Elastizität / Trägheitsmoment Version vom 3. Januar 2017

PW3
Elastizität / Trägheitsmoment
Version vom 3. Januar 2017
Inhaltsverzeichnis
1 Spannungs-Dehnungs-Kurve von Aluminium
1.1
Grundlagen
1.2
Aufgaben
1.3
Versuchsaufbau und Durchführung
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1
Aufbau und Arbeitsweise der Zugmaschine . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.2
Versuchsdurchführung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3.3
Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2 Bestimmung des Schubmoduls von Aluminium mit dem Torsionspendel
2.1
Grundlagen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1
Begrie
2.1.2
Schubmodul (Torsionsmodul)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3
Torsionspendel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
17
Versuchsaufbau und Durchführung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Physikalisches Pendel
3.3
16
19
2.3
3.2
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben
Grundlagen
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
3.1
5
19
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.1.1
Begrie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.1.2
Mathematisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.1.3
Physikalisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.1.4
Der Steiner'sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.1.5
Das Fahrradpendel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Aufgaben
Versuchsaufbau und Durchführung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.3.1
Experimenteller Aufbau
3.3.2
Messparameter für CASSY-Lab2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.3.3
Messung der Schwingungsdauer
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.3.4
Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.4
Hinweise für das Protokoll - Fehlerrechnung
. . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.5
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.6
Anhang: Sensordaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
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1 Spannungs-Dehnungs-Kurve von Aluminium
Lehr/Lernziele
•
Durchführung eines Zugversuchs in einer Materialprüfmaschine und diese bedienen
lernen: Einspannen der Proben, Kalibrierung des Messverstärkers,...
•
Umgang mit computergestützter Messdatenerfassung und anschlieÿender Datenauswertung.
•
Einige Grundbegrie der Quantenmechanik und Festkörperphysik am praktischen
Beispiel kennenlernen.
•
Verständnis für fundamentale Gröÿen der Rotationsbewegung vertiefen - insbesondere das
Trägheitsmoment.
Steiner'schen Satzes
•
Anwendung des
•
Verständnis für zeitlich periodische Schwingungen am Beispiel des mathematischen
zur Berechnung von Trägheitsmomenten.
und des physikalischen Pendels vertiefen.
1 Spannungs-Dehnungs-Kurve von Aluminium
Dieser Versuch soll Ihnen eine Einführung in die mechanischen Eigenschaften fester Körper
geben, nämlich Verformungen (Dehnung, Stauchung, Scherung,...) die aus der Einwirkung
reversible Deformationen,
Elastizität ) und irreversible
von Kräften resultieren. Man unterscheidet
die sich nach Ende
der Krafteinwirkung wieder zurückbilden (
(bleibende) Verfor-
mungen (
Plastizität ).
Die physikalischen Grundlagen der beiden Phänomene sind völlig
verschieden: Elastizität wird durch die
Plastizität dagegen durch
Baufehler
Bindungskräfte
zwischen den Atomen bestimmt,
im Aufbau der Kristallgitter.
Im ersten Teil wird eine Spannungs-Dehnungs-Kurve aufgezeichnet und daraus wichtige
Kenngröÿen der Elastizität (E-Modul) und Plastizität (Streckgrenze) ermittelt.
1.1 Grundlagen
Festkörper reagieren auf die Einwirkung von Kräften oder Kräftepaaren (Momenten) bzw.
auf die von diesen erzeugten
Spannungen
mit einer Gestaltänderung (Verzerrung). Die
Gestaltänderung kann z.B. bestehen in:
•
Dehnung - einfache Verlängerung in einer Richtung
- 1 -
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1 Spannungs-Dehnungs-Kurve von Aluminium
•
Stauchung - Verkürzung in einer Richtung
•
Scherung - eine Gestaltänderung bei konstantem Volumen
•
Biegung - setzt sich zusammen aus Dehnung und Stauchung in verschiedenen Teilen
des Körpers
•
Torsion - Verdrillung um eine Achse. Besteht aus Scherungen unterschiedlicher Gröÿe
in verschiedenen Teilen des Körpers
Diese Deformationen werden in Abb. 1 veranschaulicht
Abbildung 1: verschiedene Arten von Deformationen
inhomogen, also an verschiedenen Stellen innerhalb des Körpers verschieden groÿ sind. Lokal
Biegung und Torsion sind insbesondere dadurch charakterisiert, dass die Verzerrungen
(d.h. in einem genügend kleinen Bereich eines Körpers, dass man solche Inhomogenitäten
vernachlässigen kann) lässt sich eine allgemeine Verzerrung stets durch 3 einachsige
oder Druckkomponenten
Scherungskomponenten
Die 6 Komponenten bilden einen symmetrischen Tensor zweiter Stufe
(je nach Vorzeichen) und 3
Zug-
beschreiben.
Spannung ist scheinbar einfach deniert als Kraft pro Fläche. Dahinter steckt aber ein
ausgeklügeltes Konzept zur makroskopischen Beschreibung der sogenannten
Nahkräfte, die
an der Berührungsstelle zweier Körper oder auch im Inneren eines Körpers wirken. Diese
Nahkräfte sind die atomaren Bindungskräfte, also Wechselwirkungen zwischen den Atomen. Im Rahmen der Elastizitätstheorie sieht man vom atomaren Aufbau der Materie
ab und betrachtet sie als Kontinuum, ihrer Bausteine idealisiert man durch
innitesimale
Volumselemente. Das Charakteristikum der Nahkräfte ist, dass sie zwischen benachbarten
Volumselementen ausschlieÿlich über die Oberäche wirken. Sie können also nicht allein
durch einen Kraftvektor (Betrag und Richtung der Kraft) beschrieben werden, sondern
durch Gröÿen, die zusätzlich Information über die Orientierung der angreifenden Kraft
zu einer gegebenen Fläche enthalten. Dies führt auf den Begri des
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Spannungstensors.
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1 Spannungs-Dehnungs-Kurve von Aluminium
Seine Komponenten beschreiben Kraftkomponenten auf die drei Flächen normal zu den
Koordinatenachsen des gewählten Koordinatensystems.
1
Einachsige Verformung - Zugversuch
Der einachsige Zugversuch stellt die einfachste denkbare Verformung dar. Hier gibt es
nur eine Spannungskomponente
Dehnung
ε
σ
in Zugrichtung. Beachten Sie aber, dass es auÿer der
parallel zur Zugrichtung auch eine
Querkontraktion
also nicht einachsig. Der Zusammenhang zwischen
abhängige
σ
und
ε
gibt; die Verzerrung ist
ist durch eine vom Material
Spannungs-Dehnungs-Kurve σ = f (ε) gegeben. Bei nicht zu groÿen Dehnungen
(elastischer Bereich) gilt das Hooke'sche Gesetz:
σ =E·ε
E
heiÿt
Elastizitätsmodul.
In spröden Materialien (z.B. Glas) bleibt der lineare Zusam-
menhang bis zum Bruch gültig. Metalle besitzen dagegen bei gröÿeren Dehnungen einen
plastischen Bereich.
Die Spannungs-Dehnungs-Kurve knickt an einem bestimmten Punkt
ab und verläuft acher (die Dehnung nimmt schneller zu als die Spannung). Im plastischen
Bereich kommt es zu einer irreversiblen Dehnung, die bei Entlastung nicht mehr vollständig
zurückgeht.
