Merkhilfe Mathematik Technik

Merkhilfe Mathematik/Technik
Juli 2013
Die Merkhilfe stellt keine Formelsammlung im klassischen Sinn
dar. Bezeichnungen werden nicht erklärt und Voraussetzungen für
die Gültigkeit der Formeln in der Regel nicht dargestellt.
Schnittwinkel zweier Geraden
Parabelgleichung
Teil I: Stoffgebiete der Mittelstufe
Binomische Formeln
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
(a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
(a - b)3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b3
(a + b) × (a - b) = a 2 - b 2
a 3 - b3 = (a – b) × (a 2 + ab + b 2 )
x =
Absolutbetrag
Logarithmen
tan φ =
m1 – m 2
1 + m1 × m 2
y = ax² + bx + c
(allgemeine Form)
y = a × (x – x s )² + ys
(Scheitelform)
y = a × (x – x1 ) × (x – x 2 )
(Linearfaktorform)
log b (a) = z Û b z = a
u
log b æç ö÷ = log b ( u ) - log b ( v )
èvø
log b ( a )
log c ( a ) =
log b ( c )
log b ( u v ) = log b ( u ) + log b ( v )
{–xx fürfür xx ³< 00
( )
log b u z = z × log b ( u )
Lösungsformel für die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0
Potenzen und Wurzeln
a0 = 1
a1 = a
1
an
n
m n
m
a =
a
=
n
a
ax × az = ax + z
a ×
a =a
Geradengleichung
C
Rechtwinkliges Dreieck
-b ± b 2 - 4ac
x1/2 =
2a
ax
az
= ax - z
a × b = ab
(a )
x z
1
a- x = x
a
a x × b x = ( ab )
a
b
=
x
ax
=a
æaö
=ç ÷
x
èbø
b
x× z
x
Pythagoras:
a 2 + b2 = c2
Höhensatz:
h2 = p q
Kathetensatz:
a 2 = c p ; b2 = c q
sin α =
a
;
c
cos α =
b
;
c
tan α =
b
A
h
a
q
c
a
b
p
sin α
a
=
cos α
b
Allgemeines Dreieck
Sinussatz:
a : b : c = sin α : sin β : sin γ
Kosinussatz:
a 2 = b 2 + c2 – 2bc × cos α
a
b
y = m×x + t
(allgemeine Form)
b 2 = a 2 + c 2 – 2ac × cos β
y = m × (x - x 0 ) + y0
(Punkt-Steigungsform)
c2 = a 2 + b 2 – 2ab × cos γ
1
B
Merkhilfe Mathematik/Technik
Juli 2013
Sinus und Kosinus
Teil II: Analysis
(sin φ)2 + (cos φ)2 = 1
Grenzwerte
sin ( -φ ) = - sin φ
cos ( -φ ) = cos φ
sin ( 90° - φ ) = cos φ
cos ( 90° - φ ) = sin φ
sin 2φ = 2 sin φ cos φ
cos 2φ = (cos φ)2 – (sin φ)2
φ 2 1
) = × (1 – cos φ)
2
2
sin(α + β) = sin α cosβ + cos α sin β
( sin
α+β
α -β
cos
2
2
2 sin α cos β = sin(α - β) + sin(α + β)
sin α + sin β = 2sin
Flächengeometrie
Allgemeines Dreieck:
xr
x® + ¥ ex
φ 2 1
) = × (1 + cos φ)
2
2
cos(α + β) = cos α cosβ – sin α sin β
lim
=0
ln x
x® + ¥ x
r
=0;
sin α - sin β = 2 cos
α+β
α -β
sin
2
2
U : Umfang
Kreis: U = 2r π ; A = r 2 π
a2
a
Gleichseitiges Dreieck: A =
3; h =
3
4
2
(jeweils r > 0)
Definition der Ableitung
f (x) - f (x 0 )
,
x - x0
x® x0
f / (x 0 ) = lim
Ableitung:
a+c
Trapez: A =
h
2
V : Volumen
O : Oberfläche
M : Mantelfläche
G : Grundfläche
1
3
Prisma: V = G h
Pyramide: V = G h
gerader Kreiszylinder:
gerader Kreiskegel:
f / (x) = y / =
Schreibweisen:
(x r ) / = r × x r -1
(
(sin x) / = cos x
(cos x) / = - sin x
1
1 - x²
1 /
r
) =–
r
r
x
x +1
(arccos x) / = -
(e x ) / = e x
1
1 - x²
1
1 + x²
f (x) = u (x) + v(x)
Þ f / (x) = u / (x) + v / (x)
Faktorregel:
f (x) = c × u (x)
Þ f / (x) = c × u / (x)
Þ f / (x) = u / (x) × v(x) + u (x) × v / (x)
Produktregel:
f (x) = u (x) × v(x)
M = 2r πh
M = rπm
Quotientenregel:
f (x) =
Kettenregel:
f (x) = u ( v(x) )
4 3
r π ; O = 4r 2 π
3
1
x
Summenregel:
V = r2 π h ;
V=
(arctan x) / =
(ln x) / =
Ableitungsregeln
V = r2π h ;
1
3
ds(t) ·
= s(t)
dt
df (x) dy
=
;
dx
dx
Ableitung der Grundfunktionen
(arcsin x) / =
Kugel:
x® 0
falls der Grenzwert existiert und endlich ist.
