Übungsblatt 1 + Musterlösung

Institut für Stochastik
Dipl.-math. oec. B. Ebner
Übungsaufgaben zum Schnupperkurs 2010
Irrfahrten und Phänomene des Zufalls
Blatt 1
Aufgabe 1
Geben Sie für folgende Situationen geeignete Ergebnismengen an:
a) Aus einer Schachtel, welche n von 1 bis n nummerierte Kugeln enthält, werden k Kugeln
mit einem Griff gezogen.
b) Zwei nicht unterscheidbare Würfel werden gleichzeitig geworfen.
c) Ziehung der Lottozahlen 6 aus 49 mit Zusatzzahl und Superzahl.
d) Verteilung von 32 Spielkarten an 4 Spieler, wobei jeder 8 Karten erhält.
Lösung:
Mögliche Ergebnismengen sind:
a) Ω = {(a1 , a2 , . . . , ak ) : a1 , a2 , . . . , ak ∈ {1, . . . , n}, a1 < a2 < . . . < ak }
b) Ω = {(a1 , a2 ) : ai ∈ {1, . . . , 6} für i = 1, 2;
a1 ≤ a2 , a3 ≤ a4 , a5 ≤ a6 } = Ω31
mit Ω1 = {(a1 , a2 ) : a1 , a2 ∈ {1, . . . , 6}, a1 ≤ a2 }
c) Ω = {(a1 , . . . , a6 , z, s) : a1 , a2 , . . . , a6 , z ∈ {1, 2, . . . , 49}, s ∈ {0, 1, . . . , 9},
1 ≤ a1 < a2 < · · · < a6 ≤ 49; z ∈
/ {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 }}
d) Ω = {((a1 , . . . , a8 ), (a9 , . . . , a16 ), (a17 , . . . , a24 ), (a25 , . . . , a32 )) :
ai ∈ {1, . . . , 32} für i = 1, . . . , 32; ai 6= aj für i 6= j}
Aufgabe 2
Es seien A, B und C drei Ereignisse über einer Ergebnismenge Ω. Drücken Sie mit Hilfe von
Mengenoperationen (Durchschnitt und Vereinigung) die folgenden Ereignisse aus.
A1 : Keines der drei Ereignisse A, B und C tritt ein.
A2 : Mindestens eines tritt ein.
A3 : Genau eines tritt ein.
A4 : Mindestens zwei treten ein.
A5 : Mindestens eines tritt nicht ein.
Hinweis: Das Gegenteil (Komplement) eines Ereignisses A wird mit Ac bezeichnet und ist
definiert durch
Ac := Ω ohne A = {ω ∈ Ω : ω 6∈ A}.
Lösung:
Es gilt
A1 = AC ∩ B C ∩ C C = (A ∪ B ∪ C)C ,
A2 = A1 C = A ∪ B ∪ C,
A3 = (A ∩ B C ∩ C C ) ∪ (AC ∩ B ∩ C C ) ∪ (AC ∩ B C ∩ C),
A4 = A2 ohne A3 = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),
A5 = AC ∪ B C ∪ C C = (A ∩ B ∩ C)C ,
2
Aufgabe 3
Eine der Informationen I1 , ..., I4 wird zufällig ausgewählt (Laplace-Experiment) und an einen
Empfänger gesendet. Der Empfang ist jedoch gestört. Daher wird die richtige Information nur
mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit empfangen. Es gilt für j, k ∈ {1, ..., 4}, j 6= k :
P (Ik wird empfangen | Ik wird gesendet) =
P (Ij wird empfangen | Ik wird gesendet) =
1
,
k+1
k
.
3(k + 1)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Information empfangen wird, die nicht gesendet
wurde.
Hinweis: Definieren Sie sich zur Lösung der Aufgabe geeignete Ereignisse. Für ein Ereignis A
gilt:
P (A) = 1 − P (Ac ).
Lösung:
Sei Gk , k = 1, ..., 4 das Ereignis, dass Information Ik gesendet wird. Die Ereignisse Gk sind
nach Voraussetzung gleichwahrscheinlich, es ist also P (Gk ) = 41 für k = 1, ..., 4.
Sei Ek , k = 1, ..., 4 das Ereignis, dass Information Ik empfangen wird.
Sei A das Ereignis, dass eine Information empfangen wird, die nicht gesendet wurde.
Dann ist
Ac = (E1 ∩ G1 ) ∪ (E2 ∩ G2 ) ∪ (E3 ∩ G3 ) ∪ (E4 ∩ G4 ),
und unter Verwendung der gegebenen bedingten Wahrscheinlichkeiten folgt
P (A) = 1 − P (Ac )
= 1 − (P (E1 ∩ G1 ) + P (E2 ∩ G2 ) + P (E3 ∩ G3 ) + P (E4 ∩ G4 ))
= 1 − (P (E1 | G1 ) · P (G1 ) + P (E2 | G2 ) · P (G2 ) + P (E3 | G3 ) · P (G3 ) + P (E4 | G4 ) · P (G4 ))
µ
¶
1 1 1 1 1
= 1−
+ + +
4 2 3 4 5
163
=
≈ 0.68.
240
3