Abbildung 2: Typische Spannungs-Dehnungs-Kurve
1 Mathematisch steckt dahinter der Integralsatz von Gauÿ.
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1 Spannungs-Dehnungs-Kurve von Aluminium
Der Übergang vom elastischen in den plastischen Bereich wird als
Streckgrenze
bezeich-
net. Sie lässt sich nicht eindeutig denieren, da sie den Übergang einer Geraden in eine
gerundete Kurve darstellt. In der Praxis sind mehrere Denitionen gebräuchlich (Abb. 2):
•
Elastizitätsgrenze: Die erste sichtbare Abweichung von der Geraden; sies hängt von
der Auösung ab, mit der die Kurve dargestellt wird, und ist daher etwas subjektiv.
•
0.05%-Streckgrenze: Parallel zur elastischen Geraden wird eine um ∆ε = 0.05% =
5 · 10−4
verschobene Gerade gelegt und mit der Spannungs-Dehnungs-Kurve zum
Schnitt gebracht.
•
0.2%-Streckgrenze: Wird in analoger Weise konstruiert mit ∆ε = 0.20% = 2·10−3 .
•
Rückextrapolierte Streckgrenze:
Schnitt der elastischen Geraden mit einer an
den plastischen Bereich gelegten Tangente. Auch dies ist nicht ganz eindeutig und
bewährt sich nur, wenn
σ(ε)
nach dem stark gekrümmten Beginn des plastischen
Bereichs wieder annähernd linear verläuft (
Zwei-Geraden-Modell ).
Plastizität beruht physikalisch auf völlig anderen Mechanismen als Elastizität. Der Widerstand gegen
elastische
Verformung, wie er durch den Elastizitätsmodul gegeben ist, wird
durch die atomaren Bindungskräfte verursacht. Diese Vorgänge spielen sich auf Längens−10
kalen in der Gröÿenordnung der Atomabstände (10
m) ab und lassen sich theoretisch
mit Methoden der Quantenmechanik beschreiben.
tige
Gitterbaufehler
Plastizität wird dagegen durch linienarVersetzungen, verursacht. Diese
im Aufbau der Kristalle, sogenannte
werden bei Überschreiten einer gewissen Mindestspannung beweglich und bewirken ein
Abgleiten von Gitterebenen
einige
µm, also um 104
im Kristall. Die typische Längenskala dieser Vorgänge beträgt
gröÿer als für die elastischen Prozesse. Der Verlauf der Spannungs-
Dehnungs-Kurven im plastischen Bereich hängt von der Anzahl und Verteilung von Versetzungen im Material ab; dies wird stark durch die Vorgeschichte (Herstellungsverfahren,
Vorverformung, Glühbehandlungen) beeinusst. Eine Vorverformung bei Raumtemperatur
vergröÿert die Zahl der Versetzungen und erhöht damit die Streckgrenze; durch Glühen
kann man sie wieder auf den Ausgangswert bringen.
Abbildung 3: Modell einer Stufenversetzung im Kristallgitter
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1 Spannungs-Dehnungs-Kurve von Aluminium
Feste Materie besitzt überwiegend einen kristallinen Aufbau. d.h., eine räumlich periodische Anordnung der Atome. Die Kristallstrukturen und die damit verbundenen Symmetrien sind für die elastischen Eigenschaften maÿgeblich bestimmend.
Eine Erklärung der Grundbegrie zu Kristallstrukturen nden Sie in der
Grundlagen-Vertiefung Kristalle und Kristallstrukturen auf der
eLearning-Seite zu PW3.
1.2 Aufgaben
1. Messen Sie mit einer Zugmaschine die Kraft auf einen Aluminiumdraht als Funktion
der Zeit. Die Datenaufnahme erfolgt mithilfe eines Messprogrammes.
2. Stellen Sie die Messdaten mit Hilfe geeigneter Auswertungs-Software als SpannungsDehnungskurve dar.
3. Bestimmen Sie den E-Modul und die Streckgrenze der Aluminiumprobe.
1.3 Versuchsaufbau und Durchführung
1.3.1 Aufbau und Arbeitsweise der Zugmaschine
Die Maschine (Prüfmaschine der Fa. INSTRON) besteht aus dem Lastrahmen (Abb. 4)
zur Verformung der Probe und einer Verstärkereinheit, deren Ausgangssignal über eine
Analog/Digitalwandler-Karte in den Computer übernommen wird. Die Verstärkereinheit
enthält auÿerdem einen x-t-Schreiber, der aber im Experiment nicht mehr verwendet wird.
Der Lastrahmen enthält das feststehende obere Querhaupt und das untere Querhaupt, welches auf zwei Gewindespindeln mit konstanter Geschwindigkeit auf und ab bewegt werden
kann. Die Probe wird mittels zweier Spannbacken zwischen dem oberen und dem unteren Querhaupt eingespannt und durch die Bewegung des unteren Querhauptes verformt
(Abwärtsbewegung: Zug, Aufwärtsbewegung: Kompression). Im oberen Querhaupt ist auÿerdem eine Kraftmesszelle eingebaut, welche die Kraft auf die Probe misst und eine dazu
proportionale elektrische Spannung an die Verstärkereinheit abgibt.
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1 Spannungs-Dehnungs-Kurve von Aluminium
Abbildung 4: Prüfmaschine der Fa. INSTRON. Oben: Lastrahmen. Unten: Bedienpult.
Das Bedienpult des Lastrahmens (Abb. 5) enthält eine Reihe von Funktionen, welche die
Datenaufzeichnung und -auswertung ohne Computerunterstützung erleichterten und heute
nicht mehr verwendet werden. Es muss nur darauf geachtet werden, dass diese Funktionen
durch entsprechende Schalterstellungen deaktiviert sind.
Abbildung 5: Bedienpult der Zugmaschine.
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1 Spannungs-Dehnungs-Kurve von Aluminium
Es wird nur der rechte Teil verwendet. Die Maschine besitzt zwei Geschwindigkeiten:
•
A SPEED: 0.5 mm/min für den eigentlichen Versuch
•
B SPEED: 50 mm/min zum raschen Bewegen beim Ein- und Ausbau der Probe
Der Hauptschalter für den Motor bendet sich seitlich links neben dem Bedienpult. Ist
er eingeschaltet, so bewegt sich die Maschine noch nicht. Die Antriebsspindeln werden
erst über Magnetkupplungen eingekuppelt, wenn eine der Geschwindigkeiten A oder B
in UP- oder DOWN-Richtung gewählt wird. Der STOP-Knopf bendet sich im Feld für
die Geschwindigkeit A, wirkt aber auch bei Geschwindigkeit B. Neben dem Hauptschalter
bendet sich ein Handrad zum manuellen Bewegen des Querhaupts; dies ist nur möglich,
wenn der Motor ausgeschaltet ist. Folgende Schalterstellungen sind zu beachten:
•
Linker Teil: Schalter AUTO auf OFF
•
Mittlerer Teil: Umschalter AUTO/MAN auf MAN, Schalter MINIMUM und MAXIMUM nachr rechts (STOP)
•
Rechter Teil: Umschalter RETURN/STOP auf STOP
Abbildung 6: Verstärkereinheit.