1
gh
2
Raumgeometrie
)
(
lim x r × ln x = 0
( cos
A : Flächeninhalt
A=
lim
u (x)
v(x)
Þ f / (x) =
u / (x) × v(x) - u (x) × v / (x)
[v(x)]2
Þ f / (x) = u / ( v(x) ) × v / (x)
2
Merkhilfe Mathematik/Technik
Juli 2013
L`Hospitalsche Regeln
Newtonsche Iterationsformel
· Gilt z(a) = n(a) = 0 und existiert lim
z / (x)
x ® a n / (x)
, so gilt
z (x)
z / (x)
= lim
x ® a n (x) x ® a n / (x)
lim
· Gilt | z(x) |® ¥ und | n(x) |® ¥ für x ® a und existiert lim
z / (x)
x ® a n / (x)
so gilt
,
z (x)
z / (x)
= lim
x ® a n (x) x ® a n / (x)
lim
· Beide Regeln gelten in ähnlicher Weise auch für x ® ¥ (anstelle von x ® a )
zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen: x n +1 = x n -
f (x n )
f / (x n )
Symmetrie bezüglich des Koordinatensystems
f(-x) = f(x) für alle x Î Df
Û
G f ist achsensymmetrisch zur y-Achse
(f heißt dann gerade Funktion)
f(-x) = -f(x) für alle x Î Df
Û
G f ist punktsymmetrisch zum Ursprung
(f heißt dann ungerade Funktion)
Anwendungen der Differenzialrechnung
· Gleichung der Tangente im Punkt P ( x 0 | f (x 0 ) ) : y = f / (x 0 ) × (x – x 0 ) + f (x 0 )
· Monotoniekriterium:
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
1) Ist f eine in [a; b] stetige Funktion, so ist
x
· die Integralfunktion Fa : x a ò f (t) dt differenzierbar
f / (x) < 0 im Intervall I Þ f fällt streng monoton in I.
a
f / (x) > 0 im Intervall I Þ f steigt streng monoton in I.
· und Fa ist eine Stammfunktion von f, d.h. Fa / (x) = f (x) .
· Art von Extremwerten (mithilfe der zweiten Ableitung):
f / (x 0 ) = 0 und f / / (x 0 ) > 0 Þ f hat an der Stelle x 0 ein relatives Minimum.
f / (x 0 ) = 0 und f / / (x 0 ) < 0 Þ f hat an der Stelle x 0 ein relatives Maximum.
· Graphenkrümmung:
f / / (x) < 0 im Intervall I Þ G f ist in I rechtsgekrümmt.
f / / (x) > 0 im Intervall I Þ
G f ist in I linksgekrümmt.
· Wendepunkt:
Ist f // (x 0 ) = 0 und wechselt f / / (x) an der Stelle x 0 das Vorzeichen,
so hat G f an der Stelle x 0 einen Wendepunkt.
