = 0 für eine in (0, 1) dicht liegende Mengeg gilt. Diese
Thema erfordert selbständiges Problemlösen, die Beweisschritte sollten Sie selber herausfinden —
natürlich helfe ich gerne dabei. Dieses Thema kann ausgeweitet werden in Richtung der historischen
Entwicklung des Integralbegriffes.
14. Reell-analytische Funktionen und der Satz von Borel · [Bröcker, §IV.4], [Besenyei], [Casselman]
Der Satz von E. Borel, eigentlich von Peano, besagt, dass für jede Folge (an ) von reellen Zahlen eine
unendlich oft differenzierbare Funktion f existiert, deren Taylor-Koeffizienten genau die Zahlen an
sind. Die Aufgabe ist diesen Satz zu beweisen (basiert auf die angegebenen Quellen).
15. Das Stone–Weierstraß-Theorem · [Königsberger, 15.7] · der Weierstraß’sche Approximationssatz
[Werner, I.2.10] · ggf. der Satz von Korowkin [Werner, IV.2.6]
Weierstraß hat beweisen, dass jede stetige Funktion f : [0, 1] → R sich gleichmäßig durch Polynome
approximieren lässt. Stone hat eine weitgehende Verallgemeinerung dieses Satzes gefunden, welche
heute zu den fundamentalsten Resultaten der modernen Analysis zählt. Dieses Thema ist für sehr
motivierte Leute geeignet.
Literatur
[BUCH]
[Besenyei]
[Bröcker]
[Casselman]
M. Aigner, G. Ziegler, Das BUCH der Beweise, 3. Auflage, Springer-Verlag, 2010.
Á. Besenyei, Peano’s Unnoticed Proof of Borel’s Theorem, Amer. Math. Monthly,
Vol. 121, No. 1 (January 2014), pp. 69–72.
T. Bröcker, Analysis 1, 2. Auflage, Spektrum Lehrbuch, 1999.
B. Casselman, Variations on a theorem of Émile Borel,
https://www.math.ubc.ca/ecass/research/pdf/Emile.pdf
[Hawkins]
T.W. Hawkins, The origins of modern theory of integration, In: From the Calculus to
Set Theory 1630-1910, An Introductory History, Princeton University Press, 2000.
[Heuser]
H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, B.G. Teubner, Stuttgart, 1994.
[Königsberger] K. Königsberger, Analysis 1, 6. Auflage, Springer, 2004.
[Rajwade]
A.R. Rajwade, A.K. Bhandari, Surprises and Counterexamples in Real Function
Theory, Texts and Readings in Mathematics, vol. 42, Hindustan Book Agency, 2011.
[Walter1]
W. Walter, Analysis 1, 7. Auflage, Springer, 2004.
[Walter2]
W. Walter, Analysis 2, 5. erw. Auflage, Springer, 2004.
[Werner]
D. Werner, Funktionalanalysis, Springer, 2011.