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1 Spannungs-Dehnungs-Kurve von Aluminium
Der Verstärkereinheit wird das Signal der Kraftmesszelle zugeführt. Ihr Ausgang ist mit
einem Analog/Digitalwandler (Fa. National Instruments) verbunden, welche die Daten an
den Messcomputer weiterleitet. Parallel zum Analogausgang ist ein Voltmeter geschaltet,
welches zur Kalibrierung des Verstärkers vor der Messung benötigt wird. Die Polung der
Anschlusskabel darf nicht vertauscht werden: rotes Kabel an rote Buchse (Pluspol), schwarzes Kabel an schwarze Buchse (Minuspol). Der Verstärker (Baujahr 1962!) arbeitet noch
mit Vakuumröhren anstelle von Halbleitern . Deshalb muss er vor Versuchsbeginn ca. 10
bis 15 Minuten vorgeheizt werden, bis er ausreichend stabil arbeitet.
Abbildung 7: Bedienelemente am Verstärker.
An der Verstärkereinheit werden folgende Bedienelemente verwendet (Abb. 6):
•
Schalter RANGE: Wählt den Typ der Lastmesszelle aus. Muss immer rechts (Stellung
CTM) stehen
•
Schalter FULL SCALE LOAD: Bestimmt die Skalierung der Kraftmessung. Die Zahl
gibt an, wieviel Prozent der mechanischen Maximallast der Messdose der Spannung
1 V am Analogausgang entspricht. Die mechanische Maximallast der verwendeten
Messdose beträgt 100 Kilopond.
2
2 Infolge des Alters der Maschine erfolgt die interne Eichung noch in kp! Das ist für Sie jedoch irrelevant,
da Sie die Kalibrierung selbst durchführen.
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1 Spannungs-Dehnungs-Kurve von Aluminium
Stellung 100: 1 V am Ausgang entspricht 100 kp = 981 N.
Stellung 50:
1 V am Ausgang entspricht 50 kp oder 490.5 N.
usw.
Beim Versuch muss immer die Stellung 50 (= 50%) verwendet werden!!
•
Potentiometer BALANCE und CALIBRATION: Nullabgleich und Kalibrierung des
Verstärkers. BALANCE entspricht dem Nullpunkt des Verstärkers (Ausgangsspannung 0 V bei Kraft Null), CALIBRATION dem Verstärkungsfaktor, also der Proportionalität zwischen Kraft und elektrischer Spannung. Für BALANCE ist ein Grobregler (Stufenschalter) und ein Feinregler (stufenloses Potentiometer) vorhanden,
für CALIBRATION nur ein Feinregler (die grobe Kalibrierung ist durch den Schalter FULL SCALE LOAD bereits festgelegt). Die zusätzlichen Grob- und Feinregler
ZERO wirken nur auf den Schreiber und sind in diesen Versuch bedeutungslos.
Die Aufzeichnung der Daten erfolgt auf dem angeschlossenen Computer mit einem Programm, das mit LabView erstellt wurde. Das Programm stellt die Ausgangsspannung als
Funktion der Zeit während des Versuchs laufend auf dem Bildschirm dar und speichert
diese Daten gleichzeitig zur späteren Auswertung ab.
Am Arbeitsplatz sollten sich folgende weitere Geräte benden:
•
1 Mikrometerschraube
•
1 Satz Eichgewichte
•
1 Schlüssel für die Spannbacken
•
2 Lehren aus Messing von (100
±
0.1) mm Länge zur genauen Festlegung der Ein-
spannlänge
•
1 Pinzette - zum Entfernen der abgerissenen Probenreste aus den Spannbacken
1.3.2 Versuchsdurchführung
Der Verstärker sollte sofort zu Beginn des Kurses eingeschaltet werden. Er muss ausreichend lange vorgeheizt werden, bis an dem am Analogausgang angeschlossene Voltmeter
keine merkliche Drift mehr beobachtet wird (in der Regel 10 bis 15 Minuten).
In der Zwischenzeit bestimmen Sie den Querschnitt des Probendrahtes durch Messung mit
der Mikrometerschraube (mindestens 5 Stellen, Mittelwert bilden!).
Kalibrierung des Verstärkers:
Sobald die Anzeige am Voltmeter (Bereich V=) nicht mehr nennenswert driftet, mit dem
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1 Spannungs-Dehnungs-Kurve von Aluminium
Potentiometer BALANCE die Spannung auf Null stellen. Im Normalfall reicht dazu der
Feinregler aus, der Grobregler wird selten benötigt.
Aus dem beiliegenden Gewichtssatz Gewichte von insgesamt 2 kg an die obere Einspannung
hängen. Am einfachsten ist es, ein gröÿeres Gewicht mit seinem Haken in die Spannbacke
einzuklemmen und die weiteren benötigten Gewichtsstücke unten anzuhängen. Erforderlichenfalls muss zuvor das bewegliche Querhaupt weit genug nach unten gefahren werden,
um Platz zu schaen. Bei der Belastung von 2 kg ist mit dem Regler CALIBRATION eine
Ausgangsspannung von 40.0 mV einzustellen. Daraus folgt der
Umrechnungsfaktor für
die Umwandlung der elektrischen Spannung in Zugkraft.
Nach dem Entfernen der Gewichte kontrollieren Sie, ob die Spannung wieder auf Null zurückgegangen ist. Wenn nicht, so muss der ganze Vorgang, Nullabgleich und Kalibrierung,
wiederholt werden. Danach wird der Regler CALIBRATION vorsichtig mit dem Arretierung blockiert - er darf nicht mehr verstellt werden! Mit dem Regler BALANCE kann
dagegen der Nullpunkt nach dem Einspannen der Probe noch einmal nachgestellt werden.
Einspannen der Probe
Das Einspannen der Probe ist problematisch, weil die derzeit verwendeten Spannbacken
die Probe stark quetschen. Es besteht groÿe Gefahr des Verbiegens beim Einbau, was zu
einer Verfälschung der Messung führt, da dann kein einachsiger Zug mehr erfolgt, sondern
zusätzliche Biegemomente wirksam sind. Deswegen ist es dringend empfohlen, dass Ihr/e
Kursbetreuer/in beim Einspannvorgang anwesend ist und diesen beaufsichtigt.
Die empfohlene Vorgangsweise:
•
Bewegliches Querhaupt weit genug nach unten fahrem, um ausreichend Platz für den
Einbau zu haben.
•
Obere Spannbacke mit dem Schlüssel so weit önen, dass sich der Probendraht gerade
leicht und ohne Kraftanwendung einschieben lässt. Ist sie zu weit geönet, besteht
die Gefahr, dass die Einspannung exzentrisch wird.
•
Probe ca. 30 mm in die Backe einschieben und vorerst nur leicht festziehen, sodass
die Probe gerade gehalten wird.
•
Untere Spannbacke ausreichend weit önen und Querhaupt nach oben fahren, sodass
die Probe hineingleitet, ohne gegenzustoÿen und deformiert zu werden.
