Lineare Algebra II (SS 13) - am Institut für Mathematik der Universität

Lineare Algebra II (SS 13)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
03.07.2013
Bernhard Hanke
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Selbstadjungierte Endomorphismen und der Spektralsatz
Definition
Es sei (V , h−, −i) ein euklidischer oder unitärer Vektorraum. Ein
Endomorphismus f : V → V heißt selbstadjungiert, wenn für alle
v, w ∈ V .
hv , f (w )i = hf (v ), w i.
Proposition (7.1)
Es sei dim V < ∞ und sei Φ : V → V ∗ , w 7→ h−, w i.
Der Endomorphismus f : V → V ist genau dann selbstadjungiert, wenn
das folgende Diagramm kommutiert:
V
f
∼
= Φ
V∗
Bernhard Hanke
/V
∼
= Φ
f∗
/ V ∗.
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Proposition (7.2)
Es sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum
und f ∈ End(V). Es sei weiterhin B eine Orthonormalbasis von V und
A = MB (f ) die darstellende Matrix von f bezüglich B.
Dann ist f genau dann selbstadjungiert, wenn
T
A =A
d.h. A ist hermitesch. Im Euklidischen Fall bedeutet das AT = A, d.h. A
ist symmetrisch.
Lemma (7.3)
Es sei f : V → V selbstadjungiert. Dann sind alle Eigenwerte von f reell
und Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
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Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren (7.4)
Es sei dim V < ∞. Ist f : V → V selbstadjungiert, dann besitzt V eine
Orthonormalbasis bestehend aus Eigenvektoren von f .
Folgerung (7.5)
Es sei A ∈ Cn×n hermitesch, bzw. A ∈ Rn×n symmetrisch. Dann existiert
eine unitäre Matrix S ∈ U(n), bzw. orthogonale Matrix S ∈ O(n), so dass
T
die Matrix S AS eine Diagonalmatrix ist, die auf der Diagonalen nur
reelle Einträge hat.
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Bemerkung
Die Besonderheiten des Spektralsatzes sind:
I
Selbstadjungierte Endomorphismen sind (anders als orthogonale
Endomorphismen) auch im Euklidischen Fall diagonalisierbar.
I
Selbstadjungierte Endomorphismen besitzen auch im unitären Fall nur
reelle Eigenwerte.
Der Name Spektralsatz rührt daher, dass man die Menge der Eigenwerte
eines Endomorphismus V → V , wobei V ein endlichdimensionaler reeller
oder komplexer Vektorraum ist, auch häufig als Spektrum dieses
Endomorphismus bezeichnet.
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Es sei V ein endlichdimensionaler Euklidischer oder unitärer Vektorraum
und W ⊂ V ein Untervektorraum.
I
⊥ : V → W ⊂ V ist dann ein
Die orthogonale Projektion pW
selbstadjungierter Endomorphismus.
I
Ist umgekehrt p : V → V eine selbstadjungierte Projektion, dann
existiert ein Untervektorraum W ⊂ V mit p = pr⊥
W.
Definition
Es seien nun λ1 , . . . , λk die (paarweise verschiedenen) reellen Eigenwerte
eines selbstadjungierten Endomorphismus f : V → V . Setzen wir
Wi := Eig(f; λi ), so haben wir eine Summenzerlegung
f =
k
X
λi · pr⊥
Wi
i=1
von f als Linearkombination von selbstadjungierten (somit orthogonalen)
Projektionen. Diese Zerlegung nennen man Spektralzerlegung von f .
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Beispiel
Sei V := {f : [0, 2π] → C | f unendlich oft differenzierbar, f (0) = f (2π)}
zusammen mit dem unitären Skalarprodukt
Z 2π
hf , g i :=
f (x)g (x)dx.
0
Der Operator
df
dx
ist selbstadjungiert und alle Eigenwerte von D sind daher reell.
Die Eigenwerte von D erhält man durch Lösen der Differentialgleichung
Df = −iλf mit der Randbedingung f (0) = f (2π). Also ist
D : f 7→ i
f (x) = A · exp(−iλx)
mit A ∈ C und λ ∈ Z. Das Spektrum von D ist also gleich Z.
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Der sogenannte Schrödingeroperator in der Quantenmechanik ist ein
selbstadjungierter Operator.
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger
1887 (Wien) -1961 (Wien)
Das Spektrum dieses Operators hat direkte physikalische Bedeutung und
die zugehörige Spektraltheorie“ ist heutzutage ein wichtiger Zweig der
”
mathematischen Physik.
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Diagonalisierung Bilinearformen
Es sei V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und γ : V × V → K eine
Bilinearform. Sind B und C Basen von V und ist S = TBC die Matrix der
Koordinatentransformation, so gilt
MC (γ) = S T MB (γ)S .
Bemerkung
Die Matrizen MB (γ) und MC (γ) können verschiedene Eigenwerte haben.
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Satz
Es sei V ein endlichdimensionaler R-Vektorraum und sei
γ :V ×V →R
eine symmetrische Bilinearform. Dann existiert eine Basis B von V , so
dass MB (γ) eine Diagonalmatrix ist.
I
Falls V = Rn , so können wir die Basis B sogar als Orthonormalbasis
wählen.
I
Die von den Vektoren einer solchen Basis aufgespannten
eindimensionalen Unterräume des Rn bezeichnet man in diesem
Zusammenhang auch als Hauptachsen für die Bilinearform γ.
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Quadratische Formen
Definition
Eine quadratische Form vom Rang n über einem Körper K ist ein Polynom
Q ∈ K [X1 , . . . , Xn ] der Form
X
Q=
αij Xi Xj
1≤i,j≤n
mit αij ∈ K für alle i, j ∈ {1, . . . , n}. Man sagt auch, Q ist ein homogenes
Polynom vom Grad 2.
Ist Q eine quadratische Form, so definiert Q eine Abbildung
φQ : K n → K , gegeben durch
(x1 , . . . , xn ) 7→ Q(x1 , . . . , xn ) .
Fassen wir die auftretenden Koeffizienten zu einer Matrix zusammen, so
schreibt sich φQ auch als
φQ (x) = x T Ax , wobei A := (αij )1≤i,j≤n ∈ K n×n .
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Ist γ : K n × K n → R die durch A beschriebene Bilinearform, also
γ(x, y ) = x T Ay
für Spaltenvektoren x, y ∈ K n , so haben wir
φQ (x) = γ(x, x) .
Frage
Können wir Q, also die Matrix A und somit die Bilinearform γ aus dieser
Funktion φQ zurückgewinnen?
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I
Wir nehmen im folgenden an, dass 2 6= 0 in K gilt (z.B. K = R oder
K = C, nicht K = Z/2Z.)
Die Funktion φQ ändert sich nicht, wenn man in Q jeden Koeffizient
αij durch folgendes ersetzt:
αij + αji
2
I
Die so erhaltende quadratische Form Q ∈ K [X1 , . . . , Xn ] ist
symmetrisch. Mit der Polarisierungsformel erhalten wir
1
αij = eiT Aej = (φQ (ei + ej ) − φQ (ei ) − φQ (ej )) ,
2
wobei e1 , . . . , en ∈ K n die Standard-Basisvektoren sind.
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Sei K = R und sei Q die symmetrische quadratische Form, gegeben durch
eine symmetrische Matrix A ∈ Rn×n .
Des Weiteren seien B von Rn bestehend aus Eigenvektoren von A und
B
S = T(e
∈ O(n), so dass
1 ,...,en )