· Terrassenpunkt:
Ist f / (x 0 ) = 0 und f // (x 0 ) = 0 und wechselt f / / (x) an der Stelle x 0 das Vorzeichen, so hat G f an der Stelle x 0 einen Terrassenpunkt.
b
2) Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt
b
ò f (x) dx = F(b) - F(a) = [ F(x)] a .
a
Partielle Integration
b
b
a
a
/
b
/
ò u(x) × v (x) dx = [ u(x) × v(x)] a - ò v(x) × u (x) dx
Integration durch Substitution
b
g-1(b)
a
g-1(a)
ò f (x) dx =
ò
f (g(t)) × g / (t) dt mit x = g(t)
3
Merkhilfe Mathematik/Technik
Juli 2013
Uneigentliche Integrale
¥
b
a
b®¥ a
Teil III: Wahrscheinlichkeitsrechnung
ò f (x) dx := lim ò f (x) dx
Gesetze der Mengenalgebra:
A = Ω \ A;
AÇA =
Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse
b
Wichtige unbestimmte Integrale
x
r +1
ò x dx = ln | x | +C
x
x
ò e dx = e + C
ò ln x dx = - x + x ln x + C
f / (x)
ò f (x) dx = ln f (x) + C
/
f (x)
f (x)
+C
ò f (x) × e dx = e
ò cos x dx = sin x + C
1
ò f (ax + b) dx = a F(ax + b) + C , wobei F Stammfunktion von f ist.
ò
ò
1
(cos x)2
1
a2 - x2
dx = tan x + C
dx =
1
a2 - x2
1
x2 ± a2
ò
1
a+x
ln
+C
2a a - x
dx = arcsin
ò
AÇB = AÈB ; AÈB = AÇB
Unvereinbarkeit:
AÇB =
Ereigniswahrscheinlichkeiten:
P({ }) = 0 ; P(Ω) = 1; P(A) = 1 – P(A)
Satz von Sylvester:
P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
PA ( B ) =
1
(sin x)2
1
a2 + x2
dx = - cot x + C
1
x
dx = arctan + C
a
a
dx = ln x + x 2 ± a 2 + C
a2
a 2 + x 2 dx =
P ( A Ç B)
P (A)
oder auch: P ( A Ç B ) = P ( A ) × P ( B )
Fakultät:
Binomialkoeffizient:
x
{}
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen: PA ( B ) = P(B)
x
+C
a
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 2 ×1
Anzahl der Möglichkeiten, n unterscheidbare Elemente in
einer Reihe anzuordnen.
n × ( n - 1) × ... × ( n - k + 1)
n!
n =
=
k
k! × ( n - k ) !
k!
()
Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge mit n Elementen
Teilmengen mit k Elementen zu bilden.
x
2
2
2
2
ò a - x dx = 2 a - x + 2 arcsin a + C
ò
Gesetze von De Morgan:
1
r
ò x dx = r + 1 + C (r ¹ -1)
ò sin x dx = - cos x + C
ò
A=A;
2
a
ò
{ };
A \ B = AÇB
ò ( f(x) ) dx
V= π ×
A È A = Ω;
x 2
a2
a + x2 +
ln(x + a 2 + x 2 ) + C
2
2
(Kreisintegral)
Laplace-Experiment: Alle Elementarereignisse des zugehörigen Ergebnisraumes
sind gleich wahrscheinlich.
|A|
Es gilt dann: P ( A ) =
|Ω|
4
Merkhilfe Mathematik/Technik
Zufallsgrößen – Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung
Juli 2013
Normalverteilung
Die Zufallsgröße X nehme die Werte x1 , x 2 , ... , x n
jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten p1 , p 2 , ..., p n an. Dann gilt:
· Erwartungswert: μ = E ( X ) =
·
n
Dichtefunktion:
å x i × pi = x1 × p1 + x 2 × p2 + ... + x n × p n
1
σ 2π
i =1
2
2
n
Varianz: Var ( X ) = å ( x i - μ ) 2× pi
i =1
2
2
2
= ( x1 - μ ) × p1 + ( x 2 - μ ) × p 2 + ... + ( x n - μ ) × p n
( )
Verschiebungsregel: Var ( X ) = E X 2 - μ 2
· Standardabweichung: σ = Var ( X )
Binomialverteilung
Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der Treffer in einer Bernoullikette der
Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p.
Dann heißt die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung Binomialverteilung.
X heißt binomialverteilt, genauer B(n; p)-verteilt.
Ist die Zufallsgröße X binomialverteilt nach B(n; p), so gilt:
n -k
P(X = k) = B ( n; p; k ) = n × p k × (1 - p )
für k = 0, 1, ..., n
k
()
mit Erwartungswert E(X) = n × p und Varianz Var(X) = n × p × ( 1 - p )
Beim Testen der Nullhypothese H0 im Signifikanztest können zwei Fehler auftreten:
H0 wird abgelehnt, obwohl sie wahr ist.