•
Während das Querhaupt in Bewegung ist, die beiden Messinglehren auf das untere
neben die Greifbacken stellen. Querhaupt so weit nach oben fahren,
bis die Lehren zum oberen Spannfutter noch einen leichten Spalt zeigen (nicht dagegen fahren! ). Nach Abstellen des Motors kann das Querhaupt das letzte Stück
Spannfutter
manuell mit dem Handrad gefahren werden, bis sich die Lehren gerade mit leichter
Reibung herausschieben lassen. Die Länge der Lehren ist so abgestimmt, dass sich
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1 Spannungs-Dehnungs-Kurve von Aluminium
dabei eine freie Einspannlänge
Lo =
100 mm ergibt.
Abbildung 8: Einbau der Probe mit Distanzlehren.
•
Beide Spannbacken abwechselnd mit dem Schlüssel festziehen. Es muss ziemlich fest
angezogen werden, damit die Probe beim Zugversuch nicht rutscht, jedoch ist die
Gefahr der Verbiegung besonders bei der oberen Backe groÿ. Es empehlt sich, zu
zweit zu arbeiten, um das Spannfutter sicher gegenzuhalten.
•
Jetzt kann der Nullpunkt des Verstärkers (Potentiometer BALANCE) wieder auf
Null gestellt werden. Potentiometer CALIBRATION nicht mehr verstellen !
Start der Datenerfassung
Nach dem Starten des Programmes Zugversuch sehen Sie ein skaliertes Achsenkreuz
für Spannung (V) gegen Zeit (s). Wählen Sie jetzt einen Dateinamen für Ihre Messdaten
(trotz der ungewöhnlichen Endung lvm ist die Datei eine reine Textdatei, die in jedes
Auswerteprogramm importiert werden kann). Wenn Sie den Startknopf drücken, beginnt
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1 Spannungs-Dehnungs-Kurve von Aluminium
die Datenerfassung; solange die Maschine noch nicht fährt, erscheinen die Datenpunkte
(rot) beim Nullniveau. Sie können daran erkennen, ob das Nullniveau (noch) richtig eingestellt ist und können es gegebenenfalls mit dem Potentiometer BALANCE noch einmal
nachstellen. Es werden 5 Datenpunkte pro Sekunde aufgezeichnet.
Start des Zugversuchs
Drücken Sie am Bedienpult des Lastrahmens A SPEED DOWN. Jetzt fährt das Querhaupt
mit 0.5 mm/min abwärts. Die Spannungs-Zeit-Kurve wird fortlaufend auf den Bildschirm
gezeichnet. Ein gekrümmter Anlaufbereich wird durch das unvermeidbare Spiel der Einspannung verursacht. Er ist ein Artefakt und muss bei der Auswertung verworfen werden.
Danach erscheint die elastische Gerade, die schlieÿlich in den plastischen Bereich einbiegt.
Abbildung 9: typischer Verlauf des Zugversuches
Wichtig: Auch bei gröÿter Sorgfalt beim Einspannen gelingt es selten, eine Verbiegung der
Probe ganz zu vermeiden. Dann liegt keine einachsige Verformung mehr vor, infolgedessen
erscheint der Anstieg der elastischen Geraden zu ach (gemessener E-Modul zu klein). Zur
Kontrolle empehlt es sich dringend, nach ausreichender plastischer Verformung die Probe
noch einmal zu entlasten und neu anzudehnen, wie in Abb. 9. Dies erfolgt durch Drücken
von A SPEED UP. Ein vorheriges STOP ist nicht notwendig, die Richtung kann direkt
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1 Spannungs-Dehnungs-Kurve von Aluminium
gewechselt werden. Spätestens bei Erreichen des Nullniveaus muss sofort wieder A SPEED
DOWN gedrückt werden, damit die Probe nicht gestaucht und geknickt wird.
Bei der Auswertung wird der E-Modul sowohl aus dem ersten wie aus dem zweiten Anstieg der elastischen Geraden bestimmt; der erste Wert ist häug grob falsch, der zweite
stimmt sehr gut, da die Probe durch die vorherige plastische Verformung ausgerichtet und
geradegestreckt ist.
Die Streckgrenze dagegen kann nur aus dem ersten Andehnen bestimmt werden!
Verformung der Probe bis zum Bruch würde mit Geschwindigkeit A sehr lange dauern,
daher wird in der Praxis auf Geschwindigkeit B umgeschaltet, um den Versuch zu Ende
zu bringen.
Nach dem Abreiÿen der Probe beenden Sie die Datenerfassung (STOP drücken), sonst
werden weitere unnötige Daten aufgezeichnet. Entfernen Sie die Reste des Drahtes aus der
Zugmaschine.
1.3.3 Auswertung
Die Auswertung der gemessenen Daten erfolgt in einem geeigneten Auswerte-Programm
QtiPlot, Origin, SigmaPlot...). Auf dem zu PW3 gehörigen Rechner ist QtiPlot
(
installiert.
Aufbereitung des Datensatzes
Importieren Sie den Datensatz in das Programm. In QTI-Plot: Datei/Importieren/ASCIIImport. Import-Optionen: Spaltentrennzeichen - Tabulator (TAB), Ignoriere - 0 Zeilen,
Zeilenendzeichen - CRLF (Windows). Beim Dezimaltrennzeichen müssen Sie vielleicht probieren, bis die Daten im unteren Vorschaufenster verständlich aussehen.
elektrische
Sie haben zunächst ein Spannungs-Zeit-Diagramm (
Spannung!). Rechnen Sie
zuerst die Spannungen in Kraft um. Den Kalibrierfaktor erhalten Sie direkt aus Ihrer
Einstellung: 40 mV pro 2 kg. Das damit entstehende Kraft-Zeit-Diagramm
F (t) sollten Sie
ins Protokoll aufnehmen.
Stellen Sie nun Ihren Datensatz als Spannungs-Dehnungskurve
σ(ε)
dar (hier ist die me-
chanische Spannung gemeint!). Dazu müssen Sie diesen umrechnen. Die Zugspannung
ist durch die Kraft
F
und den Probenquerschnitt
σ=
Die Spalte der
F -Werte
q
σ
bestimmt:
F
q
muss daher durch den Probenquerschnitt dividiert werden. Es
2
einzusetzen, dann erhalten sie σ in MPa, das ist
empehlt sich, den Querschnitt in mm
die in Wissenschaft und Technik gebräuchlichste Einheit für mechanische Spannung.
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1 Spannungs-Dehnungs-Kurve von Aluminium
Die Beziehung zwischen Zeit und Dehnung ist beim Zugversuch mit konstanter Maschinengeschwindigkeit gegeben durch
ε=
wobei
v =0.5 mm/min
vt
Lo
die Ziehgeschwindigkeit und
Lo =100 mm
die Anfangslänge (Ein-
spannlänge) der Probe sind.
Daraus erhalten Sie den Faktor, mit dem die x-Werte (Zeit) multipliziert werden müssen. Vergessen Sie nicht, min in s umzurechnen! Die Längeneinheit mm müssen Sie nicht
umrechnen (warum?). Die Umrechnungen können Sie für die gesamten Datenkolumnen in
einem Arbeitsschritt durchführen.
Allgemeines zur Datenauswertung mit QTI-Plot nden Sie im Leitfaden für
Studierende des Anfängerpraktikums.