λ1

S −1 AS = S T AS = D = 
..

.
.
λn
Sind v , w ∈ Rn und x, y die Koordinatenvektoren bezüglich der Basis B,
so gilt
n
X
v T Aw =
λi xi yi
i=1
und insbesondere
φQ (v ) =
n
X
λi xi2 .
i=1
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Hauptachsentransformationen
I
I
Durch die Transformation werden also die gemischten Terme in der
quadratischen Form eliminiert.
Den Übergang zu dem Orthonormalsystem B bezeichnet man als
Hauptachsentransformation, denn die Lösungsmenge der Gleichung
φQ (x) = 1
wird zum Beispiel im Fall, dass alle Eigenwerte λi positiv sind, durch
ein Ellipsoid mit Hauptachsen Rv1 , . . . , Rvn beschrieben, wobei
(v1 , . . . , vn ) = B.
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Klassification affiner Quadriken
Betrachte eine affine Quadrik, d.h. Teilmenge des Rn der Form
{x ∈ Rn | x T Ax + hb, xi + c = 0} , AT = A.
I
Durch eine Hauptachsentransformation bringe A auf Diagonalgestalt.
I
Den linearen Term hb, xi versucht man anschließend, mittels
quadratischer Ergänzung zu eliminieren.
I
Anschließend kann man durch Fallunterscheidung die Klassifikation
durchführen, welche auf klassische Gebilde wie Zylinder, Kegel,
Sphären, Ellipsoide, Hyperboloide und so weiter führt.
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