H0 wird angenommen, obwohl sie falsch ist.
1 æ t -μ ö
- ç
÷
e 2 è σ ø dt
1
x
φ(u) =
1
1
- u2
×e 2
Verteilungsfunktion:
Φ(u) =
1
Es gilt:
Φ(-u) = 1 - Φ(u)
Verteilungsfunktion:
F(x) =
× ò
σ 2π -¥
Standardnormalverteilung
Dichtefunktion:
2π
u
× ò
2π -¥
1
- t2
e 2 dt
Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
(brauchbar für n × p × ( 1 - p ) > 9)
B(n; p; k) »
Hypothesentest
Fehler 1. Art:
Fehler 2. Art:
f (x) =
1 æ x -μ ö
- ç
÷
× e 2è σ ø
1 æ k -μ ö
×φ
mit μ = n × p und σ = n × p × (1 - p)
σ çè σ ÷ø
1
æ
ç x -μ + 2
F(x) » Φ ç
σ
çç
è
ö
÷
÷
÷÷
ø
Als Signifikanzniveau α des Tests bezeichnet man die größtmögliche noch akzeptierte
Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art.
5
Merkhilfe Mathematik/Technik
Juli 2013
Teil IV: Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Lineare Unabhängigkeit
Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor
ur r
r
Drei Vektoren a, b und c Î IR3 sind genau dann linear unabhängig,
r
r
r r
wenn die Gleichung λa +  b + νc = 0 nur mit λ = μ = ν = 0 lösbar ist.
æ a11 a12
ç a 21 a 22
ça
è 31 a 32
a13 ö æ v1 ö æ a11 × v1 + a12 × v 2 + a13 × v3 ö
a 23 ÷ × ç v 2 ÷ = ç a 21 × v1 + a 22 × v 2 + a 23 × v3 ÷
a 33 ÷ø çè v3 ÷ø çè a 31 × v1 + a 32 × v 2 + a 33 × v3 ÷ø
Skalarprodukt
im IR3
r r
r
r r r
Alternativ gilt: a, b und c linear unabhängig Û a o b ´ c ¹ 0
(
r r æ a1 ö æ b1 ö
a o b = ç a 2 ÷ o ç b 2 ÷ = a1b1 + a 2 b 2 + a 3 b3
ça ÷ çb ÷
è 3ø è 3ø
r r
r r
· zueinander senkrechte Vektoren: a ^ b Û a o b = 0
r
r r
· Betrag eines Vektors:
| a | = aoa
r
r
a
· Einheitsvektor:
a0 = r
|a|
r r
aob
· Winkel zwischen zwei Vektoren: cos φ = r r mit 0o £ φ £ 180o
| a | ×| b |
Vektorprodukt im
IR3
Gerade im IR2 und im IR3
· Punkt-Richtungsform:
· Zwei-Punkte-Form:
Eigenschaften und Anwendungen des Skalarprodukts
·
r r
r
g : x = a + λ×u
r r
v r
g : x = a + λ × (b – a )
Ebene im IR3
Parameterformen
· Punkt-Richtungsform:
· Drei-Punkte-Form:
r r
r
r
E : x = a + λ×u +μ×v
r r
r r
v r
E : x = a + λ × (b – a ) +  × (c – a)
Parameterfreie Formen
r r æ a 2 b3 - a 3 b 2 ö
a ´ b = ç a 3 b1 - a1b3 ÷
ç a b -a b ÷
2 1ø
è 1 2
· Koordinatenform:
E : ax1 + bx 2 + cx 3 + d = 0
· Achsenabschnittsform:
E:
Eigenschaften und Anwendungen des Vektorproduktes
·
)
r
r r
r
a ´ b steht senkrecht auf a und b
r r
r r
| a ´ b | = | a | × | b | × sin φ mit 0o £ φ £ 180o
· Normalenform:
x1 x 2 x 3
+
+
=1
s
t
u
Festlegung durch die Achsenschnittpunkte
S(s| 0| 0), T(0| t| 0) und U(0| 0| u)
r r r
E : n o (x – a) = 0
uuur uuur
· Flächeninhalt F des Dreiecks ABC: F = 1 | AB ´ AC |
2
uuur uuur uuur
· Volumen V der dreiseitigen Pyramide ABCD: V = 1 AB o AC ´ AD
6
(
)
6