Bestimmung des E-Moduls
Zur Bestimmung des E-Moduls muss eine lineare Regression durch den geradlinigen elastischen Bereich der Kurve durchgeführt werden. Das Erreichen Sie durch Einschränken der
Daten bzw. durch Denition eines Datenbereichs innerhalb des Graphen. Wählen Sie den
diesen so, das für die Regressionsfunktion eben nur die elastische Gerade sichtbar ist.
Der Anstieg der Regressionsgeraden ergibt direkt den E-Modul. Überlegen Sie die richtige
Einheit. Führen Sie nun die gleiche Regression für die elastische Gerade beim zweiten
Andehnen durch und vergleichen Sie die Ergebnisse. Ist der erste Wert deutlich niedriger,
so war die Probe mit Sicherheit verbogen und nur der zweite Wert ist brauchbar.
Bestimmung der Streckgrenze
Die Streckgrenze beschreibt den Übergang vom elastischen (linearen) in den plastischen
(gekrümmten) Teil der Spannungs-Dehnungs-Kurve und ist als solche nicht eindeutig und
präzise zu denieren. Für diese Auswertung - die Sie nur am ersten Andehnen durchführen - sollen daher die vier gebräuchlichsten Denitionen verwendet werden, die in den
Grundlagen erklärt wurden (siehe auch Abb. 10).
•
Elastizitätsgrenze: erste merkliche Abweichung von der elastischen Geraden
•
Rückextrapolierte Streckgrenze: Schnitt der verlängerten elastischen Geraden mit
einer an den Anfangsteil des plastischen Bereichs gelegten Tangente
•
0.05%-Streckgrenze: Schnitt der Spannungs-Dehnungs-Kurve mit einer zur elastischen Geraden parallelen, um
ε = 0.0005
verschobenen Geraden
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•
1 Spannungs-Dehnungs-Kurve von Aluminium
0.2%-Streckgrenze: Schnitt der Spannungs-Dehnungs-Kurve mit einer zur elastischen
Geraden parallelen, um
ε = 0.002
verschobenen Geraden
Abbildung 10: Ermittlung der Streckgrenzen.
Die Auswertung erfolgt grasch mit den Zeichenwerkzeugen des Auswerteprogrammes.
Wählen Sie die Skalierung der Achsen so, dass die elastische Gerade und ein ausreichender
Teil des plastischen Bereiches im Bildausschnitt zu sehen ist. Als Zahlenwerte sind die
Spannungen, also die y-Werte der grasch ermittelten Punkte, anzugeben. Diese können
Sie durch Datenlese-Funktionen ablesen.
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2 Bestimmung des Schubmoduls von Aluminium mit dem Torsionspendel
2 Bestimmung des Schubmoduls von Aluminium mit
dem Torsionspendel
2.1 Grundlagen
2.1.1 Begrie
Scherung, Massenträgheitsmoment, Steiner'scher Satz, Torsionspendel
2.1.2 Schubmodul (Torsionsmodul)
Als
Scherung
wird die Verformung eines Körpers unter Einwirkung einer Kraft
F
be-
zeichnet, bei der die Kraft innere oder äuÿere Flächen relativ zueinander verschiebt (siehe
Abb. 11).
Abbildung 11: Scherung eines Körpers durch eine Kraft F
Die
Schubspannung
(auch
Scherspannung ) τ = F/A
um einen Winkel
α.
ist dem Tanges des Scherwinkels
α
proportional:
τ = G · tan α
Die Materialkonstante
dul
und
G heiÿt Schubmodul ; auch die Bezeichnungen Schermodul, Gleitmo-
Torsionsmodul
Der Schubmodul
G
sind gebräuchlich.
und der Elasitizitätsmodul
E
sind durch physikalische Gesetzmäÿig-
keiten miteinander verbunden und zwar gilt für ein linear elastisches, isotropes Material:
ν=
wobei
ν
die
Poissonzahl
E
−1
2G
ist, welche das Verhältnis zwischen relativer Längenänderung
und relativer Querkontrakion
∆d
beschreibt:
ν=−
∆d/d
∆l/l
- 16 -
(1)
∆l
PW3
2 Bestimmung des Schubmoduls von Aluminium mit dem Torsionspendel
Damit ist folgendes gemeint: wird eine Festkörper-Probe durch eine Spannung gedehnt, so
ändert sich i.A. auch die Dicke der Probe (Querkontrakion) (siehe dazu Abb. 12).
Abbildung 12: Zusammenhang
zwischen Längenänderung und Querkontrakion eines
Festkörpers.
Nach Gleichung 1 ist das elastische Verhalten eines linearen, isotropen Materials durch
zwei der drei elastischen Konstanten eindeutig deniert; die dritte kann aus der Gleichung
berechnet werden.
2.1.3 Torsionspendel
Der Schubmodul
G
kann mit dem
dem Material, dessen
G
Torsionspendel
bestimmt werden. An einem Draht aus
bestimmt werden soll, ist eine Querstange montiert, auf welchem
zwei Zusatzgewichte der Masse
m
befestigt werden können, wie in Abb. 13 skizziert.
Abbildung 13: Schematische Darstellung eines Torsionspendels.
Der Draht hat die Länge
L,
die Zusatzgewichte sind jeweils eine Distanz
l
von der Achse
des Drahtes entfernt. Da der Draht oben fest eingespannt ist, bewirkt eine Verdrehung der
Querstange eine
Torsion
des Drahtes. Dabei entsteht ein rückstellendes Drehmoment
M = −D ϕ
- 17 -
M:
PW3
2 Bestimmung des Schubmoduls von Aluminium mit dem Torsionspendel
wobei
D das Direktionsmoment
(auch
Richtmoment
oder
Winkelrichtgröÿe ) ist. Lässt man
die Querstange los, so schwingt sie um die Ruhelage mit der Schwingungsdauer (Perioden-
T:
dauer)
r
T = 2π
J
ist das
J
D
(2)
Trägheitsmoment (Massenträgheitsmoment) der Anordnung, bestehend aus Draht,
Querstange und Zusatzgewichten. Bei der Torsion kommt es zu Scherungen innerhalb des
Drahtes, daher steht das Direktionsmoment
D
mit dem Schubmodul in direkter Beziehung
(siehe z.B. Demtröder[1]):
G=
r
2LD
π r4
(3)
ist hier der Radius des Drahtes. Aus der Messung von
auch
G
bestimmen, wenn das Trägheitsmoment
J
Geometrie der Anordnung ist
Dierenzverfahren an, um
J
J
T
kann man also
und daher
allerdings schwer zu berechnen. Man wendet daher ein
zu eliminieren.
ohne
Bezeichnet man mit
JA
heitsmoment
Zusatzgewichten, deren Trägheitsmoment
J mit
D
bekannt ist. Wegen der komplizierten
das Trägheitsmoment
Zusatzgewichte, so kann man für Träg-
JZ
sei, schreiben:
J = JA + 2 · JZ = JA + 2 · (JS + m l2 )
wobei
JZ = JS + m l2
aus dem Steiner'schen Satz folgt (JS ist das Trägheitsmoment der
Gewichte bzgl. einer Rotation um eine Schwerpunktsachse). Misst man nun die Periodendauern
T1 , T2
für zwei verschiedene Distanzen
unbekannten Gröÿen
für
T1
T2
und
JA
und
JZ
G
der Zusatzgewichte, so kann man die
(nach Gleichung 2) und subtrahiert sie voneinander:
l1 2 − l2 2
T1 − T2 = 8 π m
D
anstelle von D ein, so erhält
2
Führt man
l1 , l2
eliminieren. Dazu quadriert man die beiden Ausdrücke
mit Gleichung 3
2
G = 16 π
2
man letzten Endes:
L m l1 2 − l2 2
·
r4 T1 2 − T2 2
(4)
Diese Gleichung wird zur Auswertung in diesem Praktikumsbeispiel verwendet.
