Anlage 11: Die Lorentz-Transformation als Transformation von

Anlage 08: Die Lorentz-Transformation als Transformation von einem
rechtwinkligen auf ein schiefwinkliges Koordinatensystem
In der Analytischen Geometrie gelten für die Koordinatentransformation von einem
rechtwinkligen auf ein schiefwinkliges Koordinatensystem folgende Beziehungen:
x   cos 1   cos  2

 x sin  2  y cos  2
sin (1   2 )
y   sin 1   sin  2

x sin 1  y cos 1
sin (1   2 )
x, y Koordinaten im rechtwinkligen System
ξ, η Koordinaten im schiefwinkligen System
φ1 Winkel zwischen x-Achse und ξ-Achse
φ2 Winkel zwischen x-Achse und η-Achse
Den Winkel φ1 nennen wir α. Wenn die Achsen des schiefwinkligen Systems symmetrisch
zur Winkelhalbierenden des 1. Quadranten sind, wird φ2 = (90°– α) und
sin φ2 = sin (90°– α) = cos α
cos φ2 = cos (90°– α) = sin α
sin (φ1– φ2) = – sin (φ2 – φ1) = - sin (90° - 2α) = - cos 2α
Anlage 08
1
Dann lauten die Transformationsgleichungen:
 x cos   y sin 
cos 2
x sin   y cos 

 cos 2
x   cos    sin 

y   sin    cos 
Da tan α = ß = v/c bekannt ist, drücken wir alle auftretenden Winkelfunktionen durch tan α
aus. Dabei werden folgende Umformungen benutzt:
sin  
tan 
1
cos  
1  tan 2 
cos 2 
1  tan 2 
1  tan 2 
1  tan 2 
Damit ergibt sich zunächst:
x 
y 
1
1  tan 2 
tan 
1  tan 
2


tan 
1  tan 2 
1
1  tan 
2


1
1  2

1 
2



1  2
1
(1)
1  2
Nun sollen die Einheitsstrecken auf den Achsen des schiefwinkligen Koordinatensystems
im Verhältnis
e'
1

e
cos2a
gestreckt werden (vergl. dazu Anlage 4). Dabei ist
e’ die neue Einheitsstrecke und
e
die ursprüngliche Einheitsstrecke
(gleichzeitig die Einheitstrecke auf den rechtwinkligen Achsen)
Das hat zur Folge, dass die Koordinaten eines jeden Punktes im schiefwinkligen System
entsprechend – und das heißt: im reziproken Verhältnis – kleiner werden. Bezeichnen wir
die neuen Koordinaten mit x’ und w’ und ersetzen gleichzeitig y durch w, dann gilt
x'

w'

 cos 2
 
 cos 2   
x'
cos 2
w'
cos 2
 x'
 w'
1  2
1  2
1  2
1  2
In die Gleichungen (1) eingesetzt ergibt sich nach einfachen Umformungen:
Anlage 08
2
x
x'  w'
1  2
w
w'  x'
1  2
.
Diese Gleichungen sind identisch mit den entsprechenden Gleichungen der LorentzTransformationen.
Wegen der Gleichberechtigung der beiden Systeme folgt daraus (nach Vertauschung des
Vorzeichens von ß, weil die Geschwindigkeit v durch –v zu ersetzen ist )
x' 
x w
1  2
w' 
w x
1  2
Damit ist gezeigt, dass die Lorentz-Transformationen identisch sind mit KoordinatenTransformationsgleichungen von einem rechtwinkligen auf ein schiefwinkliges
Koordinatensystem der beschriebenen Art.
Dieses schiefwinklige Koordinatensystem ist – wie ich an anderer Stelle gezeigt habe –
gleichzeitig die Abbildung eines in der pseudoeuklidischen Ebene gelegenen
rechtwinkligen gedrehten Koordinatensystems in die euklidische Ebene.
Anlage 08
3