Zum Abschluss seien die wichtigsten physikalischen Gröÿen, die in dieser Anleitung zur
Beschreibung von Deformationen verwendet wurden, zwecks Übersichtlichkeit in Tabelle 1
zusammengefasst.
Tabelle 1: Wichtige physikalische Gröÿen im Zusammenhang mit Deformationen
Name
Abkürzung(en) SI-Einheit / übliche Einheit
Trägheitsmoment
Richtmoment
(mechan.) Spannung
Schubspannung
Elastizitätsmodul
Schubmodul
J, θ
D
σ
τ
E
G
kg m
2
2 2
kg m /s
- 18 -
Pa = N/m
2
/ MPa
Pa = N/m
2
/ MPa
Pa = N/m
2
/ GPa
Pa = N/m
2
/ GPa
PW3
Literatur
2.2 Aufgaben
Der Schubmodul eines Aluminium-Drahtes ist mit Hilfe eines Torsionspendels zu bestimmen durchzuführen. Gemessen wird die Schwingungsdauer
T
der Anordnung.
•
Führen Sie diese Messung für zwei unterschiedliche Gewichtepaare durch.
•
Jedes der Gewichtepaare ist in zwei verschiedenen Abständen l1 und l2 von der Rotationsachse zu montieren und die zugehörigen Schwingungsdauern
messen. Aus Gleichung 4 ist dann der Schubmodul
•
Führen Sie eine Fehlerabschätzung durch.
•
Berechnen Sie aus den gemessenen Werten von
E
G
T1
und
T2
zu
zu berechnen.
und
G
die Poissonzahl
ν.
2.3 Versuchsaufbau und Durchführung
Die Anordnung besteht aus dem Aluminiumdraht und einer Querstange, an der Zusatzgewichte aufgehängt werden können, wie in Abb. 13 skizziert. Die beiden Gewichte und
die Abstände von der Rotationsachse erfahren Sie von Ihrem Betreuer/Ihrer Betreuerin.
Auf der Querstange sind Markierungen im Abstand von jeweils 1 cm angebracht, die Sie
zum Positionieren der Gewichte verwenden können. Die Länge des Drahtes messen Sie mit
einem Maÿband, die Dicke des Drahtes mit einer Mikrometerschraube (mindestens an 5
verschiedenen Stellen). Messen Sie auch die Massen der Gewichte
gungen
inklusive der Aufhän-
(Waagen sind in dem Raum vorhanden).
Die Messung der Schwingungsdauern erfolgt mit einer Stoppuhr. Dabei orientieren Sie
sich am Durchgang durch die Ruhelage, wie Sie es schon in PW 1 gemacht haben. Die
◦
Verdrehung aus der Ruhelage sollte etwa 10 betragen. Greifen Sie dabei den Querbalken
an beiden Enden vorsichtig an und achten Sie darauf, dass das Pendel beim Schwingen
möglichst wenig ins Schlingern kommt (ganz vermeiden lässt es sich selten). Messen Sie
für jede Schwingungsdauer mindestens 10 mal 10 Schwingungen.
Für die Fehlerabschätzung überlegen Sie, welche Gröÿen in Gleichung 4 mit Unsicherheiten
behaftet sind und machen Sie aus den Gerätegenauikeiten plausible Abschätzungen dieser
Unsicherheiten. Mithilfe dieser Werte schätzen Sie dann den Fehler des Schubmoduls ab.
Vergleichen Sie Ihre Werte von
E, G
und
ν
mit Literaturwerten (z.B. Demtröder[1]).
Literatur
[1] W. Demtröder, Experimentalphysik 1, Springer Verlag, 4. Auage (2006), pp. 170.
- 19 -
PW3
3 Physikalisches Pendel
3 Physikalisches Pendel
3.1 Grundlagen
3.1.1 Begrie
Mathematisches Pendel, Physikalisches Pendel, Winkelbeschleunigung, Drehmoment, Massenträgheitsmoment, Steiner'scher Satz, Winkelrichtgröÿe.
3.1.2 Mathematisches Pendel
Bei einem mathematischen Pendel schwingt eine im Schwerpunkt konzentrierte Masse
an einem masselosen Faden (Länge:
l)
mit einer konstanten Schwingungsdauer
T0 ,
m
wobei
Reibungs- und Strömungswiderstände vernachlässigt werden. Annähernd realisiert wird
dieses Pendel z.B. durch eine Kugel, die an einem Faden schwingt. Die Masse der Kugel
ist groÿ im Vergleich zur Masse des Fadens und die Ausdehnung der Kugel ist klein zur
Länge des Pendelfadens (vgl. Abb. 14).
Abbildung 14: Mathematisches Pendel
Mit dem Abstand
l·ϕ
renden Beschleunigung
(Bogenlänge) der Masse von der Ruhelage und der daraus resultie-
l · ϕ̈
folgt im Kräftegleichgewicht
m · l · ϕ̈ + m · g · sin ϕ = 0
| {z }
|
{z
}
Trägheitskraft
wobei
m·g
mit der Erdbeschleunigung
zeitliche Verlauf des Auslenkwinkels
ϕ(t)
(5)
Rückstellkraft
g = 9.81 ms−2
das
Gewicht
der Kugel ist. Der
genügt einer nichtlinearen Dierenzialgleichung
- 20 -
PW3
3 Physikalisches Pendel
zweiter Ordnung:
ϕ̈(t) +
g
· sin ϕ(t) = 0
l
(6)
Für kleine Auslenkwinkel (je nach gewünschter Genauigkeit z.B.
weise
sin ϕ ≈ ϕ
(Achtung:
ϕ
ϕ≤
◦
5 ) gilt näherungs-
3
im Bogenmaÿ ) und die Bewegungsgleichung
ϕ̈(t) +
g
· ϕ(t) ≈ 0
l
(7)
ist somit eine lineare homogene Dierenzialgleichung. Die Lösung dieser Gleichung ergibt
eine periodische harmonische Funktion.
r
g
· t + φ)
ϕ(t) = ϕ0 · cos(
l
mit
φ als Anfangsphase bei t = 0. Die Amplitude ϕ0
Die Kreisfrequenz
ω =
p
g/l
ist mit der Zeit
T0
(8)
ist der
(auch
maximale
Periodendauer
folgende Überlegung verknüpft: die Periode der Cosinusfunktion ist
ω T0 = 2π
Auslenkungswinkel.
2π ,
genannt) durch
also muss gelten:
und somit
2π
= 2π
T0 =
ω
s
l
.
g
(9)
Ohne die Voraussetzung kleiner Winkel lässt sich kein analytischer Lösungsansatz nden,
T0 unabhängig vom maximalen Auslenkwinkel ϕ0 durch die bekannten Parameter l und g beschrieben werden können. Mit
Hilfe eines Näherungsverfahrens (Taylor-Reihe) können sie jedoch für gegebene ϕ0 berechmit welchem die charakteristischen Gröÿen
ω
bzw.
net werden:
T (ϕ0 ) = T0
T0
!
2
2
2
1
·
3
1
·
3
·
5
1
ϕ
ϕ
ϕ
0
0
0
+
+
+ ...
sin2
sin4
sin6
1+
2
2
2·4
2
2·4·6
2
ist die Lösung für kleine Auslenkungen (ϕ0
(10)
→ 0). Nicht berücksichtigt in dieser Lösung
sind Reibungsverluste, die eine Dämpfung der Auslenkung bewirken.
3.1.3 Physikalisches Pendel
Einen beliebig ausgedehnten starren Körper, der um eine Achse schwingt, die nicht durch
den Schwerpunkt verläuft nennt man ein physikalisches Pendel (vgl. Abb. 15).
3 Der Winkel ist im Bogenmaÿ eine dimensionslose Gröÿe. Die Einheit rad dient bei einer Angabe des
Winkels nur zur Unterscheidung von einem Winkel im Gradmaÿ. Falls eine Verwechslung nicht möglich
erscheint, kann rad gleich 1 gesetzt werden.
- 21 -
PW3
3 Physikalisches Pendel
Abbildung 15: Physikalisches Pendel, A - Aufhängepunkt, S - Schwerpunkt
Um seine Bewegungsgleichung zu bestimmen wird aus dem Ansatz des Kräftegleichgewichtes ein Gleichgewicht der Drehmomente. An Stelle der Masse tritt das Trägheitsmoment
J
und an Stelle der Rückstellkraft in Bahnrichtung das rücktreibende Drehmoment:
J · ϕ̈(t)
| {z }
+ m · g · sin ϕ(t) · lAS = 0
|
{z
}
(11)
m · g · lAS
werden allgemein zur Konstante
D (Winkelrichtgröÿe)
Drehmoment (Trägheit)
Die konstanten Parameter
rücktreibendes Drehmoment
zusammengefasst:
J · ϕ̈(t)
| {z }
D · sin ϕ(t)
| {z }
+
Drehmoment (Trägheit)
=0
(12)
rücktreibendes Drehmoment
Die Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels als Funktion des Auslenkwinkels wird
durch die selbe Näherungsfunktion wie beim mathematischen Pendel beschrieben (Gleichung 10), jedoch erhält man im Grenzfall kleiner Auslenkungen
2π
T0 =
= 2π
ω
In der Literatur wird die Winkelrichtgröÿe
ment
D
r
- 22 -
jetzt:
J
D
auch als
bezeichnet.
ϕ0 → 0
(13)
Richtmoment
oder
Direktionsmo-
PW3
3 Physikalisches Pendel
3.1.4 Der Steiner'sche Satz
Der Steiner'sche Satz verknüpft das Trägheitsmoment
JS
des Körpers für Drehungen um
eine Achse durch den Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) mit dem Trägheitsmoment
bezüglich einer dazu parallelen Achse im Abstand
J
d:
J = JS + mges · d2
(14)
3.1.5 Das Fahrradpendel
Das in dieser Praktikumseinheit verwendete physikalische Pendel besteht aus einem Speichenrad mit einem an der Felge montierten Metallzylinder (siehe Abb. 16).
Abbildung 16: Speichenrad mit Metallzylinder
Misst man die Schwingungsdauer des Fahrradpendels in Abhängigkeit vom Auslenkwinkel
T (ϕ0 ) und berechnet man seine Winkelrichtgröÿe D, so kann man
J der gesamten Anordnung bestimmen. Aus Gleichung 13 folgt:
2
T0
J =D·
2π
Bestimmung der Winkelrichtgröÿe D
- 23 -
das Trägheitsmoment
(15)
PW3
3 Physikalisches Pendel
Die Winkelrichtgröÿe
lAS
D
hängt von der Masse
mZ
des Metallzylinders und vom Abstand
der Drehachse A zum Schwerpunkt S ab und wird wie folgt berechnet:
D = mZ · g · lAS
(16)
lAS ist die Summe aus dem Radius RF der Felge und der halben Höhe hZ des Zylinders:
lAS = RF + 1/2 · hZ . Mit dem berechneten D und dem gemessenen T0 kann man J aus
Gleichung 15 bestimmen.
Trägheitsmoment des Zylinders JZ
Die Drehachse des Fahrradpendels (siehe Abb. 16) verläuft nicht durch den Schwerpunkt
des Zylinders. Um
JZ
zu berechnen muss man daher zunächst das Trägheitsmoment
JS
des Zylinders bezüglich der Schwerpunktsachse kennen (siehe Abb. 17). Dieses TrägheitsR 2
moment JS ergibt sich über die allgemeine Denition des Tägheitsmomentes J =
r dm
unter Berücksichtigung der Geometrie des Zylinders zu:
1
1
JS = mZ · rZ2 + mZ · h2Z
4
12
(17)
Dem Steiner'schen Satz entsprechend gilt dann für das Trägheitsmoment des Zylinders
beim Fahrradpendel:
1
1
2
2
JZ = JS + mZ · lAS
= mZ ( rZ2 + h2Z + lAS
)
4
12
(18)
Abbildung 17: Metallzylinder
Das gesamte Trägheitsmoment
JZ
und dem des Speichenrades
J ist die
JRad .
Summe aus dem Trägheitsmoment des Zylinders
J = JZ + JRad
- 24 -
(19)
PW3
3 Physikalisches Pendel
Mit den bereits bekannten Gröÿen
J
und
JZ
kann daher auch
JRad
berechnet werden.
Tabelle 2 listet die wichtigsten Gröÿen und ihren Einheiten noch einmal übersichtlich auf.
Tabelle 2: Wichtige Gröÿen im Zusammenhang mit dem Fahrradpendel
Formelzeichen Einheit Bezeichnung
J
D
JZ
JRad
JS
kg · m2
kg · m2 · s−2
kg · m2
kg · m2
kg · m2
Trägheitsmoment
Richtmoment
Trägheitsmoment des Metallzylinders
Trägheitsmoment des Speichenrades
Trägheitsmoment des Metallzylinders (Schwerpunkt)
3.2 Aufgaben
1. Messen Sie die Schwingungsdauer T als Funktion des Auslenkwinkels ϕ0 im Bereich
◦
◦
von 10 bis 100 . Stellen Sie T als Funktion von ϕ0 in einem Diagramm dar. Zeichnen Sie für beide Messgröÿen physikalisch sinnvolle Fehlerbalken ein. Legen sie eine
Ausgleichsfunktion durch die Messpunkte.
2. Ermitteln Sie grasch die Schwingungsdauer
Extrapolation
T0
für sehr kleine Auslenkungen durch
ϕ0 → 0.
3. Berechnen Sie das Richtmoment (Winkelrichtgröÿe) des Pendels.
4. Berechnen Sie die Trägheitsmomente des Pendels, der Zusatzmasse und des Rades.
5. Stellen Sie Überlegungen zur Fehlerrechnung an und bestimmen Sie die jeweils physikalisch sinnvollen Messfehler (Unsicherheiten).
3.3 Versuchsaufbau und Durchführung
3.3.1 Experimenteller Aufbau
Der Versuchsaufbau ist in der Abbildung 18 dargestellt. Den Winkel lesen Sie auf einem
◦
Winkelkreis (Teilung: 5 ) mit einer auf der Felge montierten metallischen Spitze ab. Die
Schwingungsdauer wird mit einem Drehbewegungssensor gemessen. Die Messdaten werden
mit einem Sensor-CASSY erfasst und graphisch dargestellt. Der Drehbewegungssensor ist
mit dem Radpendel über ein Metallstäbchen verbunden.
Das Radpendel ist bereits justiert. Sollten Sie Anzeichen dafür nden, dass die Justierung
nicht mehr stimmt (z.B. das Rad eiert oder schlägt am Rahmen an), dann wenden Sie
- 25 -
PW3
3 Physikalisches Pendel
sich an unsere Technikerin oder an die Betreuerin bzw. den Betreuer.
Abbildung 18: Das verwendete Radpendel.
3.3.2 Messparameter für CASSY-Lab2
Zur Messung der Schwingungsdauer önen Sie CASSY-Lab2 und stellen folgendes ein:
•
CASSY: Sensor aktivieren.
•
Einstellungen - Eingang: Messgröÿe: Periodendauer, Messbereich (jener Zeitbereich aus dem der Sensor die Periodendauer errechnet): 3 s, Aufnahme:
•
manuell.
Rechner-Parameter: Neu: Winkel einrichten, Typ: manuell in die Tabelle wählen,
◦
Bereich: 0 bis 100 .
•
Darstellung: x-Achse: Winkel, y-Achse: Schwingungsdauer, alle anderen Achsenbelegungen deaktivieren.
- 26 -
PW3
3 Physikalisches Pendel
3.3.3 Messung der Schwingungsdauer
◦
- 10 . Tragen Sie den Wert 100 in die
◦
◦
◦
erste Tabellenspalte ein. Lenken Sie das Pendel um ca 5 - 10 über 100 aus und lassen
◦
Sie das Pendel schwingen. Warten Sie, bis die metallische Spitze den Wert 100 erreicht
Messen Sie in Schritten von 10
◦
im Bereich 100
◦
hat und machen Sie dann die manuelle Messung (Schalter mit Uhr-Symbol drücken). Die
◦
◦
anderen Werte (90 - 10 ) messen Sie auf gleiche Weise: immer wenn die Metallspitze den
gewünschten Wert erreicht hat, drücken Sie den Schalter. Die Messkurve
T (ϕ0 )
wird also
in einem Durchgang gemessen. Zur weiteren Auswertung können Sie die Tabelle in ein
Auswerteprogramm (z.B. Origin, QTI-Plot, ...) übertragen (Copy And Paste).
3.3.4 Auswertung
Sie sollten als erstes die Daten nach aufsteigenden Werten von ϕ0 sortieren. Denieren
◦
Sie als Nächstes
für T (ϕ0 ) und ϕ0 ( ). In Origin und QTI-Plot erhält man
Fehlerbalken
Fehlerbalken auf folgende Weise:
(1) Eine neue Spalte einfügen und markieren. Dann mit
Error
Set as X Error
bzw.
Set as Y
als Spalte denieren, die Fehler enthält.
(2) Fehler von
ϕ0
manuell eingeben (Abschätzen aus der Ablesegenauigkeit der Winkelska-
la). Berechnete Fehler von
T (ϕ0 )
mit
Set Column Values
(Spaltenwerte setzen) einfügen.
Verwenden Sie für die Fehlerabschätzung die Sensordaten (siehe Anhang 3.6).
3) Stellen Sie zuerst die Schwingungsdauer als Funktion des Auslenkwinkels
ϕ0 in ◦ grasch
dar. Finden Sie jetzt eine Ausgleichskurve und ermitteln Sie den Wert der Schwingungsdauer
T0
für kleine Auslenkwinkel (ϕ0
→ 0).
Dazu legen Sie durch die Messkurve einen
Polynomt. Gl. 10 legt nahe, ein Polynom zu verwenden, welches nur
gerade
Potenzen
enthält. Versuchen Sie es mit einem Polynom 4. Ordnung.
In QTI-Plot gehen Sie so vor: Menü Analyse/Fitassistent wählen, in dem nun erscheinenden Fenster als Kategorie Eingebaute Funktion wählen und dann Polynom anklicken,
sowie ein Hakerl (Häkchen) bei Mit eingebauter Funktion tten setzen. Voreingestellt
ist ein Polynom 1. Ordnung. Wenn Sie jetzt das Hakerl wieder entfernen, dann können
Sie die Funktion editieren und auf die Form
a0+a1*x^2+a2*x^4
bringen. Dann den grü-
nen Pfeil am unteren Rand drücken und im nächsten Fenster die Anpassung starten. Der
Koezient
a0
ist gleich dem gesuchten
T0 .
D des Trägheitsmoments J durch,
wie in den Grundlagen erklärt. Messen Sie die Längen rZ , hZ , lAS und RF und geben Sie
physikalisch sinnvolle Fehler an. Die Masse des Metallzylinders mZ ist auf der Grundplatte
des Pendels angegeben, sodass Sie jetzt JZ und letztendlich auch JRad berechnen können.
4) Führen Sie die Berechnungen der Winkelrichtgröÿe
- 27 -
PW3
3 Physikalisches Pendel
3.4 Hinweise für das Protokoll - Fehlerrechnung
Diskutieren Sie, bis zu welchen Auslenkungswinkeln die Ausgleichskurve mit der experimentellen Kurve übereinstimmt (Fehlerbalken beachten!). Beobachten Sie in dem von
Ihnen untersuchten Bereich eine signikante Abweichung?
Wenden Sie die Gesetze der Fehlerrechnung und Fehlerfortpanzung an, um die Unsicherheiten des Trägheitsmomentes und des Richtmomentes zu bestimmen. Konzipieren Sie das
Protokoll zu dieser Einheit entsprechend den Richtlinien des Praktikumsleitfades. Erstellen
Sie übersichtliche Diagramme.
3.5 Literatur
Eichler/Kronfeldt/Sahm - Das Neue Physikalische Grundpraktikum
Halliday/Resnick/Walker - Physik
3.6 Anhang: Sensordaten
Die Schwingungsdauer wird automatisch ermittelt, indem der Sensor eine Schwingung
auswertet, dabei aus den Umkehrpunkten die Mittellage ermittelt (unter Berücksichtigung einer eventuellen Amplitudenabnahme durch Reibung) und die Zeitdierenz zwischen
drei Mittellagen erfasst mit einer Auösung besser als 1 ms. Folgende Messgröÿen können
mit dem Drehbewegungssensor erfasst werden: Schwingungsdauer und -amplitude, Winkel,
Drehfrequenz, Weg. Die Auösungen dieser Messungen sind in Abb. 19 angegeben.
Abbildung 19: Drehbewegungssensor
